Problema de Competição Matemática: Harvard-MIT = PDF DOWNLOAD
Resolução de um Problema de Competição Matemática Envolvendo Múltiplas Composições de Função
Crislânio de Souza Macêdo,Críston Pereira de Souza
Universidade Federal do Ceará (UFC)
Caixa Postal 15.064 – 91.501-970 – Ceará – CE – Brazil
[email protected],[email protected]
Abstract
This work is related to the solution of a mathematical problem proposed in the annual tournament Harvard-MIT Mathematics Olympic.The text emphasizes the interdisciplinary aspect of the subject, focusing on the ideas and studies exposed in the disciplines of Basic Mathematics and Discrete Mathematics.
Keywords : Function. Mathematics. Problem Olympic
Resumo
Este trabalho trata-se da solução de um problema matemático proposto no torneio anual Harvard-Mit de Matemática Olímpica. O texto ressalta o aspecto interdisciplinar do tema, enfocando as ideias e estudos expostos nas disciplinas de Matemática Básica e Matemática Discreta.
Palavras-chave: Função. Matemática. Problema Olímpico
Este trabalho apresenta a resolução de um problema de competição matemática utilizando os conceitos de composição de função e sequências [2], assuntos estudados nas disciplinas de matemática básica e matemática discreta. Este problema, definido abaixo, foi proposto no torneio das universidades Harvard e MIT (Massachusetts Institute of Technology) no ano de 2011 [1].
PROBLEMA: Para todos os números reais x, seja f(x)= 1 .
201√1 1−x2011
Calcule F =( f ( f ( f (… f ( 2011)))))2011 ,onde f é aplicada 2010 vezes.
Embora o problema proposto tenha enunciado simples, as soluções conhecidas para ele exigem vários passos e criatividade. Consideramos que a resolução apresentada a seguir é simples, mas chegar a esta resolução pela primeira vez é desafiador.
DEMONSTRAÇÃO [3]:
Denotamos a composição de funções da maneira indicada abaixo:
f 1( x)= f ( x )= f f 2= f ( f ( x))= f ◦ f f 3= f ( f ( f ( x)))= f ◦ f ◦ f f n= f ◦ f ◦ f f ◦ f …◦ f
Utilizando esta notação, queremos calcular:
F =[ f 2010 (2011)]2011=[ f ( f ( f (… f (2011)…)))]2011
Vamos calcular as primeiras composições ( [ f 1] ,[ f 2] , [ f 3] ,[ f 4] ..𝖼 ):
f 1= f ( x )= 1
201√1 1−x2011
f 2= f ( f ( x))= 1
201√1 1−[ f ( x)]2011
Substituindo o valor de f 1 em f 2 e simplificando a expressão, temos
|
f 2= f ( f ( x))= 1
= 1 = 1
201√1 1−[ f ( x)]2011
201√1 1−[
1
201√1 1−x2011
]2011
2011 1− x2011−1
1−x2011
Note que, como 2011 é ímpar, temos que 201√1 −x2011=− x .
|
−201√1 1−x2011
Portanto, f 2 .
x
f 3= f ( f 2( x))= f ◦ f ◦ f = f 3= f ( f 2 ( x))= 1
201√1 1−[ f 2 ( x)]2011
|
−201√1 1− x2011 3
Colocando f 2
x
em f
, obtemos
|
|
f 3= f ( f 2( x))= 1 = x.
√ [ 2011
2011 2011
Observe que f 4 é a composição f 4= f ( f ( f ( f ( x ))))=( f ( f 3))= f ◦ f ◦ f ◦ f . Como f 3( x )=x , temos que
f 4=( f ( f 3))= 1 = 1
= f 1
Portanto,
201√1 1−[ f 3 ( x)]2011
201√1 1− x2011
f 1= f 1
f 2= f 2
f 3= f 3
f 4= f 1
f 5= f 2
f 6= f 3
f 2008= f 1
f 2009= f 2
f 2010= f 3
De fato teremos três sequências de funções compostas em PA (progressão aritmética) .
1° Sequência de funções identicas a f 1 an =1+(n-1)3 =3n -2
Onde an é o termo geral, 1 é o 1° termo da sequência n é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão. f 3n−2 , n∈ℕ , { f 1 , f 4, f 7, f 10, f 13,… , f 2005 , f 2008 }= f 3n−2= f 1
2° Sequência de funções identicas a f 2 an =2+(n-1)3 =3n -1
Onde an é o termo geral, 2 é o 1° termo da sequência n é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão. f 3n−1 , n∈ℕ , { f 2 , f 5, f 8, f 11, f 14, … , f 2006 , f 2009}= f 3n−1= f 2
3° Sequência de funções identicas a f 3 an =3+(n-1)3 =3n
Onde an é o termo geral, 3 é o 1° termo da sequência n é o número a ser verificado na
composição e 3 é a razão. f 3n , n ∈ℕ , { f 3 , f 6, f 9, f 12, f 15, … , f 2007 , f 2010}= f 3n= f 3
Como 2010 é múltiplo de 3, temos que f 2010= f 3 .
Portanto, F =[ f 2010 (2011)]2011=[ f 3(2011)]2011=20112011 .
Conclusões.
Concluímos que uma boa base matemática é importante para se chegar à solução de problemas como este. Consideramos também que a resolução deste tipo de problema desenvolve o raciocínio do aluno, e exige que o mesmo busque aprimorar sua base matemática.
Agradecimentos.
A Deus pela pela força, coragem e determinação durante o trabalho, A minha família pelo incentivo dedicação e apoio financeiro,
Aos meus irmãos Marcos Danillo ,Crislene Macêdo pela confiança,
Aos amigos Wellington Lucas, Douglas Galdino, Maike Bezerra pelo apoio, sugestões,
Ao prof°. Dr Críston Perreira de Souza pelo incentivo, sabedoria, paciência e disponibilidade . A Universidade Federal do Ceará, onde estudo.
Referências Bibliográficas.
- Olympiad Art of Problem Solving. Disponível em:
<https://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=139&> Acesso em 04 de out. de 2013.
- Kenneth Rosen. Matemática Discreta e suas Aplicações. McGraw Hill – 2009
- Instituto Omagaleph de Educação Avançada. Disponível em: <https://omega4edu.org> Acesso em 05 de out. de 2013.