LIVRO MATEMATICA -CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP = PDF DOWNLOAD
CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP
ANTONIO FRANCISCO MARQUES MARIA DA GRAÇA MELLO MAGNONI
Etos
MATEMÁTICA
NELSON ANTONIO PIROLA
OGzo
VOLUME 2
So PULO 2016
Realização
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Rua Quirino de Andrade, 215 – 10° andar São Paulo, CEP 01049-010 – SP
Tel (11) 5627-0264
Reitor
Julio Cezar Durigan
Vice-reitor
Eduardo Kokubun
Pró-reitora de Extensão Universitária
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-reitora de Pesquisa
Maria José Soares Mendes Giannini
Pró-reitor de Graduação
Laurence Duarte Colvara
Pró-reitora de Pós-Graduação
Lourdes Aparecida Martins dos Santos-Pinto
Pró-reitor de Administração
Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral
Maria Dalva Silva Pagotto
Produção planejada pelo Projeto “Inovação nos pro- cessos de gestão e pedagógico dos Cursos Pré-Vesti- bulares da Unesp”
Diagramação e capa
Edevaldo Donizeti dos Santos
Impressão e acabamento: Gráfica FCL/Araraquara
Revisão
Élide Feres
Maria Luzinete Euclides Rony Farto Pereira
Conselho Editorial da PROEX – Unesp
Profa. Dra. Maria Candida Soares Del Masso (FFC / Marília) Prof. Dr. Claudio César de Paiva (FCL / Araraquara)
Profa. Dra. Márcia Pereira da Silva (FCHS / Franca) Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC / Marília) Sra. Angela de Jesus Amaral (PROEX / Reitoria)
Sr. Oscar Kazuyuki Kogiso (ICT / São José dos Campos)
Coordenação geral
Profa. Dra. Mariângela Spotti Lopes Fujita
Editores
Prof. Dr. Antonio Francisco Marques Profa. Dra. Maria da Graça Mello Magnoni
Organizador
Nelson Antonio Pirola
Colaboradores
Emília de Mendonça Rosa Marques Evandro Tortora
Fernanda Pizzigatti Marques Jasinevicius Gabriela Pereira Sander
Gilmara Aparecida da Silva José Luciano Santinho Lima
Juliana Aparecida da Silva dos Santos Morais Márcio Rogério Ferreira
Patrícia Priscilla Ferraz da Costa Souza Richael Silva Caetano
Thais Regina Ueno Yamada
Marcio Rogerio Ferreira
Patricia Priscilla Ferraz da Costa Souza
Revisor de conteúdo
Profa Dra Mara Sueli Simao Moraes
PREFÁCIO
A ideia de construção dos conteúdos disciplinares dos 6 cadernos que com- põem a 2° Edição do conjunto do material didático a ser utilizado pelos Cursinhos Pré-Universitários1 surgiu desde o início da gestão, em 2013, durante proveitosas dis- cussões em reuniões com os professores e estudantes na condição, respectivamente, de coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasião, uma grande preocupação com relação à disponibilidade do material didático de um ano vigente para um próximo ano, con- siderando-se a provisão orçamentária. Além disso, havia um desejo dos envolvidos por conteúdos que mais se aproximassem do contexto social e educacional dos cursistas provenientes da escola pública e de famílias de baixa renda, para promover, de modo mais abrangente, a inclusão em um contexto de aquisição e de construção de conhe- cimentos necessários ao ingresso em cursos de graduação ou no mercado de trabalho, mediante participação em concursos.
O grande desafio da existência dos Cursinhos Pré-Universitários da UNESP sempre foi a oferta do material didático com os conteúdos disciplinares necessários, de um lado, para facilitar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala de aula e, de outro, para orientar a aprendizagem do cursista fora da sala de aula. Portanto, o material didático é o instrumento que orienta o processo de aquisição e construção do conhecimento dos cursistas dos Cursinhos Pré-Universitários, em um curto período de tempo, com finalidade definida de ingresso em concursos e, ainda, a fim de propiciar sua inclusão. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade de a UNESP construir material didático próprio, dadas as características únicas de distribuição regional multicampus e da evolução histórica de seus Cursinhos Pré-Universitários, atualmente Subprograma de extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, do programa de extensão “Divulgação, Orientação e Informação Profissional”.
Antes de sua concretização, essa discussão levou em consideração resultados de outras iniciativas da Pró-Reitoria de Extensão – PROEX – na tentativa de realizar
1 Atualmente, existem 27 Cursinhos Pré-Universitários UNESP e 4 Cursinhos em convênios com Prefeituras, em funcionamento, localizados em 23 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitárias da UNESP. O modelo implantado atende a alunos regulares e egressos da rede pública de ensino e oferece aulas ministradas por graduandos dos diversos cursos da UNESP – bolsistas e voluntários –, que visam a suprir lacunas de formação de alunos regulares do 3º ano e egressos do ensino médio, com vistas a oferecer reforço de ensino e preparo para o ingresso e permanência na universidade. Para isso, a UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Extensão Universitária, mantém um Programa Institucional com bolsas de extensão universitária para alunos de seus cursos de graduação atuarem como tutores de ensino.
parcerias com editoras comerciais e de organizações não governamentais, dedicadas a cursinhos populares e comunitários, que, após negociações, revelaram impossibilidade de execução.
A proposta de construção do material didático, após debates, foi acolhida por Grupo de Pesquisa da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, com inser- ção e experiência na coordenação de Cursinho Pré-Universitário, o qual elaborou o “Projeto de produção, manutenção e atualização de material didático-pedagógico”.
O Projeto, coordenado pela Pró-Reitoria de Extensão Universitária e ela- borado pelos Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça Mello Magnoni, da Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, foi concebido com o objetivo de organizar, adequar e disponibilizar cadernos com os conteúdos curricu- lares das diversas áreas do conhecimento para as atividades pedagógicas nos cursinhos pré-universitários da UNESP, nas seguintes áreas do conhecimento: “Linguagens e Códigos”, “Matemática”, “Biologia”, “Química”, “Física”, “Ciências Humanas” e o “Caderno de Material Complementar e de Apoio”.
No ano de 2015, foram construídos os conteúdos das áreas de conheci- mento que resultaram na publicação da 1° Edição com seus 5 cadernos: Linguagens e Códigos, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Material de Apoio.
A 2° Edição contemplou a atualização, reformulação e inclusão dos con- teúdos para publicação dos cadernos, em 2016. Nesta nova edição, o Caderno 3
– Ciências da Natureza que reunia as áreas de Biologia, Química e Física, foi seg- mentado em três cadernos e cada uma destas áreas se constituiu em um caderno independente.
Não restam dúvidas de que a publicação destes Cadernos representa um passo dado de grande relevância para o aprimoramento dos Cursinhos Pré- Universitários, mas também, de alta responsabilidade social, porquanto deverá in- fluenciar a inclusão, conforme preconiza a Política Nacional de Extensão e a Política de Extensão da UNESP.
Dessa forma, os cadernos serão o instrumento principal da política pedagó- gica do Subprograma de Extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, com a proposta de unificar a orientação pedagógica dos 27 Cursinhos Pré-Universitários e, ao mesmo tempo, dar visibilidade a essa importante ação de extensão universitária de grande espectro e impacto social, no interior do Estado de São Paulo que, smj, é única no Brasil entre as IES.
Pela atuação dos Professores editores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça M. Magnoni, dos autores e dos colaboradores, agradecemos o empenho, esforço e dedicação, ao assumirem a responsabilidade de criação e atualização cons- tante dos conteúdos dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidade no atendimento das demandas pelos Cursinhos.
Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da UNESP, nas pessoas do Prof. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Prof. Dr. Eduardo Kokubun, Vice-Reitor, na idealização e fortalecimento dos Cursinhos Pré-Universitários, o que facilitou a condução de todos os trabalhos de organização da publicação.
Finalmente, é preciso salientar a valiosa atuação dos Cursinhos Pré- Universitários na extensão universitária da UNESP, com resultados de impacto na transformação da realidade social da comunidade externa à Universidade.
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitora de Extensão Universitária da Unesp
APRESENTAÇÃO
Apresentamos a 2a edição da coletânea de cadernos dos Cursinhos Pré- Vestibulares da Unesp.
Considerando a realidade concreta do Ensino Médio e os desafios que ele representa aos poderes públicos, os cursinhos pré-vestibulares apresentam uma ação em prol da democratização do ensino superior brasileiro, na tentativa de minimi- zar uma realidade histórica e socialmente perversa, que exclui milhões de brasileiros das classes desfavorecidas da participação e ou da aprovação nos concursos vestibu- lares para ingresso nas universidades públicas. Orientados pela lógica do direito à educação, os cursinhos pré-universitários constituem, então, situações emergenciais enquanto o Estado e a sociedade brasileira não garantirem uma educação básica de qualidade para todos.
Tendo em vista que os Cursos Pré-Universitários da UNESP visam atender às demandas educacionais dos egressos e concluintes do último ano do ensino médio público, os editores e coordenadores dos cadernos optaram pelos conteúdos propos- tos para a avaliação do ENEM.
Esta edição é uma revisão da edição anterior com ampliação dos conteúdos nas áreas de conhecimento de Linguagem, Matemática, Ciências Naturais, ficando este último subdividido em três cadernos.
Ao permitir à Universidade atender parte dos seus objetivos, o Projeto proporciona ganhos aos seus docentes e discentes. Os alunos dos diferentes cursos ou licenciaturas, na situação de bolsistas e voluntários, têm a possibilidade de ampliar seus conhecimentos ao organizar didaticamente todo o processo de ensino destinado aos cursistas, envolvendo principalmente os conteúdos e as metodologias em função dos diferentes grupos atendidos. Os demais graduandos, não envolvidos diretamen- te com o Cursinho, são beneficiados mediante a socialização das experiências pelos colegas bolsistas do Projeto, quando em sala de aula, ampliando as relações e vínculos com as atividades práticas na Educação Básica, etapa do ensino para a qual muitos estão em processo de formação.
A situação de aprendizagem para os discentes direta e indiretamente en- volvidos ultrapassa, então, os limites dos saberes e práticas curriculares dos conheci- mentos específicos, envolvendo experiências relativas às relações que se estabelecem entre todos os envolvidos no processo educativo e que não se restringem aos aspectos cognitivos, mas também afetivos e sociais.
Os investimentos em recursos humanos e financeiros destinados à pesquisa e produção dos recursos materiais voltados à extensão dos resultados à sociedade, através da divulgação do conhecimento científico, tecnológico, mais que concreti- zar os nossos objetivos de proporcionar o acesso da comunidade à Universidade, nos permite vivenciar a Universidade como perspectiva, como possibilidade para a realização de um trabalho que proporciona o envolvimento pessoal e coletivo, um esforço conjunto de muitas pessoas que assumiram o compromisso da realização, o compromisso com a Universidade Pública e que se auxiliam nas dificuldades, nos contratempos, nas propostas, na coragem para enfrentar as críticas e solucioná-las.
