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Vestibular, livro Matemática – CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP

LIVRO MATEMATICA -CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP = PDF DOWNLOAD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP
ANTONIO FRANCISCO MARQUES MARIA DA GRAÇA MELLO MAGNONI
Etos

 

 

 

MATEMÁTICA
NELSON ANTONIO PIROLA
OGzo

 

VOLUME 2

 

So PULO 2016

 

Realização
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Rua Quirino de Andrade, 215 – 10° andar São Paulo, CEP 01049-010 – SP
Tel (11) 5627-0264

Reitor
Julio Cezar Durigan

Vice-reitor
Eduardo Kokubun

Pró-reitora de Extensão Universitária
Mariângela Spotti Lopes Fujita

Pró-reitora de Pesquisa
Maria José Soares Mendes Giannini

Pró-reitor de Graduação
Laurence Duarte Colvara

Pró-reitora de Pós-Graduação
Lourdes Aparecida Martins dos Santos-Pinto

Pró-reitor de Administração
Carlos Antonio Gamero

Secretária Geral
Maria Dalva Silva Pagotto

Produção planejada pelo Projeto “Inovação nos pro- cessos de gestão e pedagógico dos Cursos Pré-Vesti- bulares da Unesp”

Diagramação e capa
Edevaldo Donizeti dos Santos

Impressão e acabamento: Gráfica FCL/Araraquara

Revisão
Élide Feres
Maria Luzinete Euclides Rony Farto Pereira

Conselho Editorial da PROEX – Unesp
Profa. Dra. Maria Candida Soares Del Masso (FFC / Marília) Prof. Dr. Claudio César de Paiva (FCL / Araraquara)
Profa. Dra. Márcia Pereira da Silva (FCHS / Franca) Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC / Marília) Sra. Angela de Jesus Amaral (PROEX / Reitoria)
Sr. Oscar Kazuyuki Kogiso (ICT / São José dos Campos)

Coordenação geral
Profa. Dra. Mariângela Spotti Lopes Fujita

Editores
Prof. Dr. Antonio Francisco Marques Profa. Dra. Maria da Graça Mello Magnoni

Organizador
Nelson Antonio Pirola

Colaboradores
Emília de Mendonça Rosa Marques Evandro Tortora
Fernanda Pizzigatti Marques Jasinevicius Gabriela Pereira Sander
Gilmara Aparecida da Silva José Luciano Santinho Lima
Juliana Aparecida da Silva dos Santos Morais Márcio Rogério Ferreira
Patrícia Priscilla Ferraz da Costa Souza Richael Silva Caetano
Thais Regina Ueno Yamada

Marcio Rogerio Ferreira
Patricia Priscilla Ferraz da Costa Souza

Revisor de conteúdo
Profa Dra Mara Sueli Simao Moraes

 

 

PREFÁCIO

A ideia de construção dos conteúdos disciplinares dos 6 cadernos que com- põem a 2° Edição do conjunto do material didático a ser utilizado pelos Cursinhos Pré-Universitários1 surgiu desde o início da gestão, em 2013, durante proveitosas dis- cussões em reuniões com os professores e estudantes na condição, respectivamente, de coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasião, uma grande preocupação com relação à disponibilidade do material didático de um ano vigente para um próximo ano, con- siderando-se a provisão orçamentária. Além disso, havia um desejo dos envolvidos por conteúdos que mais se aproximassem do contexto social e educacional dos cursistas provenientes da escola pública e de famílias de baixa renda, para promover, de modo mais abrangente, a inclusão em um contexto de aquisição e de construção de conhe- cimentos necessários ao ingresso em cursos de graduação ou no mercado de trabalho, mediante participação em concursos.
O grande desafio da existência dos Cursinhos Pré-Universitários da UNESP sempre foi a oferta do material didático com os conteúdos disciplinares necessários, de um lado, para facilitar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala de aula e, de outro, para orientar a aprendizagem do cursista fora da sala de aula. Portanto, o material didático é o instrumento que orienta o processo de aquisição e construção do conhecimento dos cursistas dos Cursinhos Pré-Universitários, em um curto período de tempo, com finalidade definida de ingresso em concursos e, ainda, a fim de propiciar sua inclusão. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade de a UNESP construir material didático próprio, dadas as características únicas de distribuição regional multicampus e da evolução histórica de seus Cursinhos Pré-Universitários, atualmente Subprograma de extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, do programa de extensão “Divulgação, Orientação e Informação Profissional”.
Antes de sua concretização, essa discussão levou em consideração resultados de outras iniciativas da Pró-Reitoria de Extensão – PROEX – na tentativa de realizar

1 Atualmente, existem 27 Cursinhos Pré-Universitários UNESP e 4 Cursinhos em convênios com Prefeituras, em funcionamento, localizados em 23 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitárias da UNESP. O modelo implantado atende a alunos regulares e egressos da rede pública de ensino e oferece aulas ministradas por graduandos dos diversos cursos da UNESP – bolsistas e voluntários –, que visam a suprir lacunas de formação de alunos regulares do 3º ano e egressos do ensino médio, com vistas a oferecer reforço de ensino e preparo para o ingresso e permanência na universidade. Para isso, a UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Extensão Universitária, mantém um Programa Institucional com bolsas de extensão universitária para alunos de seus cursos de graduação atuarem como tutores de ensino.

parcerias com editoras comerciais e de organizações não governamentais, dedicadas a cursinhos populares e comunitários, que, após negociações, revelaram impossibilidade de execução.
A proposta de construção do material didático, após debates, foi acolhida por Grupo de Pesquisa da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, com inser- ção e experiência na coordenação de Cursinho Pré-Universitário, o qual elaborou o “Projeto de produção, manutenção e atualização de material didático-pedagógico”.
O Projeto, coordenado pela Pró-Reitoria de Extensão Universitária e ela- borado pelos Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça Mello Magnoni, da Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, foi concebido com o objetivo de organizar, adequar e disponibilizar cadernos com os conteúdos curricu- lares das diversas áreas do conhecimento para as atividades pedagógicas nos cursinhos pré-universitários da UNESP, nas seguintes áreas do conhecimento: “Linguagens e Códigos”, “Matemática”, “Biologia”, “Química”, “Física”, “Ciências Humanas” e o “Caderno de Material Complementar e de Apoio”.
No ano de 2015, foram construídos os conteúdos das áreas de conheci- mento que resultaram na publicação da 1° Edição com seus 5 cadernos: Linguagens e Códigos, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Material de Apoio.
A 2° Edição contemplou a atualização, reformulação e inclusão dos con- teúdos para publicação dos cadernos, em 2016. Nesta nova edição, o Caderno 3
– Ciências da Natureza que reunia as áreas de Biologia, Química e Física, foi seg- mentado em três cadernos e cada uma destas áreas se constituiu em um caderno independente.
Não restam dúvidas de que a publicação destes Cadernos representa um passo dado de grande relevância para o aprimoramento dos Cursinhos Pré- Universitários, mas também, de alta responsabilidade social, porquanto deverá in- fluenciar a inclusão, conforme preconiza a Política Nacional de Extensão e a Política de Extensão da UNESP.
Dessa forma, os cadernos serão o instrumento principal da política pedagó- gica do Subprograma de Extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, com a proposta de unificar a orientação pedagógica dos 27 Cursinhos Pré-Universitários e, ao mesmo tempo, dar visibilidade a essa importante ação de extensão universitária de grande espectro e impacto social, no interior do Estado de São Paulo que, smj, é única no Brasil entre as IES.
Pela atuação dos Professores editores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça M. Magnoni, dos autores e dos colaboradores, agradecemos o empenho, esforço e dedicação, ao assumirem a responsabilidade de criação e atualização cons- tante dos conteúdos dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidade no atendimento das demandas pelos Cursinhos.

Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da UNESP, nas pessoas do Prof. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Prof. Dr. Eduardo Kokubun, Vice-Reitor, na idealização e fortalecimento dos Cursinhos Pré-Universitários, o que facilitou a condução de todos os trabalhos de organização da publicação.
Finalmente, é preciso salientar a valiosa atuação dos Cursinhos Pré- Universitários na extensão universitária da UNESP, com resultados de impacto na transformação da realidade social da comunidade externa à Universidade.
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitora de Extensão Universitária da Unesp

 

APRESENTAÇÃO

Apresentamos a 2a edição da coletânea de cadernos dos Cursinhos Pré- Vestibulares da Unesp.
Considerando a realidade concreta do Ensino Médio e os desafios que ele representa aos poderes públicos, os cursinhos pré-vestibulares apresentam uma ação em prol da democratização do ensino superior brasileiro, na tentativa de minimi- zar uma realidade histórica e socialmente perversa, que exclui milhões de brasileiros das classes desfavorecidas da participação e ou da aprovação nos concursos vestibu- lares para ingresso nas universidades públicas. Orientados pela lógica do direito à educação, os cursinhos pré-universitários constituem, então, situações emergenciais enquanto o Estado e a sociedade brasileira não garantirem uma educação básica de qualidade para todos.
Tendo em vista que os Cursos Pré-Universitários da UNESP visam atender às demandas educacionais dos egressos e concluintes do último ano do ensino médio público, os editores e coordenadores dos cadernos optaram pelos conteúdos propos- tos para a avaliação do ENEM.
Esta edição é uma revisão da edição anterior com ampliação dos conteúdos nas áreas de conhecimento de Linguagem, Matemática, Ciências Naturais, ficando este último subdividido em três cadernos.
Ao permitir à Universidade atender parte dos seus objetivos, o Projeto proporciona ganhos aos seus docentes e discentes. Os alunos dos diferentes cursos ou licenciaturas, na situação de bolsistas e voluntários, têm a possibilidade de ampliar seus conhecimentos ao organizar didaticamente todo o processo de ensino destinado aos cursistas, envolvendo principalmente os conteúdos e as metodologias em função dos diferentes grupos atendidos. Os demais graduandos, não envolvidos diretamen- te com o Cursinho, são beneficiados mediante a socialização das experiências pelos colegas bolsistas do Projeto, quando em sala de aula, ampliando as relações e vínculos com as atividades práticas na Educação Básica, etapa do ensino para a qual muitos estão em processo de formação.
A situação de aprendizagem para os discentes direta e indiretamente en- volvidos ultrapassa, então, os limites dos saberes e práticas curriculares dos conheci- mentos específicos, envolvendo experiências relativas às relações que se estabelecem entre todos os envolvidos no processo educativo e que não se restringem aos aspectos cognitivos, mas também afetivos e sociais.

Os investimentos em recursos humanos e financeiros destinados à pesquisa e produção dos recursos materiais voltados à extensão dos resultados à sociedade, através da divulgação do conhecimento científico, tecnológico, mais que concreti- zar os nossos objetivos de proporcionar o acesso da comunidade à Universidade, nos permite vivenciar a Universidade como perspectiva, como possibilidade para a realização de um trabalho que proporciona o envolvimento pessoal e coletivo, um esforço conjunto de muitas pessoas que assumiram o compromisso da realização, o compromisso com a Universidade Pública e que se auxiliam nas dificuldades, nos contratempos, nas propostas, na coragem para enfrentar as críticas e solucioná-las.
Como já colocado na edição anterior, o trabalho executado tem seus limi- tes, porém é possível aperfeiçoá-lo nas próximas edições, com base nas experiências e avaliações dos usuários estudantes e dos monitores das salas de cursinhos espalhados nas dezenas de unidades universitárias da UNESP.
O material estará disponível para os alunos matriculados nos Cursinhos da UNESP na forma impressa e online, oportunizando aos estudantes externos e demais interessados o acesso livre e gratuito.
Antonio Francisco Marques Maria da Graça Mello Magnoni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b  0

 

15  

b

 

3  3

 

 

12

 

2  2  4

12  12  4  3

8 8  4 2

 

35

 

 

5 5
6

 

5
5 6 

Transformam-se as 5
partes inteiras em fração comdenominador 6.
5  6

6

5
 6 

30  5  35
6 6

 

 1

 

2 4

 

 

 

 

 

2 4 10 12

10 12 22

2 4
 5 

3  5  15
22

 15  15

 15

 

3 5
 7 

3 5

4  7

15
 28

2 4 6
 3  5 

2  4  6

9 35

48
 135

3 de 20 3

3 20

3 de 20
4
60

3
 20

4  4  20 

4  4

 15.

