Problema de Competição Matemática: Harvard-MIT = PDF DOWNLOAD

 

 

 

 

 

 

Resolução de um Problema de Competição Matemática Envolvendo Múltiplas Composições de Função

 

Crislânio de Souza Macêdo,Críston Pereira de Souza

Universidade Federal do Ceará (UFC)

Caixa Postal 15.064 – 91.501-970 – Ceará – CE – Brazil

[email protected],[email protected]

 

Abstract

This work is related to the solution of a mathematical problem proposed in the annual tournament Harvard-MIT Mathematics Olympic.The text emphasizes the interdisciplinary aspect of the subject, focusing on the ideas and studies exposed in the disciplines of Basic Mathematics and Discrete Mathematics.

 

Keywords : Function. Mathematics. Problem Olympic

 

Resumo

Este trabalho trata-se da solução de um problema matemático proposto no torneio anual Harvard-Mit de Matemática Olímpica. O texto ressalta o aspecto interdisciplinar do tema, enfocando as ideias e estudos expostos nas disciplinas de Matemática Básica e Matemática Discreta.

 

Palavras-chave: Função. Matemática. Problema Olímpico

 

Este trabalho apresenta a resolução de um problema de competição matemática utilizando os conceitos de composição de função e sequências [2], assuntos estudados nas disciplinas de matemática básica e matemática discreta. Este problema, definido abaixo, foi proposto no torneio das universidades Harvard e MIT (Massachusetts Institute of Technology) no ano de 2011 [1].

 

PROBLEMA: Para todos os números reais x, seja f(x)=           1        .

201√1 1−x2011

Calcule   F =( f ( f ( f (… f ( 2011)))))²⁰¹¹   ,onde f é aplicada 2010 vezes.

Embora o problema proposto tenha enunciado simples, as soluções conhecidas para ele exigem vários passos e criatividade. Consideramos que a resolução apresentada a seguir é simples, mas chegar a esta resolução pela primeira vez é desafiador.

 

DEMONSTRAÇÃO [3]:

 

Denotamos a composição de funções da maneira indicada abaixo:

 

f ¹( x)= f ( x )= f                   f ²= f ( f ( x))= f ◦ f                   f ³= f ( f ( f ( x)))= f ◦ f ◦ f f ⁿ= f ◦ f ◦ f f ◦ f …◦ f

Utilizando esta notação, queremos calcular:

 

F =[ f ²⁰¹⁰ (2011)]²⁰¹¹=[ f ( f ( f (… f (2011)…)))]²⁰¹¹

Vamos calcular as primeiras composições ( [ f ¹] ,[ f ²] , [ f ³] ,[ f ⁴] ..𝖼 ):

 

f ¹= f ( x )=                       1                      

201√1  1−x2011

f ²= f ( f ( x))=            1  

201√1  1−[ f ( x)]2011

Substituindo o valor de    f ¹ em    f ² e simplificando a expressão, temos

 

√

f ²= f ( f ( x))=            1          

 

=                      1                      =                1

 

 

 

201√1  1−[ f ( x)]2011

201√1 1−[

1

201√1  1−x2011

]2011

2011 1− x2011−1

1−x2011

 

Note que, como 2011 é ímpar, temos que    201√1 −x²⁰¹¹=− x   .

=

−201√1 1−x2011

Portanto,    f ²                        .

x

 

f ³= f ( f ²( x))= f ◦ f ◦ f       =    f 3= f ( f 2 ( x))=             1   

201√1  1−[ f 2 ( x)]2011

=

−201√1 1− x2011                                                                                          3

 

Colocando                       f ²

x

em                       f

,                   obtemos

 

]

2011  1− −   √1−x     x

f ³= f ( f ²( x))=                   1                   = x.

 

√ [ 2011

2011  2011

 

 

Observe que    f ⁴ é a composição    f ⁴= f ( f ( f ( f ( x ))))=( f ( f ³))= f ◦ f ◦ f ◦ f          . Como                                   f ³( x )=x , temos que

 

f ⁴=( f ( f ³))=            1             =         1

 

= f ¹

 

 

Portanto,

201√1  1−[ f 3 ( x)]2011

201√1  1− x2011

 

 

 

f ¹= f ¹

f ²= f ²

f ³= f ³

f ⁴= f ¹

f ⁵= f ²

f ⁶= f ³

f 2008= f 1

f 2009= f 2

f 2010= f 3

 

 

 

De fato teremos três sequências de funções compostas em PA (progressão aritmética) .

1° Sequência de funções identicas a   f ¹      a_n =1+(n-1)3 =3n -2

Onde    an     é o termo geral,     1 é o 1° termo da sequência    n    é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão.                                       f ³ⁿ⁻² , n∈ℕ , { f ¹ , f ^4, f ^7, f ^10, f ^13,… , f ²⁰⁰⁵ , f ²⁰⁰⁸ }= f ³ⁿ⁻²= f ¹

2° Sequência de funções identicas a   f ²     a_n =2+(n-1)3 =3n -1

Onde    an     é o termo geral,     2 é o 1° termo da sequência    n    é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão.                                       f ³ⁿ⁻¹ , n∈ℕ , { f ² , f ^5, f ^8, f ^11, f ^14, … , f ²⁰⁰⁶ , f ²⁰⁰⁹}= f ³ⁿ⁻¹= f ²

3° Sequência de funções identicas a   f ³     a_n =3+(n-1)3 =3n

Onde    an     é o termo geral,     3 é o 1° termo da sequência    n    é o número a ser verificado na

 

composição e 3    é a razão.   f ³ⁿ , n ∈ℕ , { f ³ , f ^6, f ^9, f ^12, f ^15, … , f ²⁰⁰⁷ , f ²⁰¹⁰}= f ³ⁿ= f ³

 

Como 2010 é múltiplo de 3, temos que    f ²⁰¹⁰= f ³ .

Portanto,    F =[ f ²⁰¹⁰ (2011)]²⁰¹¹=[ f ³(2011)]²⁰¹¹=2011²⁰¹¹ .

 

Conclusões.

 

Concluímos que uma boa base matemática é importante para se chegar à solução de problemas como este. Consideramos também que a resolução deste tipo de problema desenvolve o raciocínio do aluno, e exige que o mesmo busque aprimorar sua base matemática.

 

Agradecimentos.

 

A Deus pela pela força, coragem e determinação durante o trabalho, A minha família pelo incentivo dedicação e apoio financeiro,

Aos meus irmãos Marcos Danillo ,Crislene Macêdo pela confiança,

Aos amigos Wellington Lucas, Douglas Galdino, Maike Bezerra pelo apoio, sugestões,

Ao prof°. Dr Críston Perreira de Souza pelo incentivo, sabedoria, paciência e disponibilidade . A Universidade Federal do Ceará, onde estudo.

 

Referências Bibliográficas.

 

• Olympiad Art of Problem Solving. Disponível em:

<https://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=139&>                                                                                                                                        Acesso em 04 de out. de 2013.

• Kenneth Rosen. Matemática Discreta e suas Aplicações. McGraw Hill – 2009
• Instituto Omagaleph de Educação Avançada. Disponível em: <https://omega4edu.org> Acesso em 05 de out. de 2013.