Como já colocado na edição anterior, o trabalho executado tem seus limi- tes, porém é possível aperfeiçoá-lo nas próximas edições, com base nas experiências e avaliações dos usuários estudantes e dos monitores das salas de cursinhos espalhados nas dezenas de unidades universitárias da UNESP.
O material estará disponível para os alunos matriculados nos Cursinhos da UNESP na forma impressa e online, oportunizando aos estudantes externos e demais interessados o acesso livre e gratuito.
Antonio Francisco Marques Maria da Graça Mello Magnoni
b 0
15
b
3 3
12
2 2 4
12 12 4 3
8 8 4 2
35
5 5
6
5
5 6
Transformam-se as 5
partes inteiras em fração comdenominador 6.
5 6
6
5
6
30 5 35
6 6
1
2 4
2 4 10 12
10 12 22
2 4
5
3 5 15
22
15 15
15
3 5
7
3 5
4 7
15
28
2 4 6
3 5
2 4 6
9 35
48
135
3 de 20 3
3 20
3 de 20
4
60
3
20
4 4 20
4 4
15.
10 6
7
10 7
13 6
10 7
13 6
70
78
1
5
1 1
2 5
11
2 5
1
10
⁝
⁝
10,7 5,9 63,13
1 ordem decimal
1 ordem decimal
+
2 ordens decimais
3,62 2,6 9,412
2 ordens decimais
1 ordem decimal
3 ordens decimais
1 1 11
1
10
1 um centésimo.
10 10 10 10
100
0,01
31,6 4,5 7,0222…
−
365
100
5,475 3,65
3,65
5,475 5475
1000
3,65
5,475
5475
1000
3650
1000
5475
1000
1000
3650
5475
As ordensdecimais estão igualadas,ou seja, milésimo será divididopormilésimo.
Milésimos –Milési–mos
5,475 3,65 5475 3650 5475 5475 3650
1000 1000 3650
43 4 4 4 64
an a–a–a –– a
n fatores idênticos
an
an
44 (4) (4) (4) (4) 256
44
(4) (4) (4) (4) 256
256 256
n 1
n 0
a a
a 0
51 5
a 1
20 1
1 n
an
a 0
1 2 12 11
a
1
32
3
32 33 9
6
1 13
111
1 1
6
63
6 6 6
216
216
am an amn
32 33 323 35
3 3 3 3 3 243
32 33 3 3 3 3 3
9 27 243
a amn
an
a 0
74
742 72 7 7 49
72
74 7 7 7 7 2401
72 7 7 49 49
126
1266 120 1
126 a0 1
am bm a bm
62 32 6 32 182 1818 324
62 32 6 63 3 36 9 324
am a
, com b 0
bm b
104
54 4
10 24
16
5
104 10000
54
625 16
am n amn
22 3 223 26 64
22 3 43 64
32 3 323 36 729
am n
amn
323
Observe que os resultados são diferentes.
3222 38 6561
b é a raiz enésima de a bn a
6, pois 62 36
3, pois 33 27
4, pois 41 4
a
a b m n p
m a m b
m a , com b 0
b
3
3 81
3 81
3
3
3
27 3 16 16 4
9 9
3
m a n
3 10 2 3 102 3 100 3
3 2 4
2
3
3
24
2
3
23 21
3 2
3
23 3
3 2
2
23 2
3 2
2
mn a
2 3 12 23 12 6 12 15 32 35 25 3 5 25 3 2
10
5 5 32 5 a105
a
55 255 55 a55
2 a
4 a4 4 a 4 b8 4 b 4 c4 4 c3
44 544 44 a44 4 a 44 b84 4 b 44 c44 4 c3
5 a 4 a b2 4 b c 4 c3 5 a b2 c 4 a b c3
n am .
1
42
4
2 5 5
1
2 3
32 2
a b c x y
soma algébrica
ax bx
produto
x a b
x é o fator comum
3xy 6x
fator comum
3x
y 2
8y3 24xy
fator comum
8y
y2 3x
–O fa–tor–comum–é –ab–.
ax bx ay by x a b y a b a bx y
1. º Grupo 2.º Grupo
––O f–ator–comum–é 4–x5–. –
4xy 5y 8×3 10×2 y 4x 5 2×2 4x 5 4x 5 y 2×2
1.º Grupo 2.º Grupo
a b
Produto da soma pela
diferença–d–osmon–ôm–ios a e b.
a b a b
a ba b a2 ab ab b2
⏟ ⏟
a2 a b2 b 2 2
––
Monômios obtidos: a e b
a b .
Produto da soma pela diferença
dos monômios x 5 e y3 .
5x
– –– –– –
2
⏟
5 x2 x
6
y3
x 5 y3 x 5 y3
x y 16
Produto da soma pela diferença
dosmonômios xy 2 e 4.
⏟ ⏟ xy
4 xy 4
2 4 2
x y xy
164
1. º⏞Termo –3.º Term–o 2.⏞º Termo
2
⏟x 2 ⏟x y 2 2 y
2 Base ⏟ ⏟
x 2
Base
y 2 2
Quadrado da soma das bases.
x 2x y 2 2 y2 x2 y 2 2
–––––– ––
x2 y
2 2 x2 y
2 x2 y
2
x2 x2 x2 y
y 2×2 y y
x4 2×2 y
2 y2
a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2
a b2 a ba b a2 2ab b2
a b2 a ba b a2 2ab b2
a3 b3 a ba2 a b b2
x3 64 ⏟x3 4⏟3 x 4 x2 x 4 42 x 4 x2 4x 16
a b
x 4x2 4x 16 x3 4×2 16x 4×2 16x 64 x3 64
a3 b3 a ba2 a b b2
125z3 8 5⏟z 2⏟3 5z 2 5z2 5z 2 22
a b
5z 2 25z 2 10z 4
5z 2 25z 2 10z 4125z 3 50z 2 20z 50z 2 20z 8 125z3 8
a3 3a2b 3ab2 b3 a b3
a b3
Quadrado da soma de dois termos.
a b3 a ba ba b a b a b2 a ba2 2ab b2
a3 2a2b ab2 a2b 2ab2 b3 a3 3a2b 3ab2 b3
8z3 123 4z 2 63 16z 4 2⏟z 3 2⏟z
3 4 3 2⏟z 3 4 3 4
⏟ ⏟ ⏟
2z 3 4 3
a
a b a b b
2z 3 4 3 2z 3 4 2z 3 4 2 2z 3 4 4z2 4z
8z3 83 4z2 3 2 43 4z2 3 2 3 4 3
8z3 123 4z2 63 16z 4
a3 3a2b 3ab2 b3 a b3
a b3
3 4 2
Quadradoda diferença de dois termos.
a b3 a ba ba b a b a b2 a ba2 2ab b2
a3 2a2b ab2 a2b 2ab2 b3 a3 3a2b 3ab2 b3
3 2 3
3 2 t
1
1 1 1 1
t 3 27 t⏟
3 t⏟
3 3 t⏟ 3
3
t 3
a
a
b
a
b
b
1 3 1 1 2
1 2 2t 1
t 3 t 3 t 3 t 3 t 3 9
t 3
2t 2
3
t t
9 3
2t
9
1
27
t 3
3t 2
3
3t
9
1
27
t 3 t 2 t 1
3 27
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
a b
a2 2ab b2 a b2
a b 5
2ab
ab 2
a2 2ab b2 2ab a b2 2ab a2 b2 a b2 2ab
a b
a b 5
ab 2
a2 b2 a b2 2ab a2 b2 52 2 2 25 4 a2 b2 21
a b
1 1
a 2 a 2
a a1
82 82 100 16
1 1 10
a 2
1
a 2
1
a 2
10
3
5.ª Propriedade de Potência.
1.ª Propriedade de Potência.
5.ª Propriedade de Potência.
1
a 2
1
a 2
1
a 2
1 1
1
2 a 2
2
1
a 2
a
1
1
2
1 2
a 2a0
a1
a a1 2
a 2
a 2
100
9
a 2
a 2
a a1 2
a a1 2 100
a a1 2 100 a a1 2 2 100 2 a a1 100 2
9 9 9
a a1 100 18 a a1 82
9 9
a a1
11,1
1,11
x 0,1
0,111
1,11
1
11,1
x 1x2 x 1 1
1 xx2 x 1
1
x2 x 1
x2 x 1
1 x
1
x 0,1
1 x
1 1
x2 x 1 0,12 0,1 1 0,01 0,1 1 1,11
x 1 1,11 1 x
1
min–ador.
Conjugado.
Elimina-se o radical.
b
b
a 2
b 2
⏞
a b
Elimina-se
min–ador.
Conjugad o.
o radical.
b
b
a 2
b 2
a b
2 2
2 5 3
2
5 3
5 3
2
5 3
5 3
5 3 3
4 4
6 2
6 2
4
6 2 4
6 4
6 2
2
6 2
2
2 2
b
1 1 3 5
3 5
3 5 3 5 3 3 5 3 5
3 5
2
2 2
4 6
2 4 6
2 4 6
4 6 4 6 4 4 6 4
6 42 6 2
2 2
40 10 6
10
40 10 6
5
1
8 4 3
8 4 3
8 4 3 6
2 2 8 4
2
3 6
2 2 8 4 3
6
8 4 3
2 2 8 4 3
16
82 4 3
64 48
22 3
2 2
6
2 2 8 4 3
6 2
2 8 4 3
82 4
16
16
32
16 16
82 4
16
32
64 42
16
32 64 16 3
16
64 48
16
16
16 1
3
7
3
5 2 2
10
2 2
3 5 2 3 5 2
2
5 5 2
2 5 2 2 2
35 2 10 2 7 2
5 2
3
7 2 2 7
3 5 2 2
ax b 0
5x 20 0
5x 20 20 0 20
5x 20
5x 20
Subtrai – se 20 de ambos os membro da igualdade.
Dividem – se ambos os membros da igualdade por 5.
5 5
A solução 4 satisfaz a igualdade da equação inicial :
x 4
S 4
5 4 20 0 20 20 0 0 0
x idade da irmã caçula y idade da irmã ‘ do meio’ z idade da irmã mais velha
y x 15
z y 5
y x 15 z x 15 5 z x 20
x y z 50 x x 15 x 20 50 3x 35 50
3x 35 35 50 35 3x 15 3x 15 x 5
z 5 20 25
3 3
x 5
5 15 20
o valorpago pelas 5 pessoas
5y
o valorpagopelas 50 pessoasque já haviam contribuído inicialmente
50
o valor
quefaltava
510
5y 350 510 5y 350 350 510 350 5y 160
5y 160 y 32
5 5
ax2 bx c 0
10×2 7x 1 0
a
10, b 7, c 1
72 4101 49 40 9
x 7 3 10 1
7 1
x 2 10
20 20
7 3 4
2 1
1
e 1 são as raízes da equação.