 

10 6
 7

10 7
 13  6

 10  7
13 6

70
 78

1
 5 

1 1
2  5 

11

2  5

1
 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10,7  5,9  63,13
1 ordem decimal
 1 ordem decimal
+
2 ordens decimais

3,62  2,6  9,412
2 ordens decimais
1 ordem decimal

3 ordens decimais

 

1  1  11

1
10
 1 um centésimo.

10 10 10 10

100

 0,01

 

 

31,6  4,5  7,0222…

 

 

 

 

 

 

 365 
 100 

5,475  3,65
3,65
5,475  5475
1000

3,65 

5,475

 

5475

1000

3650
 1000

5475
 1000


1000
 3650


5475

As ordensdecimais estão igualadas,ou seja, milésimo será divididopormilésimo.
Milésimos –Milési–mos
5,475  3,65  5475  3650   5475  5475  3650
1000  1000  3650

 

 

 

43  4 4 4  64

an  a–a–a –– a
n fatores idênticos

 an

 an

 44  (4)  (4)  (4)  (4)  256

 44

 (4)  (4)  (4)  (4)  256 

256  256

n  1
n  0

a  a
a  0

51  5
a  1

20  1

 1 n

an   

a  0

 1 2 12 11

 a 
1

32      
  

 3 

32 33 9

 6  

1  13
  

111

1 1
  

  6

 63

 6 6 6

 216

216

 

 

am  an  amn

32  33  323  35 
 3  3  3  3  3  243
32  33  3 3 3 3 3 
 9  27  243

 

a  amn
an

a  0

74
 742  72  7  7  49
72
74 7  7  7  7 2401
72  7  7  49  49

126
 1266  120  1
126 a0  1

am bm  a bm

62  32  6  32  182  1818  324
62  32  6  63 3  36  9  324

am  a 
   , com b  0
bm  b 

104

54 4
 10   24

   16
 5 
104 10000

54 

625  16

am n  amn

22 3  223  26  64
22 3  43  64

 

32 3  323  36  729 

am n

amn

323

 Observe que os resultados são diferentes.
 3222  38  6561

b é a raiz enésima de a  bn  a

 

 6, pois 62  36
 3, pois 33  27

 4, pois 41  4

a

 

 

a b m n p

 

m a  m b 

 

 m a , com b  0
b

3

3 81
3  81
3 
3
3
27  3 16  16  4
9 9

3

m a n 

3 10 2  3 102  3 100 3
3 2 4
2

3

3
24
2

3
23  21
3 2

3
23  3
3 2
2

23 2
3 2
 2

 mn a

2 3 12  23 12  6 12 15 32  35 25  3 5 25  3 2

 

 

 

10
   5  5 32  5 a105 
a

  55 255  55 a55

 2  a
 

  4 a4  4 a  4 b8  4 b  4 c4  4 c3 
 44 544  44 a44  4 a  44 b84  4 b  44 c44  4 c3 
 5  a  4 a  b2  4 b  c  4 c3  5  a  b2  c  4 a  b  c3

 

 

 n am .

1

42 

4
 2 5 5   

1
2 3 

 32 2 

 

 

 

 

a b c x y

 

 

soma algébrica
ax  bx

produto
x  a  b

x é o fator comum

3xy  6x 

fator comum
3x

 y  2

8y3  24xy 

fator comum
8y

 y2  3x

–O fa–tor–comum–é –ab–. 
ax  bx  ay  by  x  a  b y  a  b  a  bx  y
1. º Grupo 2.º Grupo
––O f–ator–comum–é 4–x5–. –
4xy  5y  8×3  10×2  y  4x  5  2×2  4x  5  4x  5 y  2×2 
1.º Grupo 2.º Grupo

 

 

a  b

Produto da soma pela
diferença–d–osmon–ôm–ios a e b.
 a  b  a  b

a  ba  b  a2  ab  ab  b2 

⏟ ⏟
a2 a b2 b 2 2

––
Monômios obtidos: a e b

 a  b .

Produto da soma pela diferença
dos monômios x 5 e y3 .

5x 

– –– –– –
 

2

5 x2  x

6
 y3

x 5  y3  x 5  y3

x y  16

Produto da soma pela diferença
dosmonômios xy 2 e 4.
    

⏟ ⏟ xy

 4  xy  4

2 4 2
x y xy

164

1. º⏞Termo –3.º Term–o  2.⏞º Termo
2
⏟x  2  ⏟x  y 2  2 y
2 Base ⏟ ⏟

x 2 

Base

y 2 2

 

Quadrado da soma das bases.
x  2x y 2  2 y2  x2  y 2 2
–––––– ––

x2  y

2 2  x2  y

2  x2  y

2 

 x2  x2  x2 y

 y 2×2  y  y

 x4  2×2 y

 2 y2

a2  2ab  b2  a  b2 a2  2ab  b2  a  b2

a  b2  a  ba  b  a2  2ab  b2

a  b2  a  ba  b  a2  2ab  b2

a3  b3  a  ba2  a  b  b2 
x3  64  ⏟x3  4⏟3  x  4 x2  x  4  42  x  4 x2  4x 16
a b

x  4x2  4x 16 x3  4×2 16x  4×2 16x  64  x3  64
a3  b3  a  ba2  a b  b2 

125z3  8  5⏟z   2⏟3  5z  2 5z2  5z  2  22 
 
 a  b
 5z  2 25z 2  10z  4
5z  2 25z 2  10z  4125z 3  50z 2  20z  50z 2  20z  8 125z3  8

a3  3a2b  3ab2  b3  a  b3
a  b3

Quadrado da soma de dois termos.
a  b3  a  ba  ba  b  a  b a  b2  a  ba2  2ab  b2 
 a3  2a2b  ab2  a2b  2ab2  b3  a3  3a2b  3ab2  b3

   

     

8z3 123 4z 2  63 16z  4   2⏟z   3 2⏟z 

 3 4  3 2⏟z   3 4   3 4  

⏟  ⏟  ⏟

 2z  3 4 3

 a 

 a  b  a   b   b 

2z  3 4 3  2z  3 4  2z  3 4 2  2z  3 4   4z2  4z
 8z3  83 4z2  3 2  43 4z2  3 2  3 4 3 
 8z3 123 4z2  63 16z  4
a3  3a2b  3ab2  b3  a  b3
a  b3

 3 4 2  

Quadradoda diferença de dois termos.
a  b3  a  ba  ba  b  a  b a  b2  a  ba2  2ab  b2 
 a3  2a2b  ab2  a2b  2ab2  b3  a3  3a2b  3ab2  b3

3 2       3

3 2 t

1  

   1     1   1   1 

 t  3  27   t⏟ 

 3   t⏟ 

  3   3   t⏟    3 

  3 

 t  3 

 a 

 a 

 
 b 

 a 

 
 b 

   
 b 

 

 1 3  1   1 2 

1   2 2t 1 

t  3   t  3   t  3   t  3   t  3  9  
         

 t 3 

2t 2
3

 t  t
9 3

 2t
9

1
 27

 t 3 

3t 2
3

 3t
9

1
 27

 t 3  t 2  t  1
3 27

a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3

a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3

 

 

a  b

a2  2ab  b2  a  b2

a  b  5

 

 2ab

ab  2

a2  2ab  b2   2ab  a  b2   2ab a2  b2  a  b2  2ab

a  b

a  b  5

ab  2

a2  b2  a  b2  2ab  a2  b2  52  2  2  25  4  a2  b2  21
a  b

 

1 1

a 2  a 2 

a  a1

82 82 100 16

1 1 10
 a 2 

 

1

 a 2

1 
 a 2 

10 
 3 

   

5.ª Propriedade de Potência.

1.ª Propriedade de Potência.

5.ª Propriedade de Potência.

1
 a 2

 1 
 a 2  

 1 
 a 2 
 
1 1

1
 2  a 2

2

1
 a 2


  a

1

 1 
2 

1 2

 a  2a0

 a1

 a  a1  2

 a 2

 
 a 2 

100
 9

 a 2

 
 a 2 

 a  a1  2

a  a1  2  100
a  a1  2  100  a  a1  2  2  100  2  a  a1  100  2 
 
9 9 9
 a  a1  100 18  a  a1  82

9 9

a  a1 

 

 

11,1

1,11

x  0,1

 0,111

1,11

 

1

 

11,1

 

 

x 1x2  x 1 1
   

1 xx2  x 1
 

1
   

x2  x 1
 

 x2  x 1

1 x

1
x  0,1

1 x

1 1

 x2  x 1  0,12  0,1 1  0,01  0,1 1  1,11

x  1  1,11 1  x

 

1

 

min–ador.

Conjugado.

Elimina-se o radical.

  b  

 b  

a 2  

b 2 

⏞ 
a  b 

Elimina-se 

min–ador.

Conjugad o.

o radical. 

  b  

 b  

a 2  

b 2 

a  b 
 

 

2 2

 2 5  3  
2

 5  3 
 5  3 

 2

5  3 
5  3

 5  3  3

4 4 
 

6  2 

6  2 

 4

6  2  4
6  4

6  2 
2

6  2
2

 2  2

 b

 

 

1 1  3  5 

3  5

     
3  5 3  5  3   3  5 3  5

 

  

 3  5
2

 

 

2 2 

4  6 

2 4  6

2 4  6

    

 

4  6 4  6  4   4  6  4 
 

6  42   6 2

2 2
  

40 10 6 
10

40 10 6
5

 

 

1
8  4 3
8  4 3

 8  4 3   6 

 

2 2  8  4
2

 

3   6 

2 2  8  4 3

  6 

8  4 3
2 2  8  4 3
16

82  4 3

64  48

 

 

 22 3 

 2 2

 6 

2 2  8  4 3

 6  2

 2 8  4 3

82  4
 16

16
32

    
16 16

82  4
16

32

64  42
 16

32 64 16  3
 16 

64  48
16

16
 16  1

 

3 

7

 

     
   

3

5 2  2

10  

2 2 

3 5  2  3 5  2 

 2    

5   5  2  

 2   5 2   2 2

 35  2 10  2  7  2
5  2
3

7  2  2  7
3 5  2  2

 

ax  b  0

 

5x  20  0
5x  20  20  0  20
5x  20
5x   20

Subtrai – se 20 de ambos os membro da igualdade. 
Dividem – se ambos os membros da igualdade por 5.

5 5

A solução  4 satisfaz a igualdade da equação inicial : 

x  4



S   4

5   4 20  0  20  20  0  0  0 

 

 

 

x  idade da irmã caçula y  idade da irmã ‘ do meio’ z  idade da irmã mais velha

y  x 15

z  y  5
y  x 15 z  x 15  5  z  x  20

x  y  z  50  x  x  15 x  20  50  3x  35  50 
3x  35  35  50  35  3x  15  3x  15  x  5

z  5  20  25

3 3
x  5

 5 15  20

 

 

 

o valorpago pelas 5 pessoas
5y 

o valorpagopelas 50 pessoasque já haviam contribuído inicialmente
50 

o valor
quefaltava
 510

5y  350  510  5y  350  350  510  350  5y  160 
 5y  160  y  32

5 5

 

 

ax2  bx  c  0

 

10×2  7x 1  0

a 

10, b  7, c  1

   72  4101  49  40  9

x  7  3  10  1

  7  1
x  2 10  

20 20
7  3 4

2  1
1

e 1 são as raízes da equação.

 2 

20 

2 5
20  5

1 1
S  ; 
 
10x  50  0  a 

 

1
, b  10, c  50

 
 

  102  4

1
 2 

50  100 100  0

x  10  0  10

 10  1
x  1  

1
10  0

 10 é a

raiz

da equação.

