LIVRO: Geometria = PDF DOWNLOAD
Geometria
Prof.a Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz Prof.º Juliano Bona
2014
Copyright © UNIASSELVI 2014
Elaboração:
Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz Prof.º Juliano Bona
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
APRESENTAÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)!
Segundo Lobachevsky (apud Toledo; TOLEDO, 1997, p. 220), “Não há nenhum ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa vir a ser aplicado, mais cedo ou mais tarde, aos fenômenos do mundo real”. No decorrer deste curso de Licenciatura em Matemática, teremos oportunidade de concordar com ele. Na maioria das vezes, quando falamos em matemática, a primeira coisa que nos vem à cabeça são os números. Mas a matemática é muito mais que isso, ela está diretamente ligada à natureza. O próprio desenvolvimento da vida necessita da Matemática: a divisão exata das células e o número correto de cromossomos em cada uma delas é que vão determinar o novo ser, com todas as características de sua espécie. Este é apenas um exemplo que nos mostra a presença da matemática no mundo real.
Acredito que, de todos os ramos da Matemática, a geometria é campeã em aplicação no universo, no cotidiano e na natureza. Os antigos gregos já haviam percebido que a natureza é geométrica, e foi através da observação da natureza que chegamos ao desenvolvimento geométrico que temos hoje. Porque no mundo natural encontramos simetria, harmonia, regularidade e ordem. Encontramos também as mais variadas formas geométricas regulares e irregulares. No mundo mineral encontramos os sólidos geométricos, as formas esféricas e as secções cônicas. Basta pararmos um pouco e observar o mundo ao nosso redor. Tudo isso será facilmente reconhecido.
Existem também estruturas geométricas que não são visíveis a olho nu, como a dupla hélice de DNA presente no núcleo das células dos seres vivos, e os padrões irregulares das formas geométricas complexas, como de um floco de neve, estudadas nas últimas décadas pela geometria fractal.
A geometria é parte deste universo fantástico em que vivemos, e foi objeto de estudos de Euclides, que nasceu em 330 a.C. e é considerado o primeiro geômetra, passando por Leonardo da Vinci, que, além de engenheiro, pintor, escultor, filósofo, músico e poeta, estudou exaustivamente as proporções da forma humana, que resultou no famoso desenho (Homem Vitruviano) onde o corpo humano se encontra inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas proporções do quadrado; e chegando ao matemático alemão Gauss, que estudou uma geometria não euclidiana.
Caro(a) acadêmico(a), você está sendo convidado(a) a entrar neste mundo fascinante da Geometria, reconhecer suas formas, analisar sua importância, descobrir suas aplicações e se familiarizar com ela.
Porém, não se esqueça de refletir sempre, discutir com o grupo cada unidade estudada, analisar alternativas para solucionar situações-problema e criar caminhos novos para encontrar respostas. A Matemática nos permite fazer isso.
Profª. Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz Profº. Juliano Bona
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE.
Bons estudos!
UNIDADE 1 – NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA 1
TÓPICO 1 – NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS 3
1 INTRODUÇÃO 3
2 PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO 3
3 SEGMENTO DE RETA 6
4 SEMIRRETA 6
5 SEMIPLANO 7
6 AXIOMAS 8
RESUMO DO TÓPICO 1 11
AUTOATIVIDADE 12
TÓPICO 2 – POSIÇÕES DE RETAS 15
1 INTRODUÇÃO 15
2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 15
2.1 RETAS COPLANARES 15
2.1.1 Critério de paralelismo entre reta e plano 16
2.1.2 Critério de perpendicularidade entre reta e plano 17
2.1.3 Critério de perpendicularidade entre dois planos 17
2.2 RETAS REVERSAS 17
3 SEGMENTOS DE RETA 17
RESUMO DO TÓPICO 2 20
AUTOATIVIDADE 21
TÓPICO 3 – ÂNGULOS 23
1 INTRODUÇÃO 23
2 ÂNGULO 23
2.1 ÂNGULOS CONSECUTIVOS 24
2.2 ÂNGULOS CONGRUENTES 25
2.3 ÂNGULOS ADJACENTES 25
3 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 25
4 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS 26
4.1 ÂNGULO RETO 26
4.2 ÂNGULO AGUDO 26
4.3 ÂNGULO OBTUSO 27
5 SOMA DE DOIS ÂNGULOS 27
5.1 ÂNGULOS COMPLEMENTARES 27
5.2 ÂNGULOS SUPLEMENTARES 28
6 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 29
7 ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA
TRANSVERSAL 29
8 UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS 31
RESUMO DO TÓPICO 3 34
AUTOATIVIDADE 35
TÓPICO 4 – PROPORCIONALIDADE 37
1 INTRODUÇÃO 37
2 TALES DE MILETO E OS SEGMENTOS PROPORCIONAIS 37
3 TEOREMA DA PROPORCIONALIDADE 40
3.1 TEOREMA DE TALES 42
RESUMO DO TÓPICO 4 48
AUTOATIVIDADE 49
TÓPICO 5 – UNIDADES DE MEDIDA 53
1 INTRODUÇÃO 53
2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO 53
3 MEDIDAS DE ÁREA 55
4 MEDIDAS DE VOLUME 56
LEITURA COMPLEMENTAR 57
RESUMO DO TÓPICO 5 71
AUTOATIVIDADE 72
UNIDADE 2 – GEOMETRIA PLANA 75
TÓPICO 1 – FIGURAS POLIGONAIS 77
1 INTRODUÇÃO 77
2 POLÍGONO 78
2.1 ELEMENTOS DE UM POLÍGONO 81
2.2 POLÍGONOS REGULARES E CLASSIFICAÇÃO 82
2.3 DIAGONAL DE UM POLÍGONO 84
2.4 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS
DE UM POLÍGONO CONVEXO 86
2.5 MEDIDA DO ÂNGULO INTERNO E EXTERNO 89
RESUMO DO TÓPICO 1 91
AUTOATIVIDADE 92
TÓPICO 2 – TRIÂNGULOS 95
1 INTRODUÇÃO 95
2 TRIÂNGULOS E SEUS ELEMENTOS 97
3 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 98
3.1 QUANTO AOS LADOS 99
3.2 QUANTO AOS ÂNGULOS 100
4 PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS 100
5 PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 104
RESUMO DO TÓPICO 2 107
AUTOATIVIDADE 108
TÓPICO 3 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 111
1 INTRODUÇÃO 111
2 NOÇÃO DE CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA 111
3 CONGRUÊNCIA ENTRE TRIÂNGULOS 115
4 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 117
5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 124
5.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA 125
RESUMO DO TÓPICO 3 126
AUTOATIVIDADE 127
TÓPICO 4 – CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS 129
1 INTRODUÇÃO 129
2 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E SEMICIRCUNFERÊNCIA 132
3 CÍRCULO 133
3.1 SETOR CIRCULAR, SEGMENTO CIRCULAR E SEMICÍRCULO 134
RESUMO DO TÓPICO 4 136
AUTOATIVIDADE 137
TÓPICO 5 – ÁREA DE FIGURAS POLIGONAIS 139
1 INTRODUÇÃO 139
2 QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS 140
2.1 PARALELOGRAMOS 140
2.1.1 Propriedades dos paralelogramos 142
2.2 TRAPÉZIOS 142
3 ÁREAS 143
3.1 QUADRADO 143
3.2 RETÂNGULO 144
3.3 PARALELOGRAMO 145
3.4 LOSANGO 145
3.5 TRAPÉZIO 145
3.6 TRIÂNGULO 146
3.7 HEXÁGONO REGULAR 149
3.8 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR 149
RESUMO DO TÓPICO 5 151
AUTOATIVIDADE 153
TÓPICO 6 – ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES 155
1 INTRODUÇÃO 155
2 ÁREA DO CÍRCULO 156
3 ÁREA DO SETOR CIRCULAR 158
4 ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR 160
5 ÁREA DA COROA CIRCULAR 160
RESUMO DO TÓPICO 6 162
AUTOATIVIDADE 163
UNIDADE 3 – GEOMETRIA ESPACIAL 165
TÓPICO 1 – RELAÇÕES NO ESPAÇO 167
1 INTRODUÇÃO 167
2 RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO 167
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS 170
4 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO 171
5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 172
6 POLIEDROS 173
7 RELAÇÃO DE EULER 176
8 POLIEDROS DE PLATÃO 178
RESUMO DO TÓPICO 1 184
AUTOATIVIDADE 186
TÓPICO 2 – PRISMAS 189
1 INTRODUÇÃO 189
2 PRISMAS 190
2.1 CLASSIFICAÇÃO 191
2.2 PARALELEPÍPEDO 192
2.3 CUBO 193
2.3.1 Área e volume do cubo 195
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA 197
4 VOLUME DO PRISMA 201
RESUMO DO TÓPICO 2 204
AUTOATIVIDADE 205
TÓPICO 3 – PIRÂMIDES 207
1 INTRODUÇÃO 207
2 PIRÂMIDE 208
2.1 CLASSIFICAÇÃO 209
2.2 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE TRIANGULAR 210
2.3 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE QUALQUER 211
3 ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE 212
RESUMO DO TÓPICO 3 215
AUTOATIVIDADE 216
TÓPICO 4 – CILINDRO 217
1 INTRODUÇÃO 217
2 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO 218
3 VOLUME DO CILINDRO 219
RESUMO DO TÓPICO 4 223
AUTOATIVIDADE 224
TÓPICO 5 – CONE 227
1 INTRODUÇÃO 227
2 SECÇÃO MERIDIANA 228
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CONE RETO 229
4 VOLUME DO CONE 231
RESUMO DO TÓPICO 5 234
AUTOATIVIDADE 235
TÓPICO 6 – ESFERA 237
1 INTRODUÇÃO 237
2 VOLUME DA ESFERA 239
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA 240
LEITURA COMPLEMENTAR 242
RESUMO DO TÓPICO 6 246
AUTOATIVIDADE 247
REFERÊNCIAS 249
UNIDADE 1
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE
GEOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Esta unidade tem por objetivos:
• desenvolver o pensar geométrico e o raciocínio visual;
• compreender e resolver questões de paralelismo, perpendicularismo, se- melhança, proporcionalidade e simetria;
• identificar triângulos semelhantes e as relações de proporcionalidade;
• desenvolver a percepção espacial através da imagem, esclarecendo situa- ções abstratas e facilitando a comunicação da ideia matemática;
• utilizar as noções fundamentais da geometria na elaboração e solução de problemas contextuais.
PLANO DE ESTUDOS
Essa unidade está organizada em cinco tópicos. Em cada um deles você encontrará dicas, textos complementares, observações e atividades que lhe darão uma maior compreensão dos temas a serem abordados.
TÓPICO 1 – NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS TÓPICO 2 – POSIÇÕES DE RETAS
TÓPICO 3 – ÂNGULOS
TÓPICO 4 – PROPORCIONALIDADE TÓPICO 5 – UNIDADES DE MEDIDA
TÓPICO 1
NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Vamos começar a fazer nossa caminhada por este mundo maravilhoso chamado Geometria, esta que é considerada por muitos estudiosos como uma das áreas clássicas da matemática. Porém, para que possamos entender melhor o mundo da Geometria, é necessário que iniciemos nossos estudos pelo que há de mais elementar nesta disciplina, ou seja, suas noções primitivas: ponto, reta e espaço. A partir daí poderemos compreender as dimensões das formas geométricas. As noções de dimensão e espaço são relativamente simples, e você não terá dificuldade de compreendê-las. Na Geometria, estas noções são estabelecidas por meio de definições que irão alicerçar os conceitos futuros trabalhados nesta disciplina. Preparado(a) para está aventura? Então vamos nessa, “pé na estrada”.
2 PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO
Partimos para nossa viagem de um ponto, passaremos por retas, planos e sólidos. Estas figuras, como em uma viagem, são notadas no espaço físico. Na matemática, elas ganham um rigor conceitual específico sustentado às relações construídas no espaço de abstração matemática. Existe neste ponto uma relação estrita entre estas figuras no espaço físico e matemático. Deixando o rigor matemático para depois, vamos imaginar objetos reais que nos dão ideia destas formas:
• Um pequeno ponto em uma folha de papel nos dá a ideia de ponto geométrico.
• Um fio elétrico esticado de um poste a outro nos dá a ideia de uma parte da reta.
• A capa deste caderno de estudos nos dá a ideia de uma parte do plano.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
• O dado numerado que usamos para jogar nos dá a ideia de cubo.
É claro que podemos representar estas ideias, através de formas, numa folha de papel, e cada uma delas possui regras matemáticas claras para sua representação. Neste tópico, veremos como devem ser representadas.
Agora, observe as formas a seguir:
Temos na figura acima um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, representando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três dimensões. Como vivemos num mundo de três dimensões, todas as formas com mais dimensões fogem à nossa percepção.
Um ponto não tem dimensão. Podemos imaginar que ao posicionar um objeto sobre um ponto não teríamos como movimentá-lo sem que este não saia dos limites deste ponto. Ou seja, um local sem possibilidade de locomoção dimensional.
Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de comprimento à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Um segmento de reta é parte de uma reta, e pode ser medido, pois é finito. Por exemplo, poderia ser medido em cm.
Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento e largura aos lados do quadrado que está representando o plano. Neste caso, o quadrado é parte de um plano, e poderia ser medido, porque é finito e tem área. Por exemplo, poderia ser medido em cm2.
Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar o nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo representado na figura acima. Ele é parte de um espaço infinito, que pode ser medido. Por exemplo, poderia ser medido em cm3. Ele se assemelha muito aos objetos de nosso mundo físico.
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
A representação destas formas geométricas são:
a) O ponto é indicado por letras maiúsculas.
Exemplos:
A
Ponto A
B
Ponto B
b) A reta é indicada por letras minúsculas. Exemplos:
r s
Uma reta também pode ser indicada por dois de seus pontos. Exemplo:
Indicação:
AB (lê-se: “reta AB”)
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
c) O plano é indicado por letras gregas minúsculas: (alfa), (beta),
(gama) etc.
Exemplos:
Para as afirmações que usaremos nos próximos itens, teremos como base os postulados (axiomas) de Euclides, relacionando o ponto, a reta e o plano. No item 6 deste mesmo tópico serão apresentadas os axiomas.
3 SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta (“Estar entre” é uma noção primitiva que obedece aos axiomas).
Indicação: AB (Lê-se: “segmento AB”)
Perceba, acadêmico(a), que os pontos A e B são as extremidades e os pontos que estão entre A e B são pontos internos do segmento dado. Se os pontos A e B coincidem (A=B), dizemos que o segmento é nulo.
4 SEMIRRETA
Observe a figura abaixo:
Você pode verificar que em relação ao ponto A, a reta ficou dividida em duas partes:
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
Cada uma dessas partes é chamada semirreta, e o ponto A é chamado
origem das semirretas.
Exemplos de semirretas:
Indicação: AB
(lê-se: “semirreta AB”)
Indicação: MN
(lê-se: “semirreta MN”)
Indicação: PQ
(lê-se: “semirreta PQ”)
Dados dois pontos distintos A e B, em uma reta r, conforme representamos na figura abaixo. A semirreta AC de origem A é o conjunto dos pontos compreendidos no segmento AB e BC, para os quais B está entre A e C.
O ponto A é a origem da semirreta AC.
Se A estiver entre B e C, a semirreta AB e a semirreta ACsão opostas.
5 SEMIPLANO
Se r (lê-se r está contido em alfa) e r divide o plano em dois semiplanos.
A reta r é chamada reta origem.
Exemplo:
1 2
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
6 AXIOMAS
Neste momento, vale destacar a importância de, ao ensinar Geometria, contextualizar os conceitos explorados historicamente. Este movimento permite com que os alunos compreendam que estas relações matemáticas não surgiram no vazio, na cabeça de um desses gênios da história da ciência. Mas, que compreendam a série de fatores históricos e sociais que impulsionou o desenvolvimento de várias áreas do conhecimento. Levando estes aspectos em consideração, vamos à história de um dos principais autores da Geometria, Euclides.
FIGURA 1 – EUCLIDES
FONTE: Disponível em: <http://www.essaseoutras.xpg.com.br/os-10-matematicos-mais- importantes-da-historia-lista-completa-veja/>. Acesso em: 22 ago. 2012.
Euclides foi o primeiro grande estudioso da Geometria e sua obra principal, denominada “Os elementos”, alcançou mais de 1.500 edições. Apesar disso, ainda hoje, mais de dois mil anos depois, os estudos de Euclides continuam válidos e são a base da geometria estudada nas escolas. Além disso, podemos observar aplicações dos teoremas e relações euclidianas em vários campos da ciência como nas engenharias e áreas tecnológicas em geral.
TÓPICO 1 | NOÇÕES PRIMITIVAS E AXIOMAS
Os escritos deste grande matemático grego compõem-se de treze livros ou capítulos que contêm 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi desenvolvida sobre um grupo de definições, quase todas resultantes de observações experimentais, e em noções comuns (ou axiomas) e postulados.
Euclides sistematizou a geometria através do método dedutivo, que consiste em aceitar sem demonstração certas proposições a respeito de um sistema, neste caso, os axiomas, e demonstrar de maneira lógica, a partir dos axiomas, todas as proposições válidas do sistema, os teoremas.
Isto provocou uma série de discussões entre os matemáticos nos séculos seguintes. Atualmente ainda há postulados de Euclides, que sáo objetos de estudos e discussões. Este cenário é que originou o que chamamos hoje de Geometria Não Euclidiana. Mas isto é assunto para outros estudos.
Seguem alguns axiomas ou postulados relacionados aos elementos primitivos da geometria:
• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. (Quando falamos em “infinitos pontos”, significa “quantos pontos quisermos”).
• Num plano há infinitos pontos.
• Por um ponto passam infinitas retas.
• É possível traçar uma reta ligando dois pontos.
• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida no plano.
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.
• Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares) passa um e somente um plano.
• Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.
• Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
• Dada uma reta r e um ponto exterior P, existe exatamente uma reta que passa em P e é paralela a r. (O quinto postulado, do livro I, é o mais famoso dos postulados de Euclides e que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos).
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Para verificarmos os postulados de Euclides, na sequência dos nossos estudos, é importante definirmos os termos que utilizaremos neste Caderno de Estudos:
• Pontos Coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano.
• Pontos Colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Figura: é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana: é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
• Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
• Geometria plana: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
• Geometria espacial: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras espaciais.
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você viu que:
• O ponto, a reta e o plano são os elementos básicos da geometria.
• O comprimento: é definido em figuras ou formas que possuem UMA dimensão.
• O comprimento e a largura: são definidos em figuras ou formas que possuem DUAS dimensões (base e altura).
• O comprimento, largura e altura: são definidos em figuras ou formas que possuem TRÊS dimensões (comprimento, largura e profundidade).
• Um ponto sobre uma reta determina duas semirretas com origem no ponto.
• Dois pontos sobre uma reta determinam um segmento de reta.
• Considerando dois pontos distintos que chamaremos de A e B, temos:
A reta AB
O segmento AB
A semirreta AB
• Pontos Coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano.
• Pontos Colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Figura: é qualquer conjunto de pontos.
• Figura plana: é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.
• Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.
• Geometria plana: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.
• Geometria espacial: é parte da geometria que estuda as formas ou figuras espaciais.
A fim de melhor assimilar os conceitos estudados propomos a resolução das autoatividades a seguir:
1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça uma relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de pontos, retas e planos.
2 Os axiomas ou postulados de Euclides estabelecem relações primitivas entre os entes geométricos. Acerca dessas relações, analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Por um ponto passam infinitas retas.
( ) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta. ( ) Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.
( ) Por três pontos alinhados passam uma única reta.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – V.
b) ( ) V – V – F – V.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) V – F – V – F.
3 Para as sentenças do exercício 2 justifique a condição de serem falsas. 4 Complete as lacunas das sentenças a seguir:
• Quatro pontos distintos podem determinar um .
• Dado três pontos
contenha os três pontos.
sempre é possível traçar uma reta que
• Uma reta está totalmente contida em um plano quanto tem
pontos deste plano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) ponto – alinhados – dois – distintos.
b) ( ) plano – quaisquer – três – alinhados.
c) ( ) plano – alinhados – dois – distintos.
d) ( ) ponto – alinhados – três – alinhados.
TÓPICO 2
POSIÇÕES DE RETAS
1 INTRODUÇÃO
Chegamos a mais um estágio de nossa viagem pela geometria. Neste momento iremos analisar a posição relativa de retas no plano. Ao escutar a palavra meta, você, acadêmico(a), pode tentar visualizá-las em vários objetos que estão ao seu redor. Como por exemplo: na fuga que divide dois pisos, na aresta de uma mesa, ou na superfície lateral de uma folha de caderno. Você pode também pensar em qualquer reta suporte de uma forma geométrica. Por isso, sugerimos que você tenha por perto um prisma qualquer (pode ser um cubo de qualquer material), que manter usado para analisar as diferentes posições de retas que estudaremos a partir de agora.
2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
2.1 RETAS COPLANARES
Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano.
r
s
t
r, s, t são coplanares
Duas retas coplanares podem ser:
• Paralelas, quando não têm ponto comum.
Indicação r // s r ∩ s =
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
• Coincidentes, quando têm todos os pontos comuns.
r s = r e r s = s
Indicação: r s
também é o símbolo da congruência
• Concorrentes, quando têm apenas um ponto comum.
r s = {P}
Indicação: r s
• Perpendiculares, quando duas retas concorrentes formam entre si ângulos retos, dizemos que formam um tipo especial de concorrência e por isso são chamadas de retas perpendiculares.
Deste modo, duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes (têm ponto comum) e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.
Indicação: r s.
No plano cartesiano a base de referência são duas retas concorrentes ortogonais. Você estudará sobre a representação carteiana na disciplina de Geometria Analítica.
2.1.1 Critério de paralelismo entre reta e plano
Critério1: se uma reta é paralela a uma reta de um plano, é paralela ao
plano.
Critério 2: se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, os planos são paralelos.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES DE RETAS
2.1.2 Critério de perpendicularidade entre reta e plano
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, é perpendicular ao plano.
2.1.3 Critério de perpendicularidade entre dois planos
Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, os dois planos são perpendiculares.
Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por este ponto comum.
Indicação: r .
2.2 RETAS REVERSAS
Duas retas são reversas quando não são paralelas nem possuem ponto comum. Isto significa que não existe um plano que as contenha. Podemos imaginar uma reta r desenhada no chão de uma sala e uma reta t, não paralela a r, desenhada no teto da mesma sala.
3 SEGMENTOS DE RETA
Vamos estudar agora como podem ser dois ou mais segmentos de reta.
Iniciamos observando a figura a seguir:
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Como já vimos no Tópico 1, o conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos da reta entre A e B é chamado segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB. Os pontos internos do segmento AB são os pontos que estão entre A e B.
• Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, a extremidade de um coincide com a extremidade do outro.
Exemplos:
Os segmentos AB e BC das duas figuras acima possuem um extremo comum, B.
Logo, AB e BC são segmentos consecutivos
• Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta. Exemplos:
Na figura acima, AB r e CD r. Logo AB e CD são segmentos colineares.
Os segmentos AB e BC, da figura acima, são segmentos colineares. Observe que, nesse caso, os segmentos são também consecutivos. Dizemos então que AB e BC são segmentos colineares e adjacentes.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES DE RETAS
• Segmentos congruentes
A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de Euclides.
a) Todo segmento é congruente a si mesmo: AB ≡ AB.
b) Se AB ≡ CD , então CD ≡ AB .
c) Se AB
≡ CD e CD ≡ EF, então AB
≡ EF. Pela propriedade transitiva.
• Ponto médio de um segmento
Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está
entre A e B de tal forma que AM
MB.
Vale lembrar, acadêmico(a), até agora estamos apenas definindo a estética e a maneira como iremos abordar estas estruturas matemáticas. As relações geométricas, os cálculos e algebrismos que serão estudados nas próximas disciplinas estarão baseados na linguagem que estamos definindo.
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você viu que:
• Duas retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes.
• Quando duas retas concorrentes formam entre si ângulos retos, são chamadas perpendiculares.
• Se duas retas não estiverem no mesmo plano são chamadas reversas.
• Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um deles é também extremidade do outro.
• Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta.
• Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem em comum apenas uma extremidade, isto é, não possuem pontos internos comuns.
• A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de Euclides.
a) Todo segmento é congruente a si mesmo: AB AB.
b) Se AB CD , então CD AB .
c) Se AB CD
e CD EF, então
AB EF. Pela propriedade transitiva.
• Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está entre A e B de tal forma que AM MB .
1 Objetos com formato de prisma, como as embalagens de pizza, nos permitem verificar os conceitos de posições de retas estudados neste tópico. Assim, vamos observar a imagem com o olhar de geômetra, traçando retas suportes aos segmentos que definem os lados da embalagem, e responder aos questionamentos.
a) As retas AB e CD estão em que posição relativa? Explique.
b) As retas DE e AH são coplanares e paralelas? Por quê?
c) Identifique três exemplos de retas reversas.
d) Identifique três exemplos de retas perpendiculares.
e) Há exemplos de retas coincidentes? Justifique.
2 Segmentos de reta é a reunião de todos os pontos compreendidos entre dois pontos distintos. Partindo da definição de segmento de reta, analise as afirmações a seguir, e classifique V para verdadeiras e F para falsas.
a) ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b) ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c) ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d) ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e) ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f) ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V – F – F.
b) ( ) F – F – F – F – V – V.
c) ( ) V – F – V – F – V – V.
d) ( ) V – F – V – V – V – F.
3 Explique por que toda reta perpendicular é concorrente mas, nem toda reta concorrente é perpendicular.
4 Nossa viagem pela geometria já vai continuar. Agora vamos refletir um pouco sobre os conceitos aprendidos até aqui. Para fazer esta síntese o convidamos a escrever um pequeno texto exemplificando as diferentes maneiras que podemos visualizar estas estruturas geométricas no cotidiano. Vamos começar e você continua.