2
20
2 5
20 5
1 1
S ;
10x 50 0 a
1
, b 10, c 50
102 4
1
2
50 100 100 0
x 10 0 10
10 1
x 1
1
10 0
10 é a
raiz
da equação.
2 2 x2 1
10
S 10
2z2 z 3 0
a
2, b 1, c 3
12 4 23 1 24 23
S Ø conjunto vazio
c 0 e b 0
ax bx c 0 ax bx 0
fator comum
x
x 0
ax b 0 b
x 0
x b
a
ax b 0 x a
x 0
2×2 5x 0 x 2x 5 0 5
5
2x 5 0 x 2
S 0; 2
b 0 e c 0
ax bx c 0 ax c 0 ax c x
x x
4×2 32 0 4×2 32 x2 32 x2 8
4
x
x
x 2
x
x
x 2
S 2 2;2 2
b 0 e c 0
ax bx c 0 ax 0 x 0 x 0
x 0
S 0
y
o quadradodo número de filhos
2
8 menos 2 vezes
o número de filhos
2 vezeso
número de filhos
y 8 2 y
y 2 y 8 0
y 2y 8 0
a
1, b 2, c 8
22 418 4 32 36
y 2 6 4 2
2 36 1
y 2 1
2
2 6
2
8
2 e 4 são as raízes da equação.
y2
2 2
4
t 0
T t
t 2
4
400
T 39
T t
t 2
4
400
39
t 2
4
400
156 t 2 1600 156 1600 t 2 1444 t 2
1444 t 2
extraise a raiz quadrada de ambosos membros
t 38
ax2 bx c,
x1 x2
a 0
S x1
x2
b
a
b
x1 2a
x2
2b b
S x1 x2
2a
2a 2a
2a a
P x1 x2
x1 2a
x2
Diferença de Quadrados.
b
b
b
P x1 x2
2a 2a
2a2
4a2
– –
b b 4ac 4ac c
4a2 4a2 a
x 6x 10 0
1 1
m n
1 1 1
1 n m
n m n
mmc m,n mn
a 1
b 6
c 10
x 6x 10 0
m n
m n
P c
a
m n S
a
10
1 10
m n P
a
S 6
a 1
m n S 6 3
1 1 3
n
m n
P 10 5
x ax b 0 a b
v w
v w
a 2b2
a 2b
a b
x ax b 0
P v.w
v w b v w a v w a
S v w b
a
a 1
v.w c v.w b v.w b
a 1
Quadrado da soma de
dois termos.
v w2 a2 v2 2 v w w2 a2
v.w b
⏞b
v 2 v w w2
a2
v2
2b w2
a2
2b
v2 2b w2 a2 v2 2b w2 2b a2 2b v2 w2 a2 2b
v2 w2 a2 2b
8
Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.
Subtrai-se 5 de ambos os membros.
x 5 2 82 x 5 64 x 5 5 64 5 x 59
x 59
8
8
8 8 8
x 5 8
1
x 59
Elevam-se, ao cubo, ambos o s membros.
Elevam-se, ao quadrado, ambos o s membros.
3 2
3
2 2
2 2
x
1 1
1
x 1
1 x
1 1
Soma-se–1 a–ambo–s o s–membros.
x 1 1 11
x2 2 x
x 2
x
1
x
1
1
1
3 x 1 1
1
1
1
1
x 2
1 1 1
1 1 1
Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.
Quadrado da diferença de dois termos.
x 2 2 2
x 2
x 1
x 12 2x 3
x 2 2
x 1 2x 3 2x 1 2
Elevam-se, ao quadrado, ambos os membros.
2x 3
2 x x 2 4
2 x 2 42 4 2
2
x
x 2 16
x2 x 2 16 x2 x 2 4 x2 x 6 0
4
x x 6 0
a 1; b 1; c 6
12 41 6 1 24 25
x 1 5 4 2
1 25
x 2 1
1
x2
2
1 5
2
2
6 2
3
2 e 3 são as
raízes da
equação.
x 2 e x 3
x 2
x 3
2 1 1 1 1
x 3
Cubo da diferença
de dois termos.
3 x 9 3 x 9 3 3 x 9 3 x 9 3 33
3 x 9 3 3 3 x 9 2 3 x 9 3 3 x 9 3 x 9 2 3 x 9 3 27
x 9 33 x 92 x 9 33 x 9x 92 x 9 27
x 9 3 3 x 9 27
33 x 9x 2 81 33 x 2 81 x 9 18 27
33 x 9 3 x 2 81 33 x 2 81 3 x 9 27 18
––––––––––––––––
Fatoração – Fator Comum: 33 x 2 81
33 x 2 81 3 x 9 3 x 9 9 33 x 2 81 3 9
Conforme o enunciado, tal expressão é igual a 3.
9
9
1
3 x
2 81 1 3 x
2 813 13
x2 81 1
x2 80
x
y y2 5 x 2 y 5 x
3.ª
equação
2
x x2
5 y
x 5 y
4.ª
equação
y2 5 x
Produto da soma pela diferença.
x2 5 y
y2
x2
y x y xy x y x
y2 x2 x y
Diferença de quadrados.
y xy x y x
y x 0
y x 0
y x 0 0 0 0
y x
y 5 x x 5 x x x 5 0
12 41 5 1 20 21
1 21
1 21
x 2 1
x1
2
1
1 21 e
2
1 21
2
são as
raízes.
x
2
y x 1
y x 1
2
1y x y x y x y x
y 1 x
y2 5 x 1 x2 5 x 1 2x x2 5 x x2 x 4 0
12 41 4 116 17
1 17
1 17
x 2 1
x1 2
1
x2 2
e
x 0
são as
raízes da
equação.
1 21 1 17
e x
2 2
x x
ℕ 0; 1; 2; 3; 4; …
60 22 35
Divisores (60) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
60 22 31 51
2 11111 3 2 2 12
5 6 1 0 12
3 6 7 8 24
24 12 12
20 2 23 240
ℤ …; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; …
ℤ
ℤ* …; 4; 3; 2; 1; 1;
2; 3; 4; …
Divisores (60) 1; 2; 3; 4; 5 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
2 1 11 11 3 2 2 12
divisores
positivos
a ℤ b ℤ*
0,7 0,77777 7
9
0, 25 0,25252525 25
99
0, 451 0,451451451 451
999
0,00013 0,00013131313…
13
99000
5
0,05 0,05555… 90
1,37 1,37777…
parte
não-periódica
1,3
parte periódica
13
0,0777…
Aplicase o 2.º Caso.
7
117 7
124 62
10 90
Decompõe-se a dízima periódica.
90 90 45
4, 6 4,6666…
parte
não-periódica
4
parte periódica
0,666… 4
Aplicase o 1.º Caso.
6
36 6
42 14
Decompõe-se a dízima periódica.
9 9 9 3
3,141592653… e 2,718281828459045…
a a ℤ
b
b ℤ*
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Lê – se: está contido.
d; e; f
a; b; c
a b c
a b c
d e f
d e f
a d b e c f
k b d
S
x
k b d
S
x
k b d
S
x
k b d
S
x
k b 2d
S 2x
S
c a b c a b 14 2
1 4 2 1 4 2 7
2 c 2
2x 14 7x 14 x 2
telhas 1500
tijolos
1200 1500 1200 1500 x 600 1200 x 480
tijolos
600
600 x
x
n.º de pessoas 6
4
dias 2
5
kg (pão) 3
y
3 6 2
y 4 5
3 12
y 20
12 y 60 y 5
30% de
75
30
100
75 0,3 75 22,5
0,35
0,35
35
100
35%
volume de esgosto (em bilhões
de litros)
% (esgoto)
8
x
8 64
800
64
100
x 100
x 64 8 100 x
64 x 12,5 bilhões
de litros
8,5 68
12,5 0,68 100 68%
x 0,27 x 1,27 x
⏞27%
1 0,27
x 0,27 x 0,73 x
J C i n M C J
1.ª
2.ª
equação equação
M C C i n C 1 i n
0,12 2000,00 240,00
0,12 2000,00 240,00
0,12 2000,00 240,00
J C i n 2000,00 0,123 720,00
48%
12
a.a.
4%
a.m.
60 dias
30 2
meses
M C 1 i n M y 1 0,04 2 M y 1,08
60% a.a.
12 5% a.m.
120 dias
30 4 meses
M 1,08y1 0,05 4 M 1,08y1,2 M 1,296y
207,36 1,296y y 160,00
M C 1 in
2000,00 240,00 2240,00 0,12 2000,00 240,00
2240,00 268,80 2508,80 0,12 2240,00 268,80
2508,80 301,06 2809,86 0,12 2508,80 301,06
809,86
M 2000,00 1 0,123 2000,00 1,123 2000,001,404928 2809,86
M C J
M C J 2089,86 2000,00 J 2809,86 2000,00 J J 809,86
300,00 0,95 285,00
M 300,00 1 0,052 300,00 1,052 300,001,1025 330,75
300
1,0526
M 285,00 1 0,072 285,00 1,072 285,001,1449 326,30
284,25
2 4 16 22.
3, 7, 11, 15, … r 4
10, 8, 6, 4, … r 2
7, 7, 7, 7, … r 0
an a1
n 1 r
a20 a1 20 1 r a20 a1 19 r a20 5 19 4 a20 5 76 81
a15 a3
––
153 12
Coeficiente de r.
12 r
a c
b 2
a, b, c
c b r c a r r a 2r.
b a r
a c
b 2
⏞b
a r
c
a a 2r
2
a r
2a 2r 2
a r a r
3, x, 7
3 7
x 2
4
2 2
a2 a
a a
a r a
r a a
a a a a
n 1
Soma dos termos equidistantes dos extremos.
1 n
Soma dos extremos.
1
a2
n 1 n
an1
1 n 1 n
a a n
a1
é o primeiro termo;
1 n
n 2
an
é o enésimo termo e
n indica
o número de termos da
PA.
a1 1 x,
a2 6x,
a3 2x 4,
⏞a1
a3
1 x 2×2 4
2
⏞a2
6x 1 x 2×2 4 12x 2×2 11x 5 0
112 4 2 5 121 40 81
x 11 9 20 5
11 81
x 2 2
1
x2
4
11 9
4
4
2 1
4 2
5 e
1 são as
2
1
raízes da
equação.
a1 1 x 1 0,5 1,5
r a2 a1 3 1,5 1,5
S100
a2 6x 6 0,5 3
a100 a1 99 r a100 1,5 99 1,5 a100 150
S100
a1 a100 n
2
S100
1,5 150100 2
S100 7575
2, 6, 18, 54, …
q 3
8,
4,
2,
1, … q
8,
4, 2, 1, … q
3,
9,
27,
81, …
q 3
q 1
7, 7, 7, 7, …
q 1
q 0
2, 6,
18, 54, …
q 3
q 0
9, 0, 0, 0, …
q 0
a a qn1
a a
q71 128 a
26 128 a
64 a
128
a 2
7 1 1
1 1 64 1
a15 a3 q12
a, b, c
c b q c a q q a q2
b a c
a, b, c
b a q
⏞b
⏞c
b2 a c a q a a q2 a2 q2 a2 q2
a3 15
5
a5 3
a 2 a a a
2 15 5 a 2 25 a a
5
4 3 5 4
4 4 4
a4
q a4
a3
5 1
15
1
an
a2 a
a a
a q a a
a a a a
n 1
1n
1
q 1 n
1 n 1 n
Produto dos termos
equidistantes dos
extremos.