2  2 x2  1

 10

S  10

2z2  z  3  0

a 

2, b  1, c  3

  12  4 23  1 24  23

S  Ø conjunto vazio

c  0 e b  0

 

ax  bx  c  0  ax  bx  0 

fator comum
x

x  0
 ax  b  0   b

x  0

x   b
a

ax  b  0  x   a

x  0
2×2  5x  0  x  2x  5  0   5

 5 

2x  5  0  x  2

S  0; 2 
 
b  0 e c  0
ax  bx  c  0  ax  c  0  ax  c  x  
x   x  
4×2  32  0  4×2  32  x2  32  x2  8 
4

x  

 x 

 x  2

x  

 x  

 x  2

S  2 2;2 2

b  0 e c  0
ax  bx  c  0  ax  0  x  0  x  0
x  0
S  0

 

y

 

o quadradodo número de filhos
2

 

 

8 menos 2 vezes
o número de filhos
2 vezeso
número de filhos

y  8  2 y
y  2 y  8  0

y  2y 8  0

a 

1, b  2, c  8
  22  418  4  32  36

 y   2  6 4 2

 2  36  1
y  2 1  

2
 2  6

 2 
 8

 2 e  4 são as raízes da equação.

 y2 

2  2

 4

 

t  0

T t  

 t 2
4

 400

 

T  39

T t  

 t 2
4

 400

 

39 

 t 2
4

 400

156  t 2 1600 156 1600  t 2  1444  t 2

 

1444  t 2

extraise a raiz quadrada de ambosos membros
  

 t  38

 

 

 

ax2  bx  c,

x1 x2
a  0

S  x1

 x2

  b
a

 

  b 

x1  2a
 

x2 

2b b

S  x1  x2 

 
2a 

 
2a  2a

  2a   a

P  x1  x2 

x1  2a

x2 

Diferença de Quadrados.

  b   

  b   

b  

P  x1  x2  

    
2a 2a

2a2

 4a2 

   
– –

b  b  4ac  4ac  c
4a2 4a2 a

x  6x 10  0
1 1

m n

1  1 1

 1  n  m 
n m  n
mmc m,n mn

a  1

b  6

c  10

x  6x 10  0

 

 m  n 

 
 m  n 

 

P  c
a

m  n  S  
a
10
 1  10

m  n  P 
a

S      6
a 1

 m  n   S  6  3

 

1 1 3
 
n

 m  n 

P 10 5

 

x  ax  b  0 a b

v w
v  w

a  2b2

a  2b

a  b
x  ax  b  0

P  v.w 

 

v  w   b  v  w   a  v  w  a

S  v  w   b
a

a 1
v.w  c  v.w  b  v.w  b

a 1

Quadrado da soma de
dois termos.
v  w2   a2  v2  2  v  w  w2  a2
v.w  b

⏞b
v  2  v  w  w2

 a2

 v2

 2b  w2

 a2

 2b

v2  2b  w2  a2  v2  2b  w2   2b  a2   2b v2  w2  a2  2b

v2  w2  a2  2b

 

 

 8

Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.
 

Subtrai-se 5 de ambos os membros.

x  5 2  82  x  5  64  x  5  5  64  5  x  59
x  59

 8 

 8 

 8  8  8

x  5  8
 1

x  59

Elevam-se, ao cubo, ambos o s membros.

Elevam-se, ao quadrado, ambos o s membros.

3 2

  3

 2 2

 2 2

 x

1   1 

 1 

x 1

 1  x

1  1 

Soma-se–1 a–ambo–s o s–membros.
 x 1 1  11

 x2  2  x  
x   2 

x 

 

 1 
x  

 1 

 

 1 

 1 

3 x 1  1

 1 

 1 

 1 

 1 
x   2 

 1  1  1

 1  1  1

 

Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.
       
Quadrado da diferença de dois termos.

  x  2 2  2  

x  2  

x 1 

x 12  2x  3 

 x  2  2

 x 1  2x  3  2x 1 2
Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.

 2x  3 

 2 x  x  2  4 

2 x   2    42  4 2 
2
x

x  2 16 

 x2  x  2  16  x2  x  2  4  x2  x  6  0
4

x  x  6  0

a 1; b 1; c  6

  12  41 6  1 24  25

x  1  5 4 2

 1 25
x  2 1

 1
 
x2 

2
1  5
2

 2 
  6 2

 3

 2 e  3 são as

raízes da

equação.

x  2 e x  3

x  2      

  
x  3

 2 1  1 1  1

     
  

x  3

 

 

 

Cubo da diferença
de dois termos.
3 x  9  3 x  9  3  3 x  9  3 x  9 3  33 
 3 x  9 3  3 3 x  9 2  3 x  9  3 3 x  9  3 x  9 2  3 x  9 3  27 
 x  9  33 x  92  x  9  33 x  9x  92  x  9  27 
 x  9  3  3  x  9  27 

 33 x  9x 2  81 33 x 2  81 x  9 18  27 
  33 x  9  3 x 2  81 33 x 2  81 3 x  9  27 18 
––––––––––––––––
Fatoração – Fator Comum: 33 x 2 81
 33 x 2  81 3 x  9  3 x  9 9  33 x 2  81 3  9 
Conforme o enunciado, tal expressão é igual a 3.

9
  9 

 1

3 x

2  81  1 3 x

2  813  13 

x2  81  1

x2  80

 

 

 x

 

y  y2   5  x 2 y  5  x

3.ª

equação

   2  

x  x2  

5  y 

x  5  y

4.ª

equação

 

 y2  5  x

Produto da soma pela diferença.

x2  5  y

 y2

 x2

 y  x  y  xy  x  y  x

y2  x2  x  y

Diferença de quadrados.

y  xy  x  y  x

y  x  0
y  x  0

y  x 0  0  0  0
y  x

y  5  x  x  5  x  x  x  5  0

  12  41 5 1 20  21

 1  21

 1 21
x  2 1

x1 
 

2
1 

 1  21 e
2

1  21
2

são as

raízes.

x 
 2

y  x 1
y  x 1

2
1y  x  y  x y  x  y  x
y 1 x

y2  5  x  1 x2  5  x 1 2x  x2  5  x  x2  x  4  0

  12  41 4  116  17

 

 1  17

 1 17
x  2 1

x1  2
  
1 

x2  2

 e

x  0

são as

raízes da

equação.

 1 21 1  17 
 e  x 
 2 2 

 x x 

 

 

 

 

 

ℕ  0; 1; 2; 3; 4; …

60  22 35

 

 

Divisores (60)  1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60

 

60  22 31 51

2 11111  3 2 2  12

 

 

 

 

5  6 1 0  12

3  6  7  8  24
24 12  12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20 2 23  240

 

 

ℤ  …;  4;  3;  2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; …

 

ℤ*  …;  4;  3;  2; 1; 1;

2; 3; 4; … 

 

 

Divisores (60)  1;  2;  3;  4;  5  6; 10; 12; 15;  20;  30;  60

 

2 1 11 11  3 2  2  12

divisores

positivos

 

 

a ℤ b ℤ*

 

 

 

 

 

0,7  0,77777  7
9

0, 25  0,25252525  25
99

0, 451  0,451451451  451
999

0,00013  0,00013131313… 

13

99000

5
0,05  0,05555…  90

 

1,37  1,37777… 

parte
não-periódica
1,3

parte periódica
13
0,0777… 

Aplicase o 2.º Caso.
7
 

117  7

124 62
 

10 90
Decompõe-se a dízima periódica.

90 90 45

 

4, 6  4,6666… 

parte
não-periódica
4

 

parte periódica
0,666…  4

Aplicase o 1.º Caso.
6
 

36  6 

42 14

Decompõe-se a dízima periódica.

9 9 9 3

 

 

 

  3,141592653… e  2,718281828459045…

a a ℤ
b

b ℤ*

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

 Lê – se: está contido.

 

d; e; f 

a; b; c

a  b  c

 a  b  c

d e f

d  e  f

a  d  b  e  c  f

 

k  b  d
S
x

k  b  d
S 
x

k  b  d
S
x

k  b  d
S
x

k  b  2d
S 2x

S

 

c  a  b  c  a  b  14  2

1 4 2 1  4  2 7

 2  c  2

2x  14  7x  14  x  2

 

 

 

 

 

telhas 1500

tijolos
 1200   1500  1200 1500  x  600 1200  x  480

tijolos

600 

 600 x
x 

 

 

 

n.º de pessoas 6
4

dias 2
5

kg (pão) 3
y

 

3 6 2
y  4  5 

3 12
y  20

 12  y  60  y  5

 

 

 

 

30% de

75 

30

100

 75  0,3  75  22,5

 

 0,35

0,35 

35

100

 35%

 

 

 

volume de esgosto (em bilhões

de litros)

% (esgoto)

8
x
8 64



800

64 
100 

 x  100

 x  64  8 100  x 

64  x  12,5 bilhões

de litros

8,5 68
12,5  0,68  100  68%

 

 

x  0,27  x 1,27  x
⏞27%
1  0,27

 

 

x  0,27  x  0,73 x

 

 

 

 

 

J  C  i  n M  C  J

1.ª
2.ª

equação equação

M  C  C  i  n  C  1 i  n

 

 

0,12 2000,00  240,00
0,12 2000,00  240,00
0,12 2000,00  240,00

J  C i  n  2000,00 0,123  720,00

 

48%
12

a.a.

 4%

a.m.

60 dias
30  2

meses

M  C  1 i  n M  y  1 0,04  2 M  y  1,08

60% a.a.
12  5% a.m.

120 dias
30  4 meses

M  1,08y1 0,05  4  M  1,08y1,2  M  1,296y

207,36  1,296y  y  160,00

 

 

M  C  1 in

 

 

2000,00  240,00  2240,00 0,12 2000,00  240,00
2240,00  268,80  2508,80 0,12 2240,00  268,80
2508,80  301,06  2809,86 0,12 2508,80  301,06
 809,86

M  2000,00 1 0,123  2000,00 1,123  2000,001,404928  2809,86
M  C  J
M  C  J  2089,86  2000,00  J  2809,86  2000,00  J  J  809,86

 

 

300,00  0,95  285,00

 

M  300,00 1 0,052  300,00 1,052  300,001,1025  330,75

 

 

300

 1,0526

 

M  285,00 1 0,072  285,00 1,072  285,001,1449  326,30
 284,25

2  4 16  22.

 

 

 

3, 7, 11, 15, … r  4

10, 8, 6, 4, … r  2

7, 7, 7, 7, … r  0

an  a1

 n 1 r

a20  a1  20 1 r  a20  a1 19 r  a20  5 19 4  a20  5  76  81

 

 

a15  a3 
––
153 12

Coeficiente de r.
12  r

a  c
b  2

a, b, c
c  b  r  c  a  r  r  a  2r.

b  a  r

 

 

a  c
b  2

⏞b
 a  r 

c
a  a  2r

2

 a  r 

2a  2r 2

 a  r  a  r

 3, x, 7

 3  7
x  2

4
 2  2

 

a2  a 

 a  a

 a  r   a

 r   a  a

 a  a  a  a

n 1
Soma dos termos equidistantes dos extremos.

1 n
Soma dos extremos.

1
a2

n 1 n
an1

1 n 1 n

 

a  a  n

a1

é o primeiro termo;

1 n
n 2


an

é o enésimo termo e

n indica

o número de termos da

PA.

 

 

 

a1  1 x,

 

 

 

a2  6x,

 

 

 

a3  2x  4,

 

⏞a1

a3 

1 x  2×2  4

2

⏞a2
 6x  1 x  2×2  4  12x  2×2 11x  5  0

  112  4  2  5  121 40  81

 

x  11  9  20  5

 11 81
x  2  2

 1
 
x2 

4
11  9 
4

4
2 1
4  2

 5 e

1 são as
2

1

raízes da

equação.

a1 1 x 1 0,5 1,5
r  a2  a1  3 1,5 1,5
S100

a2  6x  6  0,5  3

a100  a1  99  r  a100  1,5  99 1,5  a100  150

S100 

a1  a100 n

2

 S100 

1,5 150100 2

 S100  7575

 

 

 

2, 6, 18, 54, …

q  3

 8,

 4,

 2,

1, … q 

 

8,

4, 2, 1, … q 

 3,

 9,

 27,

 81, …

q  3
q  1

7, 7, 7, 7, …

q  1

q  0

 2, 6,

18, 54, …

q  3

q  0

9, 0, 0, 0, …

q  0

 

 

a  a  qn1

a  a

 q71 128  a

 26 128  a

 64  a

128
  a  2

7 1 1

1 1 64 1

 

a15  a3  q12

a, b, c

 

c  b  q  c  a  q q  a  q2

b  a  c
a, b, c

b  a  q

 

 ⏞b 

 ⏞c 

b2  a  c   a  q   a   a  q2   a2  q2  a2  q2
   
   

 

a3  15

5
a5   3

 

a 2  a  a  a

2  15   5   a 2  25  a    a

 5

4 3 5 4

  4 4 4
 

a4

q  a4
a3

  5  1
15
1

 

 an 

a2  a 

 a  a

 a  q    a  a

 a  a  a  a

n 1

1n

1 

 q  1 n

1 n 1 n

 

Produto dos termos
equidistantes dos
extremos.

