Os números reais são um conjunto de números que inclui todos os números racionais e irracionais. Eles são uma das ferramentas mais importantes da matemática, sendo utilizados em diversos campos, como física, engenharia, economia e estatística, entre outros.

Os números reais são representados pelo símbolo ℝ, que pode ser lido como “conjunto dos números reais”. Esse conjunto é infinito e inclui todos os números que podem ser representados em uma reta numérica, desde o menor número negativo até o maior número positivo.

Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração, ou seja, são números que podem ser expressos como a razão de dois números inteiros. Por exemplo, 1/2, 3/4, -2/5 são números racionais.

Por outro lado, os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos na forma de fração e possuem uma representação decimal infinita e não periódica. Por exemplo, π (pi), √2 (raiz quadrada de 2) e e (número de Euler) são números irracionais.

Os números reais também incluem os números inteiros e os números decimais, que podem ser representados como frações decimais finitas ou infinitas periódicas.

Uma das propriedades importantes dos números reais é a sua densidade. Isso significa que, entre dois números reais diferentes, sempre existe um terceiro número real. Por exemplo, entre os números 1 e 2, existe o número 1,5.

Outra propriedade importante dos números reais é a sua continuidade. Isso significa que a reta numérica dos números reais é contínua e não possui “buracos” ou “lacunas”. Isso permite que as operações matemáticas como adição, subtração, multiplicação e divisão sejam realizadas de forma precisa e consistente.

Os números reais também possuem uma ordem natural, que é definida pela sua posição na reta numérica. Por exemplo, um número maior está à direita de um número menor na reta numérica.

Além disso, os números reais são fechados sob as operações matemáticas básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Isso significa que, ao realizar essas operações com números reais, sempre se obtém um número real como resultado.

Em resumo, os números reais são um conjunto infinito e contínuo de números que inclui todos os números racionais e irracionais. Eles possuem propriedades importantes, como densidade, continuidade e ordem natural, que os tornam fundamentais em diversas áreas da matemática e de outras ciências.