Segmento de reta: parte de uma corda compreendida entre duas pessoas que estão disputando um cabo de guerra…
TÓPICO 3
ÂNGULOS
1 INTRODUÇÃO
Há inúmeras aplicações dos estudos sobre ângulos em várias áreas científicas. Na área tecnológica, na construção civil, e muitos outros campos de pesquisa, é possível observar sua aplicabilidade principalmente para fazer medidas de arco. Estas e outras análises serão feitas ao longo desse tópico.
Ao observar um canto qualquer da parede da sala onde você está acompanhe a linha do rodapé até o canto de observação você pode considerar a linha do rodapé como um segmento de reta. Este segmento se encontra no canto, com outro segmento de reta que desce pela parede lateral. Os dois segmentos de reta, ou as duas retas-suporte concorrem neste ponto, formando um ângulo de 90º. O canto da parede onde as duas retas se encontraram, formando o ângulo, chamaremos de vértice.
Vamos continuar nossa viagem por mais um ponto muito importante da geometria.
2 ÂNGULO
A figura formada por duas semirretas de mesma origem chama-se ângulo.
Na figura acima, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as
semirretas
OA e OB
são chamadas de lados do ângulo.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Indicamos o ângulo AOB escrevendo: AÔB (lê-se “ângulo AOB”).
• ângulo raso ou de meia volta
A figura formada por duas semirretas opostas chama-se ângulo raso ou de meia volta.
raso.
m(AÔB) = 180º
Na figura acima OA
e OB são semirretas opostas. Então AÔB é um ângulo
A figura formada por duas semirretas coincidentes pode ser:
• Ângulo nulo
m(AÔB) = 0o
• Ângulo de uma volta
m(AÔB) = 360o
2.1 ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem um vértice e um lado comuns.
• AÔB e AÔC são consecutivos porque o vértice O e o lado OA são comuns.
• BÔC e AÔC são consecutivos porque o vértice O e o lado OC são comuns.
Na figura acima os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos, sendo a
semirreta
OA o lado comum. Mas, poderíamos dizer também que AÔB e BÔC
são consecutivos, tendo a semirreta OB como lado comum. Ou ainda, AÔC e BÔC
consecutivos, tendo a semirreta OC como lado comum.
2.2 ÂNGULOS CONGRUENTES
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
m(AÔB) = 50º m(AÔC) = 50º
Os ângulos AÔB e AÔC têm a mesma medida (50º).
Dizemos então que AÔB e AÔC são ângulos congruentes e escrevemos: AÔB AÔC (lê-se: “ângulo AOB é congruente ao ângulo AÔC”)
2.3 ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice e um lado comum e não possuem ponto interno comum.
Observe a figura:
• AÔB e BÔC são consecutivos porque o
vértice O e o lado
OB são comuns. E são
adjacentes porque não possuem ponto interno comum.
3 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz é um dos tipos de relações geométricas muito utilizada na geometria.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Vamos ao conceito: bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
4 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Vamos estudá-los.
4.1 ÂNGULO RETO
É aquele que tem por medida 90º. Exemplo:
O sinal indica que o ângulo é reto.
Você pode fazer o exercício de observar ao seu redor objetos e coisas que formam entre si um ângulo reto. Por exemplo, as paredes de sua casa, o pé da mesa com o chão entre outros.
4.2 ÂNGULO AGUDO
É aquele cuja medida é menor que 90º, ou menor que um ângulo reto. Exemplos:
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
Em algumas situações a palavra que tem um significado no contexto matemático é levada para outras áreas para cumprir uma determinada função. Por exemplo: o acento agudo é chamado dessa forma porque forma um ângulo menor que 90 graus com a parte superior da letra. Comece a observar como algumas palavras conceituadas matematicamente aparecem em outras áreas do conhecimento.
4.3 ÂNGULO OBTUSO
É aquele cuja medida é maior que 90º (ângulo reto) e menor que 180º. Exemplos:
Este ângulo lembra na prática uma rampa que pode ser pensada para várias finalidades. Perceba que os ângulos estão em quase todas as situações práticas. Para observá-los basta um “olho treinado”.
5 SOMA DE DOIS ÂNGULOS
5.1 ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90º são chamados
ângulos complementares.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Veja que os ângulos CO^ D e FP^ E são complementares, pois,
m(CO^ D)+m(FP^ E) = 90º.
Se dois ângulos, além de complementares, são também adjacentes, serão chamados ângulos adjacentes complementares.
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes complementares.
5.2 ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180º são chamados
ângulos suplementares.
180º.
Os ângulos AO^ B e MP^ Q são suplementares, pois m(AO^ B) + m(MP^ Q) =
Se dois ângulos, além de suplementares, são também adjacentes, eles se denominam ângulos adjacentes suplementares.
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes suplementares. Exemplos:
• A medida do complemento de um ângulo de 35º é 55º pois, 90º – 35º = 55º.
• A medida do suplemento de um ângulo de 35º é 145º pois, 180 – 35º = 145º. Generalizando:
• A medida do complemento de um ângulo que mede x é 90º – x.
• A medida do suplemento de um ângulo que mede y é 180º – y.
6 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
7 ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL
Duas retas paralelas, r e s, cortadas por uma transversal t, formam oito ângulos que, dois a dois, recebem nomes especiais, como veremos a seguir.
• Ângulos correspondentes
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Na figura, são correspondentes: 1 e 5
4 e 8
2 e 6
3 e 7
Observe também que os ângulos correspondentes
correspondentes são congruentes, isto é:
1 5
4 8
2 6
3 7
Vamos agora estudar detalhadamente cada par de ângulos:
• Ângulos alternos internos
Na figura, são alternos internos: 4 e 6
3 e 5
Lembre-se de que 4 6
3 5
• Ângulos colaterais internos
Na figura, são colaterais internos: 4 e 5
3 e 6
Lembre-se de que:
m(3) + m (6) = 180º e m(4) + m(5) = 180º.
• Ângulos alternos externos
Na figura, são alternos externos: 1 e 7
2 e 8
Lembre-se de que 1 7 assim como
2 8
• Ângulos colaterais externos
Na figura, são colaterais externos 1 e 8
2 e 7
Lembre-se de que:
m(2) + m(7) = 180º e m(1) + m(8) = 180º.
8 UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
A medida de ângulo é adotada internacionalmente por graus e radianos (rad). O grau é representado por um número real positivo (Ex. 1º) e tem por subdivisões minutos e segundos. Um minuto se representa por 1’ e um segundo por 1’’. Assim, um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto se divide em sessenta segundos (60’’).
Exemplo:
Se um ângulo mede 25º, 15 minutos e 6 segundos, escrevemos 25º15’6’’. O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor.
FIGURA 2 – TRANSFERIDOR
FONTE: Os autores
Por meio da medida do comprimento da circunferência determina- se a medida de um radiano. Você aprenderá profundamente na disciplina de Trigonometria e Números Complexos como se dá a relação de unidade de arco no ciclo trigonométrico.
Por ora observe a figura e perceba que as unidades de grau e de radiano estão localizadas no mesmo local.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 3 – CICLO TRIGONOMÉTRICO
FONTE: Disponível em: <http://bevilaqua.wordpress.com/files/2008/03/circtri3.jpg>. Acesso em: 30 ago. 2012.
Para conversão de radianos para graus ou de graus para radianos basta montar uma regra de três utilizando uma das relações de equivalência.
Exemplo:
Converter 20 graus em radianos utilizando a relação usual.
Você percebeu, que ao longo desse tópico estamos definindo os tipos de ângulos. Nesse momento é importante notar a linguagem utilizada para descrever os diferentes ângulos e suas representações geométricas. Esta ponte é fundamental para que possamos prosseguir em nossos estudos.
TÓPICO 3 | ÂNGULOS
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você viu que:
• Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas orientadas) a partir de um ponto comum.
• Ângulos consecutivos: quando possuem uma vértice e um lado comum.
• Ângulos congruentes: quando possuem a mesma medida.
• Ângulos adjacentes: quando possuem vértice e lado comum e não possuem ponto inteiro comum.
• Bissetriz: é a semirreta com origem no vértice do ânculo que o divide em dois ângulos congruentes.
• Ângulo reto: que tem medida 90º.
• Ângulo agudo: que tem medida MENOR que 90º.
• Ângulo obtuso: que tem medida MAIOR que 90º e MENOR que 180º.
• Ângulos complementares: quando a soma dos ângulos é IGUAL a 90º.
• Ângulos suplementares: quando a soma dos angulos é IGUAL a 180º.
• Ângulo opostos pelos vértices: quando os lados de um deles é semirreta oposta aos lados do outro.
• Os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal podem ser: correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos ou colaterais externos.
• Relação entre as unidades de medida de arco: radianos e graus.
• Um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto tem sessenta segundos (60”).
• UA relação usual para converter graus em radianos e vice e versa é 180º = rad
Vamos aprofundar os conhecimentos deste tópico. Lembre-se que geometria é o estudo das formas! Então procure desenhar as representações ao resolver as autoatividades.
1 Classifique cada afirmação a seguir em V para verdadeira ou F para falsa, de acordo com os estudos realizados neste tópico:
( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
( ) Dois ângulos suplementares podem ser dois ângulos retos. ( ) Dois ângulos adjacentes são complementares.
Agora assinale a alternativa correta:
a) ( ) V – V – F – F.
b) ( ) F – F – V – F.
c) ( ) F – V – F – V.
d) ( ) F – V – V – F.
2 Se um ângulo mede 35º, então seu complemento mede:
a) 65º
b) 145º
c) 45º
d) 55º
3 Escreva uma equação em cada situação para determinar as medidas dos ângulos:
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36º.
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º.
4 Converta os seguintes ângulos em radianos:
a) 15º
c) 150º
d) 300º
5 Agora faça o oposto, transforme os radianos para graus:
a) 75º
b) 15º
c) 90º
7 Calcule o suplemento dos ângulos:
a) 155º45’
b) 120º
d) 22º32’
8 Verifique se os ângulos são de fato opostos pelo vértice.
TÓPICO 4
PROPORCIONALIDADE
1 INTRODUÇÃO
Vamos continuar nossa viagem pela geometria. Supondo que você queira calcular a altura de um determinado prédio ou igreja, ou que você trabalhe em uma área que as unidades de medida de altura são importantes: como encontrar a medida de altura de qualquer objeto sem precisar subir no mesmo? Será que é possível fazer isso?
Veremos que com alguns conceitos de proporcionalidade poderemos fazer este tipo de cálculo. Estes conceitos são importantes para vários ramos da ciência como, por exemplo, na construção civil.
Abordaremos também que estes conceitos foram sendo construindo ao longo da história e que foi Tales, matemático nascido em Mileto, por volta de 640 a. C, um dos primeiros grandes pensadores a utilizar princípios de proporcionalidade para medir a altura das pirâmides do Egito.
2 TALES DE MILETO E OS SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Tales era um próspero negociante, engenheiro e astrônomo da antiga Grécia. Viveu numa época em que os estudiosos se dedicavam a todas as disciplinas, e ele era um deles. Certa ocasião, quando viajou para o Egito, o Faraó o convidou para determinar a altura da grande pirâmide.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 4 – TALES DE MILETO
FONTE: Disponível em: <www.portalsaofrancisco.com.br>. Acesso em: 6 set. 2012.
A pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente.
Dado o desafio Tales ficou por várias horas sentado na areia observando e estudando a pirâmide, e percebeu que a sombra da pirâmide (assim como a sombra de qualquer objeto) é proporcional à sua altura. Então, ele fincou seu cajado verticalmente no solo, no final da sombra projetada pela pirâmide.
A
Comprimento da sombra
B
C
E
Metade da base D
A figura acima nos dá ideia da situação. Assim como a pirâmide, o cajado também projetou sombra. A altura do cajado e sua sombra podiam ser medidas. A sombra da pirâmide também podia ser medida. Conhecidas estas três medidas, era possível encontrar a quarta, que era a altura da pirâmide.
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
Se observarmos novamente a figura acima, veremos dois triângulos retângulos semelhantes: um formado pela pirâmide e sua sombra e outro pelo cajado de Tales e sua sombra. Podemos representá-los assim:
A
Como os triângulos são semelhantes por terem os ângulos correspondentes congruentes, Tales estabeleceu a seguinte relação entre os segmentos:
AB = CD BD DE
Então a altura da pirâmide e sua sombra são proporcionais, assim como a altura do cajado e sua sombra. Desta forma, a razão entre o comprimento da sombra do cajado e a sombra da pirâmide é a mesma que a razão entre a altura do cajado e a altura da pirâmide.
Assim, basta saber a medida do cajado e as duas sombras para então calcular a altura da pirâmide. Não necessitando subir na pirâmide para saber qual é a medida de sua altura. Desta mesma maneira, nós podemos encontrar a altura da torre da igreja ou de determinado objeto de que queiramos medir a altura sem precisar subir nele.
Desta mesma maneira, nós podemos encontrar a altura da torre da igreja ou de determinado objeto de que queiramos medir a altura sem precisar subir nele.
Que tal repetir a experiência de Tales?
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Use uma vareta qualquer, finque-a verticalmente no solo, meça seu comprimento, o comprimento da sua sombra e a sombra da torre, no mesmo instante.
Vamos supor que você usou uma vareta de 30 cm e que neste instante a sombra por ela projetada é de 15 cm. Sabendo que a medida da torre é 13 m. Qual será a altura desta torre?
As razões na mesma unidade de medida (cm), que formam a proporção ficarão assim:
15cm = 30cm
1300cm xcm
Fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos teremos:
15 x = 1300 30
x = 39000
15
x = 2600 cm
Ou 26 m.
Então, concluímos que a altura da torre é 26 m.
3 TEOREMA DA PROPORCIONALIDADE
A partir das áreas dos triângulos vamos verificar algumas propriedades para definir o importante Teorema da Proporcionalidade.
Denotamos os vértices de um triângulo ABC e quando nos referimos às medidas desses lados, as denotamos por AB, BC e CA, respectivamente.
Partiremos da seguinte afirmação: “Em um triângulo ABC qualquer, um segmento DE, paralelo a BC e com os pontos D e E sobre os lados AB e AC respectivamente. Determina sobre esses lados segmentos proporcionais, de forma que: AD AE ”.
DB EC
Vamos mostrar que a afirmação acima é verdadeira passo a passo:
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
1) Traçamos EF perpendicular ao AB e os segmentos BE e DE .
Você pode observar que os triângulos ADE e ABE têm a mesma altura h, em relação aos lados AD e DB, respectivamente.
2) Escrevemos a área dos dois triângulos:
AD.h
Área do triângulo ADE =
Área do triângulo DEB = A razão entre as áreas é:
2
AB.h 2
AD.h
Área do triângulo ADE =
Área do triângulo DEB
2
AB.h 2
= AD AB
3) Voltamos à nossa figura inicial, vamos traçar um segmento DG
perpendicular a AC e o segmento DC.
Os triângulos ADE e ADC têm a mesma altura h´, em relação aos lados AE
e EC, respectivamente.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
4) Como fizemos anteriormente, escrevemos as áreas dos dois triângulos:
Área do triângulo ADE = AE.h’
2
Área do triângulo DEC = AC.h’
2
A razão entre as áreas é:
Área do Triângulo ADE=
Área do triângulo DEC
AE.h’ 2
AC.h’ 2
= AE AC
Usualmente tratamos estas relações de proporcionalidade com os dizeres: “ A está para D assim como A está para B”. De modo analógo para a segunda relação teremos, A está para E assim como A está para C.
A
AD AB
e AE AC
B C
No papiro de Rhind, de 1650 a.C. — um dos mais antigos documentos matemáticos existentes — aparecem, num problema, indícios do conhecimento da propriedade da proporcionalidade, mas não a sua demonstração.
3.1 TEOREMA DE TALES
O teorema de proporcionalidade está relacionado ao Teorema de Tales, que tem por enunciado:
“Se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra”.
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
Observe na figura, as retas r, s e t, que juntas formam um feixe de retas paralelas. Todas estão cortadas pelas retas transversais u e m.
A reta u determina com as retas paralelas os segmentos AB e BC e a reta m
determina os segmentos PR e RQ.
Pelo enunciado do Teorema de Tales temos que:
PR = AB
RQ BC.
Para provar isso vamos traçar pelo ponto A uma reta v paralela a m. Ela determina os pontos G e H nas retas s e t, conforme a figura a seguir:
Temos então a proporcionalidade: AG = AB
GH BC
Porém, como PAGR e RGHQ são paralelogramos podemos afirmar que: AG = PR e GH = RQ.
Conforme a demonstração vista anteriormente no teorema da proporcionalidade temos que: PR = AB
RQ BC
Lemos a relação de proporcionalidade como P está para R como R está para Q e, A está para B assim como B está para C.
Bem, agora que conhecemos toda a parte teórica, vamos ver como podemos aplicar o teorema de Tales.
Vamos iniciar com a ideia do mapa de um bairro de uma cidade qualquer.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Observe que na Avenida 2, entre a Rua B e a Rua C, não conhecemos a distância em metros. Como se trata de um número desconhecido, a princípio chamaremos esta distância de X.
Como as Ruas A, B e C são paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales, considerando a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas e pelas transversais avenidas 1 e 2.
Assim:
25 = 30
40 x
Fazendo o produto dos meios e dos extremos teremos:
25x = 4030
25x = 1200
x = 1200
25
x = 48m
Então, a distância desconhecida no mapa é de 48 m.
Caso tenhamos mais de duas retas transversais num feixe de paralelas, como aplicamos o Teorema de Tales? Vamos ver:
Observe o feixe representado na figura abaixo. As retas a, b e c são paralelas cortadas pelas transversais r, s e t:
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
Pelo teorema de Tales sabemos que:
AD = BE e BE = CF
DG EH EH FI
Então, podemos escrever que: AD = BE = CF
DG EH FI
Entre os teoremas em que mais podemos perceber e analisar situações práticas é o de Tales. Em diversos ramos da ciência podemos observar essa ferramenta aparecendo como mote analítico. Por este motivo, você pode mostrar para seus alunos alguns exemplos práticos dessa vertente geométrica. Acreditamos que este seja um dos caminhos para motivar os alunos a se interessarem mais pela geometria. Neste sentido, apresentamos dois exemplos que você pode utilizar em futuras práticas pedagogicas.
Exemplo 1: Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado bairro, o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base nas informações da planta. A situação está ilustrada na figura:
FIGURA 5 – PLANTA DE UMA QUADRA
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Com base na planta o engenheiro deve calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz o teorema de Tales, deste modo podemos utilizá-lo.
Exemplo 2: Em um projeto de instalação elétrica de um edifício, conforme apresentado na figura, você percebe que os dois fios r e s são transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, vamos calcular o comprimento dos fios x e y da figura.
FIGURA 6 – PROJETO DE INSTALAÇÃO ELÉTRICA
FONTE: Os autores
TÓPICO 4 | PROPORCIONALIDADE
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
15 = 10
6 x
15x = 60
x = 60
15
x = 4cm
Observe que estes dois exemplos podem ser explorados na prática pedagógica. Sugerimos que organize a construção de maquetes com os demais para melhor assimilação dos conceitos estudados.
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico você viu que:
• Tales de Mileto calculou a altura da pirâmide de Quéops utilizando os conceitos de proporcionalidade.
• Dado dois triângulos com altura igual e base proporcional, a razão da área destes triângulos obdecem uma relação de proporção.
AD = AE
DB EC
• Teorema de Tales: quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais.
PR = AB
RQ BC
As atividades a seguir são importantes na fixação do conteúdo que você acabou de estudar. Não deixe de fazê-las! Exercitando:
2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dizemos que formam uma proporção se o produto dos meios for igual ao produto dos
extremos, assim: a
b
= c Verifique se as relações a seguir definem proporções.
d
a)
b)
c)
d) 10 = 20
12 24
3 As linhas que pautam a folha do caderno são paralelas (conforme figura). Trace duas retas transversais e com o auxílio de uma régua meça a distância de uma linha a outra sobre a diagonal (estas medidas podem ser representadas por a, b, c e d). Agora, com o valor das medidas, calcule a proporcionalidade entre os segmentos.
Se você quiser pode medir linhas alternadas, não é necessário que as linhas sejam consecutivas.
4 Calcule a constante de proporcionalidade entre as grandezas x e y indicadas nas tabelas.
a)
b)
5 Multiplique os meios pelos extremos das proporções, resolva a equação obtida e assinale a opção que contém o valor do x e da constante de proporcionalidade, respectivamente.
a)
( ) 3; 0,6 ( ) 2; 1,67 ( ) 3; 0,3 ( ) 1,5 ; 2,85
b)
( ) 1,37; 11,62 ( ) 1,28; 9,62 ( ) 1,36; 3,64 ( ) 1,34; 12,9
c)
( ) -2; -0,7 ( ) -1; -1,7 ( ) 2; 0,7 ( ) -2; 1,7
6 O número de Ouro é um número irracional representado pela letra grega (fi) e vale, aproximadamente, 1,618. Segundo vários estudiosos da Beleza Áurea, o corpo humano tem padrões de beleza onde podemos verificar a secção áurea que se trata de uma proporcionalidade áurea.
Utilize uma fita métrica e verifique esta relação de proporcionalidade entre seus colegas.
TÓPICO 5
UNIDADES DE MEDIDA
1 INTRODUÇÃO
Vamos continuar a nossa caminhada definindo algumas unidades de medidas utilizadas na geometria do nosso cotidiano. Como por exemplo: o metro, metro quadrado e metro cúbico.
Certamente, você já percebeu que sempre medimos alguma coisa, utilizamos alguma grandeza como mensuração e fazemos, por exemplo: comprimento, tempo de duração de um acontecimento, quantidade de litros de água da piscina, temperatura, velocidade do carro, peso das pessoas, salário do trabalhador etc. Então, para medir uma grandeza, precisamos compará-la com outra de mesma natureza, usada como unidade de medida.
Durante nossos estudos, três unidades de medida serão muito usadas: metro linear, metro quadrado e metro cúbico. Então, é necessário que tenhamos estes três conceitos bem definidos.
2 MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão adotada mundialmente para medidas de comprimento, desde 1790, é o metro. Quando um grupo de estudiosos se reuniu na França, para organizar o sistema métrico, a unidade padrão, ou seja, o metro, foi determinado como uma fração da distância do pólo norte ao equador do globo terrestre. Hoje, com precisão muito maior, o metro é igual à distância que a luz percorre em certa fração de segundo.
O metro (m) pode ser dividido em 100 centímetros (cm) ou 1000 milímetros (mm). O múltiplo do metro mais usado é o quilômetro (km), que vale 1000 m. Quando medimos o comprimento de qualquer objeto ou lugar dizemos que usamos o metro linear.
Dependendo da situação prática em que as unidades de medidas são necessárias, usamos diferentes tipos de unidades de medida. Por exemplo: para medir pequenas coisas o mais conveniente é usarmos os milímetros, para medir o diâmetro de um parafuso. Já para analisar grandes medidas é mais prático utilizarmos os quilômetros, para medir o comprimento de uma rodovia.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
O sistema métrico decimal está dividido em múltiplos e submúltiplos do metro. Os múltiplos do metro são usados para realizar medições em grandes áreas ou distâncias, enquanto os submúltiplos são usados para realizar medições em pequenas distâncias.
Vamos observar os múltiplos e submúltiplos do metro:
Lembrando que:
km – quilômetro hm – hectômetro dam – decâmetro m – metro
dm – decímetro cm – centímetro mm – milímetro
As medidas de comprimento, no decorrer da história, sofreram muitas modificações. Durante muito tempo, partes do corpo do rei eram usadas para definir certas unidades. Assim foi com o pé, a jarda, o cúbito e a polegada. Estas medidas são usadas até hoje em algumas situações.
A milha é uma unidade de comprimento que não pertence ao sistema métrico, mas é muito usada pelos americanos. Corresponde a, aproximadamente, 1.609 m.
Há outras medidas de comprimento que são muito usadas e que não pertencem ao sistema métrico:
1 polegada = 2,54 cm
1 légua = 5.555 m
1 pé = 30 cm
3 MEDIDAS DE ÁREA
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
A unidade de medida de área é o metro-quadrado (m2). Muitas vezes se faz confusão nas medidas de área, pois um quadrado com 10 unidades de lado, na verdade tem 10 x 10 = 100 unidades de área.
Então, quando falamos em 100 cm2, estamos falando num quadrado com 10 cm de lado. Imagine que a figura a seguir tenha 10 cm de lado e que cada quadradinho tenha 1 cm2 de área:
Você já sabe que 1 cm = 10 mm, porém, 1cm2 = 100mm2. Acompanhe com atenção:
1m x 1m = 1 m2, ou:
100 cm x 100 cm = 10.000 cm2, ou ainda:
1000 mm x 1000 mm = 1.000.000 mm2
Então podemos concluir que: 1m2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
Na prática utilizamos as medidas de área nas mais diferentes situações. Por exemplo: para medir quantos metros quadrados de piso vou precisar para revestir determinada área de uma sala, quantos metros quadrados tem um terreno etc. Ou seja, os metros quadrados são largamente utilizados no nosso cotidiano.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Neste sentido, quando explicar esta parte da geometria para seus futuros alunos, enfatize a importância dessas medidas em situações práticas das mais diversas. Você pode organizar atividades práticas para que os alunos manipulem intrumentos de medida.
4 MEDIDAS DE VOLUME
A unidade de medida de volume é o metro cúbico (m3). Assim como fizemos com a medida de área, podemos mostrar que um cubo com 10 unidades de comprimento tem 10 x 10 x 10 = 1000 unidades de volume.
Acompanhe:
1m x 1m x 1m = 1m3
Mas, como um metro tem 100 cm, podemos dizer que:
100 cm X 100 cm X 100 cm = 1.000.000 cm3.
Agora pense num cubo com 10 cm de aresta. Como se trata de um cubo todas as medidas têm 10 cm.
Então, nosso cubo tem 10 x 10 x 10 = 1000 cm3.
Mas, 1 cm3 = 1 ml (mililitro = milésima parte de um litro). Assim, o cubo acima tem 1000 ml, ou seja, um litro.
