Sistemas lineares são um conjunto de equações lineares que são resolvidas simultaneamente. Essas equações são compostas por variáveis e constantes, e as variáveis são multiplicadas por um coeficiente constante. O objetivo de resolver um sistema linear é encontrar as soluções das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Os sistemas lineares podem ser escritos na forma matricial, que é uma forma compacta de escrever todas as equações em uma matriz. A matriz é uma tabela retangular de números e é composta por coeficientes das variáveis e as constantes da equação. A solução de um sistema linear é encontrada resolvendo essa matriz, que pode ser feita por meio de operações elementares de linha, como a troca de linhas, multiplicação de linhas por um número e adição de linhas.

Os sistemas lineares podem ter uma solução única, várias soluções ou nenhuma solução, dependendo do número de equações e variáveis envolvidas. Se o número de equações for igual ao número de variáveis, o sistema linear pode ter uma única solução. Se o número de equações for menor do que o número de variáveis, o sistema linear pode ter várias soluções. Se o número de equações for maior do que o número de variáveis, o sistema linear pode não ter solução.

Existem diversas aplicações de sistemas lineares na matemática e em outras áreas, como a engenharia, a física e a economia. Por exemplo, os sistemas lineares podem ser utilizados para modelar o fluxo de materiais em uma fábrica, a distribuição de recursos em um sistema econômico ou a análise de circuitos elétricos.

Além disso, os sistemas lineares podem ser resolvidos de forma mais eficiente utilizando métodos numéricos, como o método de eliminação de Gauss e o método de decomposição LU. Esses métodos são baseados em operações elementares de linha e permitem a resolução de sistemas lineares com grande número de equações e variáveis.

Em resumo, os sistemas lineares são um conjunto de equações lineares que são resolvidas simultaneamente. Eles podem ser escritos na forma matricial e são resolvidos por meio de operações elementares de linha. Os sistemas lineares podem ter uma solução única, várias soluções ou nenhuma solução, e têm diversas aplicações em áreas como a engenharia, a física e a economia.