Produto dos
extremos.
a2 ⏟
an1
Pn
2,
4, 8, 16
P4
P4
P4
322 P
1024
P4 a1 a2 a3 a4 P4 2 4 816 P4 1024
Sn a1
1 qn
1 q
Sn a1
qn 1
q 1
Sn
a1
1 q
, onde
1 q 1
1
S5 2 ,
q 0 e
a7 a2 3
qn 1
q 1 1
q 1
5
Sn a1
q 1
S5 a1
q 1
2 a1
q 1
2 a1 q
1 q 1 I
a a 3 a q6 a q 3 a q q5 1 3 (II)
7 2
2 a q5 1 q 1 2
1 ⏟1 1
a7 a2
q 1
5
q2 q 6 q2 q 6 0
a1 q q 1 3 q 3
q2 q 6 0
12 4 1 6 1 24 25
1 5 6
1 25
q 2 1
q1
2
1 5
2 3
4
3 e 2 são as
raízes da equação.
q2
2 2
2
q 0 q 2
a q q5 1 3 a
2 25 1 3 a
1
66 3 a1 22
1 qn
1 1 23
1 1 8
1 1 8
Sn a1 1 q
S3
22
1 2 S3 22
1 2
S3 22 3
S3
1 9
22 3
S3
1 3
22 3 S3 22
3
A B x, y/ x A e y B
A 1, 2
A B
B 1,
2,
3
A B 1,
1,1,
2,1,
3,2,
1,2,
2,2,
3
R
A B
R x, y A B / y x 1,
1, 2,
2
f A B
x A
y B
f : A B
f CD f
A 0, 1, 4
B 1, 0, 1,
2, 5
B
S x, y A B / y 2x
R x, y A B / y x 1
T x, y A B / y2 x
R x, y A B / y x 1 0, 1, 1, 2, 4, 5
S x, y A B / y 2x 0, 0, 1, 2
T x, y A B / y2 x 0, 0, 1,
1, 1, 1, 4,
2
f x 7
2x
D ℝ∗ x ℝ/ x 0
D x ℝ / x 2
R x, y A B / y x 1
0, 1, 1, 2, 4, 5 L, M , N
D x ℝ / x 0
x
f x 60,
para 0 x 50
60 1,5 x 50, para
x 50
Im f y ℝ / y 4
f x f x
x D f
f 1 12 1 12 f 1
f x x2 x2 f x,x ℝ
f x f x
x D f
g x x3 13 x3 x3 gx
f
f x1 f x2
f x1 f x2
f x1 f x2
ℝ.
f x k, k
x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2
y B
f : A B
x A
Im f CD f
f x y
g : B A
g
f a b
a A
f : A B
gb a
f
b B
x, y f x y, x f 1x
f x
f 1x
g(x) x
2
f (x) 2x
f 1
y x
CD f Dg
f : A B
g : B C
h : A C
g f hx g f x
f ∘ f 1x f 1 ∘ f x id x x
hx g ∘ f x
: ℝ ℝ
f x ax b a b
a 0
a 0
f x 0 ax b 0 x b
a
f x 0
f x 3x 7
3x 7 0 3x 7 x
a 0 a 0
b 0
b 0
b 0
f x b ℝ.
a 0
f x
f g 0;
f g 0;
f g 0 e
f g 0
f 0;
g
f 0; g
f 0 e g
f 0 g
f x 4 3x 0 x
gx 2x 7 0 x
4 3x2x 7 0
4 3x2x 7 0
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 4 < 𝑥 < 7}
3 2
ax bx c 0 x
b2 4ac.
• 0
• 0
• 0
V b ;
f x x2 2x
x
2a
4a
f x y 0
x 2x 0
x 0
x 2
• f (x) 0
0 x 2
f : ℝ ℝ
6×2 5x 1 0
1
x 3 x
6×2 5x 1 0 ,
• f (x) 0
1
x 3
1
x 2
• f (x) 0
1
x 2
6×2 5x 1 0
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 1 < 𝑥 < 1}
3 2
3 3
x, se
x x, se
4 4 4
x 0
x 0
f x x
f x x, se x 0
f : ℝ ℝ
x, se
x 0
3x 1 2
3x 1 2 x 2
3x 1 2
3x 1 2 3x 1 2 x 1
3
S 1 ; 1
k ℝ+
x k k x k
x k k x k
x k x k; x k
x k x k; x k
M
t: M 10001 it
(𝑡)
f x ax
a 0
a 1
f : ℝ ℝ∗
ax1 ax2 x
x2 ,
1 x
3
a 0
81
a 1
1 x
1 x
1 x
1 4
81
34
x 4.
3
•
3
3
3
S 4
•
1,1t 2.
M 2C M
C
M 2C C1 it 2C 1 it 2
i 10% i 0,1
a, b ℝ∗
a 1
c ℝ
log b c ac b
• a
• b
• c
• loga 1 0;
• loga a 1;
• log an n;
• loga b loga c b c;
• alog b
a, b, c ℝ∗
a 1
n ℝ
• log bc log b log c;
• log
b log b log c;
a a a
c
• log bn n log b;
• log
b logc b .
a log
c
f : ℝ∗ ℝ
f x log x
log2 3 x log2 3x 7
3 x 3x 7 4x 4 x 1
S 1
• a 1: x1 x2 loga x1 loga x2
• 0 a 1: x1 x2 loga x1 loga x2
log2 3 x log2 3x 7
3 x 3x 7 4x 4 x 1
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > −1}.
fri
2
30 0,07 7%
9
30 0,30 30%
13
30 0,43 43%
5
30 0,17 17%
1
30 0,03 3%
13
30 0,43 43%
17
30 0,57 57%
•
•
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Feminino Masculino
Gênero
fi 360o fr 360o
n i
fi
•
•
•
•
IP
•
•
IP 400 PT 321,9 milhões 321.900.000
400 321.900.000
NV
NV
321.900.000
400
804.750
441
PT
804.750
PT 441804.750 354.894.750 passageiros
M
M
x1 , x2 , x3 ,…, xn
x x1 x2 x3 … xn
n
xi n
i1
x1 x2 x3 … xn
xi
x i1
n
30
xi
x i1
n
3,5 2,0 5,0 7,0 7,0 … 5,0 3,0 4,0
30
133,0
30
4,43
133,0
x 30
fi
4,43
xi xi
xi fi
x i1
n
xi fi
x i1
n
133,0
30
4,43
me 4,0
me
4,0 5,0
2
4,5
n 1
2
xi
fi
xi fi
05 0
13 3
2 4 8
33 9
4 2 8
5 2 10
71 7
n
xi fi
n
45
20 2,25
n 20 10 n 1 20 1 10 1 11
2 2 2 2
xi
fi
n
•
•
•
•
•
•
•
me
2 2 2
2
mo 0
X x 2,25
Z Y X
Y me 2
Z mo 0
• x
• x
xi n
xi n
25
5 5
25
5 5
md 5
md 5
x x 2
s2 i1
n 1
xi
9
xi 42
i1
9 9
4,67
x x x 2
x x 2
i i
3,5 4,672 1,37 2,0 4,672 7,13 5,0 4,672 0,11 7,0 4,672 5,43 7,0 4,672 5,43 3,0 4,672 2,79 4,0 4,672 0,45 7,0 4,672 5,43
3,5 4,672 1,37
xi
2
x 2
29,51
s i1
n 1
9 1
3,69
x x 2 f
i
s2 i1
n 1
xi
x
xi fi
x x 2 f
x x 2 f
1,5 4,432 2 17,17
2,0 4,432 3 17,71
3,0 4,432 2 4,09
3,5 4,432 4 3,46
4,0 4,432 6 1,11
5,0 4,432 7 2,27
7,0 4,432 3 19,81
7,5 4,432 2 18,85
9,0 4,432 1 20,88
xi
2
x 2 f
105,35
s i1
n 1
30 1
3,63
s
s
s 3,69
s
1,92
s 3,63
s 1,90
n! n n 1n 2… 21
n IΝ.
6! 65 43 21 720
20! 201918171615141312111098765 43 21
n 6
k 4
n k !
n! k!
6! 720
6 4!
6 4! 2! 21 2
4! 43 21 24
6! 4! 720 24 696
6! 4!
2 21 2
2 2 22 4
2 2 2 23 8
2 2 2 2 24 16
2 2 2 2 2 25 32
2 4 8 16 32 62
26 26 2610101010 263 104
letras algarismos
26 26 26 26101010 264 103
letras algarismos
264 103 26
263 104 10 2,6
2,6 1 1,6
P3 3 21 3! 6
Pn n!
P7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040
3,2
6!
P6 3!2!
6 5 4 3!
3!2 1
6 5 4
2 1
6 5 2 60
a,b,c,…
n
n!
a!b!c!…
10 9 8 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10!
7 6 5 4 3 2 1 7!
10!
A10,3 10 3!
10!
7! 10 9 8 720
!
An,k n k !
n
Cn,k
k
5 5!
5! 5 4 3!
5 4
C5,2 2 2!5 2! 2!3! 2 13! 2 1 5 2 10
10
10!
10!
10 9 8 7 6!
C10,4 4 4!10 4! 4!6!
4 3 2 1 6!
