LIVRO: Fundamentos de Geometria Espacial

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Fundamentos de Geometria Espacial

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 2 28/01/2013 11:09:21

Paulo Antônio Fonseca Machado

Fundamentos de Geometria Espacial

Belo Horizonte CAED-UFMG 2013

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Profº Clélio Campolina Diniz

Reitor

Profª Rocksane de Carvalho Norton

Vice-Reitoria

Profª Antônia Vitória Soares Aranha

Pró Reitora de Graduação

Profº André Luiz dos Santos Cabral

Pró Reitor Adjunto de Graduação

CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Diretor de Educação a Distância

Prof º Wagner José Corradi Barbosa

Coordenador da UAB/UFMG

Profº Hormindo Pereira de Souza Junior

Coordenador Adjunto da UAB/UFMG

EDITORA CAED-UFMG

Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

CONSELHO EDITORIAL

Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer

Profª. Eliane Novato Silva

Profº. Hormindo Pereira de Souza Profª. Paulina Maria Maia Barbosa Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº. Vito Modesto de Bellis

Profº. Wagner José Corradi Barbosa

COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA

Coordenador: Dan Avritzer

LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado Revisão: Jussara Maria Frizzera

Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia

para Educação/EBA/UFMG

Formatação: Sérgio Luz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725)

SUMÁRIO

Introdução………………………………………………… 7

Nota do Editor……………………………………………… 9

Aula 1: O Espaço…………………………………………… 11

Introdução………………………………………………….. 11
Elementos primitivos e axiomas…………………………………. 13
Algumas consequências dos axiomas do grupo I……………………………… 16
Exercícios…………………………………………………. 18

Aula 2: Mais propriedades do espaço………………………………. 21

Introdução………………………………………………….. 21
Separação do espaço: semiespaços………………………………….. 21
Ângulos e congruência no espaço………………………………………….. 23
O axioma das paralelas no espaço…………………………………… 26
Opcional: demonstração dos teoremas 1 e 2.9…………………………. 28
Exercícios…………………………………………………. 32

Aula 3: Paralelismo no espaço…………………………………… 35

Introdução………………………………………………….. 35
Paralelismo entre retas e planos…………………………………….. 35
Paralelismo entre planos……………………………………….. 37
Algumas propriedades de paralelismo no espaço……………………………… 38
Problemas resolvidos……………………………………………………… 40
Exercícios…………………………………………………. 43

Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço…………………….. 45

Introdução………………………………………………….. 45
Ângulos entre retas no espaço……………………………………………… 45
Perpendicularismo de retas e planos………………………………….. 47
Existência de retas perpendiculares…………………………………………. 50
Opcional: demonstração dos teoremas 1 e 4.7…………………………. 53
Exercícios…………………………………………………. 56

Aula 5: Ângulos entre planos……………………………………. 59

Introdução………………………………………………….. 59
Ângulos entre planos: diedros………………………………………………. 59
Planos perpendiculares…………………………………………… 62
Construção de planos perpendiculares………………………………… 63
Alguns problemas resolvidos………………………………………………. 64
Exercícios…………………………………………………. 67

Aula 6: Lugares geométricos e poliedros………………………………………………………………… 69

Introdução…………………………………………………………… 69
Distâncias……………………………………………………………. 69
Planos bissetores………………………………………………………………. 72
Alguns lugares geométricos…………………………………………………………… 74
Poliedros………………………………………………………….. 77
- Prismas…………………………………………………….. 78
- Paralelepípedos e cubos………………………………………………….. 80
- Pirâmides…………………………………………………… 80
- Outros poliedros……………………………………………….. 81
Exercícios…………………………………………………………. 83

Aula 7: Volumes de poliedros…………………………………………… 85

Introdução……………………………………………………………. 85
Volume de regiões poliedrais………………………………………………………….. 85
Volume de prismas……………………………………………………….. 86
Volume de pirâmides……………………………………………………… 92
- Propriedades basicas de pirâmides…………………………………………. 92
- Cálculo do volume de uma pirâmide………………………………….. 97
Aplicações………………………………………………………………………. 99
Exercícios………………………………………………………… 103

Aula 8: Cilindros, cones e esferas…………………………………………… 105

Introdução………………………………………………………….. 105
Cilindros…………………………………………………………. 105
Cones………………………………………………………………. 107
Esferas…………………………………………………………….. 110
Exercícios………………………………………………………… 113

Apêndices: Axiomas da geometria plana………………………………….. 115

Axiomas: grupo I, axiomas de incidência………………………………………………. 115
Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta……………………………………… 115
Axiomas: grupo III, medida de ângulos………………………………………………… 116
Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos………………………………………….. 117
Axiomas: grupo V, axioma das paralelas………………………………………………. 117
Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas………………………………………………. 117

Referências…………………………………………………….. 119

INTRODUC¸ A˜O

Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial euclidiana, e pode ser visto como uma continuac¸˜ao do livro [7]. Na verdade, o que chamamos “Fundamentos da Geometria Euclidiana” n˜ao deveria ser separado em geometria plana e geometria espacial, pois ´e um s´o assunto, coeso. Esta separa¸c˜ao ´e apenas uma forma de apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´atica e pr´atica.

Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e nota¸c˜oes estabelecidas em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de geometria euclidiana. Suporemos que todos vocˆes est˜ao familiarizados com os termos utili- zados nesse livro. Em caso de du´vidas, consultem-no.

Abaixo, como uma forma de refrescar a mem´oria, listamos as principais notac¸˜oes que utili- zaremos.

Pontos ser˜ao denotados por letras latinas maiu´sculas (A, B, etc.).

←→ ←→

Retas ser˜ao em geral denotadas por letras latinas minu´sculas (r, s, etc.). No caso em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma seta de duas pontas ( ) sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta determinada pelos pontos A e B ser´a denotada por AB.

—→ —→ —→

Para semirretas adotamos uma notac¸˜ao an´aloga `a para retas, mas as demarcaremos por uma seta com uma ponta ( ). Por exemplo, o s´ımbolo r denota a semirreta r; e o s´ımbolo AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B.

Segmentos de reta ser˜ao demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que no- meiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A e B ser´a denotado por AB. A medida de um segmento ser´a denotada pelos extremos do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB ´e AB.

denotada por m(&α).

denotado por &α; e um ˆangulo determinado por trˆes pontos A, B, C, com origem

Aˆngulos ser˜ao denotados pelo s´ımbolo &. Por exemplo, um ˆangulo chamado α ser´a em B, ser´a denotado por &ABC. A medida de um ˆangulo &α, por exemplo, ser´a

Os nossos novos elementos, os planos, sera˜o denotados, como manda a tradic¸˜ao, por letras gregas minu´sculas (α, β, γ, etc.). N˜ao h´a perigo de confundir uma letra grega que represente um plano com a mesma que denote um ˆangulos, pois a segunda sempre vir´a acompanhada com o s´ımbolo .

Para facilitar a consulta de vocˆes listamos no apˆendice A os axiomas da geometria plana euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸c˜oes b´asicas.

NOTA DO EDITOR

A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância.

O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD.

Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior.

Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização.

Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.

Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Editor

O Espaço

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AULA1: O ESPAC¸ O

Introdu¸c˜ao

Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espa¸co”: ´e o ambi- ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo, o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui trˆes dimens˜oes, uma a mais que o mundo plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos neste tal espa¸co. Pois bem, um conceito aparentemente t˜ao simples na verdade esconde uma complexidade filos´ofica, f´ısica e matem´atica que n˜ao imaginamos¹. Neste curso n˜ao vamos discutir estas profundas quest˜oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´atico.

Figura 1.1

Nosso ponto de partida neste curso, como j´a o dissemos na Introdu¸c˜ao, ´e o texto [7], onde apresentamos um modelo axiom´atico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆes.

Antes de come¸carmos, vamos abordar um problema pr´atico que se tem quando estudamos geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi- guras planas ´e f´acil, pois as p´aginas de um livro, por exemplo, s˜ao boa representa¸c˜ao de um plano. Desenhar figuras que vivem no espac¸o, por outro lado, representa um desafio, j´a que os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imagina¸c˜ao dos leitores ser´a muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos mostrar alguns exemplos.

Para come¸car, representaremos um plano no espa¸co em geral como na figura 1.1 (na ver- dade, uma “por¸c˜ao” de um plano – use a imagina¸c˜ao!). Usaremos, em geral, letras gregas minu´sculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.

Figura 1.2

△ △

Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e contˆem dois triˆangulos: o triˆangulo LMN contido no plano α, e o triˆangulo IJK contido no plano β. Para dar a noc¸˜ao de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as partes da figura que est˜ao atr´as e `a frente dos objetos representados. No nosso exemplo, peda¸cos dos segmentos IK e JK est˜ao por tr´as da por¸c˜ao do plano α, do ˆangulo de vis˜ao em que desenhamos a situa¸c˜ao. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN est˜ao por tr´as da por¸c˜ao desenhada do plano β.

Figura 1.3

Na figura 1.3 representamos uma situa¸c˜ao mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo em seu interior uma pirˆamide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante). Os pontos A, B, C e D s˜ao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC, AD, etc.) est˜ao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos” de nossa vis˜ao pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Ent˜ao, neste caso, deixamos todos os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este est´a na parte de tr´as do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imagina¸c˜ao e compreens˜ao intuitiva para completar o significado da figura.

Problema 1.1. Fa¸ca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que vocˆe j´a deve conhecer (prismas, pirˆamides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensa¸c˜ao visual de tridimensionalidade.

12 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Elementos primitivos e axiomas

Em [7] apresentamos os trˆes elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e o plano. Quando passamos para o espa¸co “aumentamos” uma “dimens˜ao geom´etrica”, isto

´e, passamos a ver um universo onde temos v´arios planos, todos essencialmente c´opias de um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos primitivos ser˜ao os pontos, as retas, os planos (no plural, e n˜ao mais no singular!) e o espa¸co. Mas atenc¸˜ao! Esta n˜ao ´e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos – geometria plana e geometria espacial – por quest˜oes did´aticas, mas s˜ao todas partes de um conjunto u´nico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam v´alidos, inclusive os axiomas.

Em [7] apresentamos um sistema axiom´atico da geometria plana dividido em seis grupos (veja o apˆendice A):

Grupo I: axiomas de incidˆencia.

Grupo II: axiomas de m´etrica na reta e ordem na reta e no plano. Grupo III: axiomas de medidas de ˆangulos.

Grupo IV: axiomas de congruˆencia de triˆangulos. Grupo V: axioma das paralelas.

Grupo VI: axiomas sobre ´areas de figuras planas.

Para estudarmos a geometria no espa¸co precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta operac¸˜ao n˜ao sera´ muito traum´atica, pois a u´nica modificac¸˜ao (na verdade uma extens˜ao) que precisa ser feita ´e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relac¸˜oes entre os elementos primitivos que agora incluem planos e o espac¸o.

Os trˆes axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como est˜ao, apenas trocando-se a palavra plano por espa¸co.

Observa¸c˜ao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´etrica estabelecida em [7]. Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos distintos do espa¸co ent˜ao existe apenas uma reta que os cont´em.

Em seguida precisamos estabelecer condi¸c˜oes an´alogas `as dadas nos axiomas I.1 e I.2 para planos – isto ´e as condic¸˜oes de determina¸c˜ao de um plano por pontos, e o fato de planos serem conjuntos n˜ao vazios do espa¸co. Primeiro observe o que nossa experiˆencia nos traz: se vocˆe toma um banco com trˆes pernas e o coloca no ch˜ao, vera´ que ele na˜o claudica (veja figura 1.4).

AUL A 1: O EsPAçO 13

Figura 1.4

Ent˜ao ´e razo´avel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da matem´atica esta propriedade experimental: precisamos de trˆes pontos para determinar um plano.

O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que s˜ao conjuntos n˜ao vazios.

Observa¸c˜ao 1.2. Observe que n˜ao exigimos que um plano contenha trˆes pontos, como sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que, como consequˆencia dos axiomas estabelecidos, todo plano cont´em pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares.

Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espa¸co tridimensional. Esta “tridi- mensionalidade” ser´a garantida pelas propriedades descritas a seguir.

Figura 1.5: – Axioma I.6

O axioma acima traduz o fato esperado: quando vocˆe tra¸ca uma reta numa folha de papel usando uma r´egua e um l´apis, n˜ao tem como deix´a-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a linha designada pela letra s n˜ao ´e o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e B do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.

14 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 1.6: – Axioma I.7

O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espa¸co. Dados dois planos no espa¸co trˆes coisas podem acontecer:

eles s˜ao idˆenticos, ou
eles s˜ao distintos e possuem pontos em comum, ou
eles n˜ao tˆem pontos em com

Na terceira possibilidade s˜ao chamados de planos paralelos, assunto que veremos com mais detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intui¸c˜ao nos diz que a intersec¸˜ao deles n˜ao pode ser muito grande. Se vocˆe examinar as p´aginas deste livro, imaginando que s˜ao planos, pode ver que se interceptam numa reta, que ´e a lombada do livro – da´ı este axioma. Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que tˆem um ponto P em comum e, portanto, possuem a reta t em comum.

Problema 1.2. Se os planos α e β da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora de t, o que vocˆe pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam? (Sugest˜ao: veja o axioma I.4).

O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa vis˜ao do espa¸co nos diz: podemos andar nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existˆencia plana (figura 1.7).

Figura 1.7: – Axioma I.8

AUL A 1: O EsPAçO 15

Algumas consequˆencias dos axiomas do grupo I

Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Come¸camos com a seguinte

Figura 1.8

Proposi¸c˜ao 1.1. Por duas retas concorrentes passa um u´nico plano.

Demonstrac¸a˜o. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar este resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):

∈ ∈

Tome os pontos A r e B s distintos de P (existem pelo axioma 2);
tome α o u´nico plano que passa por A, B e P (axioma 4);

⊂

a reta r est´a contida em α, pois ´e determinada pelos pontos A e P que pertencem a α

(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s α.

Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P ´e o u´nico plano que cont´em simultaneamente as retas r e s.

Figura 1.9

Problema 1.3. Adapte a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 1.1 para provar o seguinte fato: por uma reta r e um ponto P fora de r passa um u´nico plano (veja figura 1.9).

Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.

Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares.

Demonstrac¸a˜o. Seja α um plano qualquer do espa¸co. Vamos “marcar” trˆes pontos n˜ao colineares em α seguindo os passos abaixo, que vocˆe pode acompanhar nas figuras 1.10 e 1.11:

∈

Existem um ponto P α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas 5 e I.8, respectiva- mente.

contida em α, j´a que Q ∈/ α.

Seja r = ←P→Q. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R ∈/ r. Observe que r n˜ao est´a

⊂

Pelos trˆes pontos n˜ao colineares P , Q e R passa um u´nico plano β (axioma I.4). Observe que r β, j´a que P e Q pertencem a β.

16 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s, onde s ´e uma reta

Figura 1.10 Figura 1.11

passando por P (axioma I.7). Observe que Q ∈/ s, pois s est´a contida em α, e Q n˜ao

Seja S um quarto ponto na hist´oria, n˜ao contido em β (novamente axioma 8).

∩ =

O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 3), distinto de α e β (por quˆe?).
Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α γ t, uma reta passando por

P .

Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.

∈ ∈

Para terminar tomamos dois pontos A s e B t quaisquer, distintos de P , de forma que os pontos A, B e P s˜ao pontos de α n˜ao colineares, como quer´ıamos.

O estudante pode se perguntar para quˆe demonstrar este resultado do teorema anterior, que parece t˜ao ´obvio? Este ´e um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade de um sistema axiom´atico. N˜ao temos nenhuma afirma¸c˜ao, na lista dos axiomas I.1 a I.8, que nos garanta a existˆencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que isto ´e verdade. O que temos ´e o contr´ario: se temos trˆes pontos n˜ao colineares ent˜ao existe um plano que os cont´em (axioma I.4).

Chamamos tamb´em aten¸c˜ao para a t´ecnica utilizada na demonstra¸c˜ao do teorema 1.2: para marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando intersec¸˜oes entre planos e retas. Esta t´ecnica ´e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequˆencia. Portanto convidamos todos a estudarem com bastante atenc¸˜ao os passos desta demonstra¸c˜ao, como fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.

Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstra¸c˜ao do teo- rema 1.2. Diga at´e qual passo a figura 1.10 corresponde.

∈

Problema 1.5. Tente adaptar a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato: dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A α que n˜ao pertence a r.

AUL A 1: O EsPAçO 17

Exerc´ıcios

Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1

Analisando visualmente a figura 12, onde deve-se considerar que o ponto D n˜ao est´a no mesmo plano que os pontos A, B e P, decida se os pontos nos conjuntos listados mais abaixo

s˜ao colineares ou
n˜ao sa˜o colineares, mas s˜ao coplanares ou
n˜ao sa˜o coplanares.

(b) {A,B, D};

(a) {A,B, C, D};

(d) {P,B,C};

(c) {P, D, Q};

(e) {A,B, C, Q}.

Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos

A, B, C e D se

A, B e C s˜ao colineares;
cada trˆes pontos n˜ao s˜ao colineares;
os pontos n˜ao s˜ao coplanares.

Fa¸ca um desenho de cada situa¸c˜ao poss´ıvel.

Vimos que trˆes pontos n˜ao colineares no espa¸co determinam um u´nico pl Prove que se os trˆes pontos s˜ao colineares, ent˜ao existem infinitos planos que os contˆem.

△

Sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao colineares, e seja α o plano determinado por eles. Prove que os lados do triˆangulo ABC est˜ao contidos em α.

18 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Sejam A, B, C e D quatro pontos do espa¸ Decida se cada afirma¸c˜ao a seguir ´e verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstra¸c˜ao ou um contraexemplo, e fa¸ca um desenho para cada situa¸c˜ao.

Se AB e CD possuem um ponto em comum, ent˜ao s˜ao coplanares.
Se AB e CD n˜ao possuem pontos em comum ent˜ao n˜ao s˜ao coplanares.

interiores dos lados do triˆangulo △ABC.

∈/

Suponha que os pontos A, B e C n˜ao sejam colineares. Seja α o plano determinado por estes pontos. Se D α ent˜ao os segmentos DA, DB e DC n˜ao interceptam nenhum dos

∈

Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos n˜ao colineares A, B e

de algum lado de △ABC.

C. Se D α ent˜ao pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior

△ ∈

Ainda nas condi¸c˜oes do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior de algum lado de ABC ent˜ao D α.

AUL A 1: O EsPAçO 19

Mais propriedades

do espaço

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AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸ O

Introdu¸c˜ao

Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espa¸co, e os axiomas que regem as inter-relac¸˜oes entre pontos, retas, planos e o espa¸co, chamados axiomas de incidˆencia. Estes s˜ao, essencialmente, os u´nicos axiomas que precisam ser modificados em rela¸c˜ao a um sistema axiom´atico para a geometria plana. Os outros, como ja´ o dissemos, permanecem v´alidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos algumas consequˆencias.

Separa¸c˜ao do espa¸co: semiespa¸cos

Vamos come¸car estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in- troduc¸˜ao acima:

Queremos dizer com este axioma que todas as afirma¸c˜oes sobre propriedades da geometria plana s˜ao v´alidas no espa¸co, com as devidas adaptac¸˜oes. Vamos ent˜ao “passar os olhos” nos axiomas apresentados em [7], chamando a atenc¸˜ao para os pontos mais complicados.

Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta e de semirretas. Estas propriedades s˜ao transcritas automaticamente para o espa¸co, como se pode ver facilmente.

Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiz´a-los no espa¸co.

O axioma II.6, que trata da separa¸c˜ao de um plano em semiplanos por retas, sera´ analisado com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.

Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntos α_l e α˜_l de α, denominados semiplanos de α em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades:

(b) α ∩ α˜ = l;_l _l

todos os pontos de α est˜ao contidos em α_l ∪ α˜_l;

∩ = ø

dois pontos A e B de α n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano de α em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l ;

∩ ≠ ø

dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos de α em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l .

Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7] e aponte as diferen¸cas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.

Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espa¸co. Eles s˜ao cortados pelas retas l e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, por exemplo, os pontos A e B est˜ao do mesmo lado¹ em rela¸c˜ao a l, e os pontos B e C est˜ao em lados opostos.

Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado est˜ao em cada plano α e β, em rela¸c˜ao `as retas l e s, respectivamente.

Situac¸a˜o an´aloga `a descrita no axioma II.6 vale no espac¸o, isto ´e, um plano determina no espa¸co dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes `as propriedades descritas neste axioma. No entanto, esta propriedade n˜ao precisa ser estabelecida como um axioma, mas ´e consequˆencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.

Figura 2.2: – Separa¸c˜ao do Espa¸co

Teorema 2.1 (Separa¸c˜ao do espa¸co). Todo plano α do espa¸co determina exatamente dois subconjuntos n˜ao vazios E_α e E_α do espa¸co, denominados semiespa¸cos em rela¸c˜ao a α, satisfazendo as seguintes propriedades:

todos os pontos do espa¸co est˜ao contidos em E_α ∪ ̃E_α;

Lembramos que os lados de um plano α em rela¸c˜ao a uma reta l ⊂ α s˜ao os conjuntos α × l e α˜ × l, na

nota¸c˜ao do axioma II.6, onde o s´ımbolo “×” – vale a pena recordar – significa diferen¸ca de conjuntos.

22 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

∩ ̃ =

E_α E_α α;

∩ = ø

dois pontos A e B do espa¸co n˜ao pertencentes a α est˜ao num mesmo semiespa¸co em rela¸c˜ao a α se e somente se AB α ;

∩ ≠ ø

dois pontos A e B n˜ao pertencentes a α est˜ao em semiespa¸cos distintos (ou opostos) em rela¸ca˜o a α se e somente se AB α .

N˜ao demonstraremos este teorema agora – sua demonstrac¸˜ao, cuja leitura ´e opcional, ser´a apresentada na u´ltima se¸c˜ao desta aula – mas ´e preciso compreender bem o seu significado. Para explic´a-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, an´aloga `a que vocˆes j´a viram num curso de geometria plana em rela¸c˜ao a semiplanos:

Defini¸c˜ao 2.2. Se α ´e um plano do espa¸co, o conjunto dos pontos de um semiespa¸co determinado por α que n˜ao est˜ao contidos em α ´e um lado do espa¸co em rela¸c˜ao a α. Os lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ao chamados de lados opostos em rela¸c˜ao a α.

∩ ≠ ø ∩ = ø

teorema, j´a que estamos supondo (implicitamente) que C ∈/ α.

Na figura 2.2 representamos a situa¸c˜ao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C est˜ao de um mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D est˜ao em lados opostos. Usando estes dados podemos concluir que CB α . De fato, se CB α , ent˜ao, pelo item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao a α. Ora, ent˜ao C est´a no mesmo semiespa¸co que A e no mesmo semiespa¸co que B, que s˜ao semiespa¸cos distintos. Logo C pertence a ambos E_α e E_α, contrariando o item (b) do

∩ = ø

Problema 2.4. Prove, adaptando a argumenta¸c˜ao apresentada no par´agrafo precedente que, seguindo os dados representados na figura 2.2, BD α .

Aˆngulos e congruˆencia no espa¸co

Definimos em [7] um ˆangulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem comum. Esta definic¸˜ao n˜ao apresenta nenhum problema quando passamos a vˆe-la do ponto de vista do espa¸co. No entanto devemos nos lembrar que ˆangulos s˜ao essencialmente objetos planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:

Figura 2.3: – Proposi¸c˜ao 2.3

Proposi¸c˜ao 2.3. Todo ˆangulo no espa¸co determina um u´nico plano.

Problema 2.5. Demonstre a proposi¸c˜ao 2.3 (a figura 2.3 d´a uma dica de como resolver este problema).

Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regi˜ao angular. Para deixar isto claro, transcrevemos a defini¸c˜ao de regia˜o angular apresentada em [7] com as devidas modifica¸c˜oes.

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 23

& = &

= ∩&A l r

Defini¸c˜ao 2.4. A regi˜ao angular determinada por um ˆangulo (n˜ao trivial) A BAC ´e o subconjunto

= ←→ ←→=

R α α ,

Os pontos pertencentes a R_&_A que n˜ao pertencem aos lados de &A s˜ao denominados pon-

onde α ´e o plano determinado por A, B e C, l AB, r AC, α_l ´e o semiplano de α relativo a l que cont´em o ponto C, e α_r ´e o semiplano de α relativo a r que cont´em o ponto B.

tos interiores a &A, e os pontos que n˜ao pertencem a R e nem aos lados de &A s˜ao_&_A

& ⊂ &

denominados pontos exteriores a &A. —→

Se D ´e um ponto interior a A dizemos que AD α divide ou separa o ˆangulo A.

Problema 2.6. Compare a defini¸c˜ao acima com a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7], apontando as diferen¸cas, e fa¸ca um desenho.

Observa¸c˜ao 2.1. As defini¸c˜oes de ˆangulo adjacente, ˆangulo raso e aˆngulo suplementar tamb´em s˜ao todas relativas ao plano determinado pelo ˆangulo em quest˜ao, ou seja, s˜ao objetos planos.

Se prestarmos aten¸c˜ao na defini¸c˜ao 2.4 e na observa¸c˜ao acima vemos que os axiomas III.1 e

—→ —→ ——<→ <—→

III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ˆangulos no plano – vistos em [7], s˜ao v´alidos no espa¸co sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa de ser reescrito, como se segue.

Axioma III.3. Para toda semirreta AB, todo nu´mero real a tal que 0 a 180, e cada plano ξ contendo AB existem exatamente duas semirretas AD ⊂ ξ_l e AD^′ ∈ ξ˜l tais que

←→

m(&BAD) = m(&BAD^′) = a,

onde l = AB e ξ_l, ξ˜l s˜ao semiplanos de ξ em rela¸cao a l.

Figura 2.4: – Axioma III.3

←→

Na figura 2.4 representamos a situa¸c˜ao descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos

D e D^′ em lados opostos da reta l = AB como no axioma III.3, isto ´e, tais que

para um dado′ nu´mero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existˆencia de dois

m(&BAD) = m(&BAD^′) = a,

pontos P e P

num outro plano α passando por l, com

m(&BAP ) = m(&BAP ^′) = a.

24 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 2.5: – Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos

△ △

Fechamos esta se¸c˜ao com algumas observa¸c˜oes sobre congruˆencias. No sistema axiom´atico de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruˆencia na ideia de medida. Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-ˆangulo- lado” (LAL) de congruˆencia de triˆangulos ´e v´alido tamb´em ao se comparar triˆangulos em planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triˆangulos ABC e PQR nos planos α e β, respectivamente, tais que

& AB ≡ PQ vı

BC ≡ QR

△ ≡ △

ABC ≡ &PQR }ı’ (LAL)

Nestas condic¸˜oes, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos tem-se que ABC PQR. Vamos agora resolver um problema de congruˆencia no espa¸co no exemplo a seguir.

⊥ ⊥ ≡ ≡

Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D s˜ao pontos n˜ao coplanares, e que B,

C e D est˜ao no plano α. Se AB BC, AB BD e BC BD, demonstre que AC AD.

Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7

Soluc¸a˜o: Os triˆangulos △ABD e △ABC s˜ao congruentes pelo caso LAL, pois

AB ≡ AB Lado comum aos triˆangulos; vı

&ABD ≡ &ABC Aˆngulos retos, por hip´otese; }ı (LAL)

BD ≡ BC Lados congruentes, por hip´otese. ‘

Logo os lados AD e AC s˜ao congruentes.

Resolva vocˆe o problema seguinte.

CAB, AB ⊥ BD e AB ⊥ BC. Nestas condi¸c˜oes, prove que AD ≡ AC.

&Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referˆencia, suponha que &DAB ≡

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 25

O axioma das paralelas no espa¸co

Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano s˜ao retas que n˜ao tˆem pontos em comum. No espa¸co, por´em, temos outra situa¸c˜ao em que retas n˜ao tˆem pontos em comum, as retas reversas:

Figura 2.7: – Retas reversas

Defini¸c˜ao 2.5. Duas retas no espa¸co sa˜o reversas se n˜ao est˜ao contidas em um mesmo plano.

Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustra¸c˜oes que as retas s˜ao reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos expressar a ideia de que a reta r passa “por tr´as” da reta l em rela¸c˜ao `a nossa vis˜ao.

∈/

∈ ∈

Problema 2.8. Como vocˆe demonstraria a existˆencia de retas reversas? Isto ´e, tome uma reta r e um ponto P r e prove que por P passam retas reversas a r.

∩

Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A r e B s e sejam α o plano determinado por r e B, e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situa¸c˜ao descrita e diga quem ´e α β.

A defini¸c˜ao de retas paralelas fica assim:

Figura 2.8: – Retas paralelas

∥

Defini¸c˜ao 2.6. Duas retas r e l no espa¸co s˜ao paralelas se s˜ao coplanares e n˜ao possuem pontos em comum. Denotaremos esta rela¸cao, como ´e tradicional, por r l.

O axioma das paralelas continua valendo.

Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existˆencia de retas

paralelas. Este fato (e sua demonstra¸c˜ao) s˜ao v´alidos no espa¸co. pequeno cuidado a mais.

E´ preciso apenas ter um

Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Ent˜ao existe uma u´nica reta s passando por P e paralela a r.

26 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

⊂

Demonstrac¸a˜o. Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano: seja α o plano determinado por r e P , e tome s α a reta paralela a r passando por P , cuja existˆencia ´e garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.

Problema 2.10. Reveja a demonstra¸c˜ao da existˆencia de retas paralelas em um texto de fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.

Duas retas paralelas determinam um u´nico plano. Vamos registrar este fato como uma proposic¸˜ao.

Proposi¸c˜ao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um u´nico plano.

Demonstrac¸a˜o. Observe que, por defini¸c˜ao, as retas paralelas r e l est˜ao contidas em um plano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P ´e um ponto de l, ent˜ao β ´e determinado por r e P . Mas α tamb´em ´e determinado por r e P donde, pelo problema 1.3, α β.

V´arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co. Uma das mais importantes ´e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja demonstra¸c˜ao ser´a apresentada na se¸c˜ao 2.5.

Figura 2.9: – Teorema 2.9

∥ ∥ ∥

Teorema 2.9. Se r, s e t s˜ao retas tais que r s e s t ent˜ao r t.

Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ao deste teorema.

□

Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadril´atero qualquer ABCD num plano, os pontos m´edios de seus lados sa˜o v´ertices de um paralelo- gramo. O mesmo resultado vale se os v´ertices do quadrila´tero n˜ao s˜ao coplanares (veja a figura 2.10)

△

De fato, tome 4 pontos A, B, C e D n˜ao coplanares, e seja α o plano determinado por A, B e D. Sejam M, N, P e Q os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Ent˜ao temos, no triˆangulo ABD, que

MP ∥ BD e MP = BD.

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 27

Figura 2.10: – Exemplo 2.2

Analogamente, no triˆangulo △BCD temos

ON ∥ BD e ON = BD.

←—→ ∥ ∥ ⇒ ∥ ←—→

Assim temos que

M P BD e ON BD MP ON, pelo teorema Em particular, M P e

ON s˜ao coplanares, ou seja, os quatro pontos m´edios pertencem a um mesmo plano.

MP ≡

e congruentes, donde ´e um paralelogramo. a

Provamos ent˜ao que □ MNOP ´e um quadril´atero contido num plano com dois lados paralelos

Problema 2.11. Reveja as demonstra¸c˜oes dos fatos sobre paralelogramos utilizados no exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.

Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 2.1 e 2.9

Apresentamos nesta se¸c˜ao as demonstra¸c˜oes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura ´e opcional. Come¸camos pelo teorema 2.1.

Demonstrac¸a˜o. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P ∈/̃α um ponto (existe o ponto

P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos E_α e E_α e provar que satisfazem as

propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.

= ∩ }= ø ∪ { } ∪

Definamos E_α e E_α da seguinte forma:

̃ = }∩ ≠ ø

E_α pontos X do espa¸co tais que XP α P α

E_α pontos X do espa¸co tais que XP α

– −

I.5) e na reta PQ tome R tal que P − Q − R². Assim R ∈ ̃E (veja figura 2.11)._α

Observe que E←α→≠ ø, pois P ∈ E_α. Para verificar que ̃E_α ≠ ø tome Q ∈ α (pelo axioma

²Lembramos que em [7] usamos a nota¸c˜ao P Q R para indicar que o ponto Q est´a entre P e R, isto ´e, que o ponto Q pertence ao interior do segmento P R. Em particular, a existˆencia de R ´e garantida pelo axioma II.3 de [7].

28 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 2.11

∩ = ø ∈ ̃

(b) ou XP ∩ α ≠ ø, donde X ∈ E_α (observe que este u´ltimo caso engloba a possibilidade

O item (a) do teorema ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao dos conjuntos E_α e E_α: dado um ponto X qualquer do espa¸co, podem acontecer duas coisas:

ou XP α , donde X E_α;

X ∈ α.). ̃

(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Ent˜ao X ∈ E_α̃por defini¸c˜ao, e X ∈ E_α pois, neste

Logo todos os pontos do espa¸co est˜ao em E_α ∪ E_α. ̃

segundo caso, XP ∩ α = {X} ≠ ø. Assim α ⊂ E_α ∩ E_α. ̃ ̃

como X ∈ E ent˜ao_α

P ∈/ E ent˜ao X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado,_α

Parãverificar a continˆencia rec´ıproca tomemos agora X ∈ E_α ∩ E_α. Como X ∈ E_α e

∩ = ø

ou XP α , ou

(iii) X ∈ α.