E qual seria o volume, em cm³ e ml do bloco retangular a seguir?
As unidades de medida de volume também são largamente utilizadas. Por exemplo: a quantidade em metros cúbicos de água que cabe dentro de uma caixa d’água. A quantidade de milímetros cúbicos de sangue que uma determinada pessoa perdeu em um acidente. Dentre outros.
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
Vale aqui destacar que muitas transações econômicas utilizam as mais diferentes unidades de medida para calcular o custo de seus produtos. Ou seja, a importâncias dessas unidades transcendem as situações práticas diretas, atingindo várias aplicações em diferentes ramos da sociedade
LEITURA COMPLEMENTAR
OS INSTRUMENTOS DE DESENHO NAS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Ademir Moretto André Marcelo Santos de Souza
Saulo Vargas
O texto a seguir foi adaptado do Livro Métodos de Representação. Trata-se de uma leitura essencial para você, estudante de matemática e futuro professor, sobre a utilização dos instrumentos e desenho geométrico.
Durante seus estudos que envolverem conceitos de geometria procure sempre alinhar o desenho às outras formas de representação. Esta postura deve ser mantida quando você estiver atuando como professor. Para isto monte seu kit de desenho geométrico composto por: régua, compasso, transferidor e um par de esquadros.
Vamos, inicialmente, aprender a manipular os instrumentos de desenho para então construir alguns ângulos, bissetrizes, retas paralelas e perpendiculares.
Transferidor
Como já vimos o transferidor é um instrumento para medir ângulos, em graus. Ele pode ser encontrado em dois modelos.
Um deles contém um segmento de reta em sua base, é um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0° a 180°.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
O segundo modelo, também apresenta um segmento de reta em sua base, que é contornado por um círculo marcado com unidades de 0° a 360°, conforme pode ser observado na figura a seguir.
Modelo 2
Para utilizarmos estas ferramentas, seja o modelo de 180° ou o de 360°, primeiro você irá alinhar sua referência do desenho com a linha zero do transferidor e verificar a outra parte do ângulo na escala. Tenha cuidado com o lado em que você quer identificar o ângulo, pois o transferidor é graduado nos dois sentidos por isso deve ter atenção na hora de identificar o ângulo.
Esquadro
O esquadro é um instrumento de desenho que utilizamos para desenhar retas verticais, com o apoio de uma régua, e ângulos principais os de medida 30º, 45º, 60º, 90º e combinações de ângulos usando dois esquadros.
O par de esquadros é usado como instrumento de desenho para solução de problemas de geometria. O par de esquadros é composto por um esquadro com o formato de um triângulo retângulo isósceles (dois lados com medidas iguais), com dois ângulos de 45º e outro com o formato de um triângulo retângulo escaleno (todos os lados com medidas diferentes), um ângulo de 30º e outro ângulo de 60º.
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
Compasso
O compasso é um instrumento para desenhar arcos de circunferência. Também serve para marcar um segmento numa reta com comprimento igual a outro segmento dado.
Um compasso é constituído por uma ponta seca, em forma de agulha, e outra ponta com um estilete de grafite que utilizamos para fazer as marcações.
É preciso cuidado quanto às pontas do compasso! A ponta de grafite você pode aparar com uma lixa, pelo lado de fora do compasso, para um traço mais preciso. As duas pontas devem estar na mesma altura. Para isto utilize os parafusos para regular. Observe esses detalhes na figura.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
Agora, que você já conhece os principais instrumentos utilizados na geometria, vamos aprender como utilizá-los em algumas construções geométricas.
CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS
Vamos começar nossas construções com os dois ângulos mais simples que temos para construir, com exceção de 180º e do 360º. São eles 60º e 120º.
Ângulo de 60º
O processo é muito simples:
1º passo: Traçamos um segmento de reta qualquer e marcamos um ponto sobre esse segmento (mais ou menos ao meio).
FIGURA 39 – 1º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
2º passo: Colocar a ponta seca do compasso no ponto inicial, construir uma meia lua, e marcar o ponto de intersecção entre a meia lua e o segmento de reta.
FIGURA 40 – 2º PASSO PARA 60º
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
FONTE: Os autores
3º passo: Mantendo a abertura do compasso que foi usada para construir a meia lua, coloque a ponta seca no ponto de intersecção marcado e trace uma marca sobre a meia lua.
FIGURA 41 – 3º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
4º passo: Marque um ponto na intersecção da marca feita com o compasso e a meia lua, depois trace uma semirreta que inicie no ponto inicial e passe por esse ponto.
FIGURA 42 – 4º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
Pronto! Temos um ângulo de 60º. Se quisermos fazer do outro lado, basta marcar o ponto do 2º passo no lado esquerdo ao invés do direito, como nós fizemos.
Ângulo de 120º Na verdade, ao construirmos um ângulo de 60º, como visto acima, acabamos
construindo um ângulo de 120º também, basta olhar “o outro lado”. Isso acontece porque 120º é suplementar de 60º.
Veja o ângulo de 60º que construímos no item anterior.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 43 – ÂNGULO DE 120 º – ESQUERDA
FONTE: Os autores
Então, sabemos que, o lado esquerdo, é 120º
Se quisermos construir 120º no lado direito, basta fazer o 60º no lado esquerdo.
FIGURA 44 – ÂNGULO DE 120 º – DIREITA
FONTE : Os autores
BISSETRIZ
É denominada bissetriz de um ângulo qualquer a semirreta que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
FIGURA 45 – BISSETRIZ
FONTE: Os autores
A semirreta OC divide o ângulo Ô em dois ângulos congruentes, AÔC ≅
CÔB.
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ
Usaremos apenas uma régua (pode ser o esquadro) e um compasso.
Sejam duas semirretas com ponto inicial O e com um ângulo qualquer entre elas.
FIGURA 46 – PASSO 0 PARA BISSETRIZ
FONTE: Os autores
1º passo: Colocamos a ponta seca do compasso no ponto inicial e fazemos marcas nas duas semirretas. A abertura do compasso tem que permanecer a mesma para as duas marcas.
FIGURA 47 – 1° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: Os autores
2º passo: Marcamos pontos de intersecções P1 e P2 entre as marcas feitas com o compasso e as semirretas.
FIGURA 48 – 2° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
3º passo: Compasso com uma abertura maior que a metade da distância entre P1 e P2. Colocamos a ponta seca em P1 e fazemos uma marca entre as semirretas. Repetimos o procedimento com a ponta seca em P2. Essas marcas têm que ser feitas de tal forma que haja ponto em comum entre elas.
FIGURA 49 – 3° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: Os autores
4º passo: Marcar um ponto na intersecção P das duas marcas feitas no passo anterior. Traçar uma semirreta com início em O e que passe por P. Essa semirreta é a bissetriz do ângulo dado.
FIGURA 50 – 4° PASSO PARA BISSETIRZ
FONTE: Os autores
ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º
Esses ângulos são muito usados, e veremos que, a partir da ideia de obtenção destes ângulos, poderemos construir vários outros.
ÂNGULO DE 30º
Passo 1: Construímos um ângulo de 60º como explicado anteriormente. Passo 2: Determinamos a bissetriz deste ângulo
Pronto, como a bissetriz divide o ângulo ao meio, temos um ângulo de 30º.
ÂNGULO DE 90º
1º Passo: Construa no mesmo desenho um ângulo de 60º e outro de 120º.
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
FIGURA 51 – 1° PASSO PARA 90°
FONTE: Os autores
2º Passo: Faça a bissetriz dos ângulos 60º e 120º.
FIGURA 52 – 2° PASSO PARA 90°
FONTE: Os autores
Pronto, a bissetriz marca um ângulo de 90º. ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º
São bissetrizes de outras construções já vistas.
O ângulo de 15º é a bissetriz entre os ângulos 0º e o 30º.
O ângulo de 45º, por sua vez, é a bissetriz entre o 30º e o 60º.
E, como você já deve ter percebido, o 75º é a bissetriz entre 60º e 90º.
Vários outros ângulos podem ser construídos a partir da ideia de divisão de ângulos.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
CONSTRUÇÕES DE RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES
RETAS PARALELAS
Já vimos, anteriormente, a definição de retas paralelas. Vimos também que duas retas paralelas “geram” um ponto impróprio (que é “o ponto de encontro” das retas no infinito). Agora, vamos aprender como construir retas paralelas a uma reta r qualquer.
Veja:
Seja uma reta r qualquer:
FIGURA 58 – RETA QUALQUER
FONTE: Os autores
1º passo: Apoie um dos esquadros sob a reta r. Esse esquadro será o 1.
FIGURA 59 – 1° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: Os autores
2º passo: Coloque o segundo esquadro abaixo do primeiro. Esse será o esquadro 2.
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
FIGURA 60 – 2° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: Os autores
3º passo: Segure o esquadro 2 firmemente e faça o esquadro 1 “deslizar”
pelo 2.
FIGURA 61 – 3° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: Os autores
4º passo: Sem mexer no esquadro 1, tire o esquadro 2 e trace uma reta s paralela a r. Notação de paralelismo: r // s.
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 62 – 4° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: Os autores
Pronto! Temos duas retas paralelas entre si.
Podemos colocar essa reta s em qualquer lugar. Basta “levá-la” com os esquadros apoiando o que irá se deslocar no outro fixo repetidas vezes.
RETAS PERPENDICULARES
No tópico anterior, aprendemos a construir um ângulo reto e podemos usar aquele conhecimento para construir duas retas perpendiculares. Contudo, nesse espaço, faremos isso usando os esquadros, apenas por ser uma forma mais rápida.
1º passo: Desenhe uma reta r, apoie um dos esquadros nessa reta.
FIGURA 63 – 1° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
2º passo: Afaste este esquadro da reta r usando os mesmos procedimentos vistos na construção de retas paralelas (2º e 3º passos).
TÓPICO 5 | UNIDADES DE MEDIDA
FIGURA 64 – 2° PASSO PARA O PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
3º passo: Deixe o esquadro 1 bem firme e apoie um dos catetos do esquadro 2 em cima dele.
FIGURA 65 – 3° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
r s
4º passo: Trace a reta s, perpendicular a r. Notação de perpendicularismo:
UNIDADE 1 | NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
FIGURA 66 – 4° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
FONTE: Extraído e adaptado de: MORETTO, Ademir; SOUZA, André Marcelo Santos de; VARGAS, Saulo. Métodos de representação gráfica. Indaial: UNIASSELVI, 2011.
RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico você viu que:
• Para medir comprimentos, usamos o metro linear (m)
• Para medir superfícies, usamos o metro quadrado (m2)
• Para medir volumes, usamos o metro cúbico (m3)
Na tabela a seguir, veja os nomes e as funções de algumas medidas:
Vamos aprofundar este conteúdo exercitado:
1 Aplique o padrão das unidades de medidas estudas para responder aos questionamentos:
a) Quantos metros quadrados tem um quilometro quadrado?
b) Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 100 m de medida lado?
c) Um litro tem quantos cm3?
d) Quantos cm3 tem um mililitro?
e) Quantos litros tem um m3?
f) Quantos km têm em 864m?
g) Quantos cm têm em 864m?
2 Desde o ano de 1911, ocorre, na cidade de Indianápolis (Estados Unidos), a famosa corrida 500 Milhas de Indianápolis, também chamada de Indianápolis 500 ou só Indy 500. Participam da prova 33 carros (grid) que percorrem 500
ou km.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) Milhas 800.
b) ( ) Pés – 805,5.
c) ( ) Quilômetros – 803.
d) ( ) Milhas – 804,5.
3) Complete, adequadamente, utilizando os símbolos (dm, km, hm, mm, cm, dam):
0,1 m = 1
0,01 m = 1
0,001 m = 1
10 m = 1
100 m = 1
1000 m = 1
4 Quantos centímetros cabem em:
a) 1 m:
b) 1 dm:
c) 1 km:
5 O romance Vinte Mil Léguas Submarinas, escrito por Júlio Verne, no século XIX, descreve uma fantástica viagem com um submarino chamado
Nautilus movido apenas à eletricidade. Se mudássemos a unidade de medida utilizada por Júlio Verne para km, como seria o nome do filme?
6 Que unidade de comprimento você usaria para medir:
a) A largura do seu Caderno de Estudos?
b) A distância entre duas cidades?
c) A altura de um prédio de 20 andares?
7 Baseando-se na questão anterior escreva um texto abordando outras situações práticas onde utilizamos as unidades de medida linear, quadrática e cúbica.
UNIDADE 2
GEOMETRIA PLANA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
A partir desta unidade você será capaz de:
• desenvolver a intuição geométrica e seu uso na resolução de problemas;
• estudar os conceitos e propriedades da geometria euclidiana;
• compreender os conceitos e relações geométricas nos ângulos, triângulos, polígonos regulares e circunferências;
• criar e resolver problemas com recursos da geometria plana;
• relacionar as figuras geométricas com objetos do cotidiano;
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em seis tópicos e em cada um deles você encon- trará atividades visando à compreensão dos conteúdos apresentados.
TÓPICO 1 – FIGURAS POLIGONAIS TÓPICO 2 – TRIÂNGULOS
TÓPICO 3 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TÓPICO 4 – CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS TÓPICO 5 – ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
TÓPICO 6 – ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES
TÓPICO 1
FIGURAS POLIGONAIS
1 INTRODUÇÃO
A partir deste tópico vamos ampliar nossa capacidade de abstração analisando algumas figuras específicas chamadas polígonos. Em alguns momentos vamos fazer demonstrações matemáticas utilizando a linguagem definida na Unidade 1. Preparado(a)? Então, vamos lá?
A palavra polígono é proveniente do grego, que quer dizer: poli (muitos) + gonos (ângulos). A grosso modo, podemos definir um polígono matematicamente como uma figura geométrica plana e fechada por segmentos de reta.
Sempre que tratarmos de polígonos, estaremos nos referindo a uma forma plana. Qualquer polígono é uma figura poligonal.
São muitas as formas poligonais que nos circundam, um breve momento de observação de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos, quadriláteros, pentágonos, circunferências, entre outros.
Neste tópico nosso objeto de estudo são os tipos de polígonos. Na sequência, dedicamos um tópico especialmente para o triângulo e outro para a circunferência por serem estas duas figuras primitivas de outras construções geométricas mais complexas.
Para o estudo das próximas páginas vamos necessitar dos conceitos já aprendidos sobre pontos, retas e planos. Preparado(a)? Então, vamos lá!
Bons estudos!
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2 POLÍGONO
Uma linha poligonal fechada simples é chamada polígono.
Podemos definir polígono como uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados, de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos.
Frequentemente a palavra polígono refere-se apenas ao contorno da figura. Porém, outras vezes, refere-se ao contorno e à região plana que é seu interior. Por isso podemos dizer que um polígono divide o plano em duas regiões, sem pontos comuns: a região interior e a região exterior. Observe na figura a seguir o pentágono contido no plano .
Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior de um polígono estiver contido nessa região, dizemos que o polígono é convexo.
Podemos dizer ainda que um polígono convexo é um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original.
Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades estará inteiramente contido no polígono.
As figuras a seguir são exemplos de polígonos convexos:
Se existirem dois pontos no interior de um polígono tal que o segmento determinado por eles não esteja contido na região, dizemos que o polígono é côncavo ou não convexo.
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
Podemos dizer ainda que um polígono é côncavo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades contiver pontos que estão fora do polígono.
As formas a seguir são exemplos de polígonos côncavos:
Observe, que uma parte do segmento AB, num determinado momento, está no exterior do polígono.
No dia a dia podemos observar os polígonos nas construções das cidades, nas embalagens que nos cercam e na natureza entre outros. Vejamos alguns exemplos:
– No formato das colmeias das abelhas que mais parece uma região revestida por um mosaico de polígonos.
FIGURA 7 – COLMEIA
FONTE: Disponível em: <http://www.osmais.com/index.php?ver=MTI0ODI=>.Acesso em: 12 set.2012.
– Em belíssimas obras de arte. Destacamos os artistas Piet Mondrian e Hélio Oiticica que se inspiraram em formas poligonais.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
FIGURA 8 – OBRAS DE ARTE
FONTE: Disponível em: <http://www.mam.org.br/acervo_online>. Acesso em: 12 set. 2012.
– Em diferentes Engenharias. Observe quantos polígonos há nas imagens!
FIGURA 9 – CONSTRUÇÕES DA ENGENHARIA
FONTES: Disponível em: a) <http://info.abril.com.br/images/materias/2012/01/ antena-20120109153545.jpg>. b) <http://theurbanearth.wordpress.com/2008/08/13/ estadios-olimpicos-olympic-stadiums>. c) e d) <http://www.eventwise.co.uk/ packages/gherkin-30-st-marys-axe-london-venues/>. Acesso em: 12 set. 2012.
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
– Em grandes monumentos da humanidade como a Calçada dos Gigantes (erupção vulcânica ocorrida há cerca de 60 milhões de anos localizada na Irlanda do Norte) e as construções incas.
FIGURA 10 – (a) ERUPÇÃO VULCÂNICA E AS (b) CONSTRUÇÕES INCAS
FONTES: Disponível em: a) <http://www.umbandadanatureza.com.br/QUENTE.HTML>. b) <http:// www.fragatasurprise.com/2010/11/os-incas-e-os-incapazes.html>. Acesso em: 12 set. 2012.
2.1 ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
Vamos conhecer elementos do polígono.
• Vértices: são os pontos extremos dos segmentos da linha poligonal (pontos A, B, C e D).
• Lados: são os segmentos da linha poligonal (AB,BC ,CD, DA).
• Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono ( A, B , C , D ).
• Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. Na figura, os ângulos externos são: e1, e2, e3, e4.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2.2 POLÍGONOS REGULARES E CLASSIFICAÇÃO
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes. Quando um polígono que possui os lados congruentes é equilátero e quando os ângulos congruentes, é equiângulo.
As figuras abaixo são polígonos regulares. Observe que os lados e os ângulos de cada figura possuem a mesma medida.
Número de lados Nome Número de ângulos Imagem do polígono regular
3
Triângulo
3
4
Quadrilátero
4
5
Pentágono
5
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
6
Hexágono
6
7
Heptágono
7
8
Octógono
8
9
Eneágono
9
10
Decágono
10
11
Undecágono
11
12
Dodecágono
12
15
Pentadecágono
15
20
Icoságono
20
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2.3 DIAGONAL DE UM POLÍGONO
Diagonal de um polígono é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices não consecutivos do polígono.
O número de diagonal de um polígono é igual ao número de lados do polígono menos três. A fórmula seguinte representa a situação em uma linguagem matemática:
Vamos demonstrar a validade desta fórmula. Demonstrações matemáticas são importantes se serem realizadas para desenvolver a formalidade da escrita matemática! Na sua futura atuação profissional faça abordagens como esta para que os alunos compreendam os conceitos matemáticos que embasam e legitimam a geometria do dia a dia.
Agora sim, vamos à demonstração:
Para fazermos uma demonstração partimos sempre de uma hipótese (suposição verdadeira sobre a situação estudada).
Hipótese: O número de diagonal de um polígono é igual ao número de lados do polígono menos três.
Como a diagonal de um polígono é a união de todos de dois vértices não consecutivos partimos da análise combinatória, estudada no Ensino Médio, para escrever:
Cn,2 – n
Esta expressão matemática quer dizer: uma combinação de n pontos tomados dois a dois, subtraindo-se os lados que não formam diagonais.
Sabemos que a combinação de n elementos tomados p a p correspondem a p! arranjos que são obtidos permutando-se os elementos, ou seja:
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
assim,
Para a diagonal de um polígono temos p igual a 2 para os arranjos e não podemos nos esquecer de subtrair os lados que não formam diagonais, substituindo:
d = Cn,2-n
d = n! -n (n-2)!2!
n(n-1)(n-2)!
(n-2)!21 -n
d = n(n-1) -n
2
n2-n
-n
2
d = n2-3n
2
d = n(n-3)
2
n2-n-2n
2
Exemplo. Quantas diagonais são possíveis de ser construídas em um quadrilátero?
Intuitivamente, ou seja, sem fazer cálculo nenhum podemos perceber duas diagonais como mostra a figura a seguir.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Agora vamos verificar matematicamente com a equação que deduzimos: Vimos que:
Agora, substituindo n=4 que nada mais é do que o número de lados de um quadrilátero, teremos:
Vamos a partir dessa premissa para demonstrar qual a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono.
Deste modo, concluimos que a equação pode ser aplicada para calcular o número de diagonal de qualquer polígono.
2.4 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Estudamos na unidade anterior que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes suplementares é 180º.
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
temos:
Na figura anterior, se indicarmos as medidas dos dois ângulos por i1 e e1,
i1 + e1 = 180º.
Consideremos o polígono ABCDE, onde i1, i2, i3, i4, i5 são as medidas dos
ângulos internos e e1, e2, e3, e4, e5 são as medidas dos ângulos externos.
Pela figura podemos observar que a soma de um ângulo interno com seu respectivo ângulo externo é igual a dois ângulos retos ou 180º.
Então:
e1+i1 + e2+i2 + e3+i3 + e4+i4 + e5+i5 =
180º 180º 180º 180º 180º
Vamos separar agora os termos semelhantes, isto é, ângulos externos e internos:
(i1 + i2 + i3 + i4 + i5) + (e1 + e2 + e3 + e4 + e5) = 5 • 180º
Chamaremos a soma dos ângulos internos de Si, então
Si = i1 + i2 + i3 +i4 + i5
e, a soma dos ângulos externos de Se, então:
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Se = e1 + e2 + e3 + e4 + e5
Então Si + Se =
Para sequenciar a demonstração vamos utilizar a definição “a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º”.
Logo, Se = 360º ou 2 • 180º. Então:
Si + Se = 5 • 180º.
Si + (2 • 180º) = 5 • 180º
Si = 5 • 180º – (2 • 180º)
Evidenciando o fator comum:
Si = (5 – 2) • 180º
Si = 3 • 180º
Si = 540º
Ampliando nosso raciocínio para um polígono com n lados, teremos:
(i1+i2+i3+…+in) + (e1+e2+e3+…+en) =
Ou seja:
Si + Se =
Si + (2 • 180º) =
Si = 180º • n – (2 • 180º)
Evidenciando o fator comum:
Si = (n – 2) • 180º Então:
igual a
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n – 2) •180º
Vamos exemplificar para um polígono convexo de 10 lados, ou seja, um decágono.
Solução n = 10
Si = (n – 2) • 180º
TÓPICO 1 | FIGURAS POLIGONAIS
Substituindo n por 10, vem:
Si = (10 – 2) • 180º
Si = 8 • 180º
Si = 1440º
Resposta: A soma das medidas dos ângulos internos do decágono é 1440º.
2.5 MEDIDA DO ÂNGULO INTERNO E EXTERNO
Para calcular a medida do ângulo interno e externo de um polígono regular de n lados, utilizamos as seguintes relações:
S
ai = n
ae =
360º
n
Para que você possa entender melhor, vamos calcular a medida do ângulo interno e a medida do ângulo externo do octógono regular.
Si = (n – 2) • 180º
Si = (8 – 2) • 180º
Si = 6 • 180º
Si = 1080º
ai =
Si = 1080 = 135º
n 8
a = Se = 360º = 45º
e n 8
Resposta: O ângulo interno mede 135º e o ângulo externo mede 45º.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Agora é com você! Quais são as medidas dos ângulos interno e externo de um heptágono e de um pentadecágono?
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você viu que:
• Uma linha poligonal é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares. Quando esta linha se fecha, teremos um polígono.
• Um polígono pode ser côncavo ou convexo.
• Os elementos do polígono são: vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos.
• Um polígono é regular quando seus ângulos e lados são congruentes.
• Os polígonos são classificados de acordo com a quantidade de lados e recebe nomes especiais.
• O número de diagonal de um polígono é calculado pela fórmula:
• A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é calculada:
S = (n – 2) 180º.
• A medida do ângulo interno de um polígono regular pode ser calculada pela fórmula:
• A medida do ângulo externo de um polígono regular pode ser calculada pela fórmula:
Lembre-se de que “não basta saber, é preciso saber fazer”, assim vamos exercitar os assuntos estudados neste tópico.
1 Sobre a soma e a medida dos ângulos de um polígono, efetue os cálculos solicitados. Considere que todos os polígonos são regulares.
a) A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo.
b) A medida do ângulo interno e externo de um triângulo que possui os três lados iguais.
c) A soma dos ângulos internos de um decágono.
d) O número de diagonais que partem de cada vértice de um undecágono.
e) A medida do ângulo interno do pentágono.
f) O número de diagonais de um octógono.
g) A medida do ângulo externo do pentágono.
a) b)
c) d)
3 Se o número de diagonais de um octógono é o quíntuplo do número de lados de um polígono. Qual é o polígono?
4 Sobre as propriedades dos polígonos analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida. ( ) Um polígono côncavo é também não convexo.
( ) Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.
( ) A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados mais o triplo do lado por dois.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V.
b) ( ) V – V – F – V.
c) ( ) F – V – V – F.
d) ( ) V – F – V – F.
7 (DOLCE; POMPEO, 2005). Podem os ângulos internos e externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Justifique sua resposta.
TÓPICO 2
TRIÂNGULOS
1 INTRODUÇÃO
Como vimos no tópico anterior, o triângulo é uma das figuras geométricas mais básicas e por esta razão dedicamos o tópico para o estudo desta figura poligonal.
A principal característica do triângulo é o fato dele ser uma rígida, em outras palavras, ela não se deforma o que é essencial na criação de estruturas.
Nas construções é fácil notar a presença de triângulos. Este fato não está ligado apenas à sua estética, mas sim à rigidez. A seguir apresentamos algumas imagens que comprovam este argumento:
FIGURA 11 – PORTÃO
FONTE: Disponível em: <http://br.viarural.com/animais/insumos/troncos/tronco-pampa/varios. htm>. Acesso em: 13 set. 2012.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
FIGURA 12 – ESTRUTURA DE UM TELHADO
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 13 set. 2012.