10 3 7 210
80
80%
40 20 4
100 50 25 5
S 1,2,3,4,5,6
E 2,4,6
F 5,6
• E F
E F 2,4,5,6
• E F
E F 6
•
E 1,3,5
PE
PE nE
n S
nE 3
PE nE 3
1
0,50 50%
nS 6 2
PF nF 2
1
0,3333 33,33%
nS 6 3
PS nS 1
n S
𝑃(∅) = 𝑛(∅) = 0 = 0
𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆)
• 0 PE 1
• PE 1 PE
• PE F PE PF PE F
• E F
PE F PE PF
PE 1 PE 1
3
6
6 3
6
3 1
6
PE F PE PF PE F 3 2 1
3 2 1 4 2
6 6 6 6 6
PG F PG PF 2 2
2 2 4 2
6 6 6 6
F E
PF
E PF E
P E
E 2,4,6 F 5,6
F E 6
PF
1
E PF E 6 1 6 6
PE 3 3 6 18
6
PE
F PE
PF
E PF
E1
E2
PE1 E2
PE1
E2
PE1 PE2
1 1 1
2 2
1 1 2 3 3
nS 4
E Rural, Residencial Urbano, Residencial Suburbano
nE 3
PE nE
n S
nE F 95
PE
F PE F nS 200 95
0,95 95%
PF
nF nS
100
200
100
1 3 5 6 7
20 242 22 25 15
PE F PE PF
PE PF
PE nE
n S
nE
nE 30
PE nE
nS 10 30 60 100
30
nS
100
PE nE
n S
nF
nF 20
PF nF
n S
20
120
nS 20 20 80 120
PE F PE PF 3 1
10 6
3 1
60
x
50 70 x 180
x 180 50 70
x 60
60 75 y 180
y 180 60 75 y 45
3x 45 180 3x 180 45 3x 135 x 45
S n 2180∘ S 5 2180∘ S 3180∘ S 540∘
540∘ 108
∘
5
360 θ 108 3 θ 360 324 θ 36∘
2 3
5 x
2x 15
x 7,5
4x 4 4x 12
4 6
4x 4 6 4x 12 4
24x 24 16x 48
8x 72
72
x 8 9
9
sen a 15
0,6
8
sen b 10
0,8
cos a 12 0,8
15
6
cos b 10
0,6
9
tg a 12
0,75
tg b
8
6
1,33
r2 h2 l 22 42 h2 22
16 h2 4
h2 16 4 h
h 2
3
12 11
6
5
21
10
63
25
3π
4
π 2 π
2 2
4 2π
8 3π
p a b c
2
V A F 2
A V 6
V A F 2
V V 6 F 2 6 F 2 F 2 6 F 8
𝑙
a a 𝑙 3
6
h 𝑙 3
2
2
A 𝑙 3
4
𝑙 𝑙 𝑙
𝑙 h 𝑙2 h2 𝑙2
h2
𝑙
2
h2
2
3 2
4 h
4 4
𝑙
2
3a h h
3a
a
1
A 2 b h
1 1
A 2 b h A 2 𝑙 2 A 4
𝑙
a
𝑙 a 𝑙
2
A 𝑙2
𝑙
a a 𝑙 3
2
3 3 𝑙2
A 2
a 2
AB a
AB
2
AL 4 a
AL
2
AT 6 a
AT
d a 2
d D a 3
D
3
V a
V
D d 2 a2
D2 a 2 2 a2 D2 2a2 a2
D 3a2 D a
a
c
b D
D 2 2
a b c 2 AT 2 a b a c b c V a b c
V
a Apótema(figuras planas) ou Aresta(sólido) h Altura
ASM Área da Seccão Meridiana g Geratriz
r Raio da Base 𝑙 Aresta da Base
D Diagonal do Sólido d Diagonal da Face
AB Área da Base AL Área Lateral
AT Área Total V Volume
V1 V2
a b c 1,5625 a b h 1,5625 h c h
c
1,5625
h 0,64 c
h b
a
𝑙
𝑙
2 2 2
b h a
b
A n 𝑙 b
L ⏟2
Área de cada face triangular.
n
AT AB AL 1
V 3 AB h
1 1
A 2 basealtura A 2 𝑙 b
A n 𝑙 b .
L 2
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙 h 𝑙 6
3 g 𝑙 3
2
2
A 𝑙 3
B 4 2
A A 𝑙 3
B L 4
A 𝑙2 3
T 3
V 𝑙 2
12
2
c 3
2 2 2
𝑙2 h2 𝑙 3 𝑙2 h2 𝑙 h2 𝑙2 𝑙 h2 2 𝑙 h 𝑙 6
1
V 3 AB h
Área da Base
A⏞ltura
–6,7–8
1
V 3
2202 140
1
3
2,2 1002 1,4 100
1
3
2,22 1,4 1002 100
6,78 106 2,26 106 m3 3
104
102
–Volum–e
2,26 106
1,88 104
Capacidade construídaem 60 dias.
1,2 102 120
120 2 meses 240
meses 20
anos
V 6 r 2 h 6 3 0,22 1 0,72 m3
8,64 2,50 R$
21,60
12 0,72 8,64 m3
g g
h
r 2r
2 2 2
g h r
A r 2 B ASM r h 1
V 3 AB h r 2 h
3
2 r
g AL r g AT AB AL
A r 2 r g
T
AT r r g g 2 r
2 r
g
2 360º
g 2
AL
AL r g
1
V 0,9 3 AB h 0,9
r 2 h
3
0,9
3 42 10
3
144
cm3
m 0,35144 50,4 g
r
A 4 r 2
4
V r 3
3
V1 r
4
h r 3
3
3 52
4 3
10 3 3 5
1250
mm 3
V2 r
4
h r 3
3
3 42
4 3
10 3 3 4
736
mm 3
BA DC FE HG QP 4
OC OE OG OP 5 0,8
OB OD OF OH OQ 3
OC OE OG OP 5 0,6
DC FE HG QP 4
OD OF OH OQ 3 1,3
•
•
•
b 2 c 1,96 b 2
sen β a 2,80 0,71429 cos β a 2,80 0,7 tg β c 1,96 1,02041
b
sen β c
a
cos β c
b c sen β
a c cos β
Hipotenusa2 Cateto2 Cateto2
c2 a 2 b2
c2 c cos β2 c sen β2
c2 c2 cos β2 c2 sen β2
c2 c2 cos β2 sen β2
cos β2
sen β2
c2
c2
cos β2
sen β2
cos β2 sen β2 1
sen β
b sen β c
b tg β
tg β sen β
cos β
cos β
cos β a a
c
2
sen 45∘ 2
2
cos 45∘ 2
tg 45∘ 1
3
sen 60∘ 2
1
cos 60∘ 2
tg 60∘
1
sen 30∘ 2
3
cos 30∘ 2
3
tg 30∘ 3
x sen x cos x tg x
30∘ 1
2 3
2 3
3
45∘ 2
2 2
2
1
60∘ 3
2 1
2 3
x sen 30∘
sen 30∘
x 2x 12 x 6 12
α
x
cos
60∘ x
15
cos
60∘
1 x
2 15
2x 15 x 7,5
x y
α
x
y
sen
60∘ y
30
cos
60∘ x
30
3 y
2 30
2 y 30
y 15
1 x
2 30
2x 30 x 15
cateto oposto
tg α cateto adjacente
h
tg 60∘ 6
h
6 h 6 m
tg 30∘
x
100
3 x
3 100
3x 100
h 1,70 x
x
100
3
3
x 57,7 m
a
sen A
b
sen B
c sen C
2R
a2 b2 c2 2 b c cos Aˆ b2 a2 c2 2 a c cos Bˆ c2 a2 b2 2 a b cos Cˆ
•
•
•
•
1 y 1
1 y 1
π
x
2
h ,
1000
2000 3
3
2000
cos 30∘
cos 30º d d 2000 m cos 30º d 2000 m 2000 m
3
2 d 1000 m
2 2 4
3
sen 60∘ x 4 x
x
x 2 x
3 3
tg 15∘
x
114
0,26
x
114
x 114 0,26 x 29,64
A x2 A 29,642 A 878,5296 m2
sen x y sen x cos y sen y cos x
sen x y sen x cos y sen y cos x
cos x y cos x cos y sen x sen y
cos x y cos x cos y sen x sen y
tg x y tg x tg y
1 tg x tg y
tg x y tg x tg y
1 tg x tg y
Cos 2θ
sen 30∘
cos 2θ
sen 60∘
cos 2θ cos θ θ cos θ cosθ sen θ sen θ cos2 θ sen2 θ
cos 2θ
cos 2θ cos2 θ sen2 θ
Sen 2θ
sen 2θ
sen 2θ sen θ θ sen θ cosθ sen θ cosθ 2 sen θ cosθ
sen 2θ
sen 2θ 2 sen θ cosθ
Tg 2θ
tg 2θ
tg 2θ tg θ θ tg θ tg θ 2 tg θ
1 tg θ tg θ 1 tg 2 θ
tg 2θ
tg 2θ 2 tg θ
1 tg 2 θ
j
i,
j aij
f i, j
Amn ,
aij 2i j
A a11
a12
A 2 1 1
2 1 2
21
a 21
A 1 0
2 2 1
2 2 2
A 2 3
A
1
2
B 0 3 3
8 1 1
i j
i j n 1
aij
C 7 3
4
D 3
1
0 0
1 0
9 5
i j
6 0
6
0 0
D 5
0
8
aij 0
E 0 10
0 0
j
0
3
I 1 0
1
I 0
0
0 0
1 0
0 1
1
0
I5 0
0
aij 1, para i j
ij
0, para i j
013 0
0 0
0 0
0 0
042 0
0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
1
A 2
4
3 0
8
1
A 2
4
3
0
8
B At b a
A 3
2 1
4
3
B At 2
1
5 4
0
C A B cij aij bij
A23
B23
A 2 0
5
1
B 1 3 2
5
2 0
1 1 3
2 2 1
0 3
1 2
A B 3 5
7 2
5 1 3 2
5 5
7 1
3 3
0
1 C
23
C A B A B cij aij bij
A14 B14
A 1 1
2
––A ––
4 7
B 3 2
––A ––
0 8
1
––B –– 1
––B ––
1 2 4 7 3 2
0 8 1
2
4 7 3 2 0
8
––––––AB– –––––
–––C14–––
1 3 1 2 4 0 7 8 2 5 4 1
2
B A
––A ––
2
–––A –––
––B –– 1 ––B –– 1
3 2
0 8 1
2
4 7 3 2
0 8 1 2
4 7
––––––––BA– ––––––– –––D14–––
3 1 2 1 0 4 8 7 2 5
4 1
2
A B B A
B A D C A B
A
αA B bij
m n
m n
α
bij
––A33––
––B33––
⏞α 1
5 1 2 1
2 5
2 1 2
10 2
2 3
1 0
2 3
2 1
2 0 6
1 0
2
6 4
2 6