Produto dos
extremos.

a2 ⏟
an1

Pn 

2,

4, 8, 16

P4 

 P4 

 P4

 322  P

 1024

P4  a1  a2  a3  a4  P4  2  4 816  P4  1024

 

Sn  a1

 1 qn
1 q

Sn  a1 

qn 1

q 1

Sn 

a1

1 q

, onde

1  q  1

 

 

1
S5  2 ,

q  0 e

a7  a2  3

 

qn 1

q 1 1

q 1

 5   

Sn  a1 

q 1

 S5  a1 

q 1

 2  a1 

q 1

 2  a1  q

1  q 1 I

a  a  3  a  q6  a  q  3  a  q  q5 1 3 (II)

7 2

 

2  a  q5 1 q 1 2

1 ⏟1 1
a7 a2

 

q 1

 5    

 q2  q  6  q2  q  6  0

a1  q  q 1 3 q 3

q2  q  6  0

  12  4 1 6  1 24  25

 1 5 6

 1 25
q  2 1

q1 
 

2
1 5

 2  3
 4

 3 e  2 são as

raízes da equação.

q2 

2  2

 2

q  0 q  2

a  q  q5 1 3  a

  2  25 1 3  a

1
 66  3  a1  22

1  qn

1 1   23

1 1   8

1 1  8

Sn  a1  1  q

 S3 

22 

1   2  S3  22 

1  2

 S3  22  3 

 S3 

1 9
22  3

 S3 

1 3
22  3  S3  22

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B  x, y/ x  A e y  B

A  1, 2
A B

B  1,

 2,

 3

A B  1,

1,1,

 2,1,

 3,2,

1,2,

 2,2,

 3

 

R
A B

R  x, y A B / y  x 1,

1, 2,

 2

 

f A B
x A
y B
f : A  B

f CD f 

A  0, 1, 4

B  1, 0, 1,

2, 5

B
S  x, y A B / y  2x

R  x, y A B / y  x 1
T  x, y A B / y2  x


R  x, y A B / y  x 1 0, 1, 1, 2, 4, 5
S  x, y A B / y  2x 0, 0, 1, 2

T  x, y A B / y2  x 0, 0, 1,

1, 1, 1, 4,

2

 

 

 

 

f x  7
2x

D  ℝ∗  x ℝ/ x  0

D  x  ℝ / x  2

 

R  x, y A B / y  x 1
 0, 1, 1, 2, 4, 5 L, M , N

 


D  x  ℝ / x  0
x

f x  60,

para 0  x  50

60 1,5  x  50, para

x  50

 

 

Im f   y  ℝ / y   4

 

 

f x  f  x

x  D f 

f 1  12  1  12  f 1

f  x   x2  x2  f x,x ℝ

 

 

f  x   f x

 

 

 

x  D f 

g x   x3  13  x3  x3  gx

f

 f x1  f x2 
 f x1  f x2 
 f x1  f x2 

ℝ.

 

f x  k, k 

 

x1  x2  f x1   f x2  f x1   f x2  x1  x2

 

y  B

f : A  B
x  A
Im f   CD f 

f x  y

 

 

 

g : B  A

 

g
f a  b

 

a  A

f : A  B

gb  a

f

b  B

 

x, y f x  y, x f 1x

f x

f 1x

 

 

 

g(x)  x
2

f (x)  2x

f 1
y  x

CD f   Dg

f : A  B

g : B  C
h : A  C

g f hx  g f x

f ∘ f 1x  f 1 ∘ f x  id x  x

hx  g ∘ f x

: ℝ ℝ

f x  ax  b a b

 

a  0

a  0

 

f x  0  ax  b  0  x   b
a

 

f x  0

f x  3x  7
 3x  7  0  3x  7  x 

 

a  0 a  0

 

b  0

 

b  0

 

b  0

f x  b ℝ.

a  0

 

 

 

f x

f  g  0;

f  g  0;

f  g  0 e

f  g  0

 

f  0;
g

f  0; g

f  0 e g

f  0 g

 

f x  4  3x  0  x 
gx  2x  7  0  x 

4  3x2x  7  0

 

4  3x2x  7  0
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 4 < 𝑥 < 7}

3 2

 

 

 

 

ax  bx  c  0 x 

  b2  4ac.

•   0
•   0
•   0

 

 

V   b ;   

 

 

 

 

 

f x  x2  2x
x

 2a

4a 

 

 

 

f x  y  0

x  2x  0

x  0

x  2

 

 

 

 

 

 

 

 

• f (x)  0

0  x  2

f : ℝ ℝ

6×2  5x 1  0

 

1
x  3 x 

6×2  5x 1  0 ,

 

• f (x)  0

1
x  3

1
x  2

• f (x)  0

1
 x  2

 

6×2  5x 1  0
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 1 < 𝑥 < 1}

3 2

 

 

3  3

 x, se
x   x, se
 4   4  4

x  0
x  0

 

f x  x

f x  x, se x  0

f : ℝ ℝ

 x, se

x  0

 

 

3x 1  2

3x 1  2  x  2
3x 1  2  
 3x 1  2  3x 1  2  x   1
 3
S   1 ; 1
 
 

 

k ℝ+

 x  k  k  x  k

 x  k  k  x  k

 x  k  x  k; x  k
 x  k  x  k; x  k

 

 

 

M 

t: M  10001 it

(𝑡)

 

f x  ax

a  0

a  1

f : ℝ ℝ∗

 

 

 

ax1  ax2  x

 x2 ,

 1 x
 3 

a  0

 81

a  1

 

 1 x

 1 x

 1 x

 1 4

   81  

  34  

   

 x  4.

 3 

 

 3 

 3 

 3 

S   4

 

 

 

1,1t  2.

M  2C M
C
M  2C  C1 it  2C  1 it  2
i  10%  i  0,1

 

a, b ℝ∗

a  1

c ℝ

log b  c  ac  b

• a
• b
• c

• loga 1  0;
• loga a  1;
• log an  n;
• loga b  loga c  b  c;
• alog b

a, b, c ℝ∗

a  1

n ℝ

• log bc  log b  log c;

• log

 b   log b  log c;

a   a a
 c 
• log bn  n  log b;

• log

b  logc b .

a log
c

f : ℝ∗ ℝ

f x  log x

 

 

 

log2 3  x  log2 3x  7

3  x  3x  7  4x  4  x  1
S  1

 

• a  1: x1  x2  loga x1  loga x2
• 0  a 1: x1  x2  loga x1  loga x2

log2 3  x  log2 3x  7

3  x  3x  7  4x  4  x  1

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > −1}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fri 

 

2
30  0,07  7%
9
30  0,30  30%
13
30  0,43  43%
5
30  0,17  17%
1
30  0,03  3%

13
30  0,43  43%
17
30  0,57  57%

 

 

18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Feminino Masculino
Gênero

  fi  360o  fr  360o

n i
fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


IP 

IP  400 PT  321,9 milhões  321.900.000

400  321.900.000
NV

NV 

321.900.000

400

 804.750

 

441 

PT

804.750

PT  441804.750  354.894.750 passageiros

 

M 

M 

x1 , x2 , x3 ,…, xn

x  x1  x2  x3 …  xn
n

 xi n
i1

x1  x2  x3 … xn

 

 xi
x  i1
n

 

 

 

 

30
 xi
x  i1 
n

3,5  2,0  5,0  7,0  7,0 … 5,0  3,0  4,0

30

133,0
 30

 4,43

 

 

 

133,0
x  30

fi

 4,43
xi xi

 

xi fi 
x  i1
n

 

xi fi 
x  i1 
n

133,0

30

 4,43

 

 

 

 

me  4,0

 

 

 

 

me 

4,0  5,0

2

 4,5

 

 

n  1
2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi
fi
xi fi

05  0

13  3

2 4  8

33  9

4 2  8

5 2 10

71  7

n 

xi fi  
n

45
20  2,25

n  20  10 n 1  20 1  10 1  11

2 2 2 2

xi
fi

 

 

 

 

 

 

n 







me 

2  2  2
2

mo  0

X  x  2,25
Z  Y  X

Y  me  2

Z  mo  0

 

 

• x 

• x 

 xi n

 xi n

25
 5  5
25
 5  5

md  5

md  5

 

 

 

 

x  x 2
s2  i1
n 1

xi

9
 xi 42
 i1 
9 9

 4,67

x x  x 2

x  x 2

i i
3,5  4,672  1,37 2,0  4,672  7,13 5,0  4,672  0,11 7,0  4,672  5,43 7,0  4,672  5,43 3,0  4,672  2,79 4,0  4,672  0,45 7,0  4,672  5,43
3,5  4,672  1,37

 

xi
2

 x 2

29,51

s  i1 
n 1

9 1

 3,69

 

x x 2 f
i
s2  i1
n  1

xi
x

xi fi

 

 

x  x 2 f

x  x 2 f
1,5  4,432  2 17,17
2,0  4,432  3  17,71
3,0  4,432  2  4,09
3,5  4,432  4  3,46
4,0  4,432  6 1,11

5,0  4,432  7  2,27
7,0  4,432  3  19,81
7,5  4,432  2 18,85
9,0  4,432 1  20,88

 

xi
2

 x 2 f

105,35

s  i1 
n 1

30 1

 3,63

s 

 

s 

 

 

s  3,69

s 

 1,92

 

s  3,63

s   1,90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n! n n 1n  2… 21

n IΝ.

6! 65 43 21  720

20! 201918171615141312111098765 43 21

n  6

k  4

n  k !

n! k!

6! 720

6  4!

6  4! 2! 21  2
4! 43 21  24
6! 4! 720  24  696
6! 4!

 

 

 

 

2  21  2
2  2  22  4
2 2 2  23  8
2 2 2 2  24 16
2 2 2 2 2  25  32
2  4  8 16  32  62

 

 

26 26 2610101010  263 104
letras algarismos
26 26 26 26101010  264 103
letras algarismos
264 103 26
263 104  10  2,6
2,6 1 1,6

 

 

 

P3  3 21  3! 6

 

Pn  n!

P7  7! 7  6  5  4  3  2 1  5040

 

 

3,2

6!
P6  3!2! 

6 5 4 3! 
3!2 1

6 5 4

2 1

 6 5 2  60

 

 

a,b,c,…
n

 n!
a!b!c!…

 

10 9 8  10 9 8 7  6 5 4 3 2 1  10! 

7  6 5 4 3 2 1 7!

10!
A10,3  10  3! 

10!
7!  10 9 8  720

!
An,k  n  k !

 

 

 n 
Cn,k    
k
 

 5 5!

5! 5 4 3!

5 4

C5,2   2  2!5  2!  2!3!  2 13!  2 1  5 2  10
 

 

10

10!

10!

10 9 8 7  6!

C10,4   4   4!10  4!  4!6! 

4 3 2 1 6!