Estes são apenas alguns exemplos do surgimento dos triângulos na construção civil. Como sugestão, você pode desenvolver outras pesquisas com seus alunos. Este movimento permitirá com que eles entrem também no universo da pesquisa.
Uma atividade interessante para verificar a rigidez do triângulo é usar palitos de sorvetes e percevejos. Experimente montar o quadrilátero, o pentágono, o hexágono e o triângulo. Com exceção do triângulo todos são deformáveis!
FIGURA 13 – CONSTRUÇÃO DOS POLÍGONOS
FONTE: Disponível em: <http://matematicacritica.blogspot.com.br/2012/01/casinha-nao-e-coisa- so-para-meninas.html>. Acesso em: 13 set. 2012.
Quando desejamos calcular a área de uma superfície irregular, é indicado dividir a figura em vários triângulos capazes de cobrir toda a superfície e a partir deles fazemos o cálculo de área. Este processo é chamado de triangulação.
A triangulação é o mais antigo processo de levantamento de medidas topográficas, sendo, ainda hoje, o mais recomendado diante do baixo investimento em instrumental e equipamentos auxiliares.
TÓPICO 2 | TRIÂNGULOS
Com o surgimento de várias ferramentas eletrônicas, o processo de triangulação para cálculo de área ganhou uma nova cara, aparecendo de diferentes formas, acoplado a uma gama de programas que permitem efetuar cálculos rápidos. Porém, este fato não tira a importância de se estudar as relações triangulares, pelo contrário, temos que mostrar para os alunos os conceitos que envolvem triângulos para que depois possam entender os processos que estão sendo realizados digitalmente.
É este movimento conceitual que vamos desenvolver neste tópico.
2 TRIÂNGULOS E SEUS ELEMENTOS
O triângulo é o polígono que possui o menor número de lados.
Indica-se um triângulo ABC como o da figura abaixo por ABC (lê-se: “triângulo ABC”).
Como o triângulo é um polígono, seus elementos são os mesmos, ou seja:
• Os vértices: A, B e C.
• Os lados:AB , AC e BC.
• Os ângulos internos: BÂC ou Â, AB^ C ou B^
e AC^ B
^
ou .
• Os ângulos externos: e^ , e^ , e^ .
Observe que:
Cada ângulo interno é oposto ao lado determinado pelos outros dois ângulos:
• O ângulo  é oposto a BC.
• O ângulo B é oposto a AC.
• O ângulo C é oposto a AB.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente:
• m( A) + m(ê1) = 180º
• m( B ) + m(ê ) = 180º
• m( C ) + m(ê ) = 180º
Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados (condição de existência).
Um triângulo com lados a=6, b=4 e c=3, a condição de existência pode ser assim verificada:
a < b + c 6 < 4 + 3 b < a + c 4 < 6 + 3 c < a + b 3 < 6 + 4
E ainda:
O interior de um triângulo é uma região convexa.
O exterior de um triângulo é uma região côncava.
3 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos de acordo com a congruência.
3.1 QUANTO AOS LADOS
TÓPICO 2 | TRIÂNGULOS
Os triângulos se classificam em isósceles, equilátero ou escaleno.
• Triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes.
O ∆ABC ao lado é isósceles, pois ABAC. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado base e os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base. No triângulo isósceles representado ao
lado, o ângulo do vértice é Â, a base é o lado BC e os ângulos da base são B e C.
• Triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes.
O ABC ao lado é equilátero, pois AB AC BC. Todo triângulo equilátero é também triângulo isósceles.
• Triângulos escalenos são triângulos que não possuem lados congruentes.
O ∆ABC ao lado é escaleno, pois não possui lados congruentes.
Na prática, nesta primeira parte estamos focados na definição da linguagem para logo em seguida podermos definir e formular alguns conceitos. A linguagem
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
matemática é que permite formalizar e demonstrar os conceitos de acordo com o rigor deste ramo da ciência. Organização e vigor são elementos fundamentais na escrita matemática.
3.2 QUANTO AOS ÂNGULOS
Os triângulos se classificam em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
• Triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos
agudos, ou seja, menores 90º.
O ABC ao lado é acutângulo, pois m( A ) < 90º, m
( B ) < 90º e m( C ) < 90º.
• Triângulos obtusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90º.
O ABC ao lado é obtusângulo, pois m( B ) > 90º
• Triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto, ou seja, igual a 90º.
O ∆ABC ao lado é retângulo, pois m( B ) = 90º.
Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos. Nesse triângulo,
os catetos são AB e BC e a hipotenusa é AC.
4 PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS
Vamos formalizar alguns conceitos por meio de algumas pequenas demonstrações matemáticas. Durante seus estudos, e na sua atuação profissional, é essencial compreender os processos envolvidos na formalização dos conceitos. É
TÓPICO 2 | TRIÂNGULOS
o meio de saber que nada foi inventado e sim construído dentro de determinada lógica e coerência.
Para as demonstrações, então!
1ª propriedade
Acompanhe a demonstração a seguir:
Considere o ∆ABC a seguir e a reta r que passa por A e é paralela a BC.
Hipótese: A, B e C são ângulos internos do ABC.
Tese: m(A) + m(B) + m(C) = 180º
Demonstração:
• m( x )+m( A )+m( y ) =180º, porque x, A e y formam um ângulo raso.
• X ≡ B, porque são ângulos alternos internos (r // BC e AB é transversal).
• y ≡ C, porque são ângulos alternos internos (r // BC e AC é transversal).
Então, substituindo m( x ) por m( B ) e m( y ) por m( C ) , temos:
m(B) + m(A) + m(C) = 180º
Podemos também demonstrar a propriedade acima, fazendo uso da fórmula que fornece a soma dos ângulos internos de um polígono: Si = (n – 2) • 180º.
Como, no nosso caso, o polígono é um triângulo, n = 3 e, portanto:
Si = (n – 2) • 180º
Si = (3 – 2) • 180º
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Si = 1 • 180º
Si = 180º
Vamos fixar melhor esta propriedade com um exemplo. Para isso vamos calcular a medida do ângulo  nos seguintes triângulos:
1. No triângulo a seguir temos um ângulo medindo 68o e outro medindo
60o, qual é a medida do terceiro ângulo?
x + 68º + 60º = 180º x + 128º = 180º
x = 180º – 128º
x = 52º
Então, m( A ) + m( B ) + m( C ) = 180º
2. Vamos agora calcular o valor de x no triângulo a seguir e encontrar as medidas dos respectivos ângulos:
3x + 2x + x + 36º = 180º 3x + 2x + x = 180º – 36º 6x = 144º
x = 144º
6
x = 24º
m( A ) = 2 • x = 2 • 24º = 48º m( B ) = 3 • x = 3 • 24º = 72º
m( C ) = x + 36º = 24º + 36º = 60º
Então, m( A ) + m( B ) + m( C ) = 180º
Na prática, esta propriedade coloca o triângulo em uma posição privilegiada com relação aos outros polígonos. Pois é a partir dele que podemos fazer qualquer análise de ângulo de qualquer superfície regular ou irregular. Na construção civil é comum a utilização dessa relação na edificação de diferentes estruturas.
2ª propriedade
TÓPICO 2 | TRIÂNGULOS
Hipótese: X é externo do ABC; Os ângulos A e C são internos não adjacentes a X.
Tese: m( X ) = m( A ) + m( C )
Demonstração:
m( X ) + m( B ) = 180°. Porque X e B são ângulos adjacentes suplementares. m( B ) + m( A ) + m( C ) = 180°; que é a soma dos ângulos internos de um
triângulo.
Sabemos que as duas afirmativas anteriores são verdadeiras e ambas iguais a 180º. Então, aplicando a propriedade transitiva, podemos fazer:
m( X ) + m( B ) = m( A ) + m( B ) + m( C ); m( X ) = m( A ) + m( C ).
Exemplo:
Vamos calcular o valor de x no triângulo da figura: x = 54º + 82º
x = 136º
E a medida do ângulo faltante do triângulo?
82º + 54º + m ( C ) = 180º m ( C ) = 44º
Logo, m ( x ) + m ( C ) = 180º
44º + 136º = 180º
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
3ª propriedade
Teorema do ângulo externo:
Hipótese: x é ângulo externo do ABC, e A e B são internos não adjacentes a x.
Tese: x > B
x > A
Demonstração:
Já comprovamos anteriormente (na segunda propriedade) que m( x ) = m(A) + m( B ) . Sabemos também que a soma de parcelas positivas é sempre maior que cada uma das parcelas. Assim podemos afirmar que m( x ) > m( A )e m( x ) > m( A ).
Então, x > A e x > B
Você pode conferir isso no exemplo que acabamos de fazer na propriedade anterior
Pelo cálculo anterior sabemos que x mede 136º, que é maior que o ângulo A e maior que o ângulo B.
5 PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
Alguns traçados a partir dos vértices e dos lados de um triângulo constituem pontos especiais chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro. Vamos apresentar a característica e representação de cada um deles.
TÓPICO 2 | TRIÂNGULOS
1. Circuncentro: Se traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo, seu ponto de interseção é chamado circuncentro. Este ponto é chamado circuncentro porque está equidistante (à mesma distância) dos três vértices do triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita ao mesmo.
2. Incentro: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semirreta interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais. O ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se interceptam é chamado incentro, e é equidistante dos lados do triângulo. Ao mesmo tempo, é centro de uma circunferência inscrita no triângulo.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
3. Ortocentro: Um triângulo possui três alturas que se interceptam num ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode estar no interior ou no exterior do triângulo, depende da forma do mesmo.
4. Baricentro: Um triângulo tem três medianas que se interceptam num ponto chamado baricentro, que dista dois terços do vértice da mediana correspondente. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você viu que:
• Um triângulo é uma figura rígida.
• Os elementos do triângulo são: lados, vértices, ângulos internos e externos.
• Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em: equilátero, isósceles e escaleno.
• Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.
• As propriedades dos triângulos são:
A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos, ou seja, 180º.
A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
• Os pontos notáveis de um triângulo são: circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro.
Vamos aprender os conceitos estudados exercitando.
2 Complete as lacunas das sentenças:
• Os triângulos com 3 lados iguais são .
• Os triângulos com 2 lados iguais são .
• Os triângulos com 3 lados diferentes são .
• Os triângulos com 3 ângulos iguais são .
• Os triângulos com 2 ângulos iguais são .
• Os triângulos com 3 ângulos diferentes são .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) equiláteros – acutângulo – escalenos – obtusângulo – isósceles – retângulo. ( ) equiláteros – isósceles – escalenos – acutângulo – obtusângulo – retângulo. ( ) escalenos – equiláteros – isósceles – acutângulo – obtusângulo – retângulo. ( ) equiláteros – isósceles – escalenos – equiláteros – isósceles – escaleno.
3 Os triângulos têm medidas pontos notáveis chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro. Sobre estes pontos analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
( ) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo. ( ) O baricentro é interno ao triângulo.
( ) O ortocentro é interno ao triângulo.
( ) O circuncentro é interno ao triângulo. ( ) O incentro é interno ao triângulo.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) V – F – V – V – F – F.
( ) V – V – F – V – V – V.
( ) V – V – V – F – F – V.
( ) V – F – V – F – V – F.
4 Determine “x” em cada um dos triângulos:
5 Vamos utilizar materiais de desenho? Você precisará de uma régua e um transferidor.
a) Desenhe três triângulos, um obtusângulo, outro retângulo e o último acutângulo. Meça os ângulos com o transferidor e calcule a soma deles. O que você pode concluir?
b) Desenhe um triângulo com medidas de lados 3, 4 e 5 centímetros, respectivamente. Qual é a medida dos ângulos? Qual é o tipo de triângulo quanto aos lados e aos ângulos?
c) Desenhe três triângulos: um escaleno retângulo, um isósceles retângulo e escaleno obtusângulo. É possível construir um triângulo equilátero e obtusângulo?
d) Desenhe dois triângulos: um escaleno acutângulo e um isósceles acutângulo.
É possível construir um triângulo equilátero e acutângulo?
6 Verifique a condição de existência de cada triângulo, conforme medidas indicadas nas sentenças. Após a análise de possibilidade de existência ou não
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
( ) 3 cm, 5 cm e 7 cm.
( ) 15 cm, 8 cm e 8 cm.
( ) 3 cm, 2 cm e 7 cm.
( ) 7 m, 3,9 m e 3,7 m.
( ) 3,7 cm, 9,1 cm e 8,4 cm.
( ) 6 cm, 17,5 cm e 10 cm.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V – F – F.
b) ( ) V – V – F – V – V – F.
c) ( ) V – V – V – F – F – V.
d) ( ) V – F – V – F – V – F.
TÓPICO 3
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1 INTRODUÇÃO
Vamos aprofundar um pouco mais nosso estudo sobre os triângulos a partir das relações de congruência. Neste tópico, nosso foco de análise será a formalização matemática dos conceitos de congruência e de semelhança de triângulos.
Ao conhecermos as informações sobre os triângulos, que nos permitem afirmar se são congruentes e/ou semelhantes, dispomos de um rico recurso para demonstrações de outras relações válidas, pois várias propriedades são decorrentes da congruência e semelhança de triângulos.
Vamos lá para mais um trecho da nossa viagem!
2 NOÇÃO DE CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA
A definição de congruência, segundo o dicionário de Língua Portuguesa, é de um substantivo feminino que tem coincidência ou correspondência de caráter ou qualidades. Esta situação de congruência pode ser descrita intuitivamente quando as figuras têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Veja as imagens que parecem congruentes.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
FIGURA 14 – IMAGENS QUE PARECEM CONGRUENTES
FONTE: Disponível em: <http://www.corbisimages.com>. Acesso em: 29 abr. 2013.
De modo mais rigoroso só podemos afirmar que duas figuras são congruentes quando a sobrepomos e elas coincidem exatamente.
FIGURA 15 – IMAGENS QUE PARECEM CONGRUENTES
FONTE: Disponível em: <http://www.corbisimages.com>. Acesso em: 29 abr. 2013.
Na figura anterior percebemos que os pontos A e B coincidem, então podemos afirmar com certeza que as duas figuras iniciais (A e B) são congruentes.
Mas atente que duas figuras congruentes podem não coincidir exatamente ao sobrepomos e serem congruentes, veja:
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
FIGURA 16 – FIGURAS CONGRUENTES NÃO COINCIDEM COM SOBREPOSIÇÃO
FONTE: Os autores
Contudo, nem sempre quando duas figuras possuem o mesmo tamanho e a mesma forma são congruentes. É neste contexto que nos remetemos à semelhança que conforme o dicionário de Língua Portuguesa trata daquilo “que é da mesma espécie, qualidade, natureza ou forma, em relação a outro ser ou coisa”. (HOUAISS; VILLAR, 2009, p. 1725).
Observe a figura dos pares de sapatos semelhantes.
FIGURA 17 – PARES DE SAPATOS SEMELHANTES
FONTE: Disponível em: <http://www.corbisimages.com>. Acesso em: 29 abr. 2013.
Matematicamente, o conceito de semelhança tem por base a proporcionalidade assim, duas figuras proporcionais ao serem sobrepostas podem coincidir exatamente sendo, portanto, congruentes. Veja alguns exemplos de figuras que têm alguma semelhança e a justificativa de não serem congruentes:
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
a)
b)
c)
Percebeu que a ideia de congruência e semelhante está presente em figuras planas e espaciais?
A congruência ocorre entre duas figuras quando os lados e ângulos da primeira estão em correspondência com os lados e ângulos da segunda, de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos.
A semelhança entre duas figuras ocorre quando os lados correspondentes têm medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Na sequência, vamos formalizar com o rigor matemático necessário a definição de congruência e, em seguida, estudaremos, especificamente, os casos de congruência de triângulos. A mesma abordagem ocorre em relação à semelhança de triângulos.
3 CONGRUÊNCIA ENTRE TRIÂNGULOS
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva. A definição de congruência de triângulos vista anteriormente dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes.
Duas figuras são congruentes se, e somente se, possuem ordenadamente congruentes os lados e os ângulos. Vamos ilustrar a definição partindo do exemplo de dois triângulos congruentes:
Indicação: ∆ABC ∆A’B’C’ se
AB A’B’
AC A’C’ e BC B’C’
 ≡  B ≡ B C ≡ C
Notação: O símbolo significa “é congruente a”.
A relação de congruência também é válida sobre o conjunto de pontos de uma reta, de um plano ou do espaço se existe uma isometria que permite que o conjunto coincida com o outro. Isometria são transformações geométricas que estabelecem uma correspondência, uma a uma, entre os pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes.
As transformações geométricas que garantem a congruência entre duas figuras, pois ao movimentá-las não há deformação, são:
• Translação: resultado de um deslocamento sem giro.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
• Rotação: resultado de um giro em torno de um ponto qualquer, chamado de centro de rotação.
• Reflexão: resultado de um movimento simétrico em relação a uma reta chamada de simetria axial.
A partir das isometrias apresentadas podemos afirmar que a congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
Não é por acaso que estes movimentos garantem a congruência entre duas figuras. Há uma justificativa matemática rigorosa, porém não cabe nos estudos desta disciplina. Por ora é importante simplesmente entendermos que a isometria não deforma a figura.
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
4 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
A definição de congruência de triângulos, definida anteriormente, fornece todas as condições para que dois triângulos sejam congruentes.
Neste item veremos como se dão as congruências entre os lados e os ângulos de dois triângulos. No total são seis casos, três entre os lados e três entre os ângulos.
Vamos lá!
1º CASO: Lado-Ângulo-Lado (LAL):
Indicação e representação geométrica
Exemplo:
Vamos mostrar que os triângulos ABC e CED são congruentes identificando dois lados e um ângulo igual. Algumas informações são conhecidas da figura: AC
= CD, EC = 5 u.m e EF = 2 u.m.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Como o ∆ABC ∆CDE e AC = CD então,
EC = AB ou EC = BC mas, pela construção geométrica BC > EC, logo EC = AB, ou seja, 5 u.m.
Neste ponto já temos dois lados iguais entre os triângulos ∆ABC e ∆CDE.
Vamos sequenciar identificando pelo menos um ângulo igual via demonstração:
Como o ∆ABC ∆CDE e, AC = CD então, ABC = CED
Como CED e BEF são ângulos opostos pelo vértice então, CED = BEF Assim ABC = BEF o que torna ∆BEF isósceles, logo BF = 2 = EF.
Sabemos que um triângulo isósceles possui os ângulos da base iguais então, BEF e FBE são iguais. Em relação aos triângulos ABC e CDE os ângulos iguais são CED e ABC. Assim, mostramos que os ângulos são congruentes pelo caso LAL.
2º caso: Ângulo-Lado-Ângulo (ALA):
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Indicação e representação geométrica
Os ângulos adjacentes ao lado AB são os ângulos A e B, e os adjacentes ao lado A’B’ são os ângulos A’ e B’
A^’
A’B’
B^ ’
Consequentemente:
C^ C^ AC A’C’ CB C’B
Exemplo:
Agora vamos mostrar que os triângulos ABC e CED são congruentes identificando dois ângulos e um lado igual. Algumas informações são conhecidas da figura: AF = 3 u.m., FB = FE = 2 u.m., AC = CD e EC = 5 u.m.
Temos que AC = CD e
AB = 3 + 2 = 5 = EC
Como FB = FE = 2 o ∆FBE é isósceles e, portanto
FBE = FEB, pois são os ângulos da base e FEB = CED por serem opostos pelo vértice.
Em relação aos triângulos ABC e CDE os ângulos iguais são ABC e CED Sobrepondo estes dois ângulos temos que BAC = ECD
Assim, mostramos que os triângulos ABC e CED são congruentes pelo caso ALA.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
3º caso: Lado-Lado-Lado (LLL):
Indicação e representação geométrica
AB A’ B’ AC A’ C’ BC B’ C’
Consequentemente:
A^ A^ B^ B^ C^ C^
ABC A’B’C’
Exemplo:
Partindo do mesmo exemplo vamos mostrar que os triângulos ABC e CED são congruentes por terem os três lados congruentes. Dados: AF = 3 u.m., FB = FE
= 2 u.m., AC = CD e EC = 5 u.m.
Como AB = AF + FB temos que
AB = 3 + 2 = 5, logo AB = EC
É dado no enunciado que AC = CD, então por consequência ED = BC.
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Assim, mostramos que os triângulos ABC e CED são congruentes pelo caso
LLL.
4º caso: Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAAo):
Indicação e representação geométrica
Esquema do 4º caso:
AB A’ B’
^ ^
A A’
∆ABC ≡ ∆A’B’C’
C^ ^
Exemplo:
Partindo do mesmo exemplo vamos mostrar que os triângulos ABC e CED são congruentes por terem os três lados congruentes. Dados: AF = 3 u.m., FB = FE
= 2 u.m., AC = CD e EC = 5 u.m.
Temos que AB = 3 + 2 = 5 = EC Sabemos ainda que AC = CD.
Como FB = FE = 2 o ∆EFB é isósceles portanto FBE = FEB.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
5º caso: Congruência de triângulos retângulos:
Hipótese:
^
A’
A’B’
B’C’
Tese:
ABC A’B’C’
Demonstração:
Se tomarmos o segmento A’B’ como eixo de simetria do triângulo C’DB’ vamos perceber que o triângulo A’DB’ é a reflexão de A’B’C’, portanto: A’D C’A’.
Então, pela figura, podemos afirmar que: A’D CA
AB A^ AC
ABC A’B’D’
Se B’C’ B’D , então o triângulo B’C’D é isósceles, com base C’ D . Então podemos afirmar que C’ D , e conforme afirmamos anteriormente, por reflexão, C C’.
Finalmente, considerando os triângulos ABC e A’B’C’, temos:
BC B’C’
A^ A^ ’ C^ C^’
ABC A’B’C’
Assim fica provado o caso de congruência entre dois triângulos retângulos.
6º caso: Congruência nos triângulos isósceles:
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Sabemos que um triângulo para ser isóceles deve ter dois lados congruentes, como neste triângulo ABC ao lado:
No triângulo ABC, o ponto M é médio do lado AB .
O segmento CM , que une o vértice C ao ponto M,
é chamado de mediana relativa ao lado AB e divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos congruentes.
Assim:
• Os lados AC e BC são congruentes, pois se trata de um triângulo isósceles.
• Os segmentos AM e BM também são congruentes, pois M é o ponto médio do lado AB .
• MC e MC são congruentes, pois se trata do lado comum aos dois triângulos. Assim podemos concluir que:
∆AMC ≡ ∆BMC pelo caso LLL
Se os triângulos são congruentes, os ângulos correspondentes também são congruentes: A ≡ B e AMC e BMC.
Como os ângulos AMC e BMC juntos formam um ângulo raso, podemos afirmar que são suplementares (a soma de suas medidas é 180º). Assim sendo, os dois são ângulos retos.
Observe que o segmento CM, além de ser a mediana, é também altura e bissetriz do vértice C.
A formalidade com que apresentamos a congruência de triângulos é por julgarmos ser um assunto muito importante que para você, futuro professor de matemática! Porém, você
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
pode iniciar o assunto de forma lúdica, com a utilização de recortes de triângulos em cartolinas ou outros materiais que tenha à disposição e, só então após partir para a formalização com o rigor matemático.
5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Assim, como a congruência o que garante a semelhança de triângulo são as transformações geométrica que ao serem aplicadas conservam as medidas angulares e os lados homólogos. Assim, também são relações reflexivas, simétricas e transitivas.
Notação: O símbolo ~ significa “é semelhante a”
Indicação: ∆ABC ~ ∆A’B’C’ se onde:
AB ~ A’B’ AC ~ A’C’ BC ~ B’C’
AB AC BC
A’B’ A’C B’C’
k
k é a razão de semelhança.
Se k=1 os triângulos são congruentes.
TÓPICO 3 | SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
5.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA
Já sabemos que para serem semelhantes os ângulos devem ser congruentes e os lados homólogos proporcionais. Então vamos analisar:
a) Congruência dos ângulos
As retas são paralelas DE // BC então pela definição de ângulos correspondentes podemos afirmar que D ≡ B, E ≡ C, e como A é um ângulo comum aos
∆ABC e ∆ADE está provado que todos os ângulos são congruentes.
b) Proporcionalidade dos lados Pelo Teorema de Talles, temos:
AD AE
AB AC
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você viu que:
• A transformação geométrica é uma correspondência, um a um, entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes. Em triângulos as transformações podem ocorrer por: translação, reflexão e rotação.
• Dois triângulos são semelhantes ou congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e ângulos do segundo triângulo, de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos.
• Os casos de congruências são:
a) Lado-Ângulo-Lado (LAL): “Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.”
b) Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): “Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes”.
c) Lado-Lado-Lado (LLL): “Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes”.
d) Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAAo): “Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes”.
• Os casos especiais de congruências são:
a) Congruência de triângulos retânguos: “Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes”.
b) Congruência nos triângulos isósceles: “Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes”.
Chegou o momento de exercitar. Faça a autoatividade proposta. Exercitando:
1 Os triângulos da figura a seguir são semelhantes, mas estão em posições diferentes. Sabemos que triângulos semelhantes têm medidas proporcionais. Com base nisso, calcule as medidas x e y.
2 Num triângulo retângulo, como são chamados:
a) Os lados que formam o ângulo reto?
b) O lado oposto ao ângulo reto?
3 Se o perímetro de um triângulo equilátero mede 75 cm, quanto mede cada um de seus lados?
4 Se o perímetro de um triângulo isósceles mede 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados?
5 Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um dos seguintes casos:
a) Um triângulo equilátero ABC com AB = x + 2y; AC = 2x – y e BC = x + y + 3.
b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3; AC = 3x – 3 e BC = x + 3.
6 No ABC, o ângulo A = 70º, AC = 3 m e AB = 5 m; em outro XYZ, o ângulo Y = 70º, YZ = 5 m e XY = 3 m. Justifique a semelhança entre os dois triângulos e diga quais os ângulos e lados congruentes.