2
2 4
2 8
12
8 16
⏞α –B12–
1 A12 1
1 1
1
3
3 3 1
3 3 3 1
A
mn
B p
C
m p
a11
a12
b b b
A32
21
a
22
B23
11 12 13
b b b
a31
a32
21 22 23
–A32–
a a
––B23––
11
A B a
12
a
b11
b12
b13
21
a31
22
a32
21
b22
b23
a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a11 b13 a12 b23
a 21 b11 a 22 b21 a 21 b12 a 22 b22 a 21 b13 a 22 b23 C33
a31 b11 a32 b21 a31 b12 a32 b22 a31 b13 a32 b23
AB BA
AB 0
A 0
B 0
A 2
1
B 2
1 0
1
AB BA
A B
2
1 2 1 0
22
23
2 2 1 0
2 1 11
2 0 13 4 3 3
0 2 3 0
0 1 31
0 0 3 3 3
1
arroz
arroz
carne
salada
2 1
1 prato P1
C 3 carne P
prato P
2
salada
1 2 1 2
2 0 prato P3
P3
7
9
4
4
9
11
2
6
2
2
8
4
4
8
4
2 1 1 1 2 113 1 2 7
PC 1 2 1 3 11 2 3 1 2 9
2 2
0 2
2 1 2 3 0 2
8
det A11 a11
C 8
det
a11
C c11 8
A a11
a12
21
a 22
det A a11 a22
2 3
a12
a21
B 2
a11
a 21
3
a12
a 22
a11
a 22
a12
a 21
4 5 2 5 5 4 10 12 2
det B 2
A
a11
a12
a13
A a
a 22
a
23
a31
a32
a33
−( 13 ∙ 22 ∙ 31 ) −( 11 ∙ 23 ∙ 32 )
−( 12 ∙ 21 ∙ 33 )
produtos da diagonal principal
det
A –––––– –––––– ––––
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 produtos da diagonal secundária
2 1
B 1 2
1
2
produtos da diagonal principal produtos da diagonal secundária
––
16 6 1 6 4 4 28 9 19
det B 19
1 3
0 0 1 0 3 0 0
0 1
0 1
0 5
2
3 0 1 2 5 3 0 4 0 1 0 1 4 1 3 0 2 0 5 0
4
2 3 2 3 6 6 0
7 5 6
2 51 3 6 2 1 7 3 2 51 3 6 2 1 7 3 0
1
11 2 2 11 0
A 2
1
B 10
1
2
det A 4
10
1 2 5 1 4 10 4 14
5
1
det B 5 det A
70 5 14
det B 20
10 5 1 20 50 20 70
5
n
4
B 6
2
2
A 3
1
0 18
2 8
8 12
0 9
1 4
4 6
2
det A
n det A
det B3
23 det A
det B3
8 det A3
det A 21 6 0 41 93 4 1 19 4 4 2 63 0 73
det B 4 2 12 0 8 2 18 6 8
2 2 18 8 8 4 12 6 0
96 0 864 72 256 0 584
det B3 8det A3 584 873 584 584
A 1 5
At 1 3
1 5
3 1 115 14 det A 14
1 3
5 1 115 14
det At 14
2
A 1
4
3 1
3 3
7 5
A
4
B 1
2
7 5
3 3
3 1
det A 30 36 7 12 42 15 73 69 4 det B det A
det B 12 42 15 30 36 7 69 73 4
4 4
1 0
3
2
4
1 8 4
0 2 3
1
0 0 2
det AB det Adet B
AB 0
11
11
A 3 4
B 8 1
det A 3 5 1 4 15 4 11 det AB det Adet B
det B 8 2 6 1 16 6 22
242 11 22
det AB 0 11 22 11 242
242 242
A 3 1
2
⏞
⏞22
⏞
⏞52
7 11
B 3 4 1 10 2 5
2
5
det A 3 5 2 1 15 2 13
det A det B
det B 7 5 2 11 35 22 13
aij 1
M4
i
1
9
0
4
j
aij 1
aij 1
3 − (2 ∙ 1) 6 − (0 ∙ 1) 9 − ((−1) ∙ 1)
= [ 1 − (2 ∙ 4) 2 − (0 ∙ 4) 0 − ((−1) ∙ 4)
1 6 10
] = [−7 2 4 ]
2 − (2 ∙ (−2)) 3 − (0 ∙ (−2)) −4 − ((−1) ∙ (−2))
6 3 −6
1
M 7
6
6 10
2 4
3 6
det M3 12 144 210 120 12 252 462
São iguais (regra de Chió).
det M4 det M3 462
1 6 10
2 − (6 ∙ (−7)) 4 − (10 ∙ (−7))
44 74
[−7
6
2 4 ] = [
3 −6
3 − (6 ∙ 6) −6 − (10 ∙ 6)
] = [
]
−33 −66
det M2
44
33
74
66
44 66 74 33 2904 2442 462
Aij 1ij Dij
• Aij
• Dij A
1 2
A 3 7
5 1
4
1
3
A11
111 D
1 2
A 3 7
5 1
4
1
3
7
det D 1
1
3 7 3 11 20 D11
A11
12 20 20
det A1
A 2 3
2
det A 2
3
5 2 5 2 3 4
A11
A12
111 D
112 D
12 5 5
13 2 2
A 121 D 13 3 3 A 122 D 14 2 2
5
3
2
5
2
5 3
3
A 4 4 A1
2 2
5 3
2 5
2
3 2
2 3
4 3 4
2 4 3 4
1 0
A A1
4
4
I
2 5 2 2
5 2 3 2
5 2 5
0 1
4 4
4
4
det A 4
5
det A1 4
3
4 5 2
2
3 10 6 4 1
2 2
4 4
4 4
4
4 16 16 16 4
det A1 1 1
det A 4
2 2
1
2
4
1
4
1
1
1
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
x y 80
1.ª
equação
20x
10 y 100
2.ª
equação
a1x1 a2 x2 a3x3 … anxn b
•
•
•
a11x1 a12x2 a13x3 … a1n xn b1
a21x1 a22x2 a23x3 … a2n xn b2 S a31x1 a32x2 a33x3 … a3n xn b3
am1x1 am2 x2 am3 x3 … amn xn bm
x y 80
1.ª
equação
20x
10 y 100
2.ª
equação
x y 80
3x 90 x 30
x y 80 30 y 80 y 50
⏞x ⏞
30; 50
x y 80 y 80 x
1.ª
equação
20x
10 y 100
y 80 x
2.ª
equação
20x 10y 100 20x 1080 x 100 20x 800 10x 100 x 30
y
x y 80 30 y 80 y 50
x 30
x 2 y z 5
2r s t 3u 8
0x y 2z 8
a
0r s 3t u 3
0r 0s 5t 7u 2
0x 0y
z 2
0 0
0
r s t
u 1
x y 80
1.ª
equação
20x
10 y 100
2.ª
equação
20x 20 y 1600
1.ª
equação equivalente
20x 10 y 100
2.ª
equação
0x 30 y 1500 30 y 1500 y 50
y 50
1.ª
equação
20x
10 y 100
2.ª
equação
20x 10 y 100
y 50
x
20x 1050 100 20x 500 100 x 30
y 50 20x 10y 100
a11x1 a12x2 a13x3 … a1n xn b1
a21x1 a22x2 a23x3 … a2n xn b2 S a31x1 a32x2 a33x3 … a3n xn b3
am1x1 am2 x2 am3 x3 … amn xn bm
a11
21
M.I. a31
…
am1
a12 a22 a32
…
am2
a13 …
a23 …
a33 …
… …
am3 …
a1n
2n a3n
…
mn
a11
21
M.C. a31
…
am1
a12 a22 a32
…
am2
a13 a23 a33
…
am3
… a1n
… a2n
… a3n
… …
… amn
b1
2
b3
m
x y
D 1 1 det D 110 20 1 10 20 30
20 10
Dx
y
det Dx
80 10100 1 800 100 900
x
D 1
det D
y
1100 20 80 100 1600 1500
x Dx x 900 30
D 1500
y x 50
D 30 D 30
a1x b1y 1
a2 x b2 y 2
a1
a2
b1 b2
x y 5
x 2 y 6
a⏞1
1
⏟1
a2
b⏞1
1
2
⏟
b2
a x b y a b
a⏞1 b⏞1 ⏞1
1 1 1
5x 2 y 3
5 2 3
a2 x b2 y 2
a2 b2 2
10x 4 y 6
1⏟0 4⏟
a2 b2
6
2
a1x b1y 1
a2 x b2 y 2
a1
a2
b1 b2
1
2
5x 2 y 3
10x 4 y 4
a⏞1
5
1⏟0
a2
b⏞1
2
4⏟
b2
⏞1
3
4
2
5x 3
1 1 1 1
0 0
0 5
2x 4 y 8z 0
4x 6 y 2z 0
2x 28z 0
2x 4 y 8z 0
0x y 9z 0
2x 4 y 8z 0
4 y 36z 0
2x 4 y 8z 0
y 9z 0
4 y 36z 0
y 9z 0
2x 4 y 8z 0
y 9z 0
0 0
y 9z 0
0 0
z
y 9z 0 y 9 0 y 9
3x 15y 6z 3
2x 10 y 4z 10
6x 30 y 12z 6
6x 30 y 12z 30
3x 15y 6z 3
0 24
0 24
•
•
•
px a
xn a
xn1 a
xn2 … a
x2 a
x1 a
• an ,
an1 ,
a0
an2 , …,
a2 ,
a1, a0
p x x3 2×2 2x 1
p 1 13 2 12 2 11 p 1 1 2 2 1 p 1 0
px x2 k x 6
k
p 12 0
p 12 122 k 12 6 0 144 12k 6 0 k 25
2
p x 0
p x x3 6×2 11x 6
p 1 13 6 12 11 1 6 1 6 11 6 12 12 0
p 1
p 2 0
p 1 0
p 1 6
p x x3 6×2 11x 6 p x 2×3 6×2 mx n
P 2 0
P 1 6,
P 2 2 23 6 22 m 2 n 0
16 24 2m n 0 2m n 8
P 1 2 13 6 12 m 1 n 6
2 6 m n 6 m n 2
2m n 8
m n 2
3m 6 m 2
2m n 8 2 2 n 8 4 n 8 n 4
qx 2×2 5x 5
rx x3 3×2 2x 1
px 3×3 x2 5x 2
––px–– –qx–
px qx 3×3 x2 5x 2 2×2 5x 5
3×3 1 2x2 5 5x 2 5 3×3 3×2 3
––px –– –qx – –––rx –––
px qx rx 3×3 x2 5x 2 2×2 5x 5 x3 3×2 2x 1
3 1x3 1 2 3x2 5 5 2x 2 5 1 2×3 2x 4