 10 3 7  210

 

 

 

80
80% 

40 20 4
  
 

100 50 25 5

 

S  1,2,3,4,5,6

E  2,4,6

F  5,6

• E  F

 

 

E  F  2,4,5,6

• E  F

E  F  6

 

E  1,3,5

PE

PE  nE
n S

nE  3

PE  nE 3

1
0,50  50%

nS   6  2 

PF   nF  2

1
0,3333  33,33%

nS   6  3 

PS   nS   1
n S

𝑃(∅) = 𝑛(∅) = 0 = 0

𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆)

• 0  PE  1
• PE  1 PE
• PE  F   PE PF  PE  F 
• E  F 

PE  F   PE PF 

 

 

 

 

PE  1 PE  1

3
 6 

6  3

6

3 1
 6 

PE  F   PE PF  PE  F  3 2 1

3  2 1 4 2

 6  6  6  6  6 

 

 

PG  F   PG PF  2 2

2  2 4 2

 6  6  6  6 

 

F E

PF

E  PF  E
P E

 

E  2,4,6 F  5,6

F  E  6

PF

1
E  PF  E  6  1 6  6 

PE 3 3 6 18

6

PE

F   PE

PF

E  PF 

 

E1
E2

 

PE1  E2 

PE1

 E2

  PE1  PE2  

1 1 1
2  2 

 

 

1 1 2 3 3

nS   4

E  Rural, Residencial Urbano, Residencial Suburbano
nE  3

PE  nE 
n S

 

 

 

 

nE  F  95

PE

F   PE  F   nS   200  95

 0,95  95%

PF 

nF  nS 

100

200

100

 

 

1 3 5 6 7
20 242 22 25 15

PE  F   PE PF 

PE PF 

PE  nE
n S

nE

nE  30
PE  nE 

nS  10  30  60 100
30

nS 

100

PE  nE
n S

nF 

nF   20
PF   nF  
n S

20
120 

nS   20  20  80 120

PE  F   PE PF   3  1
10 6

3 1
 60 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

50  70  x  180
x  180  50  70
x  60

60  75  y  180 
 y 180  60  75  y  45

3x  45 180  3x 180  45  3x 135  x  45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S  n  2180∘  S  5  2180∘  S  3180∘  S  540∘

540∘ 108

 ∘
5

360  θ 108 3  θ  360  324  θ  36∘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3
5  x
2x 15
x  7,5

 

4x  4  4x 12
4 6
4x  4 6  4x 12 4
24x  24 16x  48
8x  72
72
x  8  9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9
sen a  15

 0,6

8
sen b  10

 0,8

cos a  12  0,8
15

6
cos b  10

 0,6

9
tg a  12

 0,75

tg b

8
 6 

1,33

 

r2  h2  l 22 42  h2  22
16  h2  4
h2  16  4 h 
h  2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

12 11

 6 
 5 
 

 21
 10 
 
 63 
 25 
 

 

 

 3π
4

 π 2  π
2 2

4  2π

8  3π

p  a  b  c
2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V  A  F  2

A  V  6

V  A  F  2
V V  6 F  2  6  F  2  F  2  6  F  8

 

 

𝑙
a a  𝑙  3
6

h  𝑙  3
2

2
A  𝑙  3
4

 

 

 𝑙  𝑙 𝑙

𝑙  h     𝑙2  h2   𝑙2 

 h2 

𝑙
2
 h2 

 2 
3 2
4  h 

4 4
𝑙 
2

3a  h h 

 3a 

 a 

1
A  2  b  h
1 1

A  2  b  h  A  2  𝑙  2  A  4

 

 

𝑙
a
𝑙 a  𝑙
2

A  𝑙2

𝑙
a a  𝑙 3
2

3 3  𝑙2
A  2

 

 

 

 

 

a 2
AB  a
AB

2
AL  4  a
AL
2
AT  6  a
AT
d  a  2
d D  a  3
D

3
V  a
V

 

D  d 2  a2
D2  a  2 2  a2  D2  2a2  a2
D  3a2  D  a 

 

 

 

 

a

c
b D 

D 2 2
a  b  c 2 AT  2  a  b  a  c  b  c V  a  b  c

V

 

 

 

a  Apótema(figuras planas) ou Aresta(sólido) h  Altura
ASM  Área da Seccão Meridiana g  Geratriz
r  Raio da Base 𝑙  Aresta da Base
D  Diagonal do Sólido d  Diagonal da Face
AB  Área da Base AL  Área Lateral
AT  Área Total V  Volume

 

V1  V2

 a  b  c  1,5625  a  b  h  1,5625  h  c  h 

c

1,5625

 h  0,64  c

 

 

 

 

 

h b

a
𝑙
𝑙

2 2 2
b  h  a
b

 

A  n  𝑙  b
L ⏟2
Área de cada face triangular.

n
AT  AB  AL 1
V  3  AB  h

 

1 1
A  2 basealtura  A  2  𝑙 b
A  n  𝑙  b .
L 2

𝑙

𝑙
𝑙

𝑙

𝑙

𝑙 h  𝑙  6
3 g  𝑙  3
2
2
A  𝑙  3
B 4 2
A  A  𝑙  3
B L 4
A  𝑙2  3
T 3
V  𝑙  2
12

 

 

 

2
c  3

  2 2 2

𝑙2  h2   𝑙  3   𝑙2  h2  𝑙  h2  𝑙2  𝑙  h2  2  𝑙  h  𝑙  6
 
 

 

 

   
1
V  3  AB  h

Área da Base

A⏞ltura

–6,7–8

1
V  3 

2202  140

1
 3 

2,2 1002  1,4 100

1
 3 

2,22 1,4 1002 100 

 6,78 106  2,26 106 m3 3

104

102

–Volum–e
2,26 106

1,88 104
Capacidade construídaem 60 dias.

 1,2 102  120

120 2 meses  240

meses  20

anos

 

 

 

V  6    r 2  h  6  3  0,22 1  0,72 m3

 

8,64 2,50  R$

21,60

12 0,72  8,64 m3

 

 

 

 

g g 
h
r 2r

2 2 2
g  h  r

A    r 2 B ASM  r  h 1
V  3  AB  h    r 2  h
3
  2   r
g AL    r  g AT  AB  AL
A    r 2    r  g
T
AT    r  r  g g  2 r

 

  2   r
g

2 360º

   g 2

 AL

AL    r  g

 

 

1
V  0,9  3  AB  h  0,9 

  r 2  h

3

 0,9 

3 42 10

3

 144

cm3

m  0,35144  50,4 g

 

r
A  4  r 2
4
V     r 3
3

 

V1    r

4
 h     r 3
3

 3  52

4 3
10  3  3  5

 1250

mm 3

 

V2    r

4
 h     r 3
3

 3  42

4 3
10  3  3  4

 736

mm 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BA DC FE HG QP 4
 OC  OE  OG  OP  5  0,8

OB OD OF OH OQ 3
 OC  OE  OG  OP  5  0,6

DC FE HG QP 4

 OD  OF  OH  OQ  3  1,3



 

b 2 c 1,96 b 2
sen β  a  2,80  0,71429 cos β  a  2,80  0,7 tg β  c  1,96  1,02041

 

 

 

b
sen β  c
a
cos β  c

b  c  sen β

a  c  cos β

 

Hipotenusa2  Cateto2  Cateto2
c2  a 2  b2
c2  c  cos β2  c  sen β2
c2  c2  cos β2  c2  sen β2
c2  c2  cos β2  sen β2 

cos β2

 sen β2

c2
c2 

cos β2

 sen β2 

cos β2  sen β2  1

 

sen β

b sen β  c

 b  tg β

tg β  sen β
cos β

cos β

cos β a a

c

 

 

2
sen 45∘  2

2
cos 45∘  2

tg 45∘  1

 

 

 

3
sen 60∘  2

1
cos 60∘  2

tg 60∘ 

 

 

1
sen 30∘  2

3
cos 30∘  2

3
tg 30∘  3

x sen x cos x tg x
30∘ 1

2 3
2 3
3
45∘ 2
2 2
2
1
60∘ 3
2 1

2 3

 

 

 

 

 

x sen 30∘ 

sen 30∘

 x  2x  12  x  6 12

 

α

x

cos

60∘  x
15

cos

60∘

1  x
2 15

 2x  15  x  7,5

 

x y
α

x

y

 

sen

60∘  y
30

cos

60∘  x
30

3  y
2 30

 2 y  30

 y  15

1  x
2 30

 2x  30  x  15

 

 

cateto oposto
tg α  cateto adjacente
h
tg 60∘  6
h

 6  h  6 m

 

tg 30∘ 

x

100

3  x
3 100

 3x  100 

 

h  1,70  x 

 x 

100
3

3
 x  57,7 m

 

 

 

a 
sen A

b 
sen B

c sen C

 2R

 

a2  b2  c2  2  b  c  cos Aˆ b2  a2  c2  2  a  c cos Bˆ c2  a2  b2  2  a  b cos Cˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1  y  1

 

 

 

 

 1  y  1

π

 

x

 

  
2

 h , 

 

 

 

1000

2000 3
3

2000

 

cos 30∘

cos 30º  d  d  2000 m cos 30º  d  2000 m  2000 m

 

3
2  d  1000 m

 

 

 

 

 

 

 

2 2 4

 3 

sen 60∘     x   4  x 

    x 

x 2 x

 3  3

 

 

 

tg 15∘ 

x

114

 0,26 

x

114

 x  114  0,26  x  29,64

 

A  x2  A  29,642  A  878,5296 m2

 

 

 

 

 

sen x  y  sen x cos y  sen y cos x
sen x  y  sen x cos y  sen y cos x
cos x  y  cos x cos y  sen x  sen y

cos x  y  cos x cos y  sen x  sen y
tg x  y  tg x  tg y
1  tg x  tg y
tg x  y  tg x  tg y
1  tg x  tg y

 

 

 

 

 

Cos 2θ

sen 30∘

 

 

 

 

cos 2θ

sen 60∘

cos 2θ  cos θ  θ  cos θ cosθ  sen θ  sen θ  cos2 θ  sen2 θ

cos 2θ

cos 2θ  cos2 θ  sen2 θ

Sen 2θ

sen 2θ

sen 2θ  sen θ  θ  sen θ cosθ  sen θ cosθ  2  sen θ cosθ

sen 2θ

sen 2θ  2 sen θ cosθ

Tg 2θ

tg 2θ

tg 2θ  tg θ  θ  tg θ  tg θ  2  tg θ
1 tg θ  tg θ 1 tg 2 θ

tg 2θ

tg 2θ  2  tg θ
1 tg 2 θ

 

 

 

 

j
i,

j aij 

f i, j

Amn ,

 

aij  2i  j

A  a11

a12 

A   2 1 1

2 1  2 


 21

a 21

A  1 0

2  2 1

2  2  2

 

A  2 3

A

 1 
 2 
B   0 3 3
 
 8 1 1
 

i  j
i  j  n 1

aij

 

 

C  7 3

 4
D   3
1

0 0
1 0
9 5

 

i  j

 6 0

 6

0 0

D   5
 0


8

aij  0

E   0 10
 0 0
 j

0

3

 

I  1 0

1
I  0
0

0 0
1 0

0 1

1
0

I5  0


0
aij  1, para i  j


 ij

 0, para i  j

 

013  0

0 0

0 0
0 0
042   0
 
 

0 0
0  0 0
0 0

0
0

0

 

 

 1
A   2
 4

 3 0 

8 

1
 A   2
 4

3 
0 

 8

B  At  b  a

A   3

2 1 
4 

3
B  At  2
1

 5 4 

0 

 

C  A  B  cij  aij  bij
A23

B23

A   2 0
 5

1

B  1 3 2 
  5 

 2 0

1 1 3

2   2  1

0  3

1  2

A  B   3 5

7    2

 5 1     3  2

5   5

7 1  

     

  3 3
 0

1   C

23

C  A  B  A   B  cij  aij   bij 
A14 B14

A  1 1
 2
––A ––

4 7

B  3  2
––A ––

0 8

 1 

––B ––  1

 ––B ––

1 2 4 7  3  2

0 8  1
 2

4 7   3 2 0

 8 

––––––AB– –––––

–––C14–––

 1   3 1  2 4  0 7   8   2 5 4 1

 2
B  A
––A ––

 

2 

–––A –––

––B ––  1  ––B ––  1 

3  2

0 8  1
 2

4 7  3  2

0 8  1  2

 4  7 

––––––––BA– ––––––– –––D14–––

 3  1  2   1  0   4 8   7  2  5

 4 1

 
  