7 Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
TÓPICO 4
CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
1 INTRODUÇÃO
É neste contexto que vamos continuar nossa caminhada, estudando uma figura que é fácil de ser notada em nosso cotidiano, a circunferência. A circunferência é uma figura geométrica formalizada no campo da matemática. Historicamente o avanço mais significativo foi a invenção da roda, que tornou o conceito do circular aplicado à vida cotidiana. Os campos de transporte e comunicação evoluíram extraordinariamente, contribuindo para o progresso da humanidade. Historiadores caracterizam a circunferência como sendo um dos primeiros inventos em que o homem concentrou seus esforços.
Neste tópico, vamos analisar as características de uma circunferência, mostrando como ela é formalizada dentro da geometria. Arrume as malas novamente que a viagem pela geometria vai continuar.
Se fincarmos uma estaca no chão e prendermos nesta estaca uma corda de comprimento qualquer e giramos ao redor da estaca mantendo a corda esticada, teremos construído uma superfície esférica, normalmente chamada de circunferência.
FIGURA 18 – TRAÇANDO UMA CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Disponível em: <http://diogo_salsicha.blogs.sapo.pt/>. Acesso em: 19 set. 2012.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Definição: circunferência é um conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo desse plano.
O ponto fixo é chamado centro da circunferência.
Um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência (que seria a nossa corda) é chamado raio, cuja medida representamos por r.
Na figura que segue:
• O é o centro da circunferência.
• AO, OB, OC são raios da circunferência.
• AO = OB = OC = r.
Indica-se essa circunferência por C(O, r) (lê-se: “circunferência de centro O e raio de medida r”).
O conjunto de todos os pontos internos a uma circunferência é seu interior. O conjunto dos pontos externos a uma circunferência é seu exterior.
TÓPICO 4 | CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
Assim como nos polígonos a circunferência tem uma região interna e outra externa, formadas pelo conjunto de pontos pertencentes a cada uma das regiões.
Corda de uma circunferência é um segmento que tem seus extremos pertencentes à circunferência. Na figura a seguir, AB é corda.
Uma corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro.
Na figura ao lado, CD é diâmetro.
Raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro e a outra num ponto da circunferência. Na figura ao lado, OM é raio.
Mostre figuras, imagens, observe objetos que tenham este formato. Isso tudo vai motivar seus alunos e fazer com que eles queiram aprender mais sobre geometria. Mostre, por exemplo, uma bicicleta e enfatize a circunferência das rodas. Indique aos alunos onde estão os raios da bicicleta e porque são assim chamados.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Mostre também o diâmetro e trace imaginariamente uma corda para que eles localizem estes entes geométricos no objeto que é tão comum a eles, a bicicleta.
FIGURA 19 – BICICLETA
FONTE: Disponível em: <http://galeria.colorir.com/>. Acesso em: 19 set. 2012.
2 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E SEMICIRCUNFERÊNCIA
Você conheceu na seção anterior o que é uma circunferência e quais são os principais elementos que fazem parte dela. Nesta segunda seção, você poderá conhecer o que é um arco de circunferência e uma semicircunferência.
Vamos considerar uma circunferência λ de centro O, com dois pontos A e B desta circunferência, que não sejam extremidades do diâmetro. Nestas condições teremos dois arcos: um menor e um maior, como mostra a figura:
TÓPICO 4 | CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
O arco menor AB é a reunião de todos os pontos da circunferência que estão no interior do ângulo AO^ B com extremidades nos pontos A e B.
O arco maior AB é a reunião de todos os pontos de que estão no exterior do ângulo AO^ B com extremidades nos pontos A e B.
Os pontos A e B (extremidades do arco), são indicados como: AB = arco menor e
AXB = arco maior.
Agora vamos considerar os pontos A e B como extremidades de um diâmetro da circunferência. Perceba que a circunferência foi dividida em duas partes iguais, chamadas semicircunferências.
A B
As duas semicircunferências BA são a reunião de todos os pontos da circunferência que estão no mesmo semiplano determinado pela reta AB.
Assim, qualquer diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências.
3 CÍRCULO
Círculo é um conjunto de pontos de um plano cuja distância de um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância, não nula, dada.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Podemos dizer ainda que círculo é a reunião de uma circunferência com a sua região interior.
Observe que a circunferência e o círculo possuem o mesmo centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco da respectiva circunferência.
3.1 SETOR CIRCULAR, SEGMENTO CIRCULAR E SEMICÍRCULO
Os termos setor circular, segmento circular e semicírculo são específicos da geometria. Porém, isso não quer dizer que não possam ser abordados de uma maneira prática. Podemos pensar em um pedaço de pizza como sendo um setor de um círculo e a borda como sendo a circunferência que delimita a massa. Veja a figura a seguir:
FIGURA 20 – PEDAÇO DE PIZZA (SETOR DE UM CÍRCULO)
FONTE: Disponível em: <http://luanacoelho.files.wordpress.com/2009/12/pizza_ jacuhy2.jpg?w=500>. Acesso em: 29 nov. 2013.
TÓPICO 4 | CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
Vamos considerar um círculo de centro O com dois pontos A e B da circunferência que não sejam extremidades de um diâmetro.
O setor circular menor AOB é a reunião dos pontos dos raios AO, OB e de todos os pontos do círculo que estão no interior do ângulo AO^ B .
O setor circular maior AOB é a reunião dos pontos dos raios AO, OB e de todos os pontos do círculo que estão no exterior do ângulo AO^ B .
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do
círculo.
O segmento circular AB é a intersecção do círculo com o semiplano de origem na reta AB
Se A e B são extremidades de um diâmetro da circunferência, ou do círculo, este foi dividido em dois semicírculos.
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico você viu que:
• A circunferência é um conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo chamado centro.
• O raio é um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência.
• A corda de uma circunferência é um segmento que tem seus extremos pertencentes à circunferência.
• O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.
• O círculo é a reunião de uma circunferência com a sua região interior.
• O segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.
• O setor circular é a região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Para saber se você entendeu este tópico, não deixe da fazer as atividades a seguir. Exercitando:
1 Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique isso. 2 Em que caso um setor circular é um semicírculo?
3 Numa mesa circular, uma pessoa fica bem acomodada ocupando cerca de 70 cm da borda deste móvel. Quanto maior o número de pessoas, maior deverá ser o diâmetro desta mesa. Para acomodar confortavelmente 4 pessoas, qual deverá ser a circunferência da mesa? Você é capaz de resolver este problema?
4 Justifique por que o diâmetro é a maior corda da circunferência.
5 Escreva um pequeno texto, pode ser em tópicos, especificando de que forma se podem explorar os conceitos vistos neste tópico com situações do dia a dia. Faça uma pesquisa, seja criativo. Lembre-se: “Não basta saber é preciso saber fazer”.
TÓPICO 5
ÁREA DE FIGURAS POLIGONAIS
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, continuaremos nossa viagem pela geometria estudando como se efetua o cálculo de área de algumas figuras poligonais. Pé na estrada!
Quando falamos em Áreas de Polígonos, normalmente lembramos daquele amontoado de fórmulas que são decoradas para serem aplicadas nas provas e esquecidas logo depois.
Mas por que transformar esse conteúdo em simples “decoreba”? Se entendermos o significado de área e como encontrá-la, a fórmula é simplesmente “dispensável”.
Antes de tudo, devemos entender que para determinar a área de uma figura precisamos escolher uma unidade de medida e, então, comparar a figura com essa unidade, isto é, saber “quantas” unidades precisamos para “compor” a figura.
Observe a figura que está no quadriculado ao lado. Os quadradinhos que estão no interior da figura representam sua superfície.
Todo polígono ocupa uma certa quantidade de superfície, uma certa área. Na vida prática, conhecer essa área pode ajudar a calcular várias coisas. Pode ser tamanho de um terreno, a quantidade de pisos necessários para cobrir determinada superfície, quanto tecido é necessário para fazer um vestido, quanto papel é necessário para imprimir um fôlder, e muitas outras coisas.
Neste tópico vamos estudar como calcular a área de vários polígonos conhecidos. Vamos começar analisando os quadriláteros.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2 QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS
Quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. Um quadrilátero tem duas diagonais. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º e a soma dos ângulos externos também é 360º.
Considere o quadrilátero da figura ao lado.
• Os vértices A, B, C e D;
• Os lados AB, BC, CD e DA;
• As diagonais AC e BD.
Dois lados não consecutivos de um quadrilátero denominam-se lados opostos. Na figura, os lados opostos são AB e CD, BC e AD.
2.1 PARALELOGRAMOS
Paralelogramos são quadriláteros planos convexos que têm os lados opostos paralelos.
Na figura, AB // CD e AD // BC. Logo, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
O lado AB (ou CD) é chamado base, e o segmento DH é chamado altura do paralelogramo.
ABCD é paralelogramo AB CD e AD BC
Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes casos particulares:
• Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes (retos).
ABCD é retângulo A B C D
TÓPICO 5 | ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
• Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.
ABCD é losango AB BC CD DA
• Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).
ABCD é retângulo A B C D e AB BC CD DA
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2.1.1 Propriedades dos paralelogramos
• Em todo paralelogramo, cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes.
• Em todo paralelogramo dois lados opostos quaisquer são congruentes.
• Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.
• Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
• Todo paralelogramo que tem as diagonais congruentes é um retângulo.
• Todo paralelogramo que tem as diagonais perpendiculares é um losango.
2.2 TRAPÉZIOS
Perceba, acadêmico(a), que esta apresentação feita por nós para introduzir os conceitos de área pode também ser feita com seus alunos. Este movimento é importante para situar o aluno na linguagem que vai ser adotada nos posteriores cálculos de área. Deste modo, vamos observar como são feitos alguns cálculos de área de alguns polígonos específicos.
Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos.
Os lados paralelos são chamados bases e a distância entre as duas bases chama-se altura.
No trapézio abaixo verifica-se que os ângulos A e D, assim como os ângulos B e C, são colaterais internos, formados por duas paralelas (AB e CD) com uma transversal.
TÓPICO 5 | ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
Logo:
m( A^ )+m( D^
)=180º
^ ^
m( B )+m( C )=180º
Os lados paralelos são as bases do trapézio. Se os outros dois lados forem congruentes, o trapézio será isósceles. Se não forem congruentes, o trapézio será escaleno.
Feitos os estudos introdutórios deste tópico, vamos calcular a área das principais figuras geométricas planas. Nas fórmulas a seguir, usadas para os cálculos de área, usaremos a letra “S” de superfície.
3 ÁREAS
3.1 QUADRADO
A área de uma região quadrada, cujo lado mede 𝑙 unidades de comprimento, é igual a 𝑙2 = 𝑙 × 𝑙 unidades de área, ou seja:
S = 𝑙 × 𝑙 = 𝑙2
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
Para melhor explicar esta equação, você pode dar um exemplo prático.
Como exemplo, podemos imaginar o cálculo de área de um terreno quadrado.
FIGURA 21 – CÁLCULO DE ÁREA DE UM TERRENO QUADRADO
FONTE: Disponível em: <http://www.da-educa.com>. Acesso em: 20 set. 2012.
Você poderia mostrar esta imagem a seus alunos dizendo que isto faz parte de um projeto de um local externo de uma casa. Peça para eles analisarem a figura e calcular a área que será futuramente o jardim. Este processo ajuda a mostrar aos alunos que os conceitos estudados em sala têm uma utilidade prática.
Neste caso: S= 3 . 3 = 9 m²
3.2 RETÂNGULO
A área de uma região retangular cujo comprimento é a e cuja largura é b é dada por ab unidades de área, ou seja:
S = ab
Novamente, você pode utilizar um exemplo prático para mostrar este conceito. Você pode utilizar a mesma imagem anterior e fazer o cálculo de toda a área externa do projeto discutido anteriormente.
Neste caso. S= 7 . 6 = 42 m²
TÓPICO 5 | ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
Discuta com seus alunos perguntando a eles outros exemplos que podem ser analisados, utilizando estes cálculos de área relativamente simples. Você pode analisar os próprios objetos que estão em sala como carteiras e a área do chão.
3.3 PARALELOGRAMO
A área da região limitada por um paralelogramo é encontrada multiplicando- se o seu comprimento (base) pela sua largura (altura), ou seja:
S = ab
Isto se deve ao fato de que todo paralelogramo é equivalente a um retângulo de base e altura respectivamente congruentes às do paralelogramo.
3.4 LOSANGO
A área da região limitada por um losango é igual à metade do produto das medidas das diagonais:
S = diagonal maior diagonal menor ou S = Dd
2 2
3.5 TRAPÉZIO
A área da região limitada por um trapézio é igual à metade do produto da altura pela soma das bases maior e menor:
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
S = (base maior + base menor) altura
ou S =
(B+b)h
2 2
Tanto o item 3.4 como esse pode ser trabalhado de forma alternativa com seus alunos. Você pode utilizar cartolina e mostrar estas relações matemáticas fazendo com que o aluno participe e manipule estes materiais. Isso estimula a aprendizagem e coloca o aluno como agente participante no processo de construção do conhecimento.
3.6 TRIÂNGULO
A área limitada por um triângulo pode ser calculada de diferentes modos, dependendo dos elementos conhecidos. Vejamos alguns:
• Conhecidos um lado (base) e altura correspondente (h)
Perceba, acadêmico(a), o movimento que estamos fazendo. Destacamos a importância de se colocar a prática dentro da construção dos conceitos da geometria. Isto é importante, porém, acreditamos que a formalização matemática também se faz necessária para seu conhecimento como professor de matemática e para seus alunos que têm a oportunidade de se familiarizar com esta linguagem fascinante que a matemática proporciona.
Deste modo, para seu conhecimento e de seus alunos vamos destacar algumas demonstrações. Vamos a elas.
TÓPICO 5 | ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
A área da região triangular é igual à metade do produto da base pela altura, ou seja: S = b•h
2 , porque há um teorema que diz: “todo triângulo é equivalente a um
paralelogramo de base congruente à do triângulo e altura metade da altura do triângulo”.
• Vamos ver agora como podemos calcular a área de um triângulo equilátero de lado 𝑙. Iniciamos traçando a altura do triângulo, e com isso o dividimos em dois triângulos retângulos congruentes. Com a ajuda do Teorema de Pitágoras, encontraremos a medida do cateto do triângulo em destaque e, consequentemente, a altura do triângulo equilátero. De posse da altura do triângulo, teremos condições de encontrar sua área. Observe:
Pelo Teorema de Pitágoras:
𝑙 2
𝑙2 =
h2
𝑙2 =
𝑙 2
h2
4𝑙 2
𝑙2 4h2
=
4𝑙2 – 𝑙2 = 4h2 3𝑙2 = 4h2
2
3𝑙2
h =
4 4 4
4
h=
h l
2
Se o lado do triângulo equilátero em estudo mede 𝑙, sua base também mede 𝑙, então, conhecida sua altura, a área será:
S = b•h
2
𝑙
2 2
S = = = •
2 2 2 2
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
• Veremos agora como proceder para calcular a área de um triângulo qualquer quando são conhecidos os três lados (a, b e c).
A área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.
Sabemos que num triângulo: S = b•h
2
Porém, pelas relações métricas de triângulos h= 2•
p( p a)( p b)( p c)
b
a b c
(sendo b a base do triângulo e p o semiperímetro p=
2
Temos: S =
• Podemos ainda calcular a área do triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido entre eles. Vamos analisar a figura a seguir:
Neste caso
1
S = b•h
2
, mas no ∆ABC h = b senC então, podemos afirmar
que: S =
a•b•senC
2
E assim podemos proceder com qualquer um dos três ângulos do triângulo.
A geometria se mostra uma ferramenta muito importante dentro da matemática, no sentido de proporcionar em vários momentos o resgate de conceitos já vistos. Nesta última parte, vimos que a relação trigonométrica “seno” surge no cálculo de área. Esta é uma ótima oportunidade de resgatar os conceitos da trigonometria com seus alunos. Fique atento a estes ganchos que podem ser feitos durante suas aulas. Estes tornarão suas aulas mais ricas e os alunos mais preparados. Agora vamos estudar um pouco mais os hexágonos regulares.
3.7 HEXÁGONO REGULAR
TÓPICO 5 | ÁREAS DE FIGURAS POLIGONAIS
O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos equiláteros.
Sendo 𝑙 o lado da região hexagonal, sua área será igual a:
S = =
4 2
3.8 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR
Observe alguns exemplos de polígonos regulares:
• Triângulo equilátero – polígono regular de três lados.
• Quadrado – polígono regular de quatro lados.
• Pentágono regular – polígono regular de cinco lados.
• Octógono regular – polígono regular de oito lados.
Pode-se perceber que, se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (𝑙) e a altura é o apótema (a) do polígono regular.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
A área da região limitada por um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim:
S = n• 𝑙a ou S = n𝑙
ou S = pa
2 2
Em que: 𝑙: lado
a: apótema
n𝑙 = perímetro (2p)
p: semiperímetro
RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico você viu que:
• Os quadriláteros podem ser: trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados.
• As propriedades dos quadriláteros.
• Retângulo: lados opostos iguais, quatro ângulos retos, duas diagonais iguais e dois eixos de simetria.
• Losango: quatro lados iguais, ângulos opostos iguais, diagonais perpendiculares e dois eixos de simetria.
• Quadrado: quatro lados iguais, quatro ângulos retos, diagonais perpendiculares e quatro eixos de simetria.
• Paralelogramo: lados opostos iguais, ângulos opostos iguais e não tem eixos de simetria.
• Trapézio Isósceles: dois lados iguais, um eixo de simetria.
• Trapézio Retangular: um ângulo reto e não tem eixos de simetria.
• Trapézio Escaleno: quatro lados diferentes e não tem eixos de simetria.
Outras formas:
• Pentágonos – São polígonos com cinco lados e cinco ângulos.
• Hexágonos – São polígonos de seis lados e seis ângulos.
• Heptágonos – São polígonos de sete lados e sete ângulos.
• Octógonos – São polígonos de oito lados e oito ângulos.
• Cálculos de área:
Área do retângulo = b.h
Área do quadrado: 𝑙 . 𝑙
b•h
Área do triângulo = 2
Área do losango =
Área do trapézio =
D•d
2
(B b)•h
2
𝑙•a
Área de um polígono regular:
n• , onde n = no de lados do polígono.
2
1 Pense num paralelogramo comasmedidasda base edaaltura, respectivamente indicados por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do primeiro paralelogramo, qual será a relação entre as áreas dos dois paralelogramos?
2 Calcule a área de um losango que possui suas diagonais medindo 10 cm e 16 cm (em centímetros quadrados).
3 Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm (em centímetros quadrados)?
4 Calcule a área de um triângulo retângulo que possui como medida de sua hipotenusa e de um dos seus catetos, respectivamente, 10 cm e 8 cm (resposta em centímetros quadrados).
5 A figura a seguir representa as dimensões de uma sala que vai ser assoalhada com tábuas de 20 cm de largura por 3,5 m de comprimento. Quantas tábuas são necessárias?
6 Para refazer o jardim de sua residência, o Sr. Júlio resolveu comprar blocos de grama para colocar entre as árvores e as flores. A grama é vendida em blocos que medem 50 cm x 30 cm. Quantos blocos, no mínimo, o Sr. Júlio deve comprar para cobrir uma área de 165m2?
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho da malha tem um cm de lado e, portanto, 1cm2 de área. Com base nestes dados, calcule a área da região limitada pela linha escura.
8 A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?
9 ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB) = 15 cm e m(BC) = 9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?
TÓPICO 6
ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Estamos quase terminando essa segunda jornada pelos caminhos da geometria. Neste tópico, vamos estudar um pouco mais sobre o círculo. A importância de se estudar esta figura se destaca no campo da ciência e na prática. É este movimento que vamos desenvolver neste momento. Mas antes, um pouco de história.
Veja a figura a seguir:
FIGURA 22 – SÍMBOLOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ANTIGAS
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt>. Acesso em: 20 set. 2012.
Os antigos escribas, encarregados de fazer a coleta de impostos, provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Mas, certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.
E a área do círculo? Conta-se que Ahmes (2000 a. C.) encontrou a área de um círculo partindo da área de um quadrado cujo lado tinha a mesma medida do raio. Desta forma, comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e um sétimo, que hoje conhecemos como pi. Então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. Interessante, não?
Claro que existem outras maneiras de chegarmos ao cálculo da superfície do círculo, esta é apenas uma delas.
Além disso, existem diferentes formas de se analisar estes cálculos de área no campo prático. Sem mais delongas vamos caminhar para mais uma etapa de nossa jornada pela geometria.
2 ÁREA DO CÍRCULO
Observe a sequência de regiões poligonais regulares inscritas na circunferência:
À medida que o número de lados (n) aumenta, o polígono regular tende a confundir-se com a circunferência.
Assim, o perímetro tende a aproximar-se cada vez mais do comprimento da circunferência, que é 2R, e o apótema tende a se aproximar cada vez mais do raio R da circunferência.
TÓPICO 6 | ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES
Então, a região poligonal tende a se confundir com o círculo e sua área tende a coincidir com a área do círculo.
Como a área da região limitada por um polígono regular é dada pelo produto do semiperímetro pelo apótema, então a área do círculo é:
S 1 (2 R)R
2
S = R2
Neste momento, após a teorização, você pode mostrar uma imagem para seus alunos e fazer com que eles compreendam a lógica que está por trás da fórmula que calcula a área de um círculo. Sugestão de imagem a seguir.
FIGURA 23 – ÁREA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
FONTE : Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 20 set. 2012.
Este esquema pode também ser feito no quadro. Mostre com bastantes detalhes a relação entre os polígonos regulares e a nova estética de escrita adotada para fazer cálculos de área de um círculo, ou seja: A = πR2
Destaque também que este cálculo de área também é muito utilizado na prática em vários ramos da sociedade. Peça para os alunos começarem a observar os círculos que estão à sua volta no caminho da escola até sua casa e depois abra uma roda de conversas para discussões. Você irá se surpreender com o interesse dos alunos e o resultado final. Esta também é uma boa estratégia para amarrar teoria e prática.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
3 ÁREA DO SETOR CIRCULAR
Já a área de um setor circular é proporcional ao comprimento do arco, ou à medida do ângulo central. Para calcular sua área, basta fazermos uma regra de três.
FIGURA 24 – ÁREA DE UM SETOR CIRCULAR
FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 20 set. 2012.
Assim, comparando 2rad com R2.
2 rad R 2
R 2
rad A
Asetor 2
Se estiver em graus:
360º
R 2
setor
R 2
º
Asetor
Asetor
360º
E se tivermos o comprimento do arco:
2 R
R 2
𝑙R
𝑙
Asetor
Asetor
2
Claro que estas relações podem ser analisadas na prática. Exemplo na imagem a seguir:
TÓPICO 6 | ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES
FIGURA 25 – PARTE DE UM CAMPO DE FUTEBOL (CORNER)
FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 20 set. 2012.
A área de um setor pode ser calculada dependendo das informações que o problema traz. Vamos analisar dois exemplos:
1 Determine a área do setor circular a seguir. (Use π = 3,14)
Solução: como conhecemos o raio e a medida do ângulo central, basta substituir esses valores na fórmula da área do setor circular.
UNIDADE 2 | GEOMETRIA PLANA
2 Numa circunferência de área igual a 121 πcm2, calcule a área do setor circular delimitado por um ângulo central de 1200.
Solução: para a solução desse problema devemos verificar que no numerador da fórmula da área do setor circular, a medida do ângulo central α está multiplicando a área da circunferência, dessa forma teremos:
OBS.: claro que este valor pode ser escrito na forma decimal, basta dividir 121 por 3 e multiplicar por 3,14.
4 ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Para calcular a área do segmento circular, basta encontrar a área do setor e subtrair a área do triângulo formado pela corda e o ângulo central AOB.
A
Asegmento = AsetorAOB – AAOB
5 ÁREA DA COROA CIRCULAR
E finalmente, para o cálculo da coroa circular, basta encontrar a área dos dois círculos e fazer a diferença dos dois.
TÓPICO 6 | ÁREAS DE CÍRCULOS E SETORES
Acoroa
A
= R2 – r2
= R2 – r2)
coroa
Depois de analisar com os alunos estas equações, você pode trabalhar com situações práticas. Peça para um dos alunos que traga sua bicicleta para a sala de aula. Com a ajuda de uma trena calcule as diferentes coroas circulares que podem ser encontradas em uma bike. Com isso, sua aula fica mais atraente e por consequência os alunos apreendem mais. Faça o teste!
RESUMO DO TÓPICO 6
Neste tópico você viu:
• Área de um círculo = r r = r2
R2 R2 𝑙R
• Área circular Ac =
2 360 2
• Área do segmento circular = AsetorAOB – AAOB
• Área da coroa circular = (R2 – r2)
• Exemplos práticos de cálculo de área de um círculo.
• Sugestões de como trabalhar estes conceitos em sala de aula em uma perspectiva pedagógica.
1 Em uma cidade, há um terreno abandonado. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. João amarrou seu cavalo, ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento, para pastar. De acordo com a figura ao lado, calcule a área (em metros quadrados) de pasto que o cavalo não pode comer.
2 No semicírculo ao lado temos BC = 10 cm e AB
= 8 cm. Qual o valor aproximado, em centímetros quadrados, da área sombreada, sabendo-se que o triângulo ABC é um triângulo retângulo?
3 Calcule a área da sacada de um apartamento apresentada na figura ao lado.
4 O comprimento da linha do Equador da Terra tem aproximadamente
40.000 km. Qual é o raio da Terra?
5 Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia.
6 Num círculo de raio r = 10 cm, calcule:
a) o comprimento de um arco com α = 45º.
b) a área de um setor circular com α = 60º.
c) a área de um setor circular com α = 120º.
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho tem uma unidade quadrada de área. Encontre a área da superfície contornada pela linha escura.
UNIDADE 3
GEOMETRIA ESPACIAL
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
A partir desta unidade você será capaz de:
• desenvolver a intuição geométrica e seu uso na resolução de problemas;
• aprofundar os conteúdos de geometria plana para melhor compreender a geometria espacial;
• promover o desenvolvimento do raciocínio dedutivo e habilidades na re- solução de situações-problema próprias da geometria;
• reconhecer as diferentes medidas nos cálculos de superfície e volume;
• perceber a presença das formas geométricas nos objetos do cotidiano;
• preparar o futuro professor de geometria do Ensino Básico;
• construir e planificar figuras geométricas espaciais.
