Os números complexos são um conjunto de números que incluem os números reais e uma nova unidade imaginária, representada pelo símbolo “i”. Eles foram criados para resolver equações que não podiam ser resolvidas com números reais, como equações quadráticas com raízes negativas.

Os números complexos são escritos na forma a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária. A parte real é um número real e a parte imaginária é um número real multiplicado pela unidade imaginária i. Por exemplo, o número complexo 2 + 3i tem parte real 2 e parte imaginária 3i.

A unidade imaginária i tem a propriedade i² = -1. Isso significa que, ao elevar a unidade imaginária ao quadrado, obtemos o valor negativo de um. Essa propriedade é fundamental para o uso de números complexos.

Os números complexos possuem diversas propriedades interessantes, como a adição e a subtração de números complexos, que são realizadas separando a parte real da parte imaginária e somando ou subtraindo cada parte individualmente. A multiplicação de números complexos é realizada utilizando as propriedades da unidade imaginária i, que é distributiva e associativa.

Além disso, os números complexos possuem um conjugado, que é o número complexo com a mesma parte real e a parte imaginária com o sinal trocado. Por exemplo, o conjugado de 2 + 3i é 2 – 3i. O conjugado de um número complexo é importante para a divisão de números complexos.

Os números complexos também podem ser representados no plano complexo, que é um plano cartesiano onde o eixo x representa a parte real e o eixo y representa a parte imaginária. Nesse plano, cada número complexo é representado por um ponto. A distância entre o ponto que representa um número complexo e a origem do plano é chamada de módulo do número complexo e é dada pela fórmula |z| = √(a² + b²), onde a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo.

Os números complexos têm aplicações em diversas áreas da matemática, como na teoria dos números, geometria analítica, equações diferenciais e teoria dos campos. Eles também são usados em engenharia elétrica, física e outras áreas da ciência para representar sinais e ondas complexas.

Em resumo, os números complexos são um conjunto de números que incluem os números reais e uma unidade imaginária i. Eles são escritos na forma a + bi e possuem diversas propriedades interessantes, como a adição, a subtração, a multiplicação e o conjugado. Os números complexos também podem ser representados no plano complexo e têm aplicações em diversas áreas da matemática e das ciências.