––px–– –qx–
px qx 3×3 x2 5x 2 2×2 5x 5
3×3 1 2x2 5 5x 2 5 3×3 x2 10x 7
–qx– ––px––
qx px 2×2 5x 5 3×3 x2 5x 2
3×3 2 1x2 5 5x 5 2 3×3 x2 10x 7
–qx – –––rx –––
qx rx 2×2 5x 5 x3 3×2 2x 1
2×5 6×4 4×3 2×2 5×4 15×3 10×2 5x 5×3 15×2 10x 5
2×5 11×4 6×3 23×2 15x 5
––px––
5 px 5 3x x 5x 2 15x 5x 25x 10
1 1
–––rx–––
3 3×2 1
rx x3 3×2 2x 1 x
1
2
2 2 2
sx
px sxqx rx
px
sx qx
sx 0 rx
px
• px
• sx
• qx
• rx
px rx
sx
qx
sx 2×2 3x 1
6×3
px 6×3 13×2 x 3
6×3
2×2 3x 2×2
6×3 13×2 x 3
3x
3x 3x 2×2 3x 1 6×3 9×2 3x px 6×3 13×2 x 3
sx 2×2 3x 1
6×3 13×2 x 3
6×3 9×2 3x 3x
4×2 4x 3
4×2
4×2
2×2 2 2×2
6×3 13×2 x 3
6×3 9×2 3x
4×2 4x 3
2
2 2×2 3x 1 4×2 6x 2
4×2 4x 3
3x 2
sx 2×2 3x 1
6×3 13×2 x 3
6×3 9×2 3x
4×2 4x 3
4×2 6x 2
2x 1
2x 1
sx 2×2 3x 1 rx 2x 1
px sxqx rx
3x 2
px 6×3 13×2 x 3 qx 3x 2
px sx qx rx
6×3 13×2 x 3 2×2 3x 1 3x 2 2x 1
6×3 13×2 x 3 6×3 13×2 3x 2 2x 1
6×3 13×2 x 3 6×3 13×2 x 3
px 4×2 2x 3
sx 2x 1
4×2 2x 3
4×2 2x
3
2x 1 2x
qx 2x
px 4×2 2x 3
rx 3
Grq
sx 2x 1
Grp
Grs
Grq Grp Grs
x
px px
qx 2×2 2x 4
px sxqx rx
rx 0
px sx qx rx
2×3 8×2 2x 12 x 3 2×2 2x 4 0
2×3 8×2 2x 12 2×3 2×2 4x 6×2 6x 12
2×3 8×2 2x 12 2×3 8×2 2x 12
x a
px
x a
px 3 x3 5 x 6
3 5
x x 2 x
3 3 3
3 3
sx 3 x
1, 0, 5
3
2
1
3 3 3 x
1
3 1 0 5
3 2
1 1 0 1
5 16
2
3 9 3 27
1 16 38
3
9
27
qx x2 1 x 16 38 rx 38
rx
3 9 27
3
px sxqx rx
3×3 5x 6 3x 1 x2 1 x 16 38
3×3 5x 6 3×3 x2 16 x x2 1 x 16 38
3
3×3 5x 6 3×3 15 x 54
3 9 9
3 9
3×3 5x 6 3×3 5x 6
x a
px x2 3x 10
x 3
p3
p3 32 3 3 10 p3 9 9 10 p3 8
px 0 a
xn a
xn1 a
xn2 … a
x2 a
x1 a 0
• an 0
• an ,
an1 ,
an2 , …,
a2 ,
a1, a0
px 0
n 1
3 2 1
a⏞2
a⏞2 ⏞1 ⏞2
1 x2 5x 6 0
1 x 2 x 3 0 x 2 x 3 0
––––––
2 fatores, pois n2
1 2 2 3
px x2 10x 25 x 52 x 5 x 5
px
px x rm .qx
qx 0
px x4 4×3 2×2 12x 9 x 32 x 12 x 3 x 3x 1x 1
ax bx c 0 a 0
2
x1 x2 • x x b
1 2
a
• x x c
1 2
a
ax bx cx d 0 a 0
3 2
x1 x2 x3 • x x x b
1 2 3
a
• x x x d
1 2 3
a
• x x x x x x c
1 2 1 3 2 3
a
n
a xn … a x2 a x1 a 0
n 2 1 0
an 0
x1 x2 xn n • x x … x an1
1 2 n a
n
• x x … x 1n a0
1 2 n a
n
• x x x x … x x an2 1 2 1 3 n1 n a
n
2×2 x 3 0
2
x1 x2 x3 3
x1 x2 x3
3 1 3
1
x1 x2 x1 x3 x2 x3 3
x 4x x 4 0
4
x1 x2
x3
b x a
x2
4
x3 1
x1 x2
x3
4
x 3×2 4x 2 0
1 3i
1 3i
1 i
2 i
1 i
1 i
2 i
1 i
1
3i
1
3i
x 1 px x3 3×2 4x 2
sx
–qx–
r⏞x
px x 1 x2 2x 2 0
x 2x 2 0
22 4 1 2 4 8 4
x 2 2i 1 i
x 2 1
1 2
2 2i
1 i
e 1 i
são as
raízes.
x2
2 1 i
x3 3×2
4x 2 0
1 1 i
1 i
x3 m 2x2 1 mx 2 0
px x3 m 2x2 1 mx 2
p1 0
p1 13 m 2 12 1 m1 2 0
1 m 2 1 m 2 0 2m 2 0 m 1
x 9x 30x 44x 24 0
x1 x2
x3
x4
an1
an
x1 x2 x3 2
an1 9
an 1
2 2 2 x4
9 6 x
1 4
9 x4
9 6 3
S 2 tripla; 3
px qxsx rx
sx
rx sx x c
rx 3
–––qx –––
sx
r⏞x
px 3×3 2×2 x 1 x c 3
p1 2
p1 3 13 2 12 1 1 1 c 3
2 1 1 c 3 2 3 1 c 1 1 c c 2
c 2
–––qx –––
px
sx
r⏞x
px 3×3 2×2 x 1 x 2 3
px 3×4 6×3 2×3 4×2 x2 2x x 2 3 px 3×4 8×3 5×2 3x 5
c 2
px 3×4 8×3 5×2 3x 5
ℂ
𝑅(𝑧) = 𝑎 ∈ ℝ
𝖿𝑚(𝑧) = 𝑏 ∈ ℝ
𝑏 = 0 ⇒ 𝑧 = 𝑎
𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 ⇒ 𝑧 = 𝑏
1 =
2 = −1
3 = 2 ∙ = (−1) ∙ = −
4 = (2)2 = (−1)2 = 1
0 = 4 = 1
} ⇒ 𝑛 = 𝑟
𝑧 = 2000 + 2001 + 2002 + 2003 = 0 + 1 + 2 + 3 = 1 + − 1 − = 0
= 𝑎 + 𝑏 w = 𝑐 + 𝑑
𝑧 + w = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 + w = (2 + 3) + (1 − 2) = (2 + 1) + (3 − 2) = 3 +
𝑧, w, 𝑝 ∈ ℂ (𝑧 + w) + 𝑝 = 𝑧 +
(w + 𝑝)
𝑧, w ∈ ℂ
(𝑧 + w) = (w + 𝑧)
𝑧 ∈ ℂ 0 = 0 + 0
𝑧 ∈ ℂ −𝑧 ∈ ℂ 𝑧 + (−𝑧) = 0
𝑧 − w = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 − w = (2 + 3) − (1 − 2) = (2 − 1) + (3 − (−2)) = 1 +
5
𝑧w = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
𝑧 = 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧w = (2 + 3)(1 − 2) = (2.1 − 3(−2)) + (2(−2) + 3.1) = 8 −
𝑧, w, 𝑝 ∈ ℂ (𝑧w)𝑝 = 𝑧(w𝑝)
𝑧, w ∈ ℂ (𝑧w) = (w𝑧)
𝑧 ∈ ℂ 1 = 1 + 0
𝑧. 1 = 𝑧 = 1. 𝑧
𝑧 ∈ ℂ 𝑧−1 ∈ ℂ 𝑧𝑧−1 = 1
𝑧w−1 = 𝑧
w
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∈ ℂ
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏 ∈ ℂ
𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑅(𝑧) = 2𝑎
𝑧𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 + 𝑏2
= 2 + 3 w = 1 − 2
𝑧 = 2 + 3 = (2 + 3)(1 + 2) = 2 + 4 + 3 − 6 = −4 + 7
w 1 − 2
(1 − 2)(1 + 2)
1 + 4 5
w = 1 + 2
𝑐o𝑠 = 𝑎
|𝑧|
𝑠e𝑛 = 𝑏
|𝑧|
– 𝑎 = |𝑧|𝑐o𝑠
– 𝑏 = |𝑧|𝑠e𝑛
𝑧 = 𝑎 + 𝑏
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 = |𝑧| cos() + |𝑧|𝑠e𝑛() = |𝑧|(𝑐o𝑠 + 𝑠e𝑛)
𝑐o𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐o𝑠(𝛼)𝑐o𝑠(𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼)𝑠e𝑛(𝛽)
𝑠e𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠e𝑛(𝛼)𝑐o𝑠(𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛽)𝑐o𝑠(𝛼)
𝑧1 = 𝜌1(cos 𝛼 + 𝑠e𝑛 𝛼) 𝑧2 = 𝜌2(𝑐o𝑠𝛽 + 𝑠e𝑛 𝛽)
𝑧̅1 = 𝜌1(cos(−𝛼) + 𝑠e𝑛(−𝛼)) = 𝜌1(cos(𝛼) − 𝑠e𝑛(𝛼))
𝑧1𝑧2 = 𝜌1𝜌2[𝑐o𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 + 𝛽)]
𝑧1 = 𝑧1̅𝑧̅2̅ = 𝜌1𝜌2 (cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 − 𝛽))
𝑧2
𝑧2 ̅𝑧̅2̅
(𝜌2 )2
= 𝜌1 (cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑠e𝑛(𝛼 − 𝛽))
𝜌2
𝑧2 = 3(cos 60o + 𝑠e𝑛 60o)
𝑧1 = 2(cos 30o + 𝑠e𝑛30o)
𝑧1𝑧2 = 6(cos(30o + 60o) + 𝑠e𝑛(30o + 60o)) = 6(cos(90o) + 𝑠e𝑛(90o))
𝑧1 = 2 (cos(30o − 60o) + 𝑠e𝑛(30o − 60o) = 2 𝑐o𝑠(30o − 𝑠e𝑛(30o)))
𝑧2 3 3
= 𝜌(cos + 𝑠e𝑛 ) 𝑛 ∈ ℤ
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 [𝑐o𝑠(𝑛) + 𝑠e𝑛(𝑛)] 𝑛
𝑧4 = 24 (cos 4𝜋 + 𝑠e𝑛 4𝜋) = 16 (cos 2𝜋 + 𝑠e𝑛 2𝜋)
6 6 3 3
𝑧−2 = 2−2 (cos −2𝜋 + 𝑠e𝑛 −2𝜋 1 𝜋 𝜋
6 6 ) = 4 (cos − 3 + 𝑠e𝑛 − 3) =
1 𝜋 𝜋
= 4 (cos 3 − 𝑠e𝑛 3)
𝜌0𝑛 (cos 𝑛0 + 𝑠e𝑛 𝑛0) = 𝜌(cos + 𝑠e𝑛).
𝜌0𝑛 = 𝜌 𝑛0 = ( ± 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ.
𝑧 ∈ ℂ
(𝑧0)𝑛 = 𝑧
𝑧𝑘 = 𝑛√𝜌 (cos (+2𝑘𝜋 ) + 𝑠e𝑛 (+2𝑘𝜋 )) 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1
𝑛 𝑛
= 0 (𝑧0)𝑛 = 𝑧 𝑧0 = 0.