  2 

A  B  B A

B  A  D  C  A  B

A
αA B  bij

m  n
m  n

α
bij 

 

––A33––

––B33––

⏞α  1

5 1  2 1

2  5

2 1  2

10 2 

2   3

1 0  

2  3

2  1

2  0   6

1 0 

 2
 6 4

 
 2   6

2
2  4


2  8


12


8 16

⏞α –B12–

1 A12  1

1   1 

  1
3

3   3 1

 3  3   3 1

  

 

 

 

A
mn

 B  p

C
m p

a11

a12 

b b b 

A32


21

a 
22 

B23

11 12 13
b b b 

a31

a32 

 21 22 23 

–A32–

a a

 ––B23––

11
A  B  a

12
a  

b11

b12

b13  

 21
a31

22 
a32 


 21

b22

b23 

a11  b11  a12  b21  a11  b12  a12  b22  a11  b13  a12  b23 
 a 21  b11  a 22  b21  a 21  b12  a 22  b22  a 21  b13  a 22  b23   C33
 
a31  b11  a32  b21  a31  b12  a32  b22  a31  b13  a32  b23 
AB  BA

AB  0

A  0

B  0

 

A  2

1

B  2

1 0
1 

AB BA

A B

 2

1  2 1 0 

22

23 

  
  

 2  2  1 0

2  1 11

2  0  13  4  3  3

 0  2  3 0

0  1 31

0  0  3 3   3 

 

 1 

arroz

arroz

carne

salada

   2 1

1  prato P1

C   3 carne P  

 prato P

 2

salada

 1 2 1  2

   2 0  prato P3

P3
 7 
 9 

 4 
 4 

 9 
11

 2 
 6 

 2 
 2 

         

 8 

 4 

 4 

 8 

 4 

         

 2 1 1  1  2 113 1 2   7
PC   1 2 1 3   11 2 3 1 2    9
       

 2 2

0  2

 2 1 2  3  0  2

 8

       

 

 

 

det A11  a11
C   8

 

det

a11

C  c11  8

 

A  a11

a12 


 21

a 22 

 

det A  a11 a22

 

2 3

a12

a21

B  2

a11
a 21
3

a12
a 22

 a11

 a 22

 a12

 a 21

4 5  2 5  5 4  10 12  2

det B  2

 

A
a11

a12

a13 

A  a

a 22

a 
23 

a31

a32

a33 

 

−( 13 ∙ 22 ∙ 31 ) −( 11 ∙ 23 ∙ 32 )
−( 12 ∙ 21 ∙ 33 )
produtos da diagonal principal

det

A  –––––– –––––– ––––

  a13  a22  a31  a11  a23  a32   a12  a21  a33  produtos da diagonal secundária

2 1
B  1 2

1
2 

 

 

 

produtos da diagonal principal produtos da diagonal secundária
              

––

 16  6  1 6   4  4  28  9  19
det B 19

 

 

1 3
0 0  1 0  3 0  0

0 1
0 1
0 5

2
3  0 1 2  5  3 0   4 0  1 0 1 4 1 3 0 2  0  5 0
 4

 

 2  3  2  3  6  6  0

7 5 6

 2  51 3 6  2 1 7  3 2  51 3 6  2 1 7  3  0

 

 

1
 11 2  2  11  0

 

A  2

1

B  10

1

2
det A  4
10

1  2  5  1 4  10  4  14
5
1


 det B  5  det A
 70  5 14

det B  20

 10  5  1 20  50  20  70
5 

 

 

 

 

 

n 

 

 4
B   6
 2

2
A  3
1
0 18
2  8 
 8 12

0 9
1 4
4 6

  2

det   A

  n det A

 det B3

  23 det A

 det B3

 8 det A3

det A  21 6  0 41 93 4  1 19  4 4 2  63 0  73
det B   4 2  12 0   8  2 18  6 8
  2 2  18  8  8  4 12  6 0
 96  0  864  72  256  0  584
det B3  8det A3  584  873 584  584

A  1 5

At  1 3

 

1 5
3 1  115  14  det A  14

1 3
5 1  115  14 
det At  14

2
A  1
4

3 1
3 3

7 5
A

4
B  1
2

7 5
3 3

3 1

det A  30  36  7  12  42 15  73  69  4   det B  det A

det B  12  42 15  30  36  7  69  73  4

 4  4

1 0
3 
2 
4

1 8 4
0 2 3 
1
0 0  2

det AB  det Adet B

 

AB   0

11
11

A  3 4

B   8 1

det A  3 5 1 4  15  4  11  det AB  det Adet B

det B   8 2  6 1  16  6  22 

 242  11  22

det AB  0 11 22 11  242 

 242  242

 

 

A  3 1

  2

 ⏞
 ⏞22

⏞ 
⏞52 

7 11

B  3  4 1 10  2 5 

 2

5   

det A  3  5  2 1  15  2  13

  det A  det B

det B  7  5  2 11  35  22  13

 

 

 

 

aij  1

 

 

 

 

 

 

 

 



M4  


i

 

 

 

1
9 

0 
 4

j
aij  1

aij  1

3 − (2 ∙ 1) 6 − (0 ∙ 1) 9 − ((−1) ∙ 1)
= [ 1 − (2 ∙ 4) 2 − (0 ∙ 4) 0 − ((−1) ∙ 4)

1 6 10
] = [−7 2 4 ]

2 − (2 ∙ (−2)) 3 − (0 ∙ (−2)) −4 − ((−1) ∙ (−2))

6 3 −6

 1
M   7
 6

6 10 
2 4 

3  6

det M3  12 144   210 120 12  252  462

São iguais (regra de Chió).
det M4  det M3  462

1 6 10

2 − (6 ∙ (−7)) 4 − (10 ∙ (−7))

44 74

[−7
6

2 4 ] = [
3 −6

3 − (6 ∙ 6) −6 − (10 ∙ 6)

] = [

]
−33 −66

 

det M2 

44
 33

74
 66

 44   66 74   33  2904  2442  462

 

 

Aij  1ij Dij

• Aij
• Dij A

1 2
A  3 7
5 1

4
1

3

A11

 111 D

 

1 2
A  3 7
5 1

4
1

3

7
det D  1

1
3  7  3 11  20  D11

A11

 12  20  20

 

 

det A1 

A  2 3

2
det A  2

3
5  2  5  2  3  4

A11
A12

 111  D
 112 D

 12  5  5
 13  2  2

A  121 D  13 3  3 A  122 D  14  2  2

 5
 3

 2

 5
 2

 5  3 

 3

A  4 4   A1
 2 2 
 
 

 5 3 

2 5

 2 

 3  2 

2 3 

  

 4  3 4 

2  4   3 4 

1 0

A A1  

   4

4   

   

  

  I

2 5  2 2 

5 2  3  2 
  5   2    5 
  

0 1

 4 4 

 4    

4 

det A  4
5

det A1  4

3
 4 5 2

 2  

3  10 6 4 1

2 2 

  

 

    

 4 4

4 4 

4  

4  16 16 16 4

det A1  1 1

det A  4 

 

 

 2 2 

 1 

 2 

 4

 1 
 4 

1
1
 
1
 
 

   
   

 1 

 2 

 1 

 4 

   
   

 1 

 2 

 1 

 4 

   
   

 1 
 2 

 1 
 4 

 

 

 1 
 4 
 
 
 1 
 4 
 
 
 1 
 4 
 
 
 1 
 4 

 

 

x  y  80

1.ª

equação


20x

10 y  100

2.ª

equação

a1x1  a2 x2  a3x3 … anxn  b

 

a11x1  a12x2  a13x3 …  a1n xn  b1
a21x1  a22x2  a23x3 …  a2n xn  b2 S  a31x1  a32x2  a33x3 …  a3n xn  b3


am1x1  am2 x2  am3 x3 …  amn xn  bm

x  y  80

1.ª

equação


20x

10 y  100

2.ª

equação

 x  y  80

3x  90  x  30
x  y  80  30  y  80  y  50

 ⏞x ⏞ 
30; 50 
 
 

 

x  y  80 y  80  x

1.ª

equação


20x

10 y  100

y  80  x

2.ª

equação

20x 10y 100  20x 1080  x 100  20x  800 10x 100  x  30

y

x  y  80  30  y  80  y  50

x  30

 

 

 x  2 y  z  5

 2r  s  t  3u  8

 0x  y  2z  8
a

 0r   s  3t  u  3
 0r  0s  5t  7u  2

 0x  0y 

z  2


 0  0

 0 

 r s t

u  1

 

 

x  y  80

1.ª

equação


20x

10 y  100

2.ª

equação

 20x  20 y  1600

1.ª

equação equivalente

  20x 10 y  100

2.ª

equação


0x  30 y  1500  30 y  1500  y  50

y  50

1.ª

equação


20x

10 y  100

2.ª

equação


20x 10 y  100

 y  50

x

20x 1050 100  20x  500 100  x  30

y  50 20x 10y 100

 

a11x1  a12x2  a13x3 …  a1n xn  b1
a21x1  a22x2  a23x3 …  a2n xn  b2 S  a31x1  a32x2  a33x3 …  a3n xn  b3


am1x1  am2 x2  am3 x3 …  amn xn  bm

 a11

 21
M.I.  a31

 …
am1

a12 a22 a32

am2

a13 …
a23 …
a33 …
… …
am3 …

a1n 
 2n  a3n 

… 
mn 

 a11

 21
M.C. a31

…
am1

a12 a22 a32

am2

a13 a23 a33

am3

… a1n
… a2n
… a3n
… …
… amn

b1 

2 
b3 


m 

 

x y
D   1 1   det D  110 20 1  10  20  30
20 10


Dx 

y
 det Dx

 80  10100 1  800 100  900

x
D   1

 det D
y

 1100  20 80  100 1600  1500

x  Dx  x   900  30

D 1500
y   x   50

D  30 D  30

 

a1x  b1y  1
a2 x  b2 y  2

 a1
a2

 b1 b2

x  y  5
 x  2 y  6 

a⏞1
1

⏟1
a2

b⏞1
1
 2

b2

 

a x  b y   a b 
 

a⏞1 b⏞1 ⏞1

  1  1  1

5x  2 y  3

5 2  3

a2 x  b2 y  2

a2 b2 2


10x  4 y  6


1⏟0 4⏟
a2 b2

  6
 2

 

a1x  b1y  1
a2 x  b2 y  2

 a1
a2

 b1 b2

 1
2

5x  2 y  3 
10x  4 y  4

a⏞1
5

1⏟0
a2

b⏞1
2

4⏟
b2

⏞1
  3
4
 2

5x  3

 

1  1 1  1

0  0

0  5

 

2x  4 y  8z  0
4x  6 y  2z  0
2x  28z  0

 

 

  2x  4 y  8z  0

0x  y  9z  0

  2x  4 y  8z  0

4 y  36z  0

2x  4 y  8z  0
 y  9z  0
4 y  36z  0

  y  9z  0

2x  4 y  8z  0

 y  9z  0  
0  0 

y  9z  0
0  0

z  
y  9z  0  y  9  0  y  9

3x  15y  6z  3
2x  10 y  4z  10

 6x  30 y 12z  6
 6x  30 y  12z  30 

3x  15y  6z  3

 
0  24

0  24

 

 

 

px  a

 xn  a

 xn1  a

 xn2 … a

 x2  a

 x1  a

• an ,

an1 ,
a0

an2 , …,

a2 ,

a1, a0

p x  x3  2×2  2x 1
p 1 13  2  12  2  11 p 1  1 2  2 1 p 1  0
px  x2  k  x  6
k
p 12  0

p 12  122  k 12  6  0  144 12k  6  0  k  25
2

p x  0

 

p x  x3  6×2 11x  6

p 1  13  6  12 11 1 6 1 6 11 6  12 12  0

p 1

 

p 2  0

p 1  0

p 1  6

p x  x3  6×2 11x  6 p x  2×3  6×2  mx  n
P 2  0

P 1  6,

P 2  2  23  6  22  m  2 n  0 
 16  24  2m  n  0  2m  n  8
P 1  2  13  6  12  m  1 n  6 
 2  6  m  n  6  m  n  2
 2m  n  8
 m  n  2
3m  6  m  2
2m  n  8  2  2 n  8  4  n  8  n  4