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em dois tópicos e em cada um deles você encon- trará atividades que o(a) ajudarão a aplicar os conhecimentos apresentados.
TÓPICO 1 – RELAÇÕES NO ESPAÇO TÓPICO 2 – PRISMAS
TÓPICO 3 – PIRÂMIDES TÓPICO 4 – CILINDRO TÓPICO 5 – CONE
TÓPICO 6 – ESFERA
TÓPICO 1
RELAÇÕES NO ESPAÇO
1 INTRODUÇÃO
Estamos quase chegando ao de fim de nossa caminhada pela geometria. Nesta última unidade, vamos aprofundar nossos conhecimentos analisando objetos no espaço a partir das relações entre pontos, retas e planos.
É de fundamental importância que você desenvolva suas habilidades de analisar figuras no R3. Assim importa ter em mente os conhecimentos estudados nas unidades anteriores, pois as mesmas relações para o plano são válidas no espaço.
Neste Tópico 1 veremos as características de uma figura espacial, as relações entre retas e planos no espaço, o estudo dos poliedros e a importante relação de Euler.
Algumas relações estudadas no plano têm enfoque diferente quando o referencial é o espaço. Então, fique atento para esta parte do nosso estudo e se é necessário pause sua leitura para abstrair a passagem das sentenças matemáticas de R2 para R3. Bons estudos!
2 RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Nas unidades anteriores consideramos uma figura geométrica sempre no mesmo plano, isto é, todos os seus pontos coplanares. Contudo, ao considerar como referência o espaço R3 tanto as retas como os demais elementos podem estar localizados em planos distintos.
Para melhor compreensão das relações entre retas no espaço vamos observar a representação geométrica de uma ‘caixa’ em formato retangular:
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
As retas AB, BC, CD e DA são coplanares porque o plano (ABCD) as contém. Também são retas coplanares as retas AE, EH, DH e DA porque o plano (AEHD) contém essas três retas.
As retas coplanares AB e CD não têm ponto em comum. O mesmo ocorre
com as retas coplanares BC e AD.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
O par de retas AB e AD tem um único ponto comum, isto é, as retas
interceptam-se num ponto. O mesmo acontece em BC e CD.
Para as retas AB e FG não existe um plano que contenha as duas.
Para explorar este assunto com seus alunos, leve-os para um passeio fora da sala de aula e mostre as relações apresentadas no espaço. Em geral, todos os objetos podem ser observados no que se refere aos seus elementos. Você também pode utilizar a própria sala de aula e os objetos que estiverem disponíveis.
Para fazer a relação entre o plano e o espaço com os objetos que cercam os alunos, você pode pedir que eles tragam diversas embalagens para analisar as relações. Use a criatividade para ministrar ótimas aulas!
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
FIGURA 26 – EMBALAGENS
FONTE: Disponível em: <http://designontherocks.com.br/design-de-embalagens-tipos-de- embalagens-de-papel/>. Acesso em: 12 set. 2012.
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS
As principais posições relativas entre dois planos distintos são:
– Paralelos
• caso especial: paralelos coincidentes
– Secantes
• caso especial: secantes perpendiculares
Vamos às representações:
Planos paralelos: quando não houver ponto em comum aos dois planos.
Planos paralelos coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Planos secantes: quando possuem uma reta comum:
Planos secantes perpendiculares: quando a reta de um plano é perpendicular ao outro.
Novamente o convidamos a observar o entorno e perceber como estas relações geométricas estão presentes nas construções.
4 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos três. Esta afirmação consiste em um importante postulado da Geometria:
A partir deste postulado inferimos as possíveis formas de determinar um
plano:
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Para apreender as condições de existência de um plano identifique-as na figura ao lado.
5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Ao observarmos nosso entorno encontraremos objetos que são limitados apenas por superfícies planas, outros limitados apenas por superfícies curvas e, ainda outros limitados por superfícies planas e curvas.
Dessa forma, podemos definir sólido geométrico como uma figura que possui as dimensões de latitude, longitude e altitude e se classificam em poliedros e não poliedros.
Os poliedros são sólidos geométricos limitados somente por superfícies
planas:
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Os não poliedros têm alguma superfície curvas:
6 POLIEDROS
Já sabemos que poliedros são sólidos geométricos limitados por faces planas e poligonais como apresentado nas imagens:
A ilustração a seguir de minerais de cristais é um exemplo de poliedro. Os profissionais de Cristalografia utilizam os conceitos de geometria que você está aprendendo!
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
FIGURA 27 – MINERAIS DE CRISTAIS
FONTE: Disponível em: <http://recursostic.educacion.es/ciencias/biosfera/web/ alumno/2ESO/materiales_terrestres/contenidos1.htm>. Acesso em: 23 set. 2012.
Um poliedro é formado por faces, arestas e vértices. Cada face está contida em um plano diferente. O encontro dos planos define um segmento de reta chamado de aresta e o encontro das destas arestas determinam os vértices da figura espacial.
Convexidade de um poliedro
Na unidade 2 estudamos os polígonos convexos, como o triângulo, o quadrado e o retângulo, entre outros. Vamos nos valer deste estudo para tratarmos dos poliedros convexos.
Para caracterizar um poliedro convexo segundo Machado (1988) é necessário satisfazer às três condições de existência:
1) não há dois polígonos-face em um mesmo plano;
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
2) cada lado de um dos polígonos-face é comum a dois e apenas dois dos polígonos- face;
3) o plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos em um mesmo semiespaço determinado por esta face.
Veja como esta definição se configura nas representações:
FIGURA 28 – POLIEDROS
FONTE: Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/ mec/10483/open/file/geo1001.htm>. Acesso em: 28 set. de 2012.
Um poliedro não convexo é também chamado de côncavo. Para identificá- lo de maneira rápida basta perceber que ao traçarmos um plano por uma das faces do poliedro existe alguma parte do poliedro que não fica do mesmo semiplano, ou seja, o plano traçado o poliedro em duas ou mais partes.
Exemplos de poliedros convexos Exemplos de poliedros côncavos
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme o número de faces um poliedro convexo recebe nomes especiais:
Nº faces Nome
4 Tetraedo
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
11 Undecaedro
12 Dodecaedro
13 Tridecaedro
14 Tetradecaedro
15 Pentadecaedro
20 Icosaedro
7 RELAÇÃO DE EULER
Para todo poliedro convexo vale a relação: F + V = A + 2 ou
V – A + F = 2 onde:
V é o número de vértices A é o número de arestas F é o número de faces
Os poliedros para os quais esta relação é válida são chamados poliedros eulerianos.
Exemplos:
a) Em um poliedro convexo, o número de arestas é 30 e o de vértice é 12. Qual é o número de faces?
V – A + F = 2 12 – 30 + F = 2
F = 2 – 12 + 30
F = 20
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Logo, o poliedro convexo tem 20 faces.
b) Vamos calcular o número de arestas e o número de vértices de um poliedro com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.
Primeiro vamos determinar o número de arestas:
• para cada face quadrangular temos 4 arestas, logo 6 x 4 = 24
• para cada face triangular temos 3 arestas, logo 4 x 3 = 12
Como contamos cada aresta duas vezes sem considerar o “encontro” temos
que dividir por dois:
24 12 18
2
Agora podemos aplicar a relação de Euler: F + V = A + 2
10 + V = 18 + 2
V = 18 + 2 -10 V = 10
Na prática, a Relação de Euler é muito utilizada para saber características imediatas dos sólidos sem precisar desenhar a figura! Esta relação foi estabelecida pelo matemático suíço Leonhard Euler do século XVIII. Além da matemática sua obra inclui outros ramos como a Física e a Astronomia.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
FIGURA 29 – LEONHARD EULER
FONTE: Disponível em: <http://4.bp.blogspot.com/-sDXHJrk8o3s/ VqOsdTfR_MI/AAAAAAAACs8/4-GCh_RcMv4/s1600/Leonhard_Euler_2. jpg> Acesso em: 18 de abr. 2017.
Aspectos históricos ligados à História da Matemática também são importantes de serem tratados com seus alunos. Este movimento histórico cria um senso de contextualização dos conceitos que estão sendo trabalhos em sala de aula. Esta abordagem auxilia os alunos a perceberem que a matemática foi desenvolvida por pessoas ao longo do tempo.
Neste sentido, você poderia fazer uma ótima parceria com o professor de História da escola. Seria um belo trabalho interdisciplinar!
8 POLIEDROS DE PLATÃO
Para tratarmos dos poliedros de Platão vamos, inicialmente, apresentar as condições para definir poliedros convexos regulares. São elas:
1) as suas faces são polígonos regulares (com o mesmo nº de lados);
2) os seus ângulos poliédricos possuem a mesma medida.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Assim, podemos definir um poliedro convexo de Platão:
1) todas as faces tiverem o mesmo número de arestas;
2) de todos os vértices partirem o mesmo de arestas;
3) satisfazem a relação de Euler.
Pela definição de poliedro regular e de Platão, podemos afirmar que todo Poliedro de Platão é regular.
Exemplo de poliedro de Platão Não exemplo de Poliedro de Platão
Não é convexo
Não parte o mesmo número de arestas de cada vértice
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Só existem cinco poliedros regulares, que são os de Platão e recebem nomes especiais. Vamos nomeá-los a partir da relação de Euler.
Um poliedro de Platão é poliedro euleriano, portanto, satisfaz à relação de
Euler:
(V – A + F = 2)
Os poliedros de Platão recebem nomes especiais:
Faces V A F V – A + F = 2 Nome
Quatro faces triangulares
4
6
4
4 – 6 + 4 = 2
Tetraedro
Seis faces quadrangulares
8
12
6
8 – 12 + 6 = 2
Hexaedro
Oito faces triangulares
6
12
8
6 – 12 + 8 = 2
Octaedro
Dozes faces pentagonais
20
30
12
20 – 30 + 12 = 2
Dodecaedro
Vinte faces triangulares
12
30
20
12 – 30 + 20 = 2
Icosaedro
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Você pode construir os poliedros de Platão em diversos materiais a partir da planificação.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Por que só existem cinco poliedros de Platão?
Para responder a esta pergunta vamos observar como ocorre a construção de um poliedro a partir dos ângulos poliédricos (‘bicos’). Para construir um ângulo poliédrico são necessários pelo menos três polígonos e a soma dos ângulos poliédricos será sempre menor que 360º independente do número de faces.
Assim, as faces só podem ser triângulos (ângulo interno 60º), quadrados (ângulos interno 90º) e por pentágonos (108º). Vamos analisar:
Polígono Ângulo interno Nº possível em cada vértice Poliedro
Triângulos equiláteros
60º 3 triângulos Tetraedro
4 triângulos Octaedro
5 triângulos Icosaedro
Quadrado
90º 3 quadrados Hexaedro
Pentágonos
108º 3 pentágonos Dodecaedro
Agora vamos mostrar que não é possível formar um ângulo poliédrico com mais de três quadrados, hexágonos, heptágonos, octógonos, pois, a soma dos ângulos é igual ou maior a 360º o que não forma um ‘bico’.
Conclui-se que só existem cinco poliedros de Platão nos quais a soma dos ângulos poliédricos é sempre menor que 360º.
Assim, podemos concluir que só existe mesmo o tanto de poliedros de Platão que cabem em uma mão!
Deixamos como dica a obra intitulada Os Poliedros de Platão e os Dedos da Mão de autoria de Nilson José Machado. Este livro contém ricas propostas didáticas para sua prática pedagógica.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES NO ESPAÇO
Curiosidades sobre os Poliedros de Platão
Uma curiosidade interessante sobre os poliedros ou sólidos de Platão é a construção destes sólidos esculpidos em pedra pelos Povos Neolíticos que se encontram no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido. Autores de história da matemática datam estas esculturas de 1600 a. C.
FIGURA 30 – SÓLIDOS DE PLATÃO MODELOS NEOLÍTICOS
FONTE: Disponível em: < http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/blog/2011/12/beautiful- losers-platos-geometry-of-elements/>. Acesso em: 23 set. 2013.
Do ponto de vista filosófico, os sólidos de Platão se referem à teoria dos quatro elementos que formam o mundo: fogo (tetraedro), ar (octaedro), água (icosaedro) e terra (cubo). Depois veio o quinto elemento que se referre ao universo representado pelo dodecaedro.
FIGURA 31 – ELEMENTOS DE PLATÃO
FONTE: Disponível em: <http://www.eb23-anadia.rcts.pt/ProjectoTurmas/ ProjMatematica5F/Solidos%20Geometricos.htm>. Acesso em: 23 de set. 2013.
Encerramos este tópico de estudo elencando a presença dos poliedros em alguns objetos como: luminárias, prédios, telhados; na natureza como os minerais, as pedras preciosas e as colmeias das abelhas; em alguns vírus (verruga e poliomielite) que têm a forma de icosaedro.
Deixamos para você o desafio de citar outros exemplos!
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você viu que:
• Relações entre duas retas no espaço podem ser:
o Coplanares: se duas retas distintas formam um plano, então, duas ou mais retas são retas coplanares quando existe um plano que as contém.
o Paralelas: retas coplanares distintas que não tem ponto em comum são chamadas de retas paralelas.
o Concorrentes: Retas que tem um único ponto em comum são chamadas de
retas concorrentes.
o Reversas ou não coplanares: Dadas duas retas, quando não existe um plano que as contenha, são chamadas de retas reversas ou não coplanares.
• Posições relativas entre dois planos distintos:
o Planos paralelos: quando não houver ponto em comum aos dois planos.
o Planos paralelos coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.
o Planos secantes: quando possuem uma reta comum.
o Planos secantes perpendiculares: quando a reta de um plano é perpendicular ao outro.
• Um plano pode ser determinado por:
o três pontos não colineares;
o uma reta e um ponto fora dela;
o duas retas paralelas distintas;
o duas retas concorrentes.
• Sólido geométrico é uma figura que possui as dimensões latitude, longitude e altitude.
• Poliedros são sólidos geométricos limitados por faces poligonais.
• Os elementos de um poliedro são: vértices, arestas e faces.
• Em poliedro convexo:
o não há dois polígonos-face em um mesmo plano;
o cada lado de um dos polígonos-face é comum a dois e apenas dois dos polígonos-face;
o o plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos em um mesmo semiespaço determinado por esta face.
• Em todos os poliedros convexos vale a relação: F + V = A + 2 ou V – A + F = 2.
• São cinco os poliedros de Platão: Tetraedro; Hexaedro; Octaedro; Dodecaedro; Icosaedro.
• Um poliedro de Platão é poliedro euleriano, portanto, satisfaz a relação de Euler.
• Só existem cinco poliedros de Platão porque a soma dos ângulos poliédricos deve ser menor que 360º independente do número de faces. E, isto só ocorre nos poliedros de Platão.
1 Sobre a mesa da figura há dois livros apoiados em diferentes posições. Vamos analisar duas situações:
a) Qual é a posição dos planos da capa e contracapa do livro B em relação à mesa?
b) Qual é a posição dos planos da capa, da contracapa e de uma das folhas de dentro, tomados dois a dois, em relação ao plano da mesa?
2 Uma bola de futebol é um poliedro que possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Com base nestas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
( ) O número de arestas deste poliedro equivale a 180. ( ) Este poliedro apresenta 60 vértices.
( ) A bola apresenta 32 faces.
( ) Este poliedro classifica-se como um sólido de Platão.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F.
b) ( ) F – F – V – V.
c) ( ) F – V – V – F.
d) ( ) F – V – V – F.
e) ( ) V – F – F – V.
3 Joana ganhou um par de brincos no formato de uma pirâmide de base quadrada, que sabemos ser um poliedro o número de vértices e de faces é cinco. Aplique a relação de Euler e calcule o número de arestas do par de brincos.
4 Classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
a) ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) ( ) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
d) ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) ( ) Duas retas não coplanares são reversas.
5 Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
6 Em nossos estudos vimos que entre dois planos são possíveis quatro posições relativas no espaço. Sobre estas posições classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
a) ( ) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam.
b) ( ) Dois planos se interceptam em um único ponto.
c) ( ) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção é uma reta.
d) ( ) Dois planos concorrentes formam um triedro.
e) ( ) Planos paralelos no espaço são planos que não têm intersecção.
7 Um plano é determinado por:
a) ( ) Uma reta e um ponto não pertencente a ela.
b) ( ) Uma reta e um ponto a ela pertencente.
c) ( ) Três pontos.
d) ( ) Duas retas quaisquer.
e) ( ) Uma reta apenas.
8 Classifique os poliedros em convexos (C) e não convexos (NC):
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) NC, NC, C, C, NC.
b) ( ) C, NC, NC, C, C.
c) ( ) C, NC, C, C, NC.
d) ( ) C, NC, C, NC, NC.
e) ( ) NC, NC, C, C, NC.
9 Em matemática precisamos tomar cuidado com o inverso das afirmações, por exemplo: todo poliedro é um sólido geométrico, mas nem todo sólido geométrico é um poliedro. Neste sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico. ( ) Todo sólido geométrico é de Platão.
( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico. ( ) Todo poliedro convexo é euleriano.
( ) Todo poliedro euleriano é de Platão. ( ) Todo poliedro de Platão é euleriano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F – V – V.
b) ( ) F – F – V – V – V – F.
c) ( ) F – V – V – F – V – F.
d) ( ) F – V – V – F – F – V.
e) ( ) V – F – V – V – F – V.
10 Com a intenção de formar um ângulo poliédrico tomaram-se algumas faces poligonais cujas medidas que formarão o ângulo poliédrico são conhecidas conforme a seguir. Todas as construções são possíveis? Justifique suas respostas.
a) 70º 80º e 130º.
b) 90º, 120º r 150º.
c) 70º, 80º, 90º e 100º.
11 Quantas faces no máximo, de um polígono que tem os ângulos internos de 50º, podem ser utilizadas para formar um ângulo poliédrico?
12 Sobre poliedro é correto afirmar:
a) ( ) O número de faces é o dobro do número de arestas.
b) ( ) O menor número possível de faces de um poliedro é três.
c) ( ) Todo poliedro tem 8 vértices.
d) ( ) Um octaedro tem doze faces.
e) ( ) Uma aresta é a intersecção de duas faces.
13 Determine:
a) O poliedro convexo que tem 6 vértices e 12 arestas.
b) O número de vértices de dodecaedro que tem 20 arestas.
c) O número de faces de um poliedro convexo que tem 15 arestas e 8 vértices.
d) Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosaedro regular.
TÓPICO 2
PRISMAS
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, vamos estudar alguns poliedros convexos em relação ao cálculo de sua área e seu volume.
Vamos iniciar a partir da forma de uma geladeira. Você já observou que ela tem a forma de um poliedro? Trata-se de um prisma também chamado de paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.
FIGURA 32 – GELADEIRA
FONTE: Disponível em: <http://www.disknata.com.br/noticias06.html>. Acesso em: 12 mar. 2013.
Quando você vai adquirir uma geladeira, além do seu custo e consumo de energia, certamente você procurará comprar uma que se adapte ao espaço disponível em sua cozinha e a capacidade de armazenar a quantidade de alimentos que você e sua família necessitam.
Se fizermos um cálculo de volume da geladeira, estaremos calculando o espaço que ela ocupará na cozinha.
A maioria das geladeiras que estão no mercado hoje tem sua capacidade registrada em litros. Este cálculo nos informa a quantidade de alimentos que ela é capaz de conter.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
A resolução destes cálculos e de outras situações-problema é possível com o estudo de assuntos que veremos neste tópico, como o cálculo de área total e do volume de um prisma.
Além disso, este tópico se destaca pela importância de entendermos um pouco mais do mundo que nos cerca. É comum no dia a dia percebermos estes sólidos nas construções das casas e prédios, nas embalagens nos supermercados, entre outros.
Deste modo, estudar esta parte da geometria não é apenas fazer cálculos e relações, mas sim entender um pouco mais da realidade que nos cerca.
2 PRISMAS
Prisma é um poliedro convexo tal que:
a) Dois polígonos não estão no mesmo plano.
b) Cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos.
Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, que vamos estudar com mais detalhes. Veja alguns exemplos e procure perceber suas características:
Para analisar os prismas com seus alunos, você pode construir estes sólidos usando cartolina ou qualquer outro tipo de material, analisando e definindo muitos conceitos matemáticos. Para motivá-los, você também pode organizar uma amostra com os objetos construídos por eles.
A seguir vamos formalizar mais algumas características dos prismas.
2.1 CLASSIFICAÇÃO
TÓPICO 2 | PRISMAS
De acordo com a inclinação das arestas laterais, um prisma pode ser reto ou oblíquo. O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não o são.
Com relação às bases (natureza de um prisma), os prismas classificam-se
em:
• Prisma triangular: as bases são regiões triangulares.
• Prisma quadrangular: as bases são regiões quadriláteras.
• Prisma pentagonal: as bases são regiões pentagonais. E assim por diante.
Ainda com relação às bases, um prisma é regular se, em cada base, o contorno da região poligonal é um polígono regular.
Observe alguns prismas com seus nomes:
Um prisma possui os seguintes elementos:
• a distância entre os planos α e β, que contêm as bases, é a altura (h) do prisma;
• os polígonos A’B’C’D’E’F’ e ABCDEF, chamados bases do prisma, são congruentes e estão situados em planos paralelos entre si, denominados de planos da base α e β;
• os lados dos polígonos, A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’F’, F’A’ e AB, BC, CD, DE, EF, FA são as arestas da base;
• os segmentos AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’ são as arestas laterais;
• os paralelogramos AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, DD’EE’, EE’FF’, FF’AA’ são as faces laterais.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Para um professor, quanto mais formas diferentes de explicar conceitos matemáticos tiver, melhor será para o aluno.
Outra forma de mostrar os elementos de um prisma: (eliminar a primeira
linha).
2.2 PARALELEPÍPEDO
Um prisma cujas bases têm forma de paralelogramos é um paralelepípedo.
Em um paralelepípedo, todas as faces são paralelogramos e, em particular, podem ser retângulos. A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis paralelogramos.
Um prisma reto de bases retangulares é chamado de paralelepípedo retângulo, paralelepípedo reto retângulo, bloco retangular ou ortoedro.
Observe que essa forma geométrica é delimitada por seis retângulos cujas faces opostas são retângulos idênticos.
Observe também que, em cada vértice, as arestas são perpendiculares duas
a duas.
• Paralelepípedo reto retangular ou paralelepípedo retângulo:
TÓPICO 2 | PRISMAS
Paralelepípedo retângulo planificado:
Existem dois caminhos pedagógicos que vão ajudar nas suas aulas neste momento. O primeiro é mostrar esses objetos na prática, fazendo pequenos passeios com os alunos, na escola ou em qualquer outro lugar. Faça com que eles observem e percebam a importância de se estudar estes conceitos. Em um segundo momento, na planificação desses sólidos, novamente você pode usar materiais lúdicos e fazer com que seus alunos coloquem a mão na massa. Faça com que eles percebam que os objetos no espaço podem ser decompostos no plano.
Este processo vai aumentar a capacidade de percepção de seus alunos. A capacidade de relacionar figuras no plano e no espaço.
2.3 CUBO
O cubo é um paralelepípedo retângulo ou prisma especial cujas seis faces são congruentes (quadrados).
O cubo ou hexaedro regular (hexa: seis; edro: faces) possui as seis faces congruentes.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Cubo planificado
Cubo
Vamos pensar num prisma qualquer. Este prisma pode ser um cubo. Pois bem, todas as arestas de um prisma têm extremidades em dois de seus vértices. As diagonais das faces também têm extremidades em dois vértices do prisma.
Então, se excluirmos as arestas e as diagonais das faces de qualquer prisma, qualquer outro segmento que existir, com extremidades em dois vértices do prisma, é chamado diagonal do prisma.
Desta forma, podemos definir diagonal de um prisma como um segmento que tem extremidades em dois vértices que não pertencem a uma mesma face do prisma.
Observe o desenho a seguir, para distinguir diagonal da face e a diagonal do prisma.
Temos um cubo de lado a, diagonal da face f e diagonal do cubo d. Observe que estas três medidas formam um triângulo retângulo. Então, com o Teorema de Pitágoras, conhecidas duas delas, é possível encontrar a terceira.
Vamos iniciar calculando a diagonal da face do cubo: f2 = a2 + a2
f2 = 2a2 f = 2a2 f = a 2
TÓPICO 2 | PRISMAS
Agora, vamos calcular a diagonal do cubo:
d2 = a2 + f2 , mas f = a 2, então substituindo, temos: d2 = a2 + (a 2)2
d2 = a2 + 2a2 d2 = 3a2
d = 3a2
d = a 3
Com seus alunos não perca a oportunidade de recapitular conceitos já dados. Por exemplo: o Teorema de Pitágoras, ele aparece nas duas últimas equações. Quando isto acontecer, sempre faça um gancho com os conceitos já dados. Este processo faz com que o aluno tenha a visão do todo, que ele compreenda que a matemática é uma grande ciência e que as partes estão interligadas.
2.3.1 Área e volume do cubo
Como já sabemos, o cubo é um prisma com todas as faces congruentes. Assim, todas as suas faces são quadrados. Podemos então chamá-lo de prisma quadrangular regular em que sua altura é igual à medida da aresta da base.
Sabemos também que para calcular a área de um quadrado fazemos S=𝑙2.
Como o cubo é formado por 6 quadrados de mesma medida, conhecendo a área de um e multiplicando por 6 teremos a área total do cubo.
Alateral
𝑙2
Atotal
6𝑙2
Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar as medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura. Como as três têm a mesma medida, temos:
V = 𝑙3
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Imagine um cubo com aresta medindo 1 m. Esse cubo tem volume igual a 1 metro cúbico (1 m3), que é a unidade de medida de volume no sistema métrico decimal.