X = P , ou

ou seja, E ∩ E ⊂ α, como quer´ıamos provar._α _α

Ora, j´a vimos que os itens (i) e (ii) acima n˜ao podem acontecer, donde s´o pode ser X ∈ α,

Para a demonstra¸c˜ao dos itens (c) e (d) vamos chamar a atenc¸˜ao para o seguinte fato: se P , A e B s˜ao trˆes pontos do espa¸co, sempre existe um plano que os cont´em (veja o exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou n˜ao interceptar o plano α. Posto isto, vamos analisar (c).

um plano contendo A, B e P . Se α e β n˜ao se encontram, ent˜ao ´e claro que AB ∩ α = ø

∈

Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertenc¸am a um mesmo semiespa¸co, por exemplo, A, B E_α. Neste caso, por definic¸˜ao, AP e BP n˜ao interceptam α. Seja β

figura 2.12c).

axioma II.̃6 ao plano β e `a reta l vemos AB ∩ l = ø, donde AB ∩ α = ø (veja figura 2.12a).

(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α ∩ β = l. Aplicando o Se A, B ∈ E_α a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja

Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB n˜ao intercepte α e provemos que A e B est˜ao num mesmo semiespa¸co. O argumento segue a mesma ideia do par´agrafo precedente: tome β um plano contendo A, B e P . Se β n˜ao encontra α, ent˜ao AP e BP tamb´em n˜ao cortam α, donde A e B pertencem a E_α, por defini¸c˜ao. Se β e α se interceptam segundo uma reta l, ent˜ao AB n˜ao encontra l donde, pelo axioma II.6 aplicado a β e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β em rela¸c˜ao a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespa¸co em rela¸c˜ao a α.

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 29

Figura 2.12

A an´alise de (d) ´e inteiramente an´aloga `a realizada para (c) bastando trocar a express˜ao “n˜ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos este exerc´ıcio ao leitor.

Agora passamos `a demonstra¸c˜ao do teorema 2.9.

Figura 2.13: – Demonstra¸c˜ao do teorema 2.9

Demonstrac¸a˜o. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t s˜ao coplanares j´a foi provado em [7]. Vamos estudar ent˜ao o caso em que as trˆes retas n˜ao s˜ao coplanares. Acompanhe os passos abaixo na figura 2.13.

30 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

∥ ∥

Suponha, como no enunciado, que r s e s t. Sejam α o plano determinado por s e t, e β o plano determinado por s e r. Como as retas n˜ao s˜ao coplanares, por hip´otese, os planos α e β s˜ao distint Al´em disso

∩ =

α β s.

∈

∥

Tome um ponto P r qualquer e seja γ o plano determinado por t e P . Como γ e β s˜ao distintos e possuem o ponto P em comum, ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta l.

por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situa¸c˜ao Q ∈ γ e Q ∈ α,

As retas l e s est˜ao contidas no plano β. Vamos provar que l s. Para isto suponhamos,

∩ =

donde γ e α se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e est´a contida em ambos os planos, logo

γ α s.

∥

Por´em t tamb´em est´a contida em ambos os planos. Assim temos s t, o que ´e absurdo, pois estamos supondo que as retas s˜ao distintas. Ent˜ao o ponto Q n˜ao pode existir, ou seja, l s.

por P . Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r ⊂ γ.

Do item anterior conclu´ımos que as retas l = γ ∩ β e r ⊂ β s˜ao paralelas a s ⊂ β e passam

pertenceria a s = α ∩β, ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto ´e imposs´ıvel,

Provamos que as retas r e t est˜ao ambas contidas em γ (veja figura 2.9). Se r e t tivessem um ponto X em comum, ent˜ao este ponto pertenceria a β e a α (por quˆe?), donde X

pois r ∥ s por hip´otese. Logo r ∥ t, com quer´ıamos provar.

Problema 2.12. Complete os detalhes das demonstra¸c˜oes acima.

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 31

Exerc´ıcios

Figura 2.14: – Exerc´ıcio 2.1

Definimos uma regi˜ao poliedral do espa¸co como sendo uma interse¸c˜ao de semiespa¸cos. Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regi˜oes poliedrais, como ilustrado na figura 14. Determine em quantas regi˜oes poliedrais os planos α, β e γ representados na figura 2.15 dividem o espa¸co.

Figura 2.15: – Exerc´ıcio 2.1

Examine a figura 12 da aula anterior e liste todos os ˆangulos que nela aparecem.

Figura 2.16: – Exerc´ıcios 2.3

base BC. Prove que os triˆangulos △DAB e △DAC s˜ao congruentes entre si.

a Na figura 16 suponha que os triˆangulos △ABC e △DBC s˜ao is´osceles, ambos com

32 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

& ≡ & ≡ &

Ainda na figura 16a suponha que

ADB BDC CDA

△

e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto D sejam congruentes entre si. Prove que ABC ´e equil´atero.

AD ´e bissetriz de &BAC, prove que PD ´e bissetriz de &BPC.

Na figura 16b os triˆangulos △ABC e △PBC s˜ao is´osceles, ambos com base BC. Se

△ ≡ △

Neste exerc´ıcio usaremos novamente a figura 16b como referˆencia. Suponha que

PBC ABC e que D ´e um ponto qualquer entre B e C. Nestas condi¸c˜oes prove que

2.7. Sejam r e s retas concorrentes e α o plan′o por elas determinado. Seja s^′ ≠ s uma reta

&DAP ≡ &DPA.

concorrente com r e paralela a s. Prove que s s e concorrentes com r est˜ao contidas em α.

⊂ α. Conclua que todas as retas paralelas a

2.8. Sejam r e s retas reversas.

Prove que existe uma reta s^′ concorrente com r e paralela a

′

Prove que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas num mesmo plano que, em particular, cont´em r. (Sugest˜ao: observe que se s ´e uma reta concorrente com r e paralela a s ent˜ao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s s˜ao paralelas a s (justifique esta afirma¸c˜ao) e aplique o exerc´ıcio anterior.)

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço 33

Paralelismo no espaço

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 34 28/01/2013 11:09:31

AULA3: PARALELISMO NO ESPAC¸ O

Introdu¸c˜ao

Na aula anterior fomos apresentados, na se¸c˜ao 2.4, `as retas paralelas no espa¸co, e vimos o axioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequˆencias. Nesta aula aprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espa¸co, e apresentaremos nossos primeiros objetos “espaciais”.

Paralelismo entre retas e planos

Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espa¸co. Agora pas- samos ao pr´oximo est´agio: paralelismo entre retas e planos. A defini¸c˜ao ´e natural:

∥

Defini¸c˜ao 3.1. Uma reta r e um plano α no espa¸co s˜ao paralelos, rela¸c˜ao que ser´a denotada por r α, se n˜ao possuem pontos em comum.

E´ bom lembrarmos aqui uma terminologia que j´a ´e conhecida de vocˆes no contexto da

geometria plana: dizemos que duas retas s˜ao concorrentes ou secantes se se cortam em um ponto. Esta mesma terminologia se transporta naturalmente para o espa¸co. Por exemplo, dizemos que uma reta e um plano s˜ao secantes se possuem um ponto em comum, e assim por diante.

Um primeiro fato sobre retas e planos no espac¸o ´e o seguinte:

Figura 3.1

Precisamos de crit´erios para decidir se uma reta e um plano s˜ao paralelos entre si. Um deles, o mais fundamental, ´e dado pelo teorema a seguir.

Figura 3.2: – Teorema 3.3

⊂ ∥

Teorema 3.3. Um plano α e uma reta r n˜ao contida nele sa˜o paralelos entre si se, e somente se, existir uma reta s α tal que s r.

⊂ ∥

por quˆe!).

Tome P ∈ α um ponto qualquer e seja β o plano determinado por r e P . Seja s a reta

Demonstrac¸a˜o. Para a primeira parte suponha que r ∥ α. Ent˜ao, por defini¸c˜ao, r ∩ α = ø. segundo a qual α e β se interceptam (veja figura 3.2). Ent˜ao ´e claro que r ∥ s (explique o

Reciprocamente, suponha que exista s α tal que r s. Seja β o plano determinado por r e

∥ ∥

s. Nesta situa¸c˜ao todos os pontos comuns entre α e β s˜ao os pontos de s. Em particular, se houvesse um ponto em comum entre r e α, este ponto deveria pertencer a s, uma contradi¸c˜ao, j´a que supomos r s. Logo r α.

Problema 3.2. Explicite na demonstra¸c˜ao acima os axiomas e resultados anteriores que (implicitamente) foram utilizados.

Corol´ario 3.4. Dados um plano α e um ponto P fora de α, existe uma reta r passando por

P e paralela a α.

⊂

Demonstrac¸a˜o. A demonstra¸c˜ao deste corol´ario ´e bem simples. Tome uma reta qualquer

por P . Ent˜ao s ∥ α.

s α e seja β o plano determinado por P e s. Em β tome r a reta paralela a s passando

Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao do teorema 3.3.

Exemplo 3.1. Vamos mostrar que se uma reta r

´e paralela a dois planos secantes, ent˜ao ´e paralela `a interse¸c˜ao destes dois planos.

l = α ∩ β. Ora, como r ∥ α, existe uma reta s ⊂ α

t ∥ s. Seja γ o plano determinado por t e s. Vamos

reta t ⊂ β com r ∥ t. Como consequˆencia temos que

Sejam α e β planos secantes e paralelos a r. Seja tal que r ∥ s. Analogamente, como r ∥ β, existe uma

provar que l ∥ γ (veja figura 3.3).

Figura 3.3

e l ∥ s e, portanto, l ∥ r. a

∩ = ∩ = ∈ ∩ ∥ ∥

De fato, suponha que l encontre γ em um ponto P. Ent˜ao os planos α, β e γ se encontram em P. Mas α γ s e β γ t, donde P s t, o que ´e um absurdo. Logo l γ, donde l t

36 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

= ∩

Problema 3.3. Mostre que se α, β e γ s˜ao trˆes planos que se encontram em um ponto, ent˜ao n˜ao pode existir uma reta paralela aos trˆes simultaneamente. (Sugest˜ao: tome r paralela a α e β, por exemplo. Pelo exemplo anterior r ´e paralela a l α β. Verifique que γ e l s˜ao secantes e aplique a proposi¸c˜ao 3.2).

Paralelismo entre planos

A pr´oxima etapa ´e estudar o paralelismo entre planos. A defini¸c˜ao natural de planos paralelos

´e

∥

Defini¸c˜ao 3.5. Dois planos α e β s˜ao paralelos se n˜ao possuem pontos em comum. Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por α β.

Apresentamos um crit´erio para testar paralelismo de planos an´alogo ao teorema 3.3.

um par de retas concorrentes paralelas a β).

(

Teorema 3.6. Dois planos α e β s˜ao paralelos entre si se e somente se existir em β um par de retas concorrentes paralelas a α. Ou, reciprocamente, se e somente se existir em α

∥

Demonstrac¸a˜o. A primeira parte ´e simples: se α β ent˜ao nenhuma reta de β intercepta

α. Em particular, quaisquer retas concorrentes de β s˜ao paralelas a α.

Figura 3.4

∥

dois planos. Ora, como l ⊂ α, e r ∥ α, s ∥ α, ent˜ao r e s s˜ao retas passando por um ponto P

A rec´ıproca ´e mais interessante. Sejam r e s duas retas de β concorrentes em um ponto P , e suponha que r e s sejam paralelas a α. Vamos provar que α β. Para isto suponhamos, por absurdo, o contr´ario, isto ´e, que α e β se interceptam, e seja l a reta de interse¸c˜ao dos

e paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo α ∥ β

Este teorema nos d´a uma forma de construir planos paralelos.

Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano α passa um e somente um plano β paralelo a α.

Demonstrac¸a˜o. Para provar a existˆencia de β fa¸camos a seguinte constru¸c˜ao:

Tome em α duas retas concorrentes r e s.
Tome as retas r^′ e s^′ passando por P e paralelas a r e s,
Seja β o plano determinado por r^′ e s^′. Ent˜ao β ´e paralelo a α, pelo teorema anterior.

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço 37

⊂

Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos β e γ passando por P e paralelos a α (veja a figura 3.5). Tome t α uma reta qualquer e seja ζ o plano determinado por t e P . Ent˜ao ζ corta β segundo uma reta r e γ segundo uma reta s.

Figura 3.5

Assim r e s s˜ao retas distintas e paralelas a α. Em particular, r, s e t s˜ao retas de ζ paralelas entre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P , o que contradiz o axioma V. Logo n˜ao h´a dois planos distintos passando por P e paralelos a α.

Problema 3.4. Justifique os passos (1) a (3) da demonstra¸c˜ao do teorema anterior.

Algumas propriedades de paralelismo no espa¸co

Listaremos nesta sec¸˜ao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades j´a conhecidas de retas paralelas no plano.

Figura 3.6: – Teorema 3.8

Teorema 3.8. Se uma reta corta um plano, corta tamb´em qualquer plano paralelo a este.

∥

Demonstrac¸a˜o. Seja r uma reta secante a um plano α. Seja A o ponto em que r corta α. Seja β um plano paralelo a α. Seja γ um plano qualquer passando por r. Em particular γ cont´em o ponto A e corta α segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que γ n˜ao pode ser paralelo a β (por quˆe?), donde γ e β se cortam segundo uma reta l. Assim l t e r

∈

´e secante a t, donde r ´e secante a l, por resultado j´a conhecido de geometria plana. Ent˜ao provamos que r passa por um ponto B β.

38 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Problema 3.5. Complete a figura 3.6 com os elementos constru´ıdos na demonstra¸c˜ao do teorema 3.8.

O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” e vice-versa.

Figura 3.7: – Teorema 3.9

Teorema 3.9. Se um plano corta uma reta, corta tamb´em qualquer reta paralela a ela.

Problema 3.6. Demonstre o teorema 3.9. (Sugestao: Suponha que o plano α corta a reta r em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja β o plano determinado por r e s. Reduza o problema ao caso an´alogo entre retas paralelas num plano.)

Finalmente temos resultado an´alogo a estes para planos.

Teorema 3.10. Se um plano α ´e secante a um plano β, ent˜ao α ´e secante a todo plano paralelo a β.

Figura 3.8: – Teorema 3.10

Demonstrac¸a˜o. Sejam α e β planos secantes. Seja γ um plano paralelo a α. Se β fosse paralelo a γ ter´ıamos uma contradi¸c˜ao com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo β n˜ao pode ser paralelo a γ, e portanto β e γ s˜ao secantes (veja figura 3.8).

Problema 3.7. Prove que as retas r e s representadas na figura 3.8 s˜ao paralelas entre si, onde os planos α, β e γ s˜ao como descritos na demonstra¸c˜ao do teorema acima.

Uma consequˆencia deste teorema ´e a transitividade de paralelismo para planos.

Corol´ario 3.11. Dados trˆes planos α, β e γ distintos tais que α ∥ β e β ∥ γ, ent˜ao α ∥ γ.

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço 39

Demonstrac¸a˜o. De fato, se α n˜ao fosse paralelo a γ, ou seja, se α fosse secante a γ ent˜ao, pelo teorema anterior, α seria secante a β,uma contradi¸c˜ao.

Problemas resolvidos

Apresentamos nesta sec¸˜ao alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula, para vocˆes se acostumarem com as t´ecnicas de trabalho em geometria espacial.

Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9

Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paralelo a s. Mostre que este ´e o u´nico plano poss´ıvel.

Soluc¸a˜o. Por um ponto qual′quer X ∈ r tome a reta s^′ paralela a s. Ent˜ao a soluc¸˜ao ´e o

plano α determinado por r e s (veja figura 3.9), j´a que:

∥ ∥ ⊂

r ⊂ α, por constru¸c˜ao;
s α, pois s s^′, e s^′ α, por constru¸c˜

′′ ⊂

Para verificar que α ´e o u´nico plano com as propriedades desejadas, tome um outro plano β passando por r. Se s e β fossem paralelos, existiria uma reta s β (pelo teorema 3.3) passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V.

⊂ ⊂

Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e β

tais que r α e s β. Mostre que esta ´e a u´nica solu¸c˜ao poss´ıvel.

Soluc¸a˜o. Primeiro sigamos os seguintes passos:

Usando o problema 8 construa o plano α contendo r e paralelo a s.
Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um u´nico plano β paralelo a α.

l = s.

uma reta l que passa por P . Como β ∥ α ent˜ao l ∥ r. Assim pelo axioma V temos que

Provemos que s ⊂ β: seja γ o plano determinado por r e P . Ent˜ao γ corta β segundo

Com os passos acima constru´ımos dois planos α e β com as propriedades desejadas. A unicidade decorre do problema anterior.

O problema seguinte ´e mais complicado.

40 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 3.10

Problema 3.10. Sejam dadas trˆes retas r, s e t reversas duas a duas. Construa, se poss´ıvel, uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solu¸c˜ao, se existe, ´e u´nica.

Soluc¸a˜o. Este problema nem sempre tem soluc¸˜ao, pois depende da posi¸c˜ao relativa das retas. Vejamos o que pode acontecer.

Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temos duas possibilidades:

t ´e paralela a α e, consequentemente, tamb´em ´e paralela a β.
t corta α e, consequentemente, tamb´em corta β.

Se acontece (i) o problema n˜ao tem solu¸c˜ao. De fato, se l ´e uma reta concorrente com r, por exemplo, e paralela a t, ent˜ao l ´e paralela a β, j´a que t ´e paralela a β. Logo l n˜ao pode ser concorrente com s (veja figura 3.10).