 

 

qx  2×2  5x  5

rx  x3  3×2  2x 1

px  3×3  x2  5x  2

––px–– –qx–
px qx  3×3  x2  5x  2  2×2  5x  5 
 3×3  1 2x2   5  5x  2  5  3×3  3×2  3
––px –– –qx – –––rx –––
px qx rx  3×3  x2  5x  2  2×2  5x  5   x3  3×2  2x 1 
 3 1x3  1 2  3x2   5  5  2x  2  5 1  2×3  2x  4
––px––  –qx– 
px qx  3×3  x2  5x  2   2×2  5x  5 
 
 
 3×3  1 2x2   5  5x  2  5  3×3  x2 10x  7
–qx–  ––px–– 
qx px  2×2  5x  5  3×3  x2  5x  2 
 
 
 3×3  2 1x2  5  5x  5  2  3×3  x2 10x  7

 –qx –   –––rx ––– 
qx rx   2×2  5x  5   x3  3×2  2x 1 
   
   
 2×5  6×4  4×3  2×2  5×4 15×3 10×2  5x  5×3 15×2 10x  5 
 2×5 11×4  6×3  23×2 15x  5
––px–– 
5  px  5  3x  x  5x  2  15x  5x  25x 10


1 1



–––rx––– 

3 3×2 1

   rx      x3  3×2  2x 1  x 

1 

   
   2  

 2 2 2

sx

px  sxqx rx

px

sx qx

sx  0 rx

px

 

• px
• sx
• qx
• rx

px rx

sx
qx

 

 

sx  2×2  3x 1

6×3

px  6×3 13×2  x  3

6×3
2×2  3x 2×2

6×3 13×2  x  3
3x
3x 3x  2×2  3x 1 6×3  9×2  3x px  6×3 13×2  x  3

sx  2×2  3x 1

6×3 13×2  x  3
 6×3  9×2  3x 3x

 4×2  4x  3

 

 4×2

 4×2
2×2  2 2×2

6×3 13×2  x  3
 6×3  9×2  3x

 4×2  4x  3
 2
 2  2×2  3x 1 4×2  6x  2
 4×2  4x  3

3x  2

sx  2×2  3x 1

6×3 13×2  x  3
 6×3  9×2  3x

 4×2  4x  3
4×2  6x  2

 2x 1
 2x 1

sx  2×2  3x 1 rx  2x 1

px  sxqx rx

3x  2

 

px  6×3 13×2  x  3 qx  3x  2

px  sx qx rx
6×3 13×2  x  3  2×2  3x 1 3x  2  2x  1
6×3 13×2  x  3  6×3 13×2  3x  2  2x  1
6×3 13×2  x  3  6×3 13×2  x  3

px  4×2  2x  3

sx  2x 1
4×2  2x  3
 4×2  2x

3

2x 1 2x

qx  2x

px  4×2  2x  3
rx  3
Grq

sx  2x 1

Grp

Grs

Grq  Grp Grs

 

x
px px

 

 

 

 

 

 

qx  2×2  2x  4
px  sxqx rx

rx  0

px  sx qx rx
2×3  8×2  2x  12  x  3 2×2  2x  4 0
2×3  8×2  2x  12  2×3  2×2  4x  6×2  6x  12
2×3  8×2  2x  12  2×3  8×2  2x  12

x  a

 

px
x  a

px  3 x3  5 x 6

3 5
x  x  2 x

3 3 3

 3  3

sx  3 x

1, 0, 5
3
 2
1

3 3  3  x 

1

3 1 0 5

3  2
1 1  0 1
 5 16
  2
3 9 3 27
1 16 38

3

9

27

qx  x2  1 x  16   38  rx   38

rx

3 9 27
3

px  sxqx rx
3×3  5x  6  3x 1 x2  1 x  16    38 

   
   
3×3  5x  6  3×3  x2  16 x  x2  1 x  16  38

3
3×3  5x  6  3×3  15 x  54

3 9 9

3 9
3×3  5x  6  3×3  5x  6

 

x  a
px  x2  3x 10

x  3

p3

p3  32  3 3 10  p3  9  9 10  p3  8

 

px  0  a

 xn  a

 xn1  a

 xn2 … a

 x2  a

 x1  a  0

• an  0

• an ,

an1 ,

an2 , …,

a2 ,

a1, a0

 

 

px  0

n  1

 

3 2 1

a⏞2

a⏞2  ⏞1   ⏞2 

1  x2  5x  6  0

1  x   2  x   3  0  x  2 x  3  0

   
––––––
2 fatores, pois n2
1  2 2  3

px  x2 10x  25  x  52  x  5 x  5

px

px  x  rm .qx

qx  0

px  x4  4×3  2×2 12x  9  x  32  x 12  x  3 x  3x 1x 1

 

ax  bx  c  0 a  0
2

x1 x2 • x  x   b
1 2
a
• x  x  c
1 2
a

ax  bx  cx  d  0 a  0
3 2

x1 x2 x3 • x  x  x   b
1 2 3
a
• x  x  x   d
1 2 3
a
• x  x  x  x  x  x  c
1 2 1 3 2 3
a
n
a  xn … a  x2  a  x1  a  0
n 2 1 0
an  0
x1 x2 xn n • x  x …  x   an1
1 2 n a
n
• x  x … x  1n  a0
1 2 n a
n

• x  x  x  x …  x  x  an2 1 2 1 3 n1 n a
n

2×2  x  3  0

2
x1  x2  x3   3

x1  x2  x3  

 3  1 3

1
x1  x2  x1  x3  x2  x3   3

x  4x  x  4  0
4

 

x1  x2

 x3

  b  x a

 x2

4
 x3   1 

x1  x2

 x3

 4

 

 

x  3×2  4x  2  0

1  3i

1  3i

1  i
2  i
1 i

1  i
2  i
1 i

1

3i

1

3i

 

x 1 px  x3  3×2  4x  2

sx

–qx–

r⏞x 

px  x 1 x2  2x  2 0
x  2x  2  0

   22  4 1 2  4  8  4

 

x  2  2i  1  i

x  2 1

 1 2
  2  2i

1  i

e 1  i

são as

raízes.

x2 

2  1  i
x3  3×2

 4x  2  0

1 1  i

1  i

 

x3  m  2x2  1 mx  2  0
px  x3  m  2x2  1 mx  2
p1  0
p1  13  m  2 12  1  m1 2  0
1  m  2 1  m  2  0  2m  2  0  m  1

x  9x  30x  44x  24  0

x1  x2

 x3

 x4

  an1
an

x1  x2  x3  2

an1  9

an  1

2  2  2  x4

   9  6  x
1 4

 9  x4

 9  6  3

S  2 tripla; 3

 

px  qxsx rx

sx

rx sx  x  c

rx  3

–––qx –––

sx

r⏞x 

px  3×3  2×2  x 1 x  c 3
p1  2
p1  3 13  2 12  1 1 1  c 3
2  1 1  c 3  2  3  1  c  1 1  c  c  2

 

c  2

–––qx –––

px
sx

r⏞x 

px  3×3  2×2  x 1 x  2 3
px  3×4  6×3  2×3  4×2  x2  2x  x  2  3 px  3×4  8×3  5×2  3x  5
c  2
px  3×4  8×3  5×2  3x  5

 

 

 

𝑅(𝑧) = 𝑎 ∈ ℝ
𝖿𝑚(𝑧) = 𝑏 ∈ ℝ

 

𝑏 = 0 ⇒ 𝑧 = 𝑎
𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 ⇒ 𝑧 = 𝑏

 

 

 

 

1 =
2 = −1
3 = 2 ∙ = (−1) ∙ = −
4 = (2)2 = (−1)2 = 1

 

0 = 4 = 1

} ⇒ 𝑛 = 𝑟

𝑧 = 2000 + 2001 + 2002 + 2003 = 0 + 1 + 2 + 3 = 1 + − 1 − = 0

= 𝑎 + 𝑏 w = 𝑐 + 𝑑

𝑧 + w = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 + w = (2 + 3) + (1 − 2) = (2 + 1) + (3 − 2) = 3 +

𝑧, w, 𝑝 ∈ ℂ (𝑧 + w) + 𝑝 = 𝑧 +
(w + 𝑝)

𝑧, w ∈ ℂ
(𝑧 + w) = (w + 𝑧)
𝑧 ∈ ℂ 0 = 0 + 0

𝑧 ∈ ℂ −𝑧 ∈ ℂ 𝑧 + (−𝑧) = 0

 

𝑧 − w = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 − w = (2 + 3) − (1 − 2) = (2 − 1) + (3 − (−2)) = 1 +
5

𝑧w = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧w = (2 + 3)(1 − 2) = (2.1 − 3(−2)) + (2(−2) + 3.1) = 8 −

𝑧, w, 𝑝 ∈ ℂ (𝑧w)𝑝 = 𝑧(w𝑝)
𝑧, w ∈ ℂ (𝑧w) = (w𝑧)
𝑧 ∈ ℂ 1 = 1 + 0

𝑧. 1 = 𝑧 = 1. 𝑧

𝑧 ∈ ℂ 𝑧−1 ∈ ℂ 𝑧𝑧−1 = 1

𝑧w−1 = 𝑧
w

𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∈ ℂ
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏 ∈ ℂ

 

𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑅(𝑧) = 2𝑎

𝑧𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 + 𝑏2

= 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 = 2 + 3 = (2 + 3)(1 + 2) = 2 + 4 + 3 − 6 = −4 + 7

w 1 − 2

(1 − 2)(1 + 2)

1 + 4 5

 

w = 1 + 2

 

 

 

 

 

𝑐o𝑠 = 𝑎
|𝑧|

𝑠e𝑛 = 𝑏
|𝑧|

– 𝑎 = |𝑧|𝑐o𝑠
– 𝑏 = |𝑧|𝑠e𝑛

 

 

𝑧 = 𝑎 + 𝑏

𝑧 = 𝑎 + 𝑏 = |𝑧| cos() + |𝑧|𝑠e𝑛() = |𝑧|(𝑐o𝑠 + 𝑠e𝑛)
𝑐o𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐o𝑠(𝛼)𝑐o𝑠(𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼)𝑠e𝑛(𝛽)
𝑠e𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠e𝑛(𝛼)𝑐o𝑠(𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛽)𝑐o𝑠(𝛼)
𝑧1 = 𝜌1(cos 𝛼 + 𝑠e𝑛 𝛼) 𝑧2 = 𝜌2(𝑐o𝑠⁡𝛽 + 𝑠e𝑛 𝛽)

𝑧̅1 = 𝜌1(cos(−𝛼) + 𝑠e𝑛(−𝛼)) = 𝜌1(cos(𝛼) − 𝑠e𝑛(𝛼))

𝑧1𝑧2 = 𝜌1𝜌2[𝑐o𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 + 𝛽)]

𝑧1 = 𝑧1̅𝑧̅2̅ = 𝜌1𝜌2 (cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 − 𝛽))

𝑧2

𝑧2 ̅𝑧̅2̅

(𝜌2 )2
= 𝜌1 (cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 − 𝛽))
𝜌2

 

𝑧2 = 3(cos 60o + 𝑠e𝑛 60o)

𝑧1 = 2(cos 30o + 𝑠e𝑛30o)

𝑧1𝑧2 = 6(cos(30o + 60o) + 𝑠e𝑛(30o + 60o)) = 6(cos(90o) + 𝑠e𝑛(90o))

𝑧1 = 2 (cos(30o − 60o) + 𝑠e𝑛(30o − 60o) = 2 𝑐o𝑠(30o − 𝑠e𝑛(30o)))

𝑧2 3 3

 

= 𝜌(cos + 𝑠e𝑛 ) 𝑛 ∈ ℤ

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 [𝑐o𝑠(𝑛) + 𝑠e𝑛(𝑛)] 𝑛

 

 

𝑧4 = 24 (cos 4𝜋 + 𝑠e𝑛 4𝜋) = 16 (cos 2𝜋 + 𝑠e𝑛 2𝜋)

6 6 3 3

𝑧−2 = 2−2 (cos −2𝜋 + 𝑠e𝑛 −2𝜋 1 𝜋 𝜋

6 6 ) = 4 (cos − 3 + 𝑠e𝑛 − 3) =
1 𝜋 𝜋
= 4 (cos 3 − 𝑠e𝑛 3)

 

 

𝜌0𝑛 (cos 𝑛0 + 𝑠e𝑛 𝑛0) = 𝜌(cos + 𝑠e𝑛).