Ou, um cubo de aresta medindo 1 cm. Seu volume seria de 1 centímetro cúbico (1cm3). Ou ainda um cubo de aresta 1dm, seu volume seria: V = (1 • 1 • 1) dm3 = 1 dm3.
Observe agora a figura abaixo. Ela não é um cubo, pois suas arestas têm medidas diferentes. Chamamos esta forma de prisma retangular. Porém, a base de cálculo continua sendo o cubo.
As dimensões do prisma são: 5 cm de comprimento, 3 cm de largura e 4 cm de altura. A unidade de medida é o centímetro.
Calcular o volume e dizer quantas vezes um cubo de 1 cm3 cabe dentro deste prisma.
Vprisma = comprimento x largura x altura
Vprisma Vprisma
= 534
= 60cm3
Vprisma = Ab.h
Podemos dizer então que cabem 60 cubos de 1cm3 cada, no prisma acima. Com seus alunos você pode mostrar esses conceitos de diferentes formas.
Utilize materiais e faça com que eles construam esses sólidos. Não se esqueça também de destacar a importância de se estudar estas relações e que os conceitos ajudam a compreender o mundo que nos cerca.
Você poderia aproveitar o ensejo e mostrar a brincadeira do cubo mágico. Veja a figura a seguir. Este jogo além de ser no formato de um cubo e que por consequência ajuda os alunos a manipularem este sólido tão importante, temos a oportunidade de mostrar um jogo que ajudará a desenvolver a lógica de seus alunos. Faça o teste. Os resultados serão notáveis.
TÓPICO 2 | PRISMAS
FIGURA 33 – CUBO MÁGICO
FONTE: Disponível em: <http://aoscubos.wordpress.com>. Acesso em: 25 set. 2012.
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
A seguir, veja como Dante (2000, p.441-442) apresenta a superfície de um prisma.
Em todo prisma, consideramos:
• Superfície lateral: formada pelas faces laterais.
• Área lateral (A𝑙): a área da superfície lateral.
• Superfície total: formada pelas faces laterais e pelas bases.
• Área total (At): a área da superfície total.
Vamos resolver algumas situações-problema para entendermos melhor tudo isso.
Exemplo 1
Vamos calcular a área total de um prisma hexagonal regular cuja aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
De acordo com o enunciado, temos:
• A medida da aresta lateral = 6 cm
• A medida da aresta da base = 3 cm
Observando a figura, vemos que as faces laterais do prisma em questão são 6 retângulos medindo 3 cm de base e 6 cm de altura. Encontrando a área de um deles e multiplicando por 6 teremos a área lateral.
Área lateral = A𝑙 = 6(base x altura) = 6(6 × 3) = 108 cm2 Vamos agora calcular a área da base, que é a área da
região limitada pelo hexágono regular.
A região hexagonal é formada por 6 regiões triangulares equiláteras, cuja aresta chamaremos de s.
por:
A
A
Já vimos que a área de uma região triangular equilátera de lado s é dada
No nosso caso, temos:
= = cm2
4 4 2
Como são duas bases, temos Ab 2
27 3
2
27
cm2.
Área total = área lateral + área das bases. No nosso caso, a área total é dada por:
A A A (108 27 3)cm2
t 𝑙 b
Como 1, 7 , temos A 153,9 cm2.
TÓPICO 2 | PRISMAS
Concluímos então que a área da superfície total do prisma hexagonal estudado é de, aproximadamente, 153,9 cm2.
Exemplo 2
Vamos calcular a diagonal e a área total de um cubo de aresta igual a 3 cm.
Cada face do cubo é uma região quadrada. Sua área é dada por a2. Como são 6 faces, temos A = 6a2.
A = 6 . 32
A = 6 . 9
A = 54 cm2.
A área total da superfície do cubo é de 54 cm2. Vamos agora calcular a medida da diagonal do cubo.
Iniciamos calculando a diagonal de uma das faces do cubo.
Ao traçarmos a diagonal, dividimos o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles congruentes. Assim:
f 2 a2 a2
f 2 32 32
f 2 9 9
f
f 3 2cm
Conhecidas as medidas a e f, vamos agora encontrar d:
d 2 a2 f 2
d 2 32 (3 2)2
d 2 9 18
d
d 3 3cm
Se considerarmos
1, 7 , a diagonal do cubo será 3 1,7 = 5,1cm.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Exemplo 3
Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sapatos com 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 14 cm de altura. Desprezando as abas, vamos calcular, aproximadamente, quantos metros quadrados de papelão serão necessários, sabendo que a tampa tem 3 cm de altura. Embora a tampa tenha alguns milímetros a mais no comprimento e largura, para fins de cálculo aproximado, usaremos as mesmas medidas da caixa.
A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo:
Se planificarmos a caixa e a tampa, teremos a seguinte forma plana:
Todo paralelepípedo retângulo é formado por 6 faces:
• Duas regiões retangulares de medidas a e b.
• Duas regiões retangulares de medidas a e c.
• Duas regiões retangulares de medidas b e c. Em nosso caso, na caixa, temos:
• Duas regiões retangulares de medidas 40 e 14 cm, o que nos dá uma área de 2 . 560 = 1120 cm2.
• Duas regiões retangulares de medidas 20 e 14 cm, o que nos dá uma área de 2 . 280 = 560 cm2.
TÓPICO 2 | PRISMAS
• Uma região retangular de medidas 40 e 20 cm, o que nos dá uma área de 800 cm2.
Nas medidas da tampa, temos:
• Uma região retangular de medidas 40 e 20 cm, o que nos dá uma área de 800 cm2.
• Duas regiões retangulares de medidas 40 e 3 cm, o que nos dá uma área de 2 . 120 = 240 cm2.
• Duas regiões retangulares de medidas 20 e 3 cm, o que nos dá uma área de 2 . 60 = 120 cm2.
A área da superfície da caixa é de: 1120 + 560 + 800 = 2480 cm2. A área da superfície da tampa é de: 800 + 240 + 120 = 1160 cm2.
A área de toda caixa, desprezando as abas, é de: 2480 + 1160 = 3640 cm2. Como são 10.000 caixas, temos:
A = 3 640 × 10.000 = 36.400.000 cm2 = 3.640 m2
Portanto, serão necessários, no mínimo, 3.640 m2 de papelão.
O exemplo 3 dessa última parte do texto pode ser aproveitado para reforçar com seus alunos a importância de se estudar a geometria. Existe um ramo da educação matemática chamado modelagem matemática. Queremos deixar aqui como sugestão de pesquisa para você, acadêmico(a), aprofunde seus conhecimentos neste assunto.
Apenas para ilustrar, a modelagem matemática propõe estudar os conceitos matemáticos através da modelagem de problema prático como foi o caso de nosso exemplo 3. Fazer a relação entre teoria e prática é um dos desafios dos novos professores de matemática e a modelagem matemática propõe caminhos para que isso possa ser feito de forma sistematizada.
4 VOLUME DO PRISMA
Já falamos anteriormente sobre o volume de um cubo. Vamos estudar agora o cálculo de volume dos demais prismas.
Inicialmente definiremos volume de um sólido.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido, de forma que:
• Sólidos congruentes têm volumes iguais.
• Se um sólido S é a reunião de dois sólidos que não têm pontos interiores comuns, então o volume de S é a soma dos volumes dos dois sólidos.
Os sólidos são medidos por uma unidade que normalmente é um cubo. O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela medida da altura.
Vprisma = Abase h
Exemplo 1
Vamos calcular o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20 cm de espessura em uma sala de 3 m por 4 m.
Área da base = A = 3 4 = 12 cm2.
V = área da base × altura = A h = 12 m2 0,20 m = 2,40 m3. São necessários 2,40 m3 de concreto.
Exemplo 2
Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar a caixa cúbica cuja figura está ao lado, vamos calcular o volume dessa caixa.
Neste caso, temos que a área total do cubo é 0,96 m2 = 96 dm2 = 9 600 cm2. Sabendo que At = 6a2, temos:
9 600 = 6a2 a2 = 1 600 a = 40 cm
TÓPICO 2 | PRISMAS
Como V = a3, temos:
V = (40 cm)3 = 64 000 cm3 = 64 dm3 = 0,064 m3
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você viu que:
Um poliedro convexo possui:
a) Faces que são os polígonos convexos.
b) Arestas que são os lados dos polígonos.
c) Vértices que são os vértices dos polígonos.
Os prismas são sólidos geométricos que possuem duas bases congruentes contidas em planos paralelos distintos e as demais faces laterais constituídas por paralelogramos.
Os prismas são classificados de acordo com os polígonos que formam suas bases:
a) Prisma triangular, quando a base do prisma é um triângulo.
b) Prisma quadrangular, quando a base do prisma é um quadrilátero.
c) Prisma pentagonal, quando a base do prisma é um pentágono etc.
Os prismas estão classificados em duas categorias: prismas retos e prismas oblíquos.
O prisma que possui todas as faces congruentes é chamado cubo.
O paralelepípedo é todo prisma cujas bases são paralelogramos. Um paralelepípedo cujas seis faces são retângulos é chamado paralelepípedo retângulo.
Aspectos pedagógicos que auxiliaram a prática do(a) acadêmico(a) em sala de aula.
1 Uma pequena indústria de artesanatos pretende fabricar caixas (papelão) decorativas de dois modelos. Uma em forma de um paralelepípedo retangular e outra, em forma de cubo, ambas com a mesma capacidade. As dimensões do paralelepípedo equivalem a base de 15 cm e 20 cm, altura de 5 cm.
Com relação a estas caixas, analise as seguintes sentenças: I – Na caixa cúbica serão gastos 132 cm² de papelão.
II – A capacidade da caixa em forma de paralelepípedo equivale a 1 500 cm³. III – As dimensões da caixa cúbica são de aproximadamente 11,5 cm.
IV – Na caixa em forma de paralelepípedo serão gastos aproximadamente 163,4 cm² a mais de papelão do que na caixa cúbica.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Somente a afirmativa II e III está correta.
b) ( ) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas.
d) ( ) Somente a afirmativa I está correta.
TÓPICO 3
PIRÂMIDES
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Vamos continuar com nossa caminhada pela geometria, estudando um sólido clássico dentro da geometria e na própria história da humanidade. Neste tópico, vamos estudar algumas relações que envolvem as pirâmides como cálculo de volume e de área da superfície lateral. Porém, antes vamos estudar um pouco de história.
FIGURA 34 – PIRÂMIDES
FONTE: Disponível em: <http://www.novaera-alvorecer.net>. Acesso em: 26 set. 2012.
Talvez seja a pirâmide um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a Pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com aproximadamente 150 m de altura.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono.
Denominamos pirâmide a todo poliedro convexo com uma face chamada base num plano e apenas um vértice fora desse plano. As demais faces da pirâmide são triângulos determinados por um lado da base e o vértice da pirâmide. Estas faces são chamadas faces laterais.
Feita essa primeira abordagem, vamos começar a analisar algumas relações ligadas à linguagem definidas matematicamente. Preparado(a)? Então vamos começar.
2 PIRÂMIDE
Esta primeira parte é importante que você mostre com bastantes detalhes para seus alunos. A importância se destaca pelo fato de que todos os cálculos que faremos a seguir estão definidos sobre estes alicerces. Fale isso para seus alunos em sala, com isso, eles vão perceber que sua prática é organizada e que você não está ali só para ensinar qualquer coisa. Eles vão perceber isso, com este processo você ganha o respeito de seus alunos e eles, por consequência, mais conhecimento.
Consideremos um plano , uma região poligonal B contida em e um ponto P não pertencente a . O conjunto de todos os segmentos que ligam o ponto P a um ponto de B forma uma pirâmide.
A seguir, veja como Dante (2000, p. 448-449) apresenta a pirâmide e sua classificação.
Uma pirâmide é um poliedro cuja base é uma região poligonal e as faces são regiões triangulares.
• O ponto P é chamado vértice da pirâmide.
• A região poligonal B é chamada base da pirâmide.
TÓPICO 3 | PIRÂMIDES
• A distância do vértice ao plano da base é chamada altura da pirâmide.
• A altura de uma face lateral relativa ao lado da base é chamada apótema da pirâmide.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de qualquer um desses triângulos, relativa ao lado da base, é denominada apótema da pirâmide. O apótema liga o vértice da pirâmide ao ponto médio de uma das arestas da base.
Já no polígono da base, o segmento que liga o centro ao ponto médio de um lado é chamado apótema da base. Observe:
Observe que a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam juntos um triângulo retângulo. Portanto, conhecidas duas de suas medidas, é possível encontrar a terceira fazendo uso do Teorema de Pitágoras.
2.1 CLASSIFICAÇÃO
Com relação à base, as pirâmides classificam-se em:
• Pirâmide triangular: a base é uma região triangular
• Pirâmide quadrangular: a base é uma região quadrilátera
• Pirâmide pentagonal: a base é uma região pentagonal E assim por diante.
Com relação às arestas laterais, se todas elas forem congruentes, a pirâmide é reta; caso contrário é oblíqua.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Ainda com relação à base, uma pirâmide é regular quando sua base é uma região poligonal limitada por um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice no plano da base coincide com o centro desse polígono.
Um caso particular de pirâmide regular é aquela formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras: o tetraedro. Nele, qualquer das faces pode ser considerada base.
Observe algumas pirâmides com seus nomes:
No próximo item, vamos começar a fazer alguns cálculos. Porém antes, vale destacar que esta parte inicial é importante para seus conhecimentos e de seus alunos. Nestes primeiros momentos, você pode trabalhar em parceria com o professor de história. Ele falando sobre a história das pirâmides e você trabalha os conceitos matemáticos. Este tipo de parceria costuma render bons frutos. Que tal fazer o teste? Esta prática está situada sobre uma tendência pedagógica mundial: a interdisciplinaridade.
2.2 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE TRIANGULAR
Se fizermos a decomposição de um prisma triangular em três pirâmides, concluiremos que as três pirâmides juntas têm o mesmo volume que o prisma.
As três pirâmides são congruentes, têm a mesma base e a mesma altura.
V prisma
Logo: VI = VII = VIII = 3
Como Vprisma = área da base altura, temos:
TÓPICO 3 | PIRÂMIDES
Vpirâmide
= área da base altura
= Vpirâmide
= Abase h
3 3
2.3 VOLUME DE UMA PIRÂMIDE QUALQUER
Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos a conclusão anterior. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide triangular que tenha a mesma área da base e a mesma altura que a pirâmide qualquer.
É possível verificar que duas pirâmides com áreas das bases iguais e com a mesma altura têm volumes iguais. Então:
Volume de uma pirâmide qualquer =
área da base altura
3
V = área da base altura = V
= A h
pirâmide
pirâmide b
3
Você pode conferir isso em sala de aula com seus alunos.
Construa com cartolina ou outro material qualquer um prisma e uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura.
Encha a pirâmide com água, areia, farinha ou feijão. Use o material que você tiver disponível. Depois despeje o conteúdo da pirâmide no prisma.
Você vai conferir que são necessárias três pirâmides para encher o prisma.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Não deixe de fazer esse tipo de experimento com seus alunos. Claro que nem sempre é possível, porém no caso descrito acima é fácil de ser realizado. São estes os momentos em que as aulas podem ficar muito divertidas para você e seus alunos. Deixe com que eles se envolvam e ajudem a construir os materiais e realizem com você, acadêmico(a), este experimento. Temos certeza de que você se surpreenderá com os resultados.
3 ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE
Além desses exemplos numéricos, não podemos deixar de observar que as pirâmides estão presentes na história da construção civil como vimos no início desse tópico. Vale destacar que este sólido geométrico está presente em nossa sociedade em vários ramos diferentes. Este fato pode render uma pesquisa a ser realizada com seus alunos. Ou seja, em que locais e espaços podemos notar a presença da pirâmide?
Este processo também costuma motivar os alunos. Para você se inspirar, vamos deixar uma imagem que é apenas um exemplo de onde podemos encontrar as pirâmides que neste caso serve para sintetizar uma ideia.
FIGURA 35 – PIRÂMIDE EM FORMA DE ALIMENTOS
FONTE: Disponível em: <http://vidasaudavel.powerminas.com>. Acesso em: 26 set. 2012.
A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais. Como as faces laterais são triangulares, basta encontrar a área de um triângulo e multiplicar pelo número de faces laterais.
TÓPICO 3 | PIRÂMIDES
A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área da base.
Atotal = Alateral + ABase
Exemplo 1
Vamos calcular o volume de uma pirâmide quadrada, cuja aresta da base mede 4 cm e a altura 7 cm.
A = 4 cm 4 cm = 16 cm2
h = 7 cm
2
16cm • 7cm
3
112cm
~ 37,3cm
V = 3 = 3 = 3 =
O volume da pirâmide é de, aproximadamente, 37,3 cm3.
Exemplo 2
Vamos agora calcular a área total da pirâmide do exercício anterior:
Se a aresta da base é de 4 cm sua área é: A = 4 . 4 = 16 cm2
Nas faces laterais temos 4 triângulos isósceles de base 4 cm, porém desconhecemos sua altura. Para chegarmos à altura do triângulo, ou apótema da pirâmide, vamos antes calcular a medida do lado do triângulo iniciando pelo apótema da base.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Se a aresta do quadrado da base mede 4 cm, o apótema da base mede 2 cm.
Já tivemos oportunidade de falar sobre isso anteriormente.
Observe a figura:
Veja que a altura da pirâmide, o apótema da pirâmide e o apótema de base formam, entre si, um triângulo retângulo. Então, é possível calcular a aresta lateral, pois é a única medida desconhecida:
a2 72 22
a2 49 4
a 54
a 7, 28cm
Veja agora na figura uma face lateral da pirâmide:
Temos um triângulo isósceles com base medindo 4 cm e altura medindo 7,28cm. Então, sua área é:
47,28
triângulo
2
14,56cm2
triângulo
Assim, a área lateral será: 4. 14,56 = 58,24 cm2
Atotal = Alateral + ABase Atotal = 58,24+16
A = 74,24cm2
A área total da superfície da pirâmide em estudo é de 74,24 cm2.
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você viu que:
• Pirâmide é todo poliedro convexo com uma face chamada base num plano e apenas um vértice fora desse plano. As demais faces da pirâmide são triângulos determinados por um lado da base e o vértice da pirâmide.
• Numa pirâmide encontramos os seguintes elementos:
Vértice.
Base.
Altura.
Apótema da base.
Apótema da pirâmide.
• Com relação à base, as pirâmides classificam-se em:
Pirâmide triangular: a base é uma região triangular.
Pirâmide quadrangular: a base é uma região quadrilátera.
Pirâmide pentagonal: a base é uma região pentagonal.
V
= Ab h
• Para calcular o volume da pirâmide usamos a fórmula:
pirâmide
3
• Para calcular a área total da pirâmide usamos a fórmula: Atotal = Alateral + ABase
TÓPICO 4
CILINDRO
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Vamos, neste tópico, estudar mais um sólido clássico dentro da geometria. Além disso, podemos perceber muito a sua presença em vários locais onde circulamos todos os dias, trata-se do cilindro. O cilindro circular reto é também chamado de sólido de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados.
Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado AB gera o cilindro ao lado. De uma forma menos acadêmica, podemos dizer que o cilindro é um sólido roliço e alongado, cujo diâmetro tem a mesma medida em qualquer parte do seu comprimento. No nosso cotidiano é comum encontrarmos objetos com forma cilíndrica, como: um lápis sem ponta, uma lâmpada fluorescente, uma lata de óleo, um cano etc.
Mas, vamos voltar ao nosso retângulo. Observe a primeira figura deste tópico. Quando giramos o retângulo em torno da reta, numa rotação completa (360º), o retângulo descreve um sólido de revolução que chamamos de cilindro.
A reta forma o eixo do cilindro e os círculos gerados pela rotação dos lados AC e BD são as bases do cilindro. A superfície gerada pelo lado CD é chamada superfície lateral do cilindro. A medida do segmento AC = BD = r é o raio do círculo das bases, e a medida do segmento AB = CD = h é a altura do cilindro.
O segmento CD, ou qualquer outro paralelo ao eixo e com uma extremidade em cada circunferência das bases, é denominado geratriz.
No cilindro circular reto a medida da geratriz é igual à medida da altura.
Superfície lateral é a reunião das geratrizes, a área dessa superfície é chamada área lateral.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Superfície total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é a área total.
Secção meridiana é a interseção do cilindro com o plano que contém a reta determinada pelos centros das bases. A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo de dimensões 2r (diâmetro da base) e h (altura). Quando 2r = h, esta secção formará um quadrado e o cilindro então é chamado cilindro equilátero.
Na parte colorida do cilindro ao lado está representada a secção meridiana de um cilindro equilátero.
Além dessas características que já listamos aqui na introdução, ao longo desse tópico estudaremos de que forma podemos calcular o volume de um cilindro, área lateral e total.
2 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO
Observe a figura acima.
Temos um cilindro fechado e o mesmo cilindro planificado. Na planificação podemos ver os dois círculos das bases e o retângulo formado pelo comprimento da circunferência e a altura do cilindro.
TÓPICO 4 | CILINDRO
A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies das duas bases. Assim:
• Área lateral = A𝑙 = (2πr)h = 2πrh A𝑙 = 2πrh
• Área das bases = A = 2πr2
• Área total = A = A + A = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) A = 2πr(h + r)
Exemplo
Vamos calcular a altura de um tubo de forma cilíndrica sabendo que sua superfície total pode ser coberta com 43,7088 cm2 de plástico e o diâmetro de cada base tem 8 mm. (Vamos usar π = 3,14).
Na figura ao lado representamos o cilindro da nossa situação-problema. Desconhecemos sua altura, portanto vamos chamá-la de x.
O diâmetro da base é 8 mm = 0,8 cm. Logo, r = 0,4 cm.
A = 2πr2 = 2 × 3,14 0,42 = 1,0048
A𝑙 = 2πrh = 2 × 3,14 0,4x = 2,512x
A = A + A = 43,7088 1,0048 + 2,512x = 43,7088 2,512x = 42,704 x = 17
Portanto, a altura do tubo deve ser de 17 cm.
Quando estiver lecionando sobre este assunto, você pode destacar com seus alunos as diferentes formas e utilidades que o cilindro tem em nossa sociedade. Você pode, inclusive, fazer uma pesquisa de campo fazendo com que os alunos anotem os objetos, embalagens que têm o formato de um cilindro. Essas discussões são ótimas para aumentar o nível de envolvimento dos alunos.
3 VOLUME DO CILINDRO
O volume de um cilindro é obtido da mesma maneira que o volume do prisma:
Volume do cilindro = área da base . altura
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Como a base do cilindro é um círculo de raio r e área igual a r2, temos:
Vcilindro = Abase h
2
cilindro
Exemplo
Um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e sua base tem 12 cm de diâmetro. Vamos calcular a área lateral, a área total e o volume do cilindro.
Se o diâmetro é igual a 12 cm, então r = 6 cm.
• Área da base = A = r2 = 62 = 36 cm2
• Área lateral = A𝑙 = 2rh = 2 6 10 = 120 cm2
• Área total = A = A + 2A = 120 + 2(36) = 192 cm2
• Volume = V = A h = r2h = 62 10 = 360 cm3
Portanto, a área lateral é 120 cm2, a área total é 192 cm2 e o volume é 360
cm3.
Exemplo
Vamos estudar uma lata de óleo com 8 cm de diâmetro na base e 19 cm de
altura.
• Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Use = 3,14)
• Qual é a capacidade dessa lata?
A resolução desse problema é possível com os estudos que fizemos neste
tópico.
Iniciaremos planificando a lata para saber quanto material é necessário para sua fabricação.
TÓPICO 4 | CILINDRO
• Área da base: A = r2 A = 3,1442 A = 50,24cm2
• Área lateral: A𝑙= 2rh A𝑙 = 23,14419 A𝑙 = 477,28cm2
• Área total: A = 2 A + A A = 250,24 + 477,28 A = 577,76cm2 Desprezando a espessura da lata, mesmo porque esta medida não nos foi
fornecida, vamos calcular o volume da lata e com isso teremos a sua capacidade
aproximada.
Para o cálculo do volume da lata de óleo:
Vlata
= Abase h
Vlata
= r2 h V = 3,144219 V = 954,56cm3
A capacidade da lata é, de aproximadamente, 954,56 cm3.
Estes problemas nos fornecem situações em que as equações de área e volume surgem como foco de análise. Além desses tipos de situações de cálculo,
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
você pode com seus alunos calcular o volume de objetos que tenha formato de um cilindro e que seja de fácil acesso.
Podemos pensar em vários objetos comuns no espaço escolar e que podem servir de análise em suas aulas. Exemplos de objetos que costumam ter o formato de um cilindro e que podem ser encontrados facilmente: lápis, cabo da vassoura, panelas, giz, lata de lixo, vigas do prédio da escola, entre outros. Use uma boa trena e criatividade. Com isso suas aulas vão ficar mais atrativas. A seguir, algumas imagens para você se inspirar.
FIGURA 36 – OBJETOS EM FORMA DE CILINDRO
FONTE: Os autores
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico você viu que:
• O cilindro circular reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados.
• No cilindro circular reto a medida da geratriz é igual à medida da altura.
• A superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral.
• A superfície total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é a área total.
• A secção meridiana é a interseção do cilindro com o plano que contém a reta determinada pelos centros das bases.
• A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo de dimensões 2r (diâmetro da base) e altura do cilindro.
Hora de exercitar mais um pouco o conteúdo estudado. Quando não conseguir, volte ao texto, leia novamente, ou peça ajuda via e-mail ou telefone para 0800 642 5000.Exercitando:
1 O que é um cilindro equilátero?
2 Um restaurante costuma usar grandes panelas em dias de muito movimento. Para encher de água uma dessas panelas, o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses galões são necessários para encher completamente uma panela cilíndrica, de 60 cm de diâmetro e 50 cm de altura? (Use = 3,14).