Figura 3.11

Se acontece (ii) o problema tem solu¸c˜ao. Para constru´ı-la sigamos os passos (acompanhe na figura 3.11):

= ∩ = ∩ ∥

Tome γ o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano γ ´e secante a α e β

(por quˆe?). Temos que r α γ. Observe ainda que se b β γ ent˜ao r b (por quˆe?).

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço 41

∈

(3) Seja t^′ a reta que p′assa por A e ´e paralela a t. Como t ∥ γ ent˜ao′ t^′ est´a contida em γ

A reta s corta γ em um ponto A pois, caso contr´ario seria paralela a b e, portanto, paralela a r, uma contradi¸c˜ao. Em particular A b.

′

´e uma solu¸c˜ao do problema.

Para mostrar que t^′ ´e sol′u′ ¸c˜ao u´nica, tome t^′^′ u′m′ a outra solu¸c˜ao. Ent˜ao t^′^′ ∥ t e t^′^′ ´e

(por quˆe?). Como t

´e secante a b, por construc¸˜ao, e b ∥ r, ent˜ao t

´e secante a r. Assim

concorrente com r. Logo t ⊂ γ (por quˆe?). M′a′ s t

tamb´em deve ser concorrente com s; no

entanto s encontra γ no ponto A, donde A ∈ t

. Assim t = t .

42 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Exerc´ıcios
Sejam α, β e γ trˆes planos distintos. Mostre que as posi¸c˜oes relativas dos trˆes planos s˜ao as seguintes:

Os trˆes planos s˜ao paralelos.
Dois deles s˜ao paralelos entre si, e o terceiro ´e secante a ambos, cortando-os segundo retas paralelas entre
Os trˆes planos de cortam segundo uma r
Os trˆes planos se cortam dois a dois segundo trˆes retas paralelas entre si.
Os trˆes planos se encontram em um u´nico p

Para cada situa¸c˜ao da lista acima encontre um exemplo no “mundo real”.

Sejam r e s duas retas reversas, e P um ponto que n˜ao pertence a nenhuma das duas. Mostre que existe um u´nico plano α passando por P paralelo a r e s.

□ □ □

Na figura 12 os quadril´ateros ABCD, ADEK e BCEK s˜ao paralelogramos.

Demonstre que

∥ ∥

EK AD BC e
&KAB ≡ &

Figura 3.12: – Exerc´ıcio 3.3 Figura 3.13: – Exerc´ıcio 3.4

Na figura 13 AP, BP e CP s˜ao perpendiculares entre si; AC BC; e D, E e F s˜ao pontos m´edios dos respectivos segmentos. Mostre que

&DEF ≡ &PAB.

(Sugest˜ao: mostre que os triˆangulos △APB e △EDF s˜ao semelhantes.)

secantes a α. Se A, A

s˜ao os pontos em que r e r

encontram α, respectivamente, e B, B

Sejam α e β dois′ plano paralelos entre si. Sej′am r e r^′ duas retas paralelas entre si e′

verifique que □ AA B B ´e um paralelogramo.)

s˜ao os pontos em qu′ e ′r e r^′ encontram β, respectivamente, prove que AB ≡ A′B′. (Sugest˜ao:

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço 43

Perpendicularismo entre retas e planos no espaço

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 44 28/01/2013 11:09:34

AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLANOS NO ESPAC¸ O

Introdu¸c˜ao

Na se¸c˜ao 2.3 estudamos um pouco sobre ˆangulos “planos” no espa¸co, isto ´e, sobre aˆngulos determinados por pares de semirretas, que j´a bem conhecemos. No espa¸co temos como ampliar o conceito de ˆangulo, pois podemos comparar “inclina¸c˜oes” n˜ao entre retas e se- mirretas, como tamb´em entre retas e planos e entre planos. Nesta aula estudaremos sobre ˆangulos entre retas e planos no espa¸co.

Aˆngulos entre retas no espa¸co

&( ) (&( ))

Nesta se¸c˜ao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de ˆangulos entre retas no espa¸co. No plano duas retas ou s˜ao paralelas ou se cortam. No primeiro caso podemos dizer que o ˆangulo entre elas ´e nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam no plano quatro ˆangulos, e dizemos que o ˆangulo entre elas ´e o menor deles¹. O ˆangulo entre duas retas r e l ´e indicado por r, l , e sua medida por m r, l .

Figura 4.1

(&( )) =

m(&(r, l)) = m(&a).

(& ) ≤ (& ) &( ) = &

Na figura 4.1a as retas r e l s˜ao paralelas, e ent˜ao m r, l 0. Na figura 4.1b as retas r e l s˜ao concorrentes, demarcando no plano α quatro ˆangulos, dois a dois congruentes, como indicado. Se m a m b (como sugere, visualmente, a figura) ent˜ao, r, l a, ou

Figura 4.2

′ ′

auxiliares. Dito de outra f′orma, se, por exemplo, r^′ for uma reta paralela a r e concorrente′

No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem concorrentes nem paralelas. Como poder´ıamos medir o ˆangulo entre elas? Bem, poder´ıamos fazer o seguinte: “colocar” uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s s˜ao reversas, tomamos, por exemplo, s uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medida do ˆangulo entre r e s como sendo a medida do ˆangulo entre r e s . A ideia parece boa? Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas

com s, sera´ que m(&(r, s )) = m(&(r , s))? De fato, isto acontece, como enunciamos em

Ent˜ao m(&(r, s)) = m(&(r ,s )).

′ ′

Teorema 4.1. Sejam r, s e r^′, s^′ dois pares de retas concorrentes tais que r ∥ r^′ e s ∥ s^′.

Figura 4.3

′

Na figura 4.3 representamos a situa¸c˜ao do teorema 4.1. Temos, na figura, que &a = &(r, s)

′ ′ ′

e &b = &(r ,s ) onde r ∥ r e s ∥ s . O teorema nos diz ent˜ao que &a ≡ &b. Procure

entender bem o significado deste teorema, que ´e bem intuitivo. A sua demonstra¸c˜ao, de

′ ′

leitura opcional, ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.5.

Corol´ario 4.2. Se′jam r e s retas reversas. Se r^′ ∥ r e s^′ ∥ s s˜ao retas tais que r^′ ´e

Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r e s s˜ao coplana- res.(Sugest˜ao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].)

concorrente a s e s

´e concorrente a r, ent˜ao

m(&(r, s^′)) = m(&(r^′, s)).

Agora podemos definir a medida de ˆangulos entre retas reversas.

(&( )) (&( ′)) ′

Defini¸c˜ao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espa¸co. Definimos a medida do ˆangulo entre r e s, denotada por m r, s , como sendo m r, s , onde s ´e uma reta paralela a s e concorrente a r.

46 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Proble′ ma 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r^′ ∥ r, s^′ ∥ s tais que r^′ seja concorrente

a s e s

concorrente a r. Prove que

m(&(r, s)) = m(&(r, s^′)) = m(&(r^′, s)) = m(&(r^′, s^′)).

Perpendicularismo de retas e planos

⊥

Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s s˜ao perpendicula- res se s˜ao concorrentes e os ˆangulos que formam entre si s˜ao retos, e esta rela¸c˜ao ´e denotada por r s. Esta defini¸c˜ao continua valendo no espa¸co, ´e claro. Veremos agora como fica o conceito de perpendicularidade entre retas e planos.

Figura 4.4

A ideia de uma reta perpendicular a um plano ´e bem intuitiva. Basta vocˆe equilibrar um l´apis em sua base sobre a mesa que ter´a a “sensa¸c˜ao” do que ´e perpendicularismo de reta (representada pelo l´apis) e plano (representado pela mesa). Se vocˆe medir o ˆangulo entre o l´apis e o plano em qualquer direc¸˜ao do plano ver´a que ´e aproximadamente um ˆangulo reto (veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na definic¸˜ao abaixo.

⊥

Defini¸c˜ao 4.4. Uma reta r e um plano α s˜ao perpendiculares entre si, rela¸c˜ao denotada por r α, se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de α que passa por P for perpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P ´e chamado de p´e da reta r, perpendicular ao plano.

Figura 4.5

⊥ ⊂ (&( )) =

Problema 4.4. Mostre que se r α ent˜ao para toda reta s α tem-se que m r, s 90.

Observa¸c˜ao 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espa¸co que fazem entre si um aˆngulo reto. Se s˜ao concorrentes, com j´a dissemos, as chamamos de perpendiculares. Se s˜ao reversas, dizemos que s˜ao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonal para indicar quaisquer pares de retas no espa¸co que fazem entre si um ˆangulo reto.

Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas e planos no espac¸o an´alogas `as propriedades entre retas perpendiculares num plano.

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 47

Figura 4.6

( ) ( )

Teorema 4.5. Sejam r e α uma reta e um plano perpendiculares entre si. Ent˜ao: a Toda reta paralela a r tamb´em ´e perpendicular a α veja figura 4.6 .

(b) Todo plano paralelo a α tamb´em ´e perpendicular a r (veja figura 4.7).

Figura 4.7

Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstra¸c˜ao de (b), que

⊥

´e inteiramente an´aloga, como exerc´ıcio.

∥ ∩ ≠ ø

Sejam, como no enunciado, r uma reta e α um plano tais que r α. Seja s uma reta paralela a r. O que temos que fazer ´e conferir se s satisfaz a defini¸c˜ao 4.4. Pelo teorema 3.9 vemos

que como s r ent˜ao s α . Chamemos de A e Q os pontos em que r e ′s encontram α,

a u passando por A. Observe ent˜ao que r, u

e s, u est˜ao na situa¸c˜ao do teorema 4.1, donde

respectivamente. Seja u ⊂ α uma reta qualqu′er passando por Q, e tomemos u a reta paralela

⊥ ⊥

(&( )) = (&( ))

m r, u^′ m s, u .

Ent˜ao como r u^′, por defini¸c˜ao, conclu´ımos que s u.

⊥

Assim provamos que toda reta de α concorrente com s ´e perpendicular a esta reta, ou seja,

s α.

Problema 4.5. Demonstre a parte (b) do teorema anterior. (Sugesta˜o: v´a trocando a palavra “reta” por “plano” na argumenta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do teorema, mas cuidando para que fa¸ca sentido!)

Temos ainda o resultado abaixo, an´alogo ao teorema 4.5:

48 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Teorema 4.6. As seguintes propriedades s˜ao v´alidas:

duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano s˜ao paralelas entre si, e
dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta s˜ao paralelos entre si.

Figura 4.8

Demonstrac¸a˜o. A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e um pouquinho mais complicada que a do anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstra¸c˜ao do item (a), deixando (b) como exerc´ıcio.

∥

Vamos l´a. Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a α. Chamemos de A o ponto em que r encontra α. Seja s outra reta perpendicular a α, encontrando este plano em um ponto P . Queremos mostrar que r s.

Bem, sabemos ′que existe uma reta s^′ passando por P e paralela ′a r. Provaremos que′ , na

verdade, s = s . Para isto suponhamos, por absurdo, que s ≠ s . Neste caso s e s s˜ao

retas concorrentes em P e determinam um plano β. Os planos α e β contˆem o ponto P em comum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos ent˜ao que

⊥ ⊥

s l pois, por hip´otese, s α;

⊥ ∥ ⊥

s^′ l, pois s^′ r por constru¸c˜ao donde, pelo teorema 5, s^′ α;
s e s^′ passam por P e pertencem ao mesmo plano β.

s ∥ r.

′

′ = ′

Nestas condic¸˜oes temos que s e s s˜ao retas de β passando por um ponto P e perpendiculares a uma mesma reta l, o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma u´nica reta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s n˜ao podem ser distintas. Logo s s e

Problema 4.6. Demonstre a parte (b) do teorema acima. (Sugest˜ao: veja a sugest˜ao do problema anterior.)

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 49

Existˆencia de retas perpendiculares

Apresentamos nas se¸c˜oes anteriores v´arias propriedades envolvendo retas perpendiculares a planos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermos provar a sua existˆencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a definic¸˜ao 4.4, pois a frase “toda reta de α…” da defini¸c˜ao nos p˜oe um problema pr´atico: como testar se uma reta ´e perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como.

Teorema 4.7. Uma reta r ´e perpendicular a um plano α se e somente r for perpendicular a duas retas distintas de α.

Figura 4.9

⊥ ⊥

A situac¸˜ao descrita no enunciado do teorema 4.7 ´e ilustrada na figura 4.9. O teorema diz que basta verificar a perpendicularidade de r em rela¸c˜ao a duas retas do plano (no caso da figura, r t e r u). Isto ´e bem intuitivo. Fac¸a o seguinte experimento: trace uma reta em uma folha de papel e apoie um l´apis com sua base sobre esta reta, formando um ˆangulo reto com ela; mantendo este ˆangulo vocˆe pode mover o l´apis para um lado e para outro, como uma dobradic¸a. Depois trace outra reta na folha, transversal `a primeira e coloque a base do l´apis sobre a interse¸c˜ao das duas retas; observe que o l´apis forma um ˆangulo reto com cada uma delas, e que qualquer movimento que vocˆe fizer com ele alterar´a um desses ˆangulos.

Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplic´a-lo, como veremos a seguir, e deixaremos sua demonstra¸c˜ao como leitura opcional na se¸c˜ao 4.5.

Nossa primeira aplica¸c˜ao do teorema 4.7 ´e a seguinte: construir retas perpendiculares a planos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemos construir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja os dois teoremas a seguir.

Teorema 4.8. Dados um ponto P e uma reta r existe um u´nico plano α perpendicular a r

passando por P.

∈/ ∈

∈/

Demonstrac¸a˜o. Temos dois casos a considerar: P r e P r. A constru¸c˜ao do plano α passando por P e perpendicular a r ´e essencialmente a mesma nos dois casos, a menos de um pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exerc´ıcio.

Suponhamos ent˜ao que P r. Vamos construir o plano α seguindo os seguintes passos, que vocˆe pode acompanhar na figura 4.10:

Seja β o plano que passa por P e r. Tome em β a reta t passando por P e perpendicular a r. Seja A o ponto em que t e r se
Tome γ um outro plano distinto de β passando por r e, em γ, construa a reta s perpen- dicular a r por A.

50 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 4.10

⊥ ⊥ ⊥

Ent˜ao o plano determinado por t e s ´e o plano α que procuramos. De fato:
- r t e r s, por constru¸c˜ao, donde r α, pelo teorema 7;
- P ∈ α, j´a que P ∈ t.

Figura 4.11

⊥ ′ ′ ⊥ ′

Ent˜ao β, o plano determinado por P e r, corta α

segundo uma reta t . Em particular, como

Para provar a unicidade, suponha que α^′ seja outr′o plano passando por′ P e perpendicular a r.

r α , ent˜ao t r. Assim temos duas retas, t e t , ambas passando por P e perpendiculares a r, o que ´e uma contradi¸c˜ao, j´a que a perpendicular a uma reta por um ponto dado ´e u´nica. Logo o plano α ´e o u´nico plano que passa por P e ´e perpendicular a r (veja a figura 4.11).

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 51

planos β e γ quaisquer, distintos, passando por r, e retas t ∈ β, s ∈ γ passando por P e

Problema 4.7. Demonstre o teorema anterior no caso em que P ∈ r. (Sugest˜ao: tome dois

Teorema 4.9. Dados um um ponto P e um plano α, existe uma u´nica reta r passando por

P e perpendicular a α.

∈/ ∈

Demonstrac¸a˜o. Como no teorema anterior, h´a dois casos a considerar: P α e P α. Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor.

Figura 4.12

∈/

Suponhamos ent˜ao que P α. Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhados na figura 4.12:

⊂

Tome uma reta t α qualquer, e seja β o plano que passa por P e ´e perpendicular a t

⊥

(pelo teorema 4.8).

Seja l a reta em que os planos α e β se encontram. Observe que l t (por quˆe?). Seja ainda Q o ponto em que l e t se
Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l.

⊥

A reta r constru´ıda acima ´e a soluc¸˜ao do nosso problema. Para aplicarmos a caracterizac˜ao dada no teorema 4.7 precisamos encontrar em α duas retas concorrentes e perpendiculares a r. Uma n´os j´a temos: a reta l, pois r l por construc¸˜ao. Para obter outra precisamos analisar duas possibilidades que podem acontecer:

r ⊥ α.

(ii) Os pontos Q e R s˜ao distintos. Neste cas′o tome t^′ a reta paralela a t′ passando por

Os pontos Q e R s˜ao coincident Neste caso, como β ⊥ t e r ⊂ β, ent˜ao r ⊥ t, donde

⊥

R. Ent˜ao, pelo teorema 5, temos que t

conclu´ımos que r α.