𝑧𝑘 = (𝑐o𝑠 (2𝑘𝜋 ) + 𝑠e𝑛 (2𝑘𝜋 )) , 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1
𝑛 𝑛
𝑘 = 1
𝑧1 = 𝜔 = cos (2𝜋) + 𝑠e𝑛 (2𝜋)
𝑛 𝑛
𝑧 = 1.
𝑧2 = 𝜔2 = cos (4𝜋) + 𝑠e𝑛 (4𝜋)
5 5
𝑧3 = 𝜔3 = cos (6𝜋) + 𝑠e𝑛 (6𝜋) 𝑧4 = 𝜔4 = cos (8𝜋) + 𝑠e𝑛 (8𝜋)
5 5 5 5
𝑧𝑚/𝑛 = 𝑛√𝜌𝑚 (cos (𝑚 +2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (𝑚 +2𝑘𝜋)) , 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1
𝑛 𝑛
𝑧 𝑧2/3 = 1 +
1 + = √2 (cos (𝜋) + 𝑠e𝑛 (𝜋))
4 4
𝑧2/3 = 1 + = (√2)2/3 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝑘𝜋 )) =
8 8
= 3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝑘𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝑘𝜋)), 𝑘 = 0,1,2
8 8
𝑧0 =
3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋)) ;
8 8
𝑧1 = 3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+2𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+2𝜋)) = 3√2 (𝑐o𝑠 (5𝜋) +
8 8 8
𝑠e𝑛5𝜋8;
𝑧2 =
3√2 (𝑐o𝑠 (3𝜋+4𝜋) + 𝑠e𝑛 (3𝜋+4𝜋)) = 3√2 (𝑐o𝑠 (7𝜋) + 𝑠e𝑛 (7𝜋)).
8 8 8 8
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = 0
(1 + ) (1 − )
(2 + ) (2 − )
(1 − 3) (1 − )
(−1 + ) (−1 − )
(1 − 3) (1 + 3)
− − 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2).
−
Δ = −4
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
=
= (𝑥 − 1) (𝑥 − (1 + )(𝑥 + (1 + ))) (1 + ) (1 − )
36 − 12 −12 − 36 12 − 36
12 + 36 −36 + 12
1 + a = 1 ⇒ a = 0 1 − 7 = d ⇒ d = −6 ⇒ − d = 3 d + b = 0 ⇒ b = 6
2
c + 1 = 3 ⇒ c = 2
a = 0, b = 6, c = 2 d = −6
(a + b)(c − d) = 6(2 + 6) = 12 − 36
{1 + 1 + 1 + 𝑥1 + 𝑥2 = 3
1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 𝑥1𝑥2 = 1
– {𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1𝑥2 = 1
𝑥1 = −𝑥2 (𝑥1)2 = −1
𝑥1 = −𝑥2
𝑥1 = ±
– {𝑥1 =
𝑥2 = −
{𝑥1 = −
𝑥2 =
= 𝑥𝑆 − 𝑥𝑄 = 𝑦𝑃 − 𝑦𝑄
( ) = √(𝑥 − 𝑥
)2 + (𝑦 − 𝑦 )2 = √(𝑥
− 𝑥
)2 + (𝑦 − 𝑦 )2
𝑆 𝑄
𝑃 𝑆
𝑃 𝑄
𝑃 𝑄
( ) = √(𝑥𝑃
− 𝑥𝑄
)2 + (𝑦
− 𝑦𝑄
)2 = √(0 − 6)2 + (0 − 0)2 = 6
( ) = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑅)2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑅)2 = √(0 − 3)2 + (0 − 5)2 = √9 + 25 =
= √34
= √(𝑥𝑄
− 𝑥𝑅
)2 + (𝑦
− 𝑦𝑅
)2 = √(6 − 3)2 + (0 − 5)2 = √9 + 25 =
= √34
( ) = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝑀)2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑀)2
( ) = √(𝑥𝑀
− 𝑥𝑄
)2 + (𝑦
− 𝑦𝑄)
(𝑥𝑃
− 𝑥𝑀
)2 + (𝑦𝑃
− 𝑦𝑀
)2 = (𝑥𝑀
− 𝑥𝑄
)2 + (𝑦
− 𝑦𝑄)
𝑥𝑀 = 𝑥𝑃 + 𝑥𝑄 𝑦𝑀 = 𝑦𝑃 + 𝑦𝑄
𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 +𝑥𝐶 𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 +𝑦𝐶
𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 +𝑥𝐶 = 2+𝑥+2 = 1 ⇔ 4 + 𝑥 = 3 ⇔ 𝑥 = −1
3 3
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 4 + 2 + 𝑦 = 2 ⇔ 6 + 𝑦 = 6 ⇔ 𝑦 = 0
𝐵 3
3
𝑥 = −1 𝑦 = 0.
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
= | | , = |𝑥𝐵 𝑦𝐵 1|.
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
𝑦 = 1
2 4 1
= = 4, D = |−1 3 1| = ±8.
𝑥 1 1
6 + 4𝑥 − 1 − 3𝑥 + 4 − 2 = 8 ⇔ 𝑥 = 1
6 + 4𝑥 − 1 − 3𝑥 + 4 − 2 = −8 ⇔ 𝑥 =
(1, 1) (−15, 1)
𝑟
𝑥 𝑦 1
𝑟: |𝑥𝐴 𝑦𝐴 1| = 0 ⇔ 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑎 = |𝑦𝐴 1| = (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) 𝑏 = − |𝑥𝐴 1| = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
𝑦𝐵 1 𝑥𝐵 1
𝑐 = │𝑥𝐴 𝑦𝐴 │ = (𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 )
𝑥𝐵 𝑦𝐵
𝐴 𝐵
𝐵 𝐴
𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑚 =
• 𝑚 > 0 𝑟
• 𝑚 < 0 𝑟
𝑚 = 0 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = 0 ⇔ 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵
𝑟
𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑎 𝑏 𝑐 = 0
𝑟: 2𝑥 +
− 2
3
(𝑥, 𝑦) = (2, 5) (𝑥0, 𝑦0) = (1, 3)
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) ⇔ 5 − 3 = 𝑚(2 − 1) ⇔ 𝑚 = 2
(−1, 4) (3, 6)
𝑟 𝑟
𝑦 − 𝑦0
= 𝑚𝐴𝐵
(𝑥 − 𝑥0
) ⇔ 4 − 6 = 𝑚𝐴𝐵
1
(−1 − 3) ⇔ 𝑚𝐴𝐵 = 2
(𝑚)
(ℎ) 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 = 𝑠 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 ≠ 𝑠
𝑚𝑟 ≠ 𝑚𝑠
𝑚𝑠 = −
𝑥0 𝑦0 1
|𝑥𝐴 𝑦𝐴 1|
( , 𝑟) = 𝑥𝐵 𝑦𝐵 1 = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|
√(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2
√𝑎2 + 𝑏2
𝑟: 𝑦 = 𝑥 − 1
= |−1 ∙ 2 + 1 ∙ 5 + 1| = ±4
( , 𝑟) = | |
√𝑎 2 +𝑏2
= ±4
√(−1)2 +12
= ±4 = ±2 2 = 2,83
√2
𝑐: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
𝑐: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥ℎ − 2𝑦𝑘 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
𝑟 > 0
: 𝑥2
: 3𝑥 + 7𝑦 − 21 = 0 𝑠 𝑟
3𝑥 + 7𝑦 − 2 = 0
3𝑥 + 7𝑦 − 16 = 0
3𝑥 − 7𝑦 − 2 = 0
7𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0
3𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0
𝑥 𝑦
6 2
𝜆: (𝑥 − (2))
+ (𝑦 − (−2))
2
= 𝑟2
(6 , −2) ⇒ (3 , −1)
2 2
3 ∙ 3 + 7(−1) + 𝑘 = 0 ⇔ 𝑘 = −2
• (ℎ, 𝑘)
• (𝑥1, 𝑦1) (𝑥2, 𝑦2)
• (𝑥𝐴1 , 𝑦𝐴1 ) (𝑥𝐴2 , 𝑦𝐴2 )
•
•
2𝑎 = 2𝑑( (𝑥𝐵1 , 𝑦𝐵1 )
) = 2𝑑( ) (𝑥𝐵2 , 𝑦𝐵2 )
• 2𝑏 = 2𝑑( ) = 2𝑑( )
• 2𝑐 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
0 ≤ 2𝑐 ≤ 2𝑎.
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)
𝑥2 𝑦2
𝑎2 + 𝑏2 = 1
𝑥
𝑥2 𝑦2
𝑎2 + 𝑏2 = 1
𝑦
𝑥2 𝑦2
𝑏2 + 𝑎2 = 1
(0,0)
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⇔ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 16 − 4 = 12 ⇔ 𝑏 = 2√3
+ (𝑦−2)2 = 1 ⇔ 𝑥 2 + (𝑦−2)2 = 1
16 12 16
|𝑑(𝑄, 𝐹_1 ) − 𝑑(𝑄, 𝐹_2 )| = 2𝑎
• 𝐶(ℎ , 𝑘)
• (𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)
•
• (𝑥𝐴1 , 𝑦𝐴1 )
(𝑥𝐵1 , 𝑦𝐵1 ) (𝑥𝐴2 , 𝑦𝐴2 )
(𝑥𝐵2 , 𝑦𝐵2 )
• 2𝑎 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
• 2𝑏 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
• 2𝑐 = 2𝑑( ) = 2𝑑(
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
0 ≤ 2𝑎 ≤ 2𝑐.
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2 −
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2 = 1
(𝑥1 , 𝑦1) (𝑥2 , 𝑦2)
𝑥
𝑥2 𝑦2
𝑎2 − 𝑏2 = 1
𝑦
𝑦2 𝑥2
𝑎2 − 𝑏2 = 1
𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0
𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0
– [(𝑥2 + 4𝑥 + 4) − 4] − [(𝑦2 − 6𝑦 + 9) − 9] − 6 = 0
– (𝑥 + 2)2 − (𝑦 − 3)2 =
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 2 ⇔ 𝑐 = √2
|𝑑(𝑃, 𝐹 ) = 𝑑(𝑃, 𝑑 )|
• (ℎ , 𝑘)
• (𝑥1 , 𝑦1)
•
• 𝑐 = 𝑑(
• 𝑝 = 2
(𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) o𝑢 (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)
𝑥 = ℎ −
= (ℎ + 𝑝 , 𝑘)
2
𝐹 = (ℎ , 𝑘 + 𝑝) 𝑦 = 𝑘 −
2
𝑥
𝑦2 = 2𝑝𝑥
𝑝 > 0
𝑝 < 0
𝑦
𝑥2 = 2𝑝𝑦
𝑝 > 0
𝑝 < 0
(𝑥 − 1)2 = 2𝑝(𝑦 − 2) ⇔ (𝑥 − 1)2 = 8(𝑦 − 2)
𝑥2 − 8𝑦 − 2𝑥 + 17 = 0