3 Qual é o volume da grafite de um lápis de 17 cm de comprimento, se a grafite tem 2 mm de diâmetro? (Use = 3,14).
4 Para fazer 1m3 de concreto, gastam-se 9 sacos de cimento. Um prédio está apoiado sobre 12 colunas cilíndricas de concreto, cada uma com 5 m de altura e 40 cm de diâmetro da base. Quantos sacos de cimento foram gastos na construção destas colunas? (Use = 3,14).
5 Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm de profundidade. Quantos litros de água o vaso pode conter, aproximadamente? (Use = 3,14).
6 Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: uma de raio r, cheia até a altura h. Outra
de raio r e cheia até altura 2h. A primeira é vendida por R$ 3,00 e a
segunda é2vendida por R$ 1,60. Qual é a embalagem mais vantajosa para o
consumidor?
8 A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1.570 litros.
Sabendo que 1.000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14 determine a medida do raio r do cilindro.
TÓPICO 5
CONE
1 INTRODUÇÃO
Quando olhamos para uma montanha, muitas vezes podemos encontrar o formato de um cone, ou quando olhamos para um vulcão temos a ideia de um tronco de cone. Ou, no nosso cotidiano, um funil ou uma casquinha de sorvete nos dão a ideia deste sólido geométrico chamado cone. Assim como o cilindro, o cone também é um sólido de revolução.
Se fizermos um corte no cone circular reto, dependendo do ângulo do corte, a secção formada revela formas matemáticas muito importantes, chamadas cônicas.
As cônicas já começaram a ser estudadas pelos antigos matemáticos, como Euclides e Arquimedes. São elas: a elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência. Se imaginarmos um plano seccionando o cone, conforme a variação do ângulo obteremos uma destas cônicas. Por exemplo, se o plano for paralelo à base do cone, teremos uma circunferência.
Apenas para você ter uma ideia da importância destes estudos, a trajetória descrita pela Terra em torno do Sol tem o formato de elipse. Os espelhos dos refletores dos telescópios têm formatos parabólicos. Alguns cometas têm trajetórias parabólicas ao redor do Sol.
Para entendermos tudo isso melhor, precisamos inicialmente conhecer o
cone.
Um cone de revolução (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
B
O eixo de rotação do sólido de revolução é o eixo do cone. O círculo gerado pela rotação do cateto AB do triângulo é a base do cone e a superfície gerada pela hipotenusa BC é a superfície lateral do cone.
A distância AB é o raio da base do cone, a distância AC é a altura do cone, o ponto C é o vértice do cone e a distância BC é a geratriz do cone.
Além do segmento BC, qualquer outro com uma extremidade no vértice A e outra na circunferência da base é também denominado geratriz. Num cone circular reto todas as geratrizes têm a mesma medida.
Existem também cones circulares não retos, que não são cones de revolução.
Estes são chamados cones circulares oblíquos.
Além desses elementos, neste tópico, vamos analisar com mais profundidade algumas relações geométricas que envolvem o cone. Entre elas podemos destacar: cálculo da superfície lateral, cálculo de volume e situações práticas de resolução de problemas. Começaremos definindo alguns aspectos ligados à linguagem.
2 SECÇÃO MERIDIANA
A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo.
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera, e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
TÓPICO 5 | CONE
2r
Como nos tópicos anteriores, sugerimos que construa estes sólidos com seus alunos. Você pode usar cartolina ou qualquer outro material a que você tenha acesso. Enquanto define a linguagem, ou seja, como as coisas são nomeadas dentro da geometria, você já pode mostrar e construir o cone na prática. Esse processo coloca o aluno como participante do processo de construção do conhecimento. Vamos continuar com nossa caminhada!
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CONE RETO
r = raio da base h = altura
g = geratriz
A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circular) mais a superfície da base (um círculo), isto é, A = A𝑙 + A .
A superfície lateral de um cone de revolução, desenvolvida num plano, é equivalente a um setor circular de raio igual à medida g da geratriz e arco de comprimento igual ao perímetro da base do cone (2r).
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Inicialmente calculamos a área do setor (A𝑙) cujo arco correspondente é
2r, lembrando que o raio da circunferência maior é a geratriz (R = g):
Arco área
Círculo todo: 2g — g2
Setor: 2r — A𝑙
A𝑙 =
(2r) (g2)
= rg
2g
A área da base é a área do círculo de raio r: A = r2
Logo, a área total do cone reto é A = rg + r2 = r(g + r).
Observação: O ângulo do setor circular é tal que: 360° — 2g
— 𝑙
em que 𝑙 = 2r.
Perceba que esta regra de três já apareceu em nossos estudos na Unidade 2. Ela apenas foi aplicada em uma nova situação problema que envolve o cone. Com seus alunos não perca estas oportunidades de resgatar conceitos já trabalhados. Enquanto estiver analisando e construindo as equações, faça um paralelo e resgate concepções matemáticas já vistas.
Exemplo
Vamos entender melhor este assunto, resolvendo alguns exemplos simples. Temos um cone com 10 cm de altura e raio da base igual a 4 cm.
Vamos calcular o seguinte:
• Medida da sua geratriz:
g2 = 102 + 42 g = 116 10,7 cm
• Área lateral:
A𝑙 = rg = 3,14 4 10,7 134,4 cm2
• Área total:
A = r2 = 3,14 42 = 50,24 cm2
A = A + A = 134,4 + 50,24 = 184,64 cm2
t 𝑙 b
• Medida do ângulo do setor circular. (Vamos usar = 3,14): Nesse caso, R = g = 10,7 cm e 𝑙 = 2 4 = 8:
360º 2 g
360º-210, 7
TÓPICO 5 | CONE
– 𝑙
– 8
8 360
2 10, 7
= 134,5º = 134º30′
Logo, = 134º30′
4 VOLUME DO CONE
O volume de um cone é obtido da mesma maneira que o volume de uma pirâmide:
Vcone = Vcone =
Abase h 3
r2 h 3
A demonstração dessa equação, que serve para calcular volume de um
cone, também pode ser mostrada utilizando uma situação prática. Perceba que a equação que calcula a área de um cilindro é a mesma que calcula o volume de um cone. A única diferença é o 1/3 multiplicando toda esta sentença. Ou seja, podemos concluir que dentro de um cilindro de mesmo raio podemos colocar três cones.
Faça o teste com seus alunos. Construa um cilindro e um cone de mesmo raio de base e altura. Depois encha de água os cones e vá despejando dentro do cilindro. Você irá concluir que o volume de três cones é igual ao de um cilindro de mesmo raio de base.
FIGURA 37 – VOLUME DE TRÊS CONES = UM CILINDRO DE MESMO RAIO DE BASE
FONTE: Disponível em: <http://www.shmoop.com>. Acesso em: 27 set. 2012.
Este tipo de experimento é fácil de ser feito em sala. Este processo torna sua aula rica e a participação dos alunos por consequência acaba sendo maior. Vamos continuar mostrando alguns exemplos que envolvem uma percepção de cálculo.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Exemplo
Vamos calcular o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm.
Temos todas as medidas que precisamos, é só calcular:
V = 1
3
r2h = 1
3
72 12 = 196 = 615,44 cm3
O volume do cone é 615,44 cm3.
Exemplo
Uma casquinha de sorvete de forma cônica tem 6 cm de diâmetro e altura de 10 cm. Qual é sua capacidade?
Diâmetro = 6 cm; raio = 3 cm; h = 10 cm.
V = 1
3
r2h = 1
3
× 32 × 10 = 30 = 94,20 cm3
Como 1 cm3 = 1ml, a capacidade do copinho é de 94,20 ml.
Exemplo
Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero com 30 mm de altura.
Você deve estar pensando que não é possível resolver tudo isso conhecendo apenas a altura do cone.
Vamos rever o que acabamos de estudar. Acabamos de ver que num cone equilátero a secção meridiana é um triângulo equilátero. Portanto, este será nosso ponto de partida. Na figura ao lado, temos a secção meridiana do cone em questão.
Iniciamos calculando as medidas r e g, com o auxílio do Teorema de Pitágoras:
(2r)2 = r2 + 302 4r2 – r2 = 900
3r2 = 900
r = 300 r = 10 3mm
Se g = 2r, então
g = 20 3mm
Agora já podemos calcular o que o problema
pede:
Área lateral: A𝑙 = rg A𝑙 = 10 3 20 3 . Fazendo = 3,14 e 3 = 1,73, temos
A𝑙 = 3,14 17,3 34,6
A𝑙 = 1879,54 mm
TÓPICO 5 | CONE
Área da base: A
= r2 A =3,14 (10 3)2 A = 3,14 300 A
= 942mm
b b b b
Área total = A𝑙 + Ab At = 1879,54 + 942 At = 2821,54mm
A h
94230
Volume: V = V = V = 9420mm
3 3
Todos estes exemplos podem ser trabalhados pedagogicamente com seus alunos. Chamamos a atenção para o processo de construção do conhecimento que estamos fazendo e que você pode também desenvolver em sala com seus alunos. Inicialmente trabalhe com a estética de escrita, ou seja, como as coisas são escritas e definidas no campo de estudo que você irá trabalhar, no nosso caso, estudo do cone. Em um segundo momento mostre algumas situações problemas de cálculo, como estes listados acima. E para concluir, trabalhe com situações práticas envolvendo objetos que podem ser percebidos no dia a dia dos alunos.
A ordem de estudo não precisa ser esta, mas é importante que todas sejam contempladas. Muitas vezes, deixamos de mostrar que isto tudo, que está sendo estudado em sala, não tem uma utilidade prática. Por isso, a importância de você trabalhar este aspecto com seus alunos. Trazemos a seguir algumas imagens para você se inspirar nesta dimensão prática.
FIGURA 38 – OBJETOS EM FORMA DE CONES
FONTE: Os autores
RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico você viu que:
• Um cone de revolução é o sólido obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo, em torno de um eixo que contém um dos catetos.
• A seção meridiana de um cone é uma região triangular, obtida pela interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo.
• Um cone circular reto é um cone equilátero quando a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
• Para um cone reto de geratriz g e raio da base r, temos:
A𝑙 = rg
A = r2
At = r(g + r) V = r2 h
3
TÓPICO 6
ESFERA
1 INTRODUÇÃO
Olá, acadêmico(a)! Estamos quase chegando ao fim de nossa caminhada pela geometria. Ao longo dessa viagem, desvendamos vários conceitos e aplicações. Agora, para terminar falta-nos ainda estudar mais um sólido muito importante dentro da geometria: a esfera.
Esfera é o sólido obtido fazendo-se a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Com esse movimento, cada ponto do semicírculo descreve uma circunferência que tem como centro um ponto qualquer do diâmetro e cujo raio se torna maior à medida que aumenta a sua distância ao eixo.
Todos os pontos da superfície esférica estão à mesma distância de um ponto O chamado centro.
O maior círculo formado pelo corte da esfera em seu centro é chamado círculo máximo.
Para fins de cálculo, neste Caderno de Estudos vamos considerar a Terra como sendo uma esfera perfeita. Se cortássemos a Terra ao meio, pela linha do Equador, a dividiríamos em dois hemisférios (norte e sul). Na região do corte teríamos o círculo máximo.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
É possível que os homens tenham criado a forma esférica observando e estudando os corpos celestes, como o Sol e a Lua.
Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto O (centro) é menor ou igual a uma distância R dada.
A interseção de um plano com uma esfera que se corta é sempre um círculo. Quando o plano passa pelo centro da esfera, a secção é um círculo máximo. Quando o plano passa fora do centro da esfera, determina uma secção de raio s. A relação entre a distância do centro, o raio da secção e o raio da esfera é dada pelo Teorema de Pitágoras.
Na figura acima: r2 = d2+s2
Vamos novamente considerar a esfera terrestre para nossos estudos. Vamos imaginar o eixo imaginário da Terra passando pelo centro da esfera. Os pontos por onde o eixo sai da esfera são chamados polos.
A secção determinada por um plano que contém o eixo é uma circunferência máxima chamada meridiano.
Já a secção determinada por um plano perpendicular ao eixo, passando pelo centro, é uma circunferência máxima chamada equador. Outros planos perpendiculares ao eixo determinam secções chamadas paralelos.
Além desses elementos, ao longo desse tópico, vamos estudar várias relações e cálculos que podem ser desenvolvidos a partir da análise de uma esfera. Começaremos construindo a equação que me permite calcular o volume de qualquer esfera. Preparado(a)? Então vamos começar!
2 VOLUME DA ESFERA
TÓPICO 6 | ESFERA
Para o cálculo do volume da esfera, vamos nos apoiar no princípio de Cavalieri: “Sejam R e S dois sólidos cujas bases se apoiam num mesmo plano . Se todo plano intersecciona esses sólidos em secções paralelas ao plano da base, de mesma área, então o volume de R será igual ao volume de S”.
Consideremos uma esfera de raio R apoiada sobre um plano . Ainda sobre o mesmo plano, tomemos um cilindro circular reto equilátero cujo raio da base também meça R e cuja altura meça 2R.
Desse cilindro vamos retirar dois cones retos cujas bases são as do cilindro e vértice comum no ponto A. Ao sólido obtido chamaremos S. O vértice A é o ponto médio do segmento com extremidades nos centros O1 e O2 das bases do cilindro.
FIGURA 39 – AMPULHETA
FONTE: Disponível em: <www.museutec.org.br/. ../a_ampulheta. htm>. Acesso em: 15 mar. 2006.
O duplo cone retirado é chamado de clepsidra, parecido com uma ampulheta. O restante do cilindro chamaremos de anticlepsidra. Vamos provar que o volume da esfera é igual ao volume do sólido S.
Seccionando-se a esfera e o sólido S por um plano paralelo ao plano , a uma distância d do centro O da esfera, obtemos, respectivamente, como secções, um círculo de raio r e uma coroa circular de raio interno d e externo R.
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Vamos então calcular. Iniciamos pela área do círculo: A = r2, mas r2 = R2 – d2. Substituindo, então temos:
A = (R2 – d2).
Vamos calcular agora a área da coroa circular:
A = R2 – d2 A = (R2 – d2)
Como as duas áreas são iguais, pelo princípio de Cavalieri resulta que a esfera e o sólido S têm o mesmo volume.
Bem, o cilindro original tem um volume de : V = R2.2R V = 2R3.
Sabemos também que um cone com base e altura iguais às de um cilindro tem 1/3 do volume deste; então, cada cone tem um volume de:
V R R V R
3 3
Como eliminamos dois cones do cilindro, o volume do sólido S
(anticlepsidra) ficou assim:
V 2 R3 – 2 1 R3
V 4 R3
3 3
Com seus alunos, você também pode utilizar este processo de demonstração matemática para mostrar a eles de quais relações lógicas e em que princípio está pautada a equação final que me permite calcular o volume de uma esfera tendo como partida o raio da mesma.
Feita essa primeira caminhada, não podemos deixar de analisar situações práticas que podem ser analisadas a partir da teoria. Vamos fazer isso no próximo item, porém, antes vamos ver como se calcula a área da superfície de uma esfera.
3 ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA
Uma esfera é gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro, então a superfície esférica é gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro.
TÓPICO 6 | ESFERA
Considera-se que a esfera é dividida em muitas pirâmides finíssimas, cada uma delas com o vértice no centro da esfera e as bases dispostas de maneira a formar um poliedro inscrito na esfera com um número muito elevado de faces. A área da superfície esférica é obtida multiplicando-se por 4 a área de um círculo máximo: A = 4R2
será:
Por exemplo, se o raio de uma esfera é 9 cm, a área da superfície esférica
A = 4R2 = 4 3,14 × 92 = 1017,36 cm2
Exemplo
Qual é o seu volume e qual a área da superfície do globo terrestre, se o considerarmos uma esfera?
Sabe-se que a linha do Equador tem 40.000 km, aproximadamente.
Considerando C = 40000 km e C = 2R, vamos determinar R, considerando p = 3,14:
C = 2R
40000 = 23,14 R
40000 = 6,28 R
40000
6,28 = R
R = 6369Km
4 4
V = 3 R3 = 3 3,14 63693 1,08 1012 km3
A área da superfície da esfera é dada por A = 4R2. No caso do planeta Terra, como R 6369 km, temos:
A = 4R2
A = 4.3,14.63692
A = 509.485.862km2 aproximadamente.
Portanto, o volume aproximado da Terra é 1,08 × 1012 km3 e sua área aproximada é 5,09 × 108 km2.
Exemplo
Qual é a área coberta de água (em quilômetros quadrados) na superfície do globo terrestre?
Sabemos que 2/3 da superfície do globo são cobertos pela água, assim:
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
2 A
2 509485862 = 339.657.241km2
A área coberta de água é de aproximadamente 3,39 × 108 km2.
Além desse exemplo, que envolve o planeta Terra, você pode utilizar em suas aulas outros objetos para fazer e desenvolver estes cálculos. Destaque também a importância de se estudar estas relações não apenas para aumentar os conhecimentos dos alunos, mas também para compreender melhor o mundo que está em sua volta. Para finalizar este tópico, trazemos algumas imagens de objetos que podem ser trabalhados em sala.
FIGURA 40 – OBJETOS EM FORMA DE ESFERA
FONTE: Os autores
LEITURA COMPLEMENTAR
A GEOMETRIA, AS CRIANÇAS E A REALIDADE
Antonio José Lopes Bigode
Desde a Pré-história, os homens observaram a regularidade de certas formas geométricas, no mundo a seu redor, e aprenderam a utilizar essa regularidade em benefício próprio.
TÓPICO 6 | ESFERA
O ser humano é um ser visual e nossos olhos são a principal porta de entrada para o desenvolvimento de ideias geométricas.
Neste final de século, as imagens estão presentes de forma intensa em tudo que nos cerca: outdoors, revistas, jornais, TV, cinema, cartazes, placas de sinalização, fotos, computadores etc. Já tinha reparado nisso?
Os primeiros passos para a aprendizagem da Geometria, um conhecimento essencialmente visual, devem privilegiar o que se apreende com os olhos e com as mãos. Não com os ouvidos.
Houve um tempo em que se acreditava que, para aprender os conceitos geométricos, as crianças precisavam prestar muita atenção às definições explicadas pelos professores e decorar cada formulação.
Mas, pense bem. Se você explicar para seus alunos e mandá-los copiar no caderno: Um polígono convexo é aquele cujo perímetro não pode ser encontrado em mais de dois pontos por uma secante. Você acha que eles entenderão o que é um polígono convexo?
Não, é claro que não. Ninguém vai aprender o que é um polígono convexo ouvindo ou lendo um texto desses, que mais parece uma bula de remédio.
Entretanto, era assim que se ensinava Geometria há cinquenta anos. Felizmente, os estudos modernos trouxeram ideias importantes para entender a maneira pela qual as crianças aprendem. E isso mudou o ensino de Geometria.
Ao entrar na escola, as crianças já sabem muitas coisas de Geometria.
Talvez você esteja se perguntando: Mas, o que tudo isso tem a ver com meus alunos e com minhas aulas?
Para responder, vamos “fazer de conta”. Pense em um aluno imaginário, que talvez não seja tão imaginário assim. Vamos chamá-lo de Juca.
Nosso Juca adora jogar futebol. No jogo, ele corre, se desloca para a frente, para trás e para os lados; se orienta para fugir da marcação; procura não deixar a bola passar da linha lateral; reconhece as fronteiras do campo; dá chutes em diagonal para o vizinho à esquerda; sabe que, para marcar o gol, precisa colocar a bola dentro daquele retângulo que todo mundo chama de trave; corre em direção à meta e chuta no canto direito do goleiro; depois do gol, ele coloca a bola embaixo do braço e corre em direção ao círculo central no meio do campo. Vamos parar um pouco e analisar o que ele fez: deslocamento para frente, para trás, para os lados, orientação, direção, linha lateral, diagonal, vizinhança, esquerda, direita, dentro, fora, retângulo, círculo, meio do campo. Quanta Geometria junta!
UNIDADE 3 | GEOMETRIA ESPACIAL
Diante de todo esse conhecimento geométrico do Juca e de outras crianças, só cabe recomendar aos professores muita atenção, para reconhecer e explorar as situações da vida real, que podem contribuir muito para a aprendizagem.
E que outras coisas faz nosso Juca?
Juca brinca de pega-pega, faz pipa e aviãozinho, constrói caminhõezinhos de papelão, ajuda seu irmão na construção de um carrinho de rolimã, xereta o trabalho do pai na oficina, e, com brinquedos estruturados, de montar, constrói coisas que ele copia do manual de instruções e outras que inventa.
Vamos analisar novamente: O Juca constrói coisas, imagina objetos tridimensionais na cabeça e os monta, constrói pipas que são formas geométricas bem conhecidas, tem consciência das diagonais da pipa, mesmo sem saber formalmente o que é uma diagonal. Enquanto constrói aviõezinhos, faz dobraduras relacionadas à simetria da construção.
Taí. O Juca sabe muitas coisas de natureza geométrica, tem muitas habilidades de natureza geométrica. É fácil imaginar que ele seja igualzinho a seus alunos.
Ele não vai aprender melhor Geometria se a escola desprezar as coisas que ele já sabe e já faz. Ele não vai aprender Geometria significativa só por ouvir uma definição de hexágono, diagonal ou outra qualquer. É por isso que, como dissemos, não se aprende Geometria com os ouvidos.
As crianças aprendem Geometria observando e fazendo coisas cujo significado compreendem.
Talvez você esteja de novo se perguntando: Como ensinar Geometria levando tudo isso em conta?
Não é difícil. O papel do professor é promover situações que levem os alunos a expressar tudo isso que eles já sabem (sem nunca ter pensado nisso), conversar a respeito e fazer coisas de natureza geométrica.
O professor ajuda a criança a organizar os conhecimentos que ela já tem para ampliá-los, refiná-los e avançar para novos conceitos, mais complexos.
Uma criança em idade escolar não precisa que os adultos lhe digam o que é um ponto, uma reta ou um círculo. Ela já absorveu essas ideias de algum modo. O trabalho do professor será explorar essas ideias, relacionando-as com o dia a dia, com situações desafiadoras que contribuam para promover novas descobertas.
A Geometria pode, e deve, ser explorada a partir de situações simples do mundo da criança.
TÓPICO 6 | ESFERA
Um bom exemplo de atividade de natureza geométrica para explorar na escola são os desafios e quebra-cabeças publicados nas revistas infantis e em suplementos de jornais, como, por exemplo: labirintos, ligue pontos, jogos dos sete erros e outros.
A Importância dos Jogos
• Resolver um ligue pontos, ou um labirinto, desenvolve habilidades de percepção e coordenação visomotora.
• O jogo dos sete erros desenvolve a discriminação visual, bem como o reconhecimento de atributos, semelhanças e diferenças.
• Na busca de qual é a parte que se encaixa em outra, as crianças precisam explorar a percepção figura-fundo e se ater a regularidades e particularidades dos objetos e das formas.
• Ao pintar figuras que estão na mesma posição, as crianças desenvolvem sua percepção da posição no espaço.
• Uma atividade como “quem está vendo o quê” explora e desenvolve a orientação espacial.
Com atividades desse tipo se torna possível uma aprendizagem significativa. No mundo atual, com a importância da imagem, não há mais lugar para aqueles cursos centrados na memorização de nomes, propriedades ou teoremas, como se fazia há cinquenta anos.
A Geometria que se pretende ensinar deve estar sintonizada com a realidade das crianças deste nosso tempo. Crianças que pulam, correm, veem, rabiscam, desenham, cortam, colam, montam e desmontam, imaginam e inventam.
FONTE: Texto extraído e adaptado de: BIGODE, Antônio José Lopes. A geometria, as crianças e a realidade. Disponível em: <http://www.mec.gov.br/seed/tvescola/pdf/matematica2.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2006.
RESUMO DO TÓPICO 6
Neste tópico você viu que:
• A esfera é o sólido obtido fazendo-se a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.
• O maior círculo formado pelo corte da esfera em seu centro é chamado círculo máximo.
• Para calcular o volume da esfera usamos a fórmula: V 4 R3
3
• Para calcular a área da superfície esférica usamos a fórmula: A = 4πR2
• Concepções pedagógicas que envolvem a prática do professor em sala.
• Diferentes formas de se estudar os conceitos ligados à esfera no espaço escolar.
Estamos no final de mais uma unidade de estudos. Sei que você se saiu bem até aqui. Vamos exercitar mais um pouco? Exercitando:
1 Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro cada uma?
2 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, ¼ do diâmetro da Terra. Determine o volume da Lua.
3 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico para armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório deve ser de 33,5 m3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório?
4 Uma fábrica de suco confeccionou suas embalagens em dois formatos: uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas embalagens têm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.
5 Num recipiente de forma cilíndrica, com 4 cm de raio da base, há água até certa altura. Calcule a elevação do nível da água quando mergulhamos ali uma esfera de aço com 2 cm de diâmetro.
6 Considere uma laranja como uma esfera com 6 cm de raio. Se a dividirmos em doze gomos (cunhas esféricas) praticamente iguais, qual será o volume de cada gomo?
7 Qual é o comprimento aproximado de um meridiano terrestre?
8 Qual é o volume da esfera, cujo raio mede 3 cm?
9 Qual é a área da superfície esférica, cujo raio mede 3 m ?
REFERÊNCIAS
BIGODE, Antônio José Lopes. A geometria, as crianças e a realidade. Disponível em: <http://www.mec.gov.br/seed/tvescola/pdf/matematica2.pdf>. Acesso em: 13 jul. 2006.
. Por que as coisas são como são? Disponível em: <http://www.mec.gov.br/ seed/tvescola/pdf/matematica1.pdf>. Acesso em: 20 jul. 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2000.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.
. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual, 2004. v. 9.
FERNANDES, Millôr. Trinta anos de mim mesmo. Rio de Janeiro: Record, 1976.
HOUAISS, A.; VILLAR, M. de S. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009.
IMENES, Luis Márcio; LELLIS, Marcelo. Microdicionário de matemática. São Paulo: Scipione, 1998.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática, temas e metas: áreas e volumes. São Paulo: Atual, 2001.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez; CANDIDO, Patrícia. Figuras e formas. São Paulo: Artmed, 2000.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de matemática: como dois e dois – a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.