𝜌0𝑛 = 𝜌 𝑛0 = ( ± 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ.

𝑧 ∈ ℂ

(𝑧0)𝑛 = 𝑧

𝑧𝑘 = 𝑛√𝜌 (cos (+2𝑘𝜋 ) + 𝑠e𝑛 (+2𝑘𝜋 )) 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1
𝑛 𝑛
= 0 (𝑧0)𝑛 = 𝑧 𝑧0 = 0.

𝑧𝑘 = (𝑐o𝑠 (2𝑘𝜋 ) + 𝑠e𝑛 (2𝑘𝜋 )) , 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1
𝑛 𝑛

𝑘 = 1

𝑧1 = 𝜔 = cos (2𝜋) + 𝑠e𝑛 (2𝜋)

𝑛 𝑛

𝑧 = 1.

𝑧2 = 𝜔2 = cos (4𝜋) + 𝑠e𝑛 (4𝜋)
5 5
𝑧3 = 𝜔3 = cos (6𝜋) + 𝑠e𝑛 (6𝜋) 𝑧4 = 𝜔4 = cos (8𝜋) + 𝑠e𝑛 (8𝜋)
5 5 5 5

 

𝑧𝑚/𝑛 = 𝑛√𝜌𝑚 (cos (𝑚 +2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (𝑚 +2𝑘𝜋)) , 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1
𝑛 𝑛

𝑧 𝑧2/3 = 1 +

1 + = √2 (cos (𝜋) + 𝑠e𝑛 (𝜋))
4 4

𝑧2/3 = 1 + = (√2)2/3 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝑘𝜋 )) =
8 8

= 3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝑘𝜋)), 𝑘 = 0,1,2
8 8

 𝑧0 =

3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋)) ;

8 8
 𝑧1 = 3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝜋)) = 3√2 (𝑐o𝑠 (5𝜋) +
8 8 8
𝑠e𝑛5𝜋8;

 𝑧2 =

3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+4𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+4𝜋)) = 3√2 (𝑐o𝑠 (7𝜋) + 𝑠e𝑛 (7𝜋)).

8 8 8 8

 

𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = 0
(1 + ) (1 − )
(2 + ) (2 − )
(1 − 3) (1 − )
(−1 + ) (−1 − )
(1 − 3) (1 + 3)

− − 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2).

Δ = −4

 

 

𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
=
= (𝑥 − 1) (𝑥 − (1 + )(𝑥 + (1 + ))) (1 + ) (1 − )

 

36 − 12 −12 − 36 12 − 36
12 + 36 −36 + 12

 

1 + a = 1 ⇒ a = 0 1 − 7 = d ⇒ d = −6 ⇒ − d = 3 d + b = 0 ⇒ b = 6
2
c + 1 = 3 ⇒ c = 2
a = 0, b = 6, c = 2 d = −6
(a + b)(c − d) = 6(2 + 6) = 12 − 36

 

 

{1 + 1 + 1 + 𝑥1 + 𝑥2 = 3
1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 𝑥1𝑥2 = 1

– {𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1𝑥2 = 1

𝑥1 = −𝑥2 (𝑥1)2 = −1

𝑥1 = −𝑥2
𝑥1 = ±

– {𝑥1 =
𝑥2 = −

{𝑥1 = −
𝑥2 =

 

 

 

 

 

 

= 𝑥𝑆 − 𝑥𝑄 = 𝑦𝑃 − 𝑦𝑄

( ) = √(𝑥 − 𝑥

)2 + (𝑦 − 𝑦 )2 = √(𝑥

− 𝑥

)2 + (𝑦 − 𝑦 )2

𝑆 𝑄

𝑃 𝑆

𝑃 𝑄

𝑃 𝑄

 

 

( ) = √(𝑥𝑃

− 𝑥𝑄

)2 + (𝑦

− 𝑦𝑄

)2 = √(0 − 6)2 + (0 − 0)2 = 6

( ) = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑅)2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑅)2 = √(0 − 3)2 + (0 − 5)2 = √9 + 25 =
= √34

= √(𝑥𝑄

− 𝑥𝑅

)2 + (𝑦

− 𝑦𝑅

)2 = √(6 − 3)2 + (0 − 5)2 = √9 + 25 =

= √34

 

 

( ) = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑀)2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑀)2

( ) = √(𝑥𝑀

− 𝑥𝑄

)2 + (𝑦

− 𝑦𝑄)

(𝑥𝑃

− 𝑥𝑀

)2 + (𝑦𝑃

− 𝑦𝑀

)2 = (𝑥𝑀

− 𝑥𝑄

)2 + (𝑦

− 𝑦𝑄)

𝑥𝑀 = 𝑥𝑃 + 𝑥𝑄 𝑦𝑀 = 𝑦𝑃 + 𝑦𝑄

𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 +𝑥𝐶 𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 +𝑦𝐶

 

𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 +𝑥𝐶 = 2+𝑥+2 = 1 ⇔ 4 + 𝑥 = 3 ⇔ 𝑥 = −1
3 3
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 4 + 2 + 𝑦 = 2 ⇔ 6 + 𝑦 = 6 ⇔ 𝑦 = 0

𝐵 3

3
𝑥 = −1 𝑦 = 0.

𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
= | | , = |𝑥𝐵 𝑦𝐵 1|.
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1

 

𝑦 = 1

2 4 1
= = 4, D = |−1 3 1| = ±8.
𝑥 1 1
6 + 4𝑥 − 1 − 3𝑥 + 4 − 2 = 8 ⇔ 𝑥 = 1
6 + 4𝑥 − 1 − 3𝑥 + 4 − 2 = −8 ⇔ 𝑥 =
(1, 1) (−15, 1)

 

 

 

𝑟

𝑥 𝑦 1
𝑟: |𝑥𝐴 𝑦𝐴 1| = 0 ⇔ 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑎 = |𝑦𝐴 1| = (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) 𝑏 = − |𝑥𝐴 1| = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
𝑦𝐵 1 𝑥𝐵 1
𝑐 = │𝑥𝐴 𝑦𝐴 │ = (𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 )

𝑥𝐵 𝑦𝐵

𝐴 𝐵

𝐵 𝐴

𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

 

 

𝑚 =

 

• 𝑚 > 0 𝑟

• 𝑚 < 0 𝑟

 

 

𝑚 = 0 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = 0 ⇔ 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵
𝑟

𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑎 𝑏 𝑐 = 0

 

𝑟: 2𝑥 +

 

− 2
3

 

 

 

(𝑥, 𝑦) = (2, 5) (𝑥0, 𝑦0) = (1, 3)
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) ⇔ 5 − 3 = 𝑚(2 − 1) ⇔ 𝑚 = 2

 

(−1, 4) (3, 6)
𝑟 𝑟

𝑦 − 𝑦0

= 𝑚𝐴𝐵

(𝑥 − 𝑥0

) ⇔ 4 − 6 = 𝑚𝐴𝐵

1
(−1 − 3) ⇔ 𝑚𝐴𝐵 = 2

 

 

 

(𝑚)
(ℎ) 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 = 𝑠 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 ≠ 𝑠
𝑚𝑟 ≠ 𝑚𝑠

𝑚𝑠 = −

 

 

 

𝑥0 𝑦0 1
|𝑥𝐴 𝑦𝐴 1|
( , 𝑟) = 𝑥𝐵 𝑦𝐵 1 = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|

√(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2

√𝑎2 + 𝑏2

𝑟: 𝑦 = 𝑥 − 1
= |−1 ∙ 2 + 1 ∙ 5 + 1| = ±4

( , 𝑟) = | |
√𝑎 2 +𝑏2

= ±4
√(−1)2 +12

= ±4 = ±2 2 = 2,83
√2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

𝑐: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

𝑐: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥ℎ − 2𝑦𝑘 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0

𝑟 > 0

 

 

 

 

 

 

: 𝑥2
: 3𝑥 + 7𝑦 − 21 = 0 𝑠 𝑟 
3𝑥 + 7𝑦 − 2 = 0
3𝑥 + 7𝑦 − 16 = 0

3𝑥 − 7𝑦 − 2 = 0
7𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0
 3𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0
𝑥 𝑦

6 2
𝜆: (𝑥 − (2))

+ (𝑦 − (−2))
2

= 𝑟2

(6 , −2) ⇒ (3 , −1)
2 2

3 ∙ 3 + 7(−1) + 𝑘 = 0 ⇔ 𝑘 = −2

 

 

 

• (ℎ, 𝑘)
• (𝑥1, 𝑦1) (𝑥2, 𝑦2)
• (𝑥𝐴1 , 𝑦𝐴1 ) (𝑥𝐴2 , 𝑦𝐴2 )


2𝑎 = 2𝑑( (𝑥𝐵1 , 𝑦𝐵1 )
) = 2𝑑( ) (𝑥𝐵2 , 𝑦𝐵2 )
• 2𝑏 = 2𝑑( ) = 2𝑑( )
• 2𝑐 = 2𝑑( ) = 2𝑑(

0 ≤ 2𝑐 ≤ 2𝑎.

(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +

(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1

(𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)

 

𝑥2 𝑦2
𝑎2 + 𝑏2 = 1

 

 

 

𝑥

𝑥2 𝑦2
𝑎2 + 𝑏2 = 1

 

𝑦

𝑥2 𝑦2
𝑏2 + 𝑎2 = 1

(0,0)

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⇔ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 16 − 4 = 12 ⇔ 𝑏 = 2√3
+ (𝑦−2)2 = 1 ⇔ 𝑥 2 + (𝑦−2)2 = 1
16 12 16

 

|𝑑(𝑄, 𝐹_1 ) − 𝑑(𝑄, 𝐹_2 )| = 2𝑎

 

• 𝐶(ℎ , 𝑘)
• (𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)

• (𝑥𝐴1 , 𝑦𝐴1 )
(𝑥𝐵1 , 𝑦𝐵1 ) (𝑥𝐴2 , 𝑦𝐴2 )
(𝑥𝐵2 , 𝑦𝐵2 )
• 2𝑎 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
• 2𝑏 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
• 2𝑐 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
0 ≤ 2𝑎 ≤ 2𝑐.

(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 −

(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1

(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2 −

(𝑥 − ℎ)2
𝑏2 = 1

(𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)

 

 

𝑥

𝑥2 𝑦2
𝑎2 − 𝑏2 = 1

 

𝑦

𝑦2 𝑥2
𝑎2 − 𝑏2 = 1

𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0

𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0
– [(𝑥2 + 4𝑥 + 4) − 4] − [(𝑦2 − 6𝑦 + 9) − 9] − 6 = 0
– (𝑥 + 2)2 − (𝑦 − 3)2 =
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 2 ⇔ 𝑐 = √2

 

 

 

|𝑑(𝑃, 𝐹 ) = 𝑑(𝑃, 𝑑 )|

• (ℎ , 𝑘)
• (𝑥1 , 𝑦1)

• 𝑐 = 𝑑(
• 𝑝 = 2

(𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) o𝑢 (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)

𝑥 = ℎ −

= (ℎ + 𝑝 , 𝑘)
2

𝐹 = (ℎ , 𝑘 + 𝑝) 𝑦 = 𝑘 −
2

 

 

 

 

𝑥

 

𝑦2 = 2𝑝𝑥

𝑝 > 0

𝑝 < 0

𝑦

𝑥2 = 2𝑝𝑦

𝑝 > 0

 

𝑝 < 0

 

(𝑥 − 1)2 = 2𝑝(𝑦 − 2) ⇔ (𝑥 − 1)2 = 8(𝑦 − 2)
𝑥2 − 8𝑦 − 2𝑥 + 17 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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