⊥ β. Em particular, r ⊥ t , e novamente

′ ′

′

Finalmente, para mostrar que r ´e a u´nica reta perpendicular a α passando por P podemos seguir argumento an´alogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r passando por P e perpendicular a α, e seja γ o plano determinado por r e r . Os planos α e

γ se cortam segundo uma reta l . Ent˜ao acabamos de apresentar duas retas perpendicu′lares

a uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que ´e uma contradic¸˜ao. Logo r

pode existir.

n˜ao

52 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

′ ′

duas retas l e l

contidas em α passando por P; tome β e β

os planos perpendiculares a l

Problema 4.8′. Demonstre o teorema anterior no caso em′ que P ∈ α. (Sugest˜ao: tome

e l , respectivamente, tamb´em passando por P. Verifique que a reta r comum a β e β ´e a reta procurada.)

Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 4.1 e 4.7

A seguir apresentamos as demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.7. Come¸camos com o primeiro.

Demonstrac¸a˜o. (Teorema 4.1) Esta ser´a nossa primeira demonstra¸c˜ao em que usaremos, no espa¸co, a congruˆencia de triˆangulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumenta¸c˜ao na listados abaixo.

Figura 4.13

(1) Sejam A e P o′ s pontos em que r encontra s e que r^′ encontra s^′, respectivamente. Tome

B ∈ r e R′ ∈ r pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano determinado

por s e s , de forma que AB ≡ PR.

plano determinado por r e r , de forma que AC ≡ P Q.

Analogamente, tome C ∈ s e′ Q ∈ s^′ pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao

mostrar que &BAC ≡ &RPQ. Para isto vamos mostrar que BC ≡ RQ e aplicar o crit´erio

Temos agora dois triˆangulos △BAC e △RPQ no espa¸co, em planos diferent Queremos

r e s˜ao determinadas por pontos equidistantes). Logo □ ABRP ´e um paralelogramo, e

□ ≡

≡

(4) C′omo AB ≡ PR, ent˜ao temos que B←→R ∥ ←A→P (pois est˜ao no plano determinado por r e

portanto AP BR.

Analogamente mostra-se que ACQP tamb´em ´e um paralelogramo, e que AP CQ

(escreva os detalhes).

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 53

Agora temos que ←A→P ∥ ←B→R e ←A→P ∥ ←C→Q; logo ←B→R ∥ ←C→Q. Al´em disso

BR ≡ AP ≡ CQ.

Com isto mostramos que □ BCQR tamb´em ´e um paralelogramo! Assim

BC ≡ RQ,

como quer´ıamos verificar.

Dos fatos acima conclu´ımos que △BAC ≡ △RPQ pelo crit´erio LLL. Em particular,

&BAC ≡ &RPQ.

Logo m(&(r, s)) ≡ m(&(r^′, s^′)).

Agora apresentamos a demonstra¸c˜ao do teorema 4.7.

Demonstrac¸a˜o. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano α ent˜ao, por de- finic˜ao, ´e perpendicular a todas as retas de α que a cortam, em particular a duas retas distintas quaisquer dentre estas.

figura 4.14).

s e s^′ de α. Seja P o ponto em que r encontra α. Se t ⊂ α ´e outra reta qualquer passando

A rec´ıproca ´e um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retas por P , queremos provar que r ⊥ t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe na

Figura 4.14

′

regi˜oes e tome nas semirretas de s e s^′ que a delimitam dois pontos B ∈ ′s e C ∈ s tais

Primeiro observe que s e s dividem α em quatro regi˜oes angulares, e que t passa por duas delas, correspondentes a dois ˆangulos opostos pelo v´erti Escolha uma destas

que PB ≡ PC. Nestas condic¸˜oes o segmento BC encontra t em um ponto K.

54 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

′ ≡ ′

Tome A e A pontos de r em lados opostos do espa¸co tais que PA P A . Assim temos

△ ≡ △ ≡ △ ≡ △

que

APB A^′PB APC A^′PC,

sendo todas as congruˆencias pelo crit´erio LAL (complete os detalhes).

≡ ≡ ≡

Do item anterior deduzimos que

△ ≡ △

AB A′B AC A′C.

& ≡ &

Logo ABC A^′BC donde, em particular, tiramos que

ABC A^′BC.

△ ′≡ △

Dos dados dos itens anteriores conclu´ımos que ABK A BK, pelo crit´erio Em particular,

(5) Agora examinemos o triˆangulo △AKA^′. Este triˆangulo ′´e is´osceles com base AA′, e

AK ≡ A′K.

P←—→´e po←n—t→o m´edio de A←—A→′. Logo←—K→P ´e altura de △AKA (por quˆe?). Em particular

KP ⊥ AA^′. Como t = KP e r = AA^′, temos o resultado desejado.

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 55

Exerc´ıcios

Figura 4.15: – Exerc´ıcio 4.1

4.1. Na figura 4.15 os pontos A, B, C e D n˜ao s˜ao coplanares.

≡ ≡ &

Quantos planos s˜ao determinados por estes pontos?
Suponha que AD DC, BC BA e que DBA ´e r Nestas condi¸c˜oes pelo menos um dos segmentos indicados na figura ´e perpendicular a um dos planos determinados pelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa.

4.2. Seja r ⊥ α; seja P o ponto comum a r e α. Prove que se t ´e uma reta passando por P

e′ perpendicular a r, ent˜ao t ⊂ α. (Sugest˜ao: to′ me no plano β determinado por t e r a reta

t perpendicular a r em P e verifique que t = t .

←→ ←—→←—→

Figura 4.16: – Exerc´ıcio 4.3

Na figura 16 os planos α e β se interceptam segundo a reta KQ. Tem-se ainda que

(a) ←A→B ⊥ ←→BR ?

AB ⊥ α, onde B ∈ KQ, R ∈ α e C ∈ β. Responda se verdadeiro ou falso e justifique:

⊥

(b) ←A→B ←K—→Q ?

≡ ≡ ≡ ≡ ←→

←—→ ←—→ ←—→ ←—→

Na figura 17, na qual nem todos os pontos indicados s˜ao coplanares, tem-se que AW BW, AX BX, AY BY e AZ BZ. Prove que os pontos W, X, Y e Z s˜ao coplanares. (Sugest˜ao: Se M ´e o ponto m´edio de AB mostre que AB ´e perpendicular `as retas WM, XM, YM e ZM. Conclua, usando o exerc´ıcio 4.2.)

56 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 4.17: – Exerc´ıcio 4.4

Figura 4.18: – Exerc´ıcios 4.6 e 4.7

o circuncentro de △ABC. Seja r a reta perpendicular a α passando por T. Mostre que se

Sejam A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´atero contido em um plano α. Seja T ∈ α X ∈ r ent˜ao AX = BX = CX. Fa¸ca um desenho que represente a situa¸c˜a

PSR, prove que &PQS ≡ &PSQ.

←→ ←→ ←→ ⊥ > ←→ ⊥ ←→

&4.6. Na figura 4.18 o triaˆngulo △RSQ est´a contido no plano α, e →R ⊥ α. Se &PQR ≡

Ainda usando a figura 18 como referˆencia, se PR α, PR RS, SQ RQ e

SQ ⊥ P Q, prove que PQ > QS.

Figura 4.19: – Exerc´ıcio 4.8

Na figura 19 os planos α e β s˜ao paralelos, A←→B ⊂ β, ←C—D→ ⊂ β, ←A→C ⊥ α e ←B—D→ ⊥ β.

Demonstre que AD e BC se bissectam (isto ´e, se encontram em um ponto que ´e ponto m´edio

de ambos segmentos).

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço 57

Ângulos entre planos

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 58 28/01/2013 11:09:39

AULA5:

AˆNGULOS ENTRE PLANOS

Introdu¸c˜ao

Na aula anterior estudamos um pouco sobre ˆangulos entre retas no espa¸co, e tamb´em es- tudamos perpendicularismo entre retas e planos. A pr´oxima etapa ´e estudar ˆangulos entre retas e planos e ˆangulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “ˆangulo” no espa¸co inteiramente an´alogo ao de ˆangulo no plano, um “ˆangulo” cujos lados s˜ao semiplanos.

Aˆngulos entre planos: diedros

Em [7] definimos um ˆangulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, de maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto ´e, podemos “tridimensi- onalizar” o ˆangulo determinado por semirretas. Chamamos a vers˜ao de ˆangulo para planos de diedro, conforme a defini¸c˜ao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposi¸c˜ao, indicaremos semiplanos com um sinal de chap´eu; por exemplo, αˆ indica um semiplano do plano α.

Figura 5.1

&( )

Defini¸c˜ao 5.1. Um diedro¹ ´e a uni˜ao de dois semiplanos com a mesma reta de origem. Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro s˜ao suas faces, e a reta comum aos semiplanos a sua aresta.

O diedro determinado pelos semiplanos αˆ e βˆ ser´a denotado por αˆ, βˆ , onde αˆ e βˆ s˜ao suas faces.

Um bom modelo de diedro ´e um livro ou caderno aberto parcialmente. As p´aginas opos- tas s˜ao suas faces, e a sua aresta ´e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1 representamos um diedro formado pelos semiplanos αˆ e βˆ com aresta l.

¹A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face.

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos 59

&( )

Podemos tamb´em definir regi˜ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1).

Defini¸c˜ao 5.2. A regi˜ao diedral determinada pelo diedro αˆ, βˆ ´e a interse¸c˜ao do subespa¸co determinado pelo plano α no qual se encontra o semiplano βˆ com o subespa¸co determinado pelo plano β no qual se encontra o semiplano αˆ.

Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regi˜ao diedral correspondente.

Figura 5.2

&( )

Uma pergunta que surge de imediato ´e: como medir um diedro, ou melhor, como medir a “abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pela parte de baixo numa mesa. Quando vocˆe olha de cima para baixo vˆe um ˆangulo na mesa determinado pelas p´aginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta ´e a ideia que podemos usar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro

αˆ, βˆ de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3):

primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano γ perpendicular `a reta l;
o plano γ corta αˆ e βˆ em duas semirretas —→a e —→b , respectivamente;

&( —→ —→) &( )

&( )

as semirretas —→a e —→b determinam o ˆangulo —→a, —→b em γ.

Poder´ıamos definir a medida de αˆ, βˆ como sendo a medida de a, b constru´ıdo acima, mas precisamos garantir que esta medida na˜o depende da escolha de γ. Na verdade, j´a temos este resultado, disfar¸cado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema a seguir.

Figura 5.3

60 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

&( ′)

Teorema 5.3. Seja αˆ, βˆ um diedro de faces αˆ e βˆ, com aresta l. Sejam γ e γ dois planos perpendiculares a l. Tomemos ainda

∩ = ∩ = ∩ = ∩ =

γ αˆ —→a, γ βˆ —→b , γ^′ αˆ —→a ^′, γ^′ βˆ —→b ′.

∥ ′ —→ ∥ —→′ —→ —→∥

(&( )) = (&( ))

Ent˜ao m —→a, —→b m —→a ^′, —→b ′

Demonstrac¸a˜o. Observe que γ γ (por quˆe?), donde a a e b b ′ (por quˆe?).

Logo, pelo teorema 4.1 conclu´ımos que

m(&(—→a, —→b )) = m(&(—→a ^′, —→b ′)),

como quer´ıamos.

Problema 5.2. (a) Fa¸ca um desenho ilustrando a situa¸c˜ao descrita no enunciado do teo- rema acima.

(b) Justifique os por quˆes na demonstra¸c˜ao do teorema acima.

&( )

Defini¸c˜ao 5.4. Usando as nota¸c˜oes da figura 5.3, com base na constru¸c˜ao descrita na p´agina anterior, definimos a medida do diedro αˆ, βˆ como sendo

m(&(αˆ, βˆ)) = m(&(—→a, —→b )),

onde

(b) —→a = —→ ˆαˆ ∩ γ e b = β ∩ γ.

(a) γ ´e um plano qualquer perpendicular `a reta l, aresta do diedro &(αˆ, βˆ);

Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos…

Defini¸c˜ao 5.5. Dizemos que um diedro ´e reto se sua medida for 90.

&( ) &( ′ ′)

… e congruˆencia de diedros.

Defini¸c˜ao 5.6. Dizemos que dois diedros αˆ, βˆ e αˆ , βˆ s˜ao congruentes, rela¸c˜ao denotada por

se m(&(αˆ, βˆ)) = m(&(αˆ^′, βˆ′)).

&(αˆ, βˆ) ≡ &(αˆ^′, βˆ′),

Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes (isto ´e o o an´alogo aos ˆangulos O.P.V. (opostos pelo v´ertice) da geometria plana). Em particular, se um dos diedros for reto, todos o s˜ao tamb´em.

Finalmente definimos ˆangulos entre planos.

(&( ))

Defini¸c˜ao 5.7. Definimos a medida do ˆangulo entre dois planos α e β, denotada por

(&( )) = ∥

m α, β , como sendo

m α, β 0, se α β;
a medida do menor dos diedros por eles determinado, se α e β s˜ao secantes.

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos 61

Planos perpendiculares

Uma vez que sabemos medir ˆangulos entre planos podemos, definir o conceito de planos perpendiculares.

⊥

Defini¸c˜ao 5.8. Dizemos que dois planos secantes α e β s˜ao perpendiculares, rela¸c˜ao deno-

m α, β 90.

(&( )) =

Apresentamos a seguir uma outra forma, muito u´til, de caracterizar planos perpendiculares.

Figura 5.4

⊂ ⊂ ⊥ ⊥

Teorema 5.9. Dois planos α e β s˜ao perpendiculares entre si se e somente se existir uma reta a α (respectivamente, uma reta b β) tal que a β (respectivamente, b α).

que α ⊥ β; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4):

⊂ ⊥

Demonstrac¸a˜o. Sejam α e β dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram. Facamos a primeira parte: suponhamos que exista a α tal que a β. Queremos provar

⊂

⊥ ⊥

seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r β que passa por P e ´e perpendicular a l;
ent˜ao a l (por qual hip´otese?), e r l por constru¸c˜ao; logo o plano γ determinado por

a e r ´e perpendicular a l;

por α e β ´e 90 (por quˆe?), donde α ⊥ β.

temos ainda que a ⊥ r, pois a ⊥ β; logo a medida de quaisquer dos diedros determinados

⊥ ⊂

Suponhamos agora que α β. Podemos construir uma reta a α perpendicular a β da seguinte forma (veja novamente a figura 5.4):

tome γ um plano qualquer perpendicular a l;
tome a = α ∩ γ.

62 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Observe que a ´e, de fato, a reta desejada, pois:

⊥ ⊂ ⊥

⊥ ⊥

a l, j´a que a γ e γ l;
se r ´e a reta comum a β e γ ent˜ao a r, pois estamos supondo que α β e a medida de quaisquer dos diedros determinados por α e β ´e 90, exatamente a medida de quaisquer dos ˆangulos determinados por a e r (reveja a defini¸c˜ao de medida de diedros);
assim a ´e perpendicular a duas retas de β, e portanto a ⊥ β.

Problema 5.4. Responda aos por quˆes da demonstra¸c˜ao acima.

⊥ = ∩ ⊂

Uma consequˆencia (indireta) da demonstra¸c˜ao do teorema acima ´e a propriedade seguinte, apresentada na forma de exemplo.

a β. De fato, seja P o ponto de encontro de l e r, e tome t ⊂ β a reta que passa por P

Exemplo 5.1. Se α β e l α β, ent˜ao toda reta r α perpendicular a l ´e perpendicular

(&( )) = ⊥ a

e ´e perpendicular a l. Ent˜ao o plano γ determinado por r e t ´e perpendicular a l. Assim,

m r, t 90, pela defini¸c˜ao de perpendicularidade de planos. Logo r β.

Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e fa¸ca um desenho que o ilustre.

Constru¸c˜ao de planos perpendiculares

A caracterizac¸˜ao do teorema 5.9 permite a construc¸˜ao de planos perpendiculares, em analogia

× ×

`a construc¸˜ao de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dada reta (ou dado plano) pode-se trac¸ar uma u´nica reta perpendicular `a reta dada (ou ao plano dado). Veremos agora as constru¸c˜oes an´alogas a estas no contexto “ponto plano” e “reta

plano”.

Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um plano α dado: basta tra¸car por P a reta r perpendicular a α, e todos os planos que contˆem r s˜ao perpendiculares a α. Analogamente, se r ´e uma reta perpendicular a α, por r passam infinitos planos perpendiculares a α, pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamos estas situa¸c˜oes.

Figura 5.5

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos 63

Vejamos agora o caso mais interessante.

Teorema 5.10. Sejam dados um plano α e uma reta r n˜ao perpendicular a α. Ent˜ao existe um u´nico plano perpendicular a α passando por r.

∈

Demonstrac¸a˜o. A constru¸c˜ao ´e bem simples: tome um ponto P r qualquer, e por P trace a reta t perpendicular a α. O plano β determinado por r e t ´e o plano procurado (veja a figura 5.6), pois:

r ⊂ β por constru¸c˜ao;
β ⊥ α, pois t ⊂ β ´e uma reta perpendicular a α por constru¸c˜

Figura 5.6

′ ′

A unicidade tamb´em ´e simples: suponha que exista um outro plano β^′ passando por r e

′ ′

perpendicular a α, e seja l = β ∩ α. Certamente ′l ⊂/ β pois, caso contr´ario, β =′ β . Tome

contradi¸c˜ao, j´a que por P n˜ao podem passar duas perpendiculares a α. Logo β ´e u´nico.

t ⊂ β uma reta passando por P e perpendicular a l . Pelo exemplo 5.1 temos que t

⊥ α, uma

Problema 5.6. Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e o

plano α s˜ao concorrentes. Fa¸ca desenhos que representem a situa¸c˜ao nos casos em que:

r ∥ α;
r ⊂ α.

Alguns problemas resolvidos

Vejamos agora alguns probleminhas interessantes.

⊂ ∥

Problema 5.7. Sejam α e β dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen- dicular a β. Prove que ou r α ou r α.

⊥ ⊂

Soluc¸a˜o. Como α β, ent˜ao existe uma reta t α perpendicular a β (teorema 5.9). Temos duas possibilidades:

duas retas passando por P e perpendiculares a β. Ent˜ao r ⊂ α.

r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contr´ario, ter´ıamos

64 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

donde r ∥ α.

r e t n˜ao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 6 temos que r ∥ t,

Problema 5.8. Fa¸ca desenhos que ilustrem o problema anterior.

Problema 5.9. Prove que se α, β e γ s˜ao planos tais que α ∥ β e β ⊥ γ ent˜ao α ⊥ γ.

Soluc¸a˜o. Como β

paralela a r. Ent˜ao r

Figura 5.7

⊥′

⊥ ⊂ ⊥ ′ ⊂

γ, ent˜ao existe uma reta r β tal que r γ. Seja r α uma reta

γ pelo teorema 4.5. Logo, pelo crit´erio estabelecido no teorema 5.9,

temos que α ⊥ γ (veja a figura 5.7).

Figura 5.8

Problema 5.10. Prove que se r e s s˜ao duas retas reversas, ent˜ao existe uma u´nica reta t

perpendicular a ambas.

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos 65

∥ ⊂ ⊂

Soluc¸a˜o. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas ´e a descrita no pro- blema 3.9: existem dois planos α e β, u´nicos, tais que α β e r α, s β. Usando este fato vamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe na figura 5.8):

⊥

Tome γ o plano que passa por r e ´e perpendicular a β. Ent˜ao, pelo problema anterior,

α γ.

s ∥ r, o que n˜ao ´e poss´ıvel.

Observe em seguida que s ´e secante a γ. De fato, se s ⊂ γ ou se s ∥ γ ent˜ao ter´ıamos
Pelo ponto P em que s encontra γ trace a reta t perpendicular a α.

⊂

⊥ ⊥

A reta t ´e a reta procurada. De fato, temos que t γ pelo problema 5.7 (complete os detalhes!); logo t e r s˜ao secantes pois est˜ao contidas no mesmo plano e n˜ao s˜ao paralelas.

Finalmente, como t α ent˜ao, em particular, t r.

⊥ ′ ∥′

Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t^′ perpendicular a r e s. Observe

determinado por t e t . Como r ´e concorrente a t e t , ent˜ao r ⊂ δ; analogamente s ⊂ δ. Ora,

que t^′ α (veja o problema a seguir), donde t^′ t, pelo teorema 4.6. Seja δ o plano

isto ´e uma contradic¸˜ao, pois r e s s˜ao reversas e portanto n˜ao podem pertencer a um mesmo plano. Logo n˜ao pode haver outra reta perpendicular a r e s al´em de t.

⊥

Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α o plano passando por r e paralelo

a s. Se t ´e uma ret′a perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t ′ α. (Sugest˜ao: se

r ∩ t = {P }, tome s a reta paralela a s passando por P e mostre que t ⊥ s .)

66 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Exerc´ıcios
Sejam A e B dois pontos e α um Prove que sempre existe um plano γ passando por A e B e perpendicular a α. Em que situa¸c˜ao este plano ´e u´nico?

Mostre que se um plano α cont´em uma reta perpendicular a outro plano β, ent˜ao β

cont´em uma reta perpendicular a α.

⊥

Sejam α e β dois planos que se cortam em uma reta l. Prove que γ ´e um plano perpendicular a α e β simultaneamente se e s´o se γ l.

Podemos definir diedros alternos internos de maneira an´aloga `a defini¸c˜ao de ˆangulos alternos internos. Escreva uma defini¸cao para este conceito e marque na figura 9, onde os planos α e β s˜ao paralelos, os pares de diedros alternos internos formados. Demonstre que dois diedros alternos internos s˜ao congruentes entre si.

Figura 5.9: – Exerc´ıcio 5.4 Figura 5.10: – Exerc´ıcio 5.5

△ △

Na figura 10 os planos α e β s˜ao perpendiculares entre si, e os triˆangulos ACD e

CBD s˜ao is´osceles, com base CD e congruentes. Al´em disso M ´e ponto m´edio de AB e

⊥

N ´e ponto m´edio de CD. Mostre que

MN AB e
MN ⊥

(Sugest˜ao: mostre que AN ≡ NB e CM ≡ MD.)

= ∩

Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respec- Sejam δ o plano passando por r e perpendicular a β, e γ o plano passando por s e perpendicular a α. Mostre que t δ γ ´e a reta perpendicular a r e s que foi apresentada no problema 5.10.

m(&(α, β)) = m(&(r, s)).

Sejam α e β dois planos concorrentes, e r ⊥ α, s ⊥ β duas Mostre que

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos 67

Lugares geométricos

e poliedros

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 68 28/01/2013 11:09:43

AULA6: LUGARES GEOME´TRICOS E POLIEDROS

Introdu¸c˜ao

Nesta aula estudaremos alguns lugares geom´etricos no espa¸co e apresentaremos alguns obje- tos geom´etricos que muitos j´a conhecem: os poliedros. Come¸caremos estudando o conceito de distˆancia no espa¸co: distˆancia entre pontos e retas, entre pontos e planos, entre retas e planos, e entre planos. Em seguida apresentaremos alguns lugares geom´etricos, como os planos bissetores (o equivalente a bissetrizes de ˆangulos planos). Terminamos a aula com o estudo de poliedros, focando nos mais b´asicos: paralelep´ıpedos, cubos, prismas em geral, e pirˆamides.

Distˆancias

Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distˆancia entre pontos, distˆancia de ponto a reta e distˆancia entre retas. No espa¸co temos mais algumas entidades a introduzir nesta lista: distˆancia de ponto a plano, distˆancia de reta a plano e distˆancia entre planos. Vamos ver isto nesta se¸c˜ao.

Primeiro recordemos as defini¸c˜oes de distˆancia entre ponto e reta:

( )

Defini¸c˜ao 6.1. Definimos a distˆancia entre um ponto A e uma reta r como o nu´mero

∈ ( ) =

dist A, r satisfazendo as seguintes propriedades:

se A r ent˜ao dist A, r 0;
se A ∈/ r ent˜ao dist(A, r) = AP, onde P ´e o p´e da reta perpendicular a r passando por

( ) < ∈

Lembramos ainda que esta defini¸c˜ao ´e natural, pois ´e f´acil de ver que se A ∈/ r ent˜ao

dist A, r AQ para todo ponto Q r distinto de P . A defini¸c˜ao de distˆancia entre ponto

e plano ´e inteiramente an´aloga:

( )

Defini¸c˜ao 6.2. Definimos a distˆancia entre um ponto A e um plano α como o nu´mero

dist A, α satisfazendo as seguintes propriedades:

se A ∈ α ent˜ao dist(A, α) = 0;

Figura 6.1

Problema 6.1. Sejam A, α e P como na defini¸cao˜ 6.2, com A ∈/ α. Mostre que dist(A, α) =

AP < AQ para todo ponto Q ∈ α distinto de P. (Sugest˜ao: na figura 6.1 o triˆangulo △APQ

( )

Passemos agora ao estudo de distˆancia entre planos. Lembremos a defini¸c˜ao de distˆancia entre retas num plano:

Defini¸c˜ao 6.3. A distˆancia entre duas retas r e s coplanares ´e o nu´mero dist r, s definido da seguinte maneira:

dist(r, s) = 0 se r e s s˜ao concorrentes;
dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r, se r e s s˜ao paralelas.

( )

Traduzimos facilmente esta defini¸c˜ao para o caso de distˆancia entre planos:

Defini¸c˜ao 6.4. A distˆancia entre dois planos α e β ´e o nu´mero dist α, β definido da seguinte maneira:

dist(α, β) = 0 se α e β s˜ao concorrentes;
dist(α, β) = dist(A, β) para algum ponto A ∈ α, se α e β s˜ao paralelos.

Figura 6.2

A propriedade que garante que a defini¸c˜ao acima ´e “boa”, isto ´e, que tem um sentido adequado, ´e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente an´aloga `a que garante o bom sentido da defini¸ca˜o 6.3 (veja [7]).

70 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

( ) = ( )

Problema 6.2. Sejam α e β dois planos paralelos entre si. Mostre que

dist A, β dist B, β

∥ □

para quaisquer pontos A e B de α. (Sugest˜ao: Na figura 6.2 temos que AP e BQ s˜ao perpendiculares a β, donde AP BQ. Mostre que APQB ´e um retˆangulo e conclua.)

O leitor atento deve ter percebido que “pulamos” a defini¸c˜ao de distˆancia entre retas n˜ao coplanares. Bem, o fato ´e que fica mais f´acil falar disto depois de introduzir o conceito de distˆancia entre planos, por causa das retas reversas. Sim, como todos devem se lembrar, no espa¸co temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a defini¸c˜ao 6.3 sobre apenas os casos em que as retas s˜ao coplanares (ou seja, quando s˜ao concorrentes ou paralelas).

E como definir distˆancia entre retas reversas? Ora, seguindo a mesma forma de pensar que usamos at´e agora para definir distˆancia entre v´arios elementos no plano e no espac¸o, poder´ıamos usar o resultado do problema resolvido 5.10: se r e s s˜ao retas reversas ent˜ao existe uma u´nica reta t perpendicular a ambas. Mas usar isto em que sentido? Bem, veja primeiro o resultado seguinte:

∩ = { } ∩ = { } ≤ ∈ ∈

Teorema 6.5. Sejam r e s duas retas reversas. Seja t a u´nica reta perpendicular a ambas. Tome t r R e t s S . Ent˜ao RS PQ para quaisquer pontos P r e Q s.

Figura 6.3

≠ ≠ ←→

′ = ( )

Demonstrac¸a˜o. Este resultado ´e uma consequˆencia direta do problema 6.1. Acompanhe a demonstra¸c˜ao na figura 6.3 para o caso em que P R e Q S: sejam α e β os planos paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a PQ passando por R e seja Q o ponto em que l encontra β. Ora, ´e f´acil ver que RS dist α, β donde, pelo problema 6.1, conclu´ımos que

RS = dist(α, β) < RQ^′ = PQ.

Problema 6.3. Prove o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentes com R e/ou S.

O teorema 6.5 nos diz que a “menor distˆancia” entre duas retas reversas r e s ´e atingida justamente nos pontos que determinam a (u´nica) reta perpendicular a elas, e vimos na demonstra¸c˜ao do teorema anterior que a distˆancia entre esses pontos ´e a distˆancia entre os planos paralelos que contˆem r e s. Com estes dados podemos, finalmente, definir a distˆancia entre retas no espa¸co:

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 71

( )

Defini¸c˜ao 6.6. A distˆancia entre duas retas r e s no espa¸co ´e o nu´mero dist r, s definido da seguinte maneira:

( ) = ( ) ∈ ∥

( ) =

dist r, s 0 se r e s s˜ao concorrentes;

( ) = ( )

dist r, s dist A, s para algum ponto A r, se r s;
dist r, s dist α, β se r e s s˜ao reversas, onde α e β s˜ao os u´nicos planos paralelos passando por r e s,

Planos bissetores

Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “ˆangulos espaciais”. Estes objetos possuem diversas propriedades an´alogas `as de ˆangulos planos, e j´a vimos algumas. Apresentaremos agora o objeto an´alogo `as bissetrizes de ˆangulos planos: os planos bissetores. Acompanhe a seguinte construc¸˜ao na figura 6.4:

Figura 6.4

&( )

Considere o diedro αˆ, βˆ com aresta l.

Tome γ um plano perpendicular a l.

&(—→ ) ⊂

&( a, b ). —→

Seja s a bissetriz de a, b ; observe que s γ.

&( )

Seja σ o plano determinado por s e l, e designemos por σˆ o semiplano de σ contido na regi˜ao diedral determinada por αˆ, βˆ , com origem em l.

(&( )) = (&( ))

Ent˜ao ´e f´acil verificar que

m αˆ, σˆ m βˆ, σˆ .

Problema 6.4. Mostre que a igualdade acima ´e, de fato, verdadeira.

&( )

Defini¸c˜ao 6.7. Com a nota¸c˜ao da figura 6.4 e as condi¸c˜oes descritas acima, definimos o plano σ como sendo o plano bissetor do diedro αˆ, βˆ .

72 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 6.5

Para finalizar a se¸c˜ao apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores.

&( ) ≡ &( ) &( ) ≡ &( )

Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes α e β determinam 4 diedros, dois a dois congruentes:

&( ) &( ) &( )₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂

αˆ₁, βˆ1 αˆ₂, βˆ2 e αˆ₁, βˆ2 αˆ₂, βˆ1 .

&( )

⊥

O plano σ ´e o plano bissetor de αˆ , βˆ e αˆ , βˆ , e σ ´e o plano bissetor de αˆ , βˆ e αˆ₂, βˆ1 . A propriedade que queremos mostrar ´e a seguinte:

Problema 6.5. Seguindo a nota¸cao da figura 6.5, mostre que σ₁ σ₂.

= ∩

Soluc¸a˜o. Esta propriedade ´e inteiramente an´aloga `a relativa a bissetrizes de ˆangulos: duas retas concorrentes no plano determinam quatro ˆangulos, congruentes dois a dois (s˜ao ˆangulos O.P.V.), e as duas bissetrizes s˜ao perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobre geometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso no plano: tome γ um plano perpendicular a` reta l α β. O plano γ corta os planos α e β em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos σ₁ e σ₂ em duas retas s₁ e s₂, respectivamente (veja a figura 6.6).

Figura 6.6

⊥ ⊥

Da defini¸c˜ao de medidas de ˆangulos diedros temos que σ₁ σ₂ se somente se s₁ s₂. Mas esta u´ltima rela¸ca˜o ´e verdadeira, j´a que s₁ e s₂ s˜ao bissetrizes dos ˆangulos formados por a e b.

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 73

Alguns lugares geom´etricos

Nesta se¸c˜ao vamos apresentar alguns lugares geom´etricos. Lembramos que um lugar geom´etrico

´e, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espa¸co) que satisfazem a alguma pro- priedade preestabelecida. Come¸camos mostrando que os planos bissetores s˜ao, em verdade, lugares geom´etricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro de geometria plana, como [7]).

Problema 6.6. Seguindo as nota¸c˜oes da figura 6.5, mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de α e β ´e justamente a uni˜ao dos planos bissetores σ₁ e σ₂.

Soluc¸a˜o. Novamente uma propriedade an´aloga `a de bissetrizes, que recordamos aqui: o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes ´e justamente a uni˜ao das bissetrizes dos ˆangulos por elas formados. E a t´atica para resolver o problema ´e a mesma do problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.

Figura 6.7

dade, tomemos P ∈ σ . Seja γ o plano passando por P e perpendicular `a reta l, na qual se₁

Primeiro provemos que se P ∈ σ₁ ∪ σ₂ ent˜ao dist(P, α) = dist(P, β). Sem perda de generali-

a = γ ∩ α, b = γ ∩ β, s₁ = γ ∩ σ₁ e s₂ = γ ∩ σ₂. ←→

←—→ ∈ ∈ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊂

⊂

Sejam G a e H b tais que PG a e PH b. Temos que, como γ α e γ β, ent˜ao PG γ

e PH γ. Reduzimos assim o problema ao caso de um ˆangulo plano. A situa¸c˜ao ´e ilustrada na figura 6.7, onde representamos o plano γ e os elementos acima descritos. Observe que s₁

( ) = ( ) =

´e a bissetriz de um dos ˆangulos determinados por a e b, e que

dist P, α PG, dist P, β PH,

( ) = ( )

donde, pelo resultado j´a conhecido num plano, PG PH, ou seja,

dist P, α dist P, β .

∈ ∪

Passemos `a rec´ıproca, isto ´e, provemos que se P ´e um ponto equidistante de α e β, ent˜ao P σ₁ σ₂. Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regi˜oes diedrais determinadas por α e β (em outras palavras, P n˜ao pode pertencer a nenhum dos dois planos – justifique esta afirmac¸˜ao). Tome ent˜ao o plano γ passando por P e perpendicular

74 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

a l, e sejam G ∈ α, H ∈←—β→tais←q→ue P←→G ⊥ α e P←—H→ ⊥ β. Pelo mesmo argumento apresentado

= ( ) = ( ) =

mais acima temos que PH e PG est˜ao contidas em γ. Ent˜ao

= ( ) = ( )

PG dist P, α dist P, β PH.

seja, P ∈ σ ∪ σ .₁ ₂

∈ ∪

Mas PG dist P, a e PH dist P, b donde, pelos fatos j´a demonstrados para o plano, vemos que P pertence a alguma das duas bissetrizes dos ˆangulos determinados por a e b no plano γ (vocˆe pode visualizar a situac¸˜ao na figura 6.7). Em outras palavras, P s₁ s₂, ou

O pr´oximo lugar geom´etrico que apresentaremos ´e o an´alogo a` mediatriz de um segmento.

Problema 6.7. Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de pois pontos P e

Q dados ´e o plano µ perpendicular a P Q, passando pelo ponto m´edio M deste segmento.

∈ △ △

≡

⊥

Soluc¸a˜o. Primeiro vamos mostrar que os pontos de µ s˜ao equidistantes de P e Q. Tome N µ distinto de M . Observe que os triˆangulos NMP e NMQ s˜ao congruentes pelo crit´erio LAL, pois (veja a figura 6.8):

PM QM , j´a que M ´e ponto m´edio de P Q;

s˜ao retˆangulos em M , j´a que µ P Q; e
MN ´e um lado com

Ent˜ao NP NQ, ou seja, N ´e equidistante de P e Q.

≡

rec´ıproca da afirma¸c˜ao anterior). Se X = M ent˜ao X ∈ µ por defini¸c˜ao. Suponhamos que

Seja agora X um ponto equidistante de P e Q. Queremos provar que X ∈ µ (esta ´e a

X ≠ M . Neste caso os triˆangulos △XMP e △XMQ s˜ao congruentes pelo crit´erio LLL

&XMP ≡ &XMQ,

ou seja, &XMP ´e reto. Logo X ∈ µ (por quˆe?).

Figura 6.8

Defini¸c˜ao 6.8. O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto m´edio ´e chamado de plano mediador do segmento.

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 75

Vejamos mais um lugar geom´etrico interessante

△

Problema 6.8. Sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao colineares. Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de A, B e C ´e a reta perpendicular ao plano determinado por estes pontos passando pelo circuncentro do triˆangulo ABC (veja a figura 6.9).

Soluc¸a˜o. Sejam α o plano determinado por A, B e C, e O o circuncentro de △ABC. Seja t

Figura 6.9

△ ≡ △ ≡ △

XOA XOB XOC

de A, B e C. De fato, pela defini¸c˜ao de circuncentro sabemos que OA = OB = OC. Al´em

a reta passando por O e perpendicular a α. Vamos provar que se X ∈ t, ent˜ao X ´e equidistante disso, como t ⊥ α, temos que os ˆangulos &XOA, &XOB e &XOC s˜ao retos. Logo

= =

pelo crit´erio LAL, j´a que OX ´e um lado comum aos trˆes triˆangulos listados. Assim con- clu´ımos que

XA XB XC

como quer´ıamos. Em particular observe que se µ ´e o plano mediador de AC e ν ´e o plano mediador de AB, ent˜ao

(por quˆe?).

t = µ ∩ ν. (∗)

∈ ∩ ∈

Para verificar a rec´ıproca tome X um ponto qualquer equidistante de A, B e C. Ent˜ao X pertence ao plano µ mediador de AC e ao plano ν mediador de AB por defini¸c˜ao, logo X µ ν. Mas ent˜ao, por (*) acima, X t, como quer´ıamos verificar.

Problema 6.9. Justifique todos os “por quˆes” da solu¸c˜ao acima.

76 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Poliedros

Na aula anterior estudamos um pouco sobre diedros, objeto an´alogo aos ˆangulos planos. Nesta sec¸˜ao introduziremos os “primos” dos pol´ıgonos, os poliedros¹. Vocˆes j´a conhecem v´arios deles: cubos, paralelogramos, prismas e pirˆamides s˜ao os mais conhecidos e estudados. Vamos estudar algumas propriedades destes e tamb´em conhecer alguns outros. Nesta sec¸˜ao apresentaremos apenas as defini¸c˜oes destes objetos, que tamb´em chamamos de corpos s´olidos ou simplesmente s´olidos.

Figura 6.10

O primeiro objeto deste tipo do qual falaremos ´e o triedro, que tem trˆes faces: tome trˆes

formada pelas regi˜oes angulares dos ˆangulos &( r , s ), &( r , t ) e—→&(—→s , t—→). Nas nota¸c˜oes

&( ) &( ) &( )

planos passando por um ponto, como represe—n→ta—d→o na fi—→gu—r→a 6.10, —→e c—→onsidere a figura

da figura 6.10 dizemos que A ´e o v´ertice do triedro, —→as s—→emirret—as→—→r , s e —→t s—u→as arestas, e

as regi˜oes angulares correspondentes aos ˆangulos r , s , r , t e s , t suas faces.

O triedro ´e um poliedro aberto, como se fosse uma esp´ecie de copo infinito, e n˜ao lhe cabe bem a designa¸c˜ao de s´olido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito.

Figura 6.11

△ △ △ △

Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida: uma pirˆamide, no caso de base triangular, como representado na figura 6.11. Esta pirˆamide tamb´em recebe o nome de tetraedro, pois tem quatro (tetra, em grego, significa quatro) faces, que s˜ao as regi˜oes planas triangulares delimitadas pelos triˆangulos ABC, ABD, BCD e ADC. Seguindo as nota¸c˜oes da figura, chamamos os pontos A, B, C e D de v´ertices da pirˆamide, e os segmentos AB, AC, AD, BC, BD e CD de arestas.

Em geral, um poliedro ´e a regi˜ao do espa¸co delimitada pela interse¸c˜ao de um nu´mero finito de regi˜oes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que n˜ao veremos aqui, pois

¹A palavra vem do grego: poli- = muitos, v´arios; e -edro que significa, como j´a vimos, faces.

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 77

o que nos interessa neste curso s˜ao exemplos particulares de poliedros. O leitor interessado pode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia.

Passemos agora a uma descric¸˜ao mais formal de alguns poliedros.

Prismas

Figura 6.12

Um prisma ´e o poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13):

Tome dois planos α e β paralelos entre si;

em um dos planos, por exemplo α, tome uma regi˜ao poligonal ;

∈ R ′

tome uma reta l secante aos planos que n˜ao passe pelos pontos de ;

para cada ponto P tome a reta l_P que passa pelo ponto e ´e paralela a l; cada reta

l_P encontra β em um ponto P .

Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos PP ′ ´e chamada de prisma.

Figura 6.13

78 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

R R

Observe que o conjunto dos pontos P ^′ em β comp˜oem uma regi˜ao poligonal R′ congruente²

a R. ′

R R

Os v´ertices de um prisma s˜ao os v´ertices das regi˜oes poligonais e . As suas arestas s˜ao:

R R

os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos v´ertices de e ^′; e
os lados das regi˜oes e ^′.

R ′R

As suas faces s˜ao as regi˜oes poligonais determinadas pelos seus v´ertices consecutivos. Ge- ralmente as faces e s˜ao chamadas de bases do prisma, e as outras de faces laterais. As bases s˜ao categorizadas muitas vezes como base inferior, ou simplesmente base, e base

superior, designa¸c′˜ao que depende do nosso ponto de vista. No nosso exemplo ´e a base, ou

base inferior, e R a base superior do prisma. As arestas das faces que n˜ao s˜ao comuns com

as bases s˜ao chamadas de arestas laterais. A reta l ´e comumente denominada reta-diretriz

do prisma.

Problema 6.10. Liste os v´ertices, as arestas, as arestas laterais e as faces do prisma ilustrado na figura 6.13.

Figura 6.14

Se a reta-diretriz l for perpendicular a α, dizemos que o prisma ´e reto (figura 6.14).

Os prismas (e os poliedros em geral) possuem v´arios tipos de estruturas similares a ˆangulos. Os principais j´a conhecemos:

ˆangulos planos, que s˜ao os ˆangulos de suas faces;
ˆangulos diedros, que s˜ao os diedros determinados por cada par de faces com uma aresta em

Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 6.13′ temos os ˆangulos &ABC, &BCD, etc,′

H´a eventualmente outras estruturas, como triedros, mas n˜ao nos preocuparemos com isto agora.

′

′ ′ ′

que pertencem `a sua base inferior; os ˆangulos &B BA, &CC D′ , etc, ′que pertencem a faces

laterais. Temos tamb´em os diedros determinados pela face A ABB

e pela base R, pelas

faces B BCC

e C CDD

(que compartilham a aresta CC′, etc.

²Dizemos que duas regi˜oes poligonais s˜ao congruentes se os pol´ıgonos que as determinam s˜ao congruentes; e dois pol´ıgonos s˜ao congruentes se os seus lados e respectivos ˆangulos s˜ao congruentes entre si.

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 79

Problema 6.11. Liste todos os ˆangulos e diedros do prisma ilustrado na figura 6.13.

Problema 6.12. Mostre que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma reto s˜ao retos.

Paralelep´ıpedos e cubos

Figura 6.15

Um importante exemplo particular de prismas s˜ao os paralelep´ıpedos, os poliedros an´alogos aos paralelogramos. Um prisma ´e um paralelep´ıpedo se sua base ´e um paralelogramo. Neste caso ´e f´acil de verificar que todas as faces tamb´em s˜ao paralelogramos. Um paralelogramo

´e chamado de reto quando as mesmas condi¸c˜oes de um prisma reto forem satisfeita, isto ´e, quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base.

Uma situa¸c˜ao mais particular ainda surge quando a base de um paralelep´ıpedo ´e um retˆangulo e ele ´e um prisma reto. Nestas condic¸˜oes o chamamos de paralelep´ıpedo retˆangulo.

Na figura 6.15a representamos um paralelep´ıpedo gen´erico, enquanto que na figura 6.15b representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo.

Figura 6.16

Finalmente, se as faces e as bases de um paralelep´ıpedo forem quadrados, ele recebe o nome de cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo.

Problema 6.13. Mostre que todas as arestas de um cubo s˜ao congruentes. Mostre ainda que todos os ˆangulos e diedros de um cubo s˜ao retos.

Pirˆamides

R R

Uma pirˆamide ´e um poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17):

⊂ R

Tome uma regi˜ao poligonal plana e um ponto V qualquer fora do plano de ;

por cada ponto Q trace o segmento QV . Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos QV

´e chamada de pirˆamide.

80 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 6.17

com o v´ertice comum V s˜ao as faces laterais da pirˆamide. Os v´ertices de R s˜ao tamb´em

O ponto V ´e chamado de v´ertice ou cume da pirˆamide, e a regi˜ao de sua base. Os triˆangulos

chamados de v´ertices da pirˆamide, e para n˜ao confundir com o v´ertice V , costumamos cham´a- los de v´ertices da base. As definic¸˜oes de arestas laterais e arestas da base s˜ao an´alogas, e deixamos ao leitor o trabalho de escrevˆe-las.

E´ comum denominarmos as pirˆamides em func¸˜ao do pol´ıgono que constitui sua base. Por exemplo, na figura 6.17 a base ´e um pol´ıgono de cinco lados, e esta pirˆamide recebe o nome de pirˆamide pentagonal. Se a base da pirˆamide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular; se tem seis lados, de hexagonal, etc. No caso especial em que a base ´e um triˆangulo a pirˆamide pode receber o nome de triangular, mas tamb´em ´e chamada de tetraedro, como j´a citamos mais acima (veja a figura 6.11).

Figura 6.18

Outros poliedros

Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18.

Uma classe importante s˜ao os poliedros regulares, isto ´e, tais que todas as faces s˜ao pol´ıgonos regulares congruentes entre si, e todos os diedros tamb´em s˜ao congruentes entre si. Podemos provar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, o icosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros s˜ao tamb´em conhecidos como s´olidos de Plat˜ao, o fil´osofo grego do s´eculo IV antes de Cristo, e tˆem uma grande importˆancia n˜ao s´o para a hist´oria da matem´atica, como para a hist´oria da filosofia e da compreens˜ao do Cosmos. Vamos agora apresentar estes nobres senhores.

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 81

Figura 6.19

O cubo todos j´a conhecem. Suas faces s˜ao quadrados congruentes entre si e todos os seus diedros s˜ao retos. Tamb´em j´a falamos de tetraedros, que s˜ao pirˆamides triangulares. O tetraedro regular ´e uma pirˆamide cujas faces s˜ao todas triˆangulos equil´ateros congruentes entre si (veja a figura 6.19a).

O octaedro possui oito faces, como o nome diz. Suas faces s˜ao tamb´em triaˆngulos equil´ateros, e ele ´e “montado” com duas pirˆamides quadrangulares cujas bases s˜ao um quadrado, como mostramos na figura 6.19b.

Figura 6.20

O icosaedro ´e formado por vinte faces (icosa = vinte em grego) que, mais uma vez, s˜ao triˆangulos equil´ateros, como mostramos na figura 6.20a.

O dodecaedro ´e formado por doze faces (dodeca = doze, em grego). Suas faces s˜ao pent´agonos regulares – veja a figura 6.20b.

Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa u´ltima aula.

82 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Exerc´ıcios

∈ ∈

Sejam α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, com A α e B β. Seja M o ponto m´edio de AB. Mostre que o plano µ que passa por M e ´e perpendicular a AB ´e o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de α e β.

Descreva o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes a duas retas paralelas.

Figura 6.21: – Exerc´ıcio 6.3

A ´area total da superf´ıcie de um prisma ´e a soma das ´areas de todas as suas faces (incluindo as bases), e a ´area lateral de um prisma ´e a soma das ´areas de suas faces laterais.

Calcule a ´area lateral e a ´area total da superf´ıcie de um cubo cuja aresta mede

Na figura 21 representamos um prisma reto cujas bases s˜ao trap´ezios (ele esta´ visu- almente “deitado”). Os comprimentos das arestas paralelas da base s˜ao 4 e 9, e os comprimentos das arestas da base n˜ao paralelas s˜ao 5 e 6. Al´em disso BF 12. Calcule a ´area lateral e a ´area total da superf´ıcie deste prisma.

□ ′ ′

Seguindo a nota¸c˜ao da figura 13, mostre que A ADD ´e um paralelogramo. Tente generalizar este resultado para todos os tipos de prismas.

Assim como observamos nos prismas, as piraˆmides tamb´em possuem aˆngulos das faces e diedro Liste todos os ˆangulos planos e diedros da pirˆamide ilustrada na figura 6.17.

Uma pirˆamide cuja base ´e um pol´ıgono regular e cujo v´ertice equidista de cada um dos v´ertices da base ´e chamada de piraˆmide regular. Mostre que as faces laterais de uma pirˆamide regular s˜ao triˆangulos is´osceles congruentes entre si.

A ´area lateral de uma pirˆamide ´e a somas das ´areas de suas faces laterais, e a ´area total da superf´ıcie de uma piraˆmide ´e a soma de sua ´area lateral com a ´area da bas Calcule as ´areas total e lateral nos seguintes casos:

de um tetraedro regular cuja aresta mede
de uma pirˆamide quadrangular regular cuja base ´e um quadrado de lado 2 e cuja aresta lateral mede

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos 83

Volumes de poliedros

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 84 28/01/2013 11:09:48

AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS

Introdu¸c˜ao

Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns s´olidos. O procedimento ´e an´alogo ao que foi feito para apresentar o conceito de a´rea de figuras planas em [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espa¸co. Este “tanto” ´e o que chamaremos de volume¹.

Figura 7.1

× × =

Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelep´ıpedo cujas arestas medem 8, 4 e 4. Cortamos ent˜ao o paralelep´ıpedo com v´arios planos paralelos, formando pequenos cubos de aresta 1. Ent˜ao o paralelep´ıpedo ´e formado de 8 4 4 128 destes cubos. Assim poder´ıamos dizer que o “tanto” (= volume) que o paralelep´ıpedo ocupa no espa¸co ´e equivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 ´e 1, ent˜ao o volume do paralelep´ıpedo seria 128.

arestas medissem 3/4, 5/7 e 2/3, ent˜ao podemos dividi-lo em 3 × 5 × 2 = 30 cubos de aresta

No exemplo acima apresentamos um paralelep´ıpedo cujas arestas tˆem comprimentos inteiros. E se n˜ao for assim? Bem, se as arestas possu´ıssem comprimentos racionais, ainda seria poss´ıvel dividir o paralelep´ıpedo em cubos iguais com lados racionais. Por exemplo, se as

volume de 30 cubos de aresta 1/84, ou que o seu volume ´e 30/84 = 5/21. Se as arestas do

1 84 (verifique!); e ent˜ao poder´ıamos dizer que o volume do paralelep´ıpedo corresponde ao

paralelep´ıpedo n˜ao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproxima¸c˜oes racionais destas medidas e, atrav´es de um processo de limite, mostrar que ´e razo´avel afirmar que o volume de um paralelep´ıpedo ´e dado pelo produto das medidas de suas arestas.

Figura 7.2

de paralelep´ıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atrav´es de um processo de limite, aumentando o nu´mero de paralelep´ıpedos, calcular o volume da figura². No entanto n˜ao utilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princ´ıpio de Cavalieri, que introduziremos mais adiante.

Para finalizar esta introduc¸˜ao chamamos a aten¸c˜ao para o seguinte: poder´ıamos apresentar o conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de ´area de figuras planas, utilizando uma s´erie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalhar de forma mais intuitiva pois, caso contr´ario, o assunto atinge complicac¸˜oes que est˜ao al´em de um texto introdut´orio como este.

Volume de regi˜oes poliedrais

Como j´a dissemos na introdu¸c˜ao, n˜ao daremos neste texto um tratamento completamente formal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta se¸c˜ao, apresentar de maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri- edades que o volume de regi˜oes poliedrais deve satisfazer com o t´ıtulo de princ´ıpios, e n˜ao de axiomas, como seria usual.

Figura 7.3

A primeira pergunta que surge ´e: o que ´e, de fato, uma regi˜ao poliedral? Podemos definir este conceito de maneira inteiramente an´aloga `a defini¸c˜ao usual de regi˜ao poligonal³: uma regi˜ao poliedral ´e uma uni˜ao finita de tetraedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum, onde os

²O leitor atento pode perceber que este procedimento nada mais ´e do que uma forma de calculo integral.

³Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como s˜ao definidas regi˜oes poligonais

86 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

pontos interiores de um tetraedro s˜ao os pontos do espa¸co que pertencem simultaneamente a todas as seis regi˜oes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frente utilizaremos o termo poliedro no sentido de regi˜ao poliedral.

Todas as figuras espaciais apresentadas na se¸c˜ao 6.5 da aula anterior, `a exce¸c˜ao dos triedros, podem ser seccionadas em um nu´mero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos uma divis˜ao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divis˜ao de um octaedro em quatro tetraedros.

Figura 7.4

Nosso primeiro princ´ıpio ´e o da existˆencia:

u´nico nu´mero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R.

Princ´ıpio da Existˆencia do Volume. A cada regi˜ao poliedral R est´a associado um

Se um poliedro ´e seccionado em v´arios poliedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum⁴,

´e natural assumir que o volume do poliedro ´e igual `a soma dos volumes dos poliedros em que foi seccionado.

Precisamos agora dar uma “referˆencia” para o c´alculo de volumes. No caso de ´areas a

referˆencia utilizada em geral ´e a a´rea de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). No espa¸co o natural ´e utilizar paralelep´ıpedos retangulares, como foi discutido na introdu¸c˜ao.

Princ´ıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelep´ıpedo retangular ´e o produto dos comprimentos de suas trˆes arestas n˜ao paralelas que se encontram em um mesmo v´ertice.

princ´ıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h.

Na figura 7.5 representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo cujo volume ´e V = a.b.h, pelo

⁴N˜ao definimos formalmente o que s˜ao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que s˜ao pontos interiores de tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro ´e um ponto interior de um dos tetraedros que o comp˜oe.

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 87

Figura 7.5

Problema 7.1. Mostre que o volume de um cubo de aresta l ´e V l³.

Precisamos agora de um princ´ıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer, sabendo como calcular volumes de paralelep´ıpedos retˆangulos, seguindo a ideia que apre- sentamos na figura 7.2. Para entender o princ´ıpio que enunciaremos mais abaixo, imagine uma pilha de moedas como representada na figura 7.6 `a esquerda. Se “entortarmos” a pilha, como representado na mesma figura `a direita, o volume do conjunto n˜ao se modifica, pois este depende s´o das moedas, e n˜ao da forma da pilha.

Figura 7.6

Agora imagine que cada moeda v´a sendo afinada, de forma que sua espessura diminua, e que se v´a colocando mais moedas, para que a forma das pilhas n˜ao se modifique. Este procedimento mant´em o volume das pilhas. No limite, teremos como que se¸c˜oes planas nas duas pilhas com mesma a´rea, cuja “soma” d´a o volume das pilhas. Esta ideia (que nada mais ´e do que uma forma de se pensar em integrac¸˜ao mu´ltipla) para se calcular volumes de s´olidos ocorreu a um matem´atico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) e deu origem ao princ´ıpio que enunciamos a seguir.

B B′ T

Vejamos um exemplo para o Princ´ıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois para-

lelep′ ´ıpedos cujas bases s˜ao dois retˆangulos e congruentes, e cujas bases superiores

e T s˜ao coplanares. Cada plano paralelo ao plano α (plano das bases dos paralelep´ıpedos)

S ′S

que intercepta os paralelep´ıpedos neles determina duas se¸c˜oes; na figura representamos as

se¸c˜oes e . N˜ao ´e dif´ıcil de ver que estas se¸c˜oes s˜ao retˆangulos congruentes `as bases dos respectivos paralelep´ıpedos e, portanto congruentes entre si. Em particular, temos que

ffi(B) = ffi(B′) = ffi(S) = ffi(S′) = ffi(T ) = ffi(T ′),

88 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 7.7

(⋅)

onde ffi ´e a ´area de cada um dos pol´ıgonos. Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, temos que os dois paralelep´ıpedos tˆem o mesmo volume. Na se¸c˜ao seguinte voltaremos a este exemplo, formalizando-o de maneira mais clara.

Volume de prismas

Figura 7.8

Nesta sec¸˜ao iremos calcular o volume de prismas utilizando os princ´ıpios apresentados na se¸c˜ao anterior, mas antes precisamos estabelecer algumas propriedades destas figuras. Come¸camos com algumas definic¸˜oes.

Defini¸c˜ao 7.1. A altura de um prisma ´e a distˆancia entre os planos de suas bases inferior e superior.

Na figura 7.8 indicamos por h PP ^′ a altura do prisma ilustrado.

Problema 7.2. Mostre que a distˆancia de qualquer dos v´ertices de uma das bases de um prisma ao plano da outra base ´e igual `a sua altura.

Se cortarmos o prisma por um plano paralelo aos planos das bases, obtemos um pol´ıgono, como mostramos na figura 7.9. Este pol´ıgono recebe um nome especial.

Defini¸c˜ao 7.2. Uma se¸c˜ao transversal de um prisma ´e a interse¸c˜ao do prisma com um plano paralelo aos planos das bases.

R R′ S

Examinando a figura 7.9 nos fica parecendo que os pol´ıgonos , e s˜ao “iguais” (ou, em termos mais t´ecnicos, congruentes). De fato, isto ´e verdade, mas mostraremos apenas que tˆem a mesma ´area, que ´e o fato que nos interessa no momento.

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 89

Figura 7.9

Figura 7.10

Teorema 7.3. Todas as se¸c˜oes transversais de um prisma triangular s˜ao congruentes com a base.

△

Como □ ACPM ´e um paralelogramo, j´a que AC ∥ MP (pois γ ∥ α) e AM ∥ CP (pois

Demonstrac¸a˜o. Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base ´e o triˆangulo ABC no plano α. Seja γ um plano paralelo a α cuja interse¸c˜ao com o prisma seja n˜ao vazia. Ent˜ao γ corta as arestas laterais do prisma nos pontos M , N e P , como ilustrado.

≡ △

as arestas laterais s˜ao paralelas entre si), ent˜ao AC ≡ MP . Analogamente AB ≡ MN e

BC NP . Logo

ABC

≡ △MNP

pelo crit´erio LLL.

Corol´ario 7.4. Todas as se¸c˜oes transversais de um prisma tˆem a mesma ´area.

Demonstrac¸a˜o. N˜ao escreveremos todos os detalhes da demonstra¸c˜ao, mas daremos a ideia. Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada se¸c˜ao trans- versal em regi˜oes triangulares ligando os v´ertices correspondentes. Dividimos assim o prisma em subprismas triangulares. Para cada um destes prismas as sec¸˜oes triangulares correspon- dentes s˜ao delimitadas por triˆangulos congruentes entre si, e portanto tˆem a mesma ´area. A ´area de cada se¸c˜ao transversal ´e a soma das ´areas das regi˜oes triangulares em que ela foi dividida, assim como a ´area da base. Logo todas as se¸c˜oes transversais de um prisma tˆem a mesma ´area que a base do mesmo.

Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer.

90 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 7.11

Figura 7.12

Demonstrac¸a˜o. Acompanhe os argumentos a seguir na figura 7.12. Tome um prisma T

Teorema 7.5. O volume de um prisma qualquer ´e o produto da ´area de sua base pela sua altura.

tal que

R R

(a) sua base seja um retˆangulo ^′ no mesmo plano que , e tal que

Tqu′alquer de altura h e cuja base seja um pol´ıgono R. Construa um paralelep´ıpedo retˆangulo

(R) = (R )

ffi ffi ^′ ;

sua altura seja a mesma que a do prisma;
estejam do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano de suas b

(S) = (S )

Cada plano paralelo ao plano de suas bases que corta o prisma corta o paralelep´ıpedo. As se¸c˜oes que este plano determina no prisma e no paralelep´ıpedo tˆem a mesma ´area que as respectivas bases, como vimos no corol´ario 7.4. Como as ´areas das bases s˜ao iguais, as ´areas das se¸c˜oes tamb´em o s˜ao. Por exemplo, na figura 7.12,

(T ′) = (R′)

ffi ffi ^′ .

Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri o volume dos dois s´olidos s˜ao iguais. Mas V ffi .h

pelo Princ´ıpio da Unidade para Volumes, donde

V(T ) = ffi(R).h.

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 91

Volume de pirˆamides

O c´alculo de volumes de pirˆamides ´e um pouco mais complicado que o c´alculo para prismas. Assim dividiremos esta se¸c˜ao em duas subse¸c˜oes, apresentando na primeira uma lista de propriedades de pirˆamides an´alogas a`s que foram apresentadas para prismas, e na segunda o c´alculo do volume de uma pirˆamide.

Propriedades b´asicas de pirˆamides

Come¸camos com algumas definic¸˜oes.

Figura 7.13

Defini¸c˜ao 7.6. A altura de uma pirˆamide ´e a distˆancia de seu v´ertice (ou cume) ao plano de sua base.

Na figura 7.13 o comprimento h do segmento VJ ⊥ α ´e a altura da pirˆamide representada.

Figura 7.14

S S

Defini¸c˜ao 7.7. Uma se¸c˜ao transversal de uma pirˆamide ´e a interse¸c˜ao da piraˆmide com um plano paralelo ao plano de sua base.

uma “c´opia” da base R, s´o que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesma

Na figura 7.14 o plano β corta a pirˆamide ilustrada na sec¸˜ao transversal . Observe que ´e

proporc¸˜ao. Esta propriedade ´e o que verificaremos a seguir de maneira formal. Estudaremos primeiro o caso em que as pirˆamides s˜ao triangulares, e reduziremos em seguida o caso geral a este.

92 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Teorema 7.8. Toda se¸c˜ao transversal de uma pirˆamide triangular ´e uma regi˜ao triangular semelhante `a sua base, e a raz˜ao de semelhan¸ca entre seus lados ´e

ρ d , h

onde d ´e a distˆancia do v´ertice da pirˆamide ao plano da se¸c˜ao, e h ´e a altura da pirˆamide.

Figura 7.15

Demonstrac¸a˜o. Sejam T ′ ′ ′a pirˆamide triangular de base △ABC e v´ertice V , e △A B C

uma se¸c˜ao transversal de T , como representado na figura 7.15. Assumimos ainda que,

VP ⊥ α;

P ^′ ´e o ponto do plano β da s′ec¸˜ao △A^′B^′C^′ em que VP o encontra. Como α ∥ β temos

VP = h ´e a altura de T , onde P ´e o ponto do plano α determinado por △ABC tal que

que VP ′ ⊥ β, donde d = VP ´e a distˆancia de V a β.

Com estas nota¸c˜oes o que queremos mostrar ´e que △A^′B^′C^′ ∼ △ABC, com

≠ =

A′B′ = A′C′ = B′C′ = d = ρ. (7.1)

Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que VP V A. Se, caso contr´ario, VP V A,

ent˜ao a demonstra¸c˜ao segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir.

O primeiro passo ´e mostrar que

De fato, como

&A^′VP ^′ = &AV P e

△V A^′P ^′ ∼ △V AP. (7.2)

&VP ^′A^′ ≡ &V PA (pois s˜ao ambos retos),

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 93

ent˜ao (7.2) ´e verdadeira pelo crit´erio AA de semelhan¸ca de triˆangulos. Em particular

VA VP h

V A′ = VP ′ = d = ρ. (7.3)

Em seguida verificamos que

temos que

△V A^′B^′ ∼ △V AB, △V B^′C^′ ∼ △V BC e △ V A^′C^′ ∼ △V AC. (7.4) As trˆes rela¸c˜oes seguem do fato que A′B′ ∥ AB, A′C′ ∥ AC e B′C′ ∥ BC (verifique!). Logo

V A^′ = V B^′ = A^′B^′

(7.5)

V B^′ = V C^′ = B^′C^′

(7.6)

V C^′ = V A^′ = C^′A^′

(7.7)

VC VA CA

Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos

d = V A^′ = V B^′ = V C^′

(verifique!). Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da rela¸c˜ao acima conclu´ımos que

A^′B^′ = A^′C^′ = B^′C^′ = d = ρ.

△ ∼ △

Em particular, pelo crit´erio LLL de semelhan¸ca de triˆangulos, temos que

= /

A^′B^′C^′ ABC,

com raz˜ao de semelhan¸ca ρ d h, como quer´ıamos provar.

Uma consequˆencia direta deste teorema ´e o corol´ario seguinte, que relaciona as ´areas da base de uma pirˆamide triangular com a ´area de uma se¸c˜ao transversal.

Corol´ario 7.9. Seguindo as nota¸c˜oes do teorema 7.8, temos que

′ ′ ′ d

ffi(△A B C ) = h2 ffi(△ABC).

Figura 7.16

94 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

△ ′ ′ ′ ∼ △

Demonstrac¸a˜o. Este resultado ´e na verdade um resultado de geometria plana j´a conhe- cido. Se A B C ABC de tal forma que valem as propor¸c˜oes (7.1), ent˜ao ´e f´acil de ver que suas alturas seguem a mesma propor¸c˜ao. Em outras palavras, usando as nota¸c˜oes da figura 7.16, temos que

A^′H^′ = d .

ffi(△A^′B^′C^′) = 1 (A^′B^′).(A^′H^′) = 1 ( d AB) . ( d AH) =

como quer´ıamos.

= h2 ( 2 (AB)(AH)) =

= h2 ffi(△ABC),

Problema 7.3. Mostre o resultado de geometria plana utilizado no corola´rio acima: a raz˜ao entre as alturas de dois triˆangulos semelhantes ´e a mesma raz˜ao entre os seus lados.

O corol´ario 7.9 vale em geral, e n˜ao s´o para pirˆamides triangulares. O teorema seguinte deixar´a esta afirma¸c˜ao mais clara.

Teorema 7.10. Em toda pirˆamide a raza˜o da ´area de uma se¸c˜ao transversal pela a´rea de sua base ´e d² h², onde h ´e a altura da pirˆamide e d ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano da se¸c˜ao transversal.

Figura 7.17

lares T , T , .. ., T e aplicar o corol´ario 7.9 para cada uma das pirˆamides formadas. Como₁ ₂ _n

Demonstrac¸a˜o. Para provar isto basta decompor a base da pirˆamide em regi˜oes triangu- ilustra¸c˜ao, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n = 2. Neste exemplo temos que

′ d2 ′ d2

ffi(T₁ ) = h2 ffi(T₁) e ffi(T₂ ) = h2 ffi(T₂)

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 95

donde

B′ = ffi(T ′) +

ffi

(T ′) = d2 (

(T ) +

(T )) =

= h2 B,

B ′B

onde indicamos por e as ´areas da base de da se¸c˜ao transversal da pirˆamide, respecti- vamente. A u´nica diferenc¸a desta conta para o caso geral ´e que aparecem n parcelas nas somas envolvidas.

Problema 7.4. Ilustre o caso n 3 para o teorema acima.

Uma consequˆencia importante do teorema 7.10, que nos permitir´a aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular volumes de pirˆamides, ´e o teorema a seguir.

Teorema 7.11. Se duas piraˆmides tˆem a mesma altura e a ´area de suas bases tamb´em ´e a mesma, ent˜ao as se¸c˜oes determinadas por um mesmo plano tˆem as mesmas ´areas.

Figura 7.18

Demonstrac¸a˜o. Na figura 7.18 representamos duas pirˆamides nas condi¸c˜oes enunciadas no teorema. Seguindo as nota¸c˜oes da figura, pelo teorema anterior temos que

d ′ d2 ′

ffi(S) = h2 ffi(R) e ffi(S ) = h2 ffi(R ).

Como ffi(R) = ffi(R′), ent˜ao deduzimos que

ffi(S) = ffi(S′)

como desejado.

Corol´ario 7.12. Se duas pirˆamides tˆem a mesma altura e se suas bases s˜ao coplanares e tˆem a mesma ´area, ent˜ao o volume das duas pirˆamides ´e o mesmo

Demonstrac¸a˜o. Observe que mostramos no teorema anterior que todas as se¸c˜oes trans- versais de duas pirˆamides nestas condic¸˜oes tˆem a mesma ´area. Assim, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambas possuem o mesmo volume.

96 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

C´alculo do volume de uma pirˆamide

Na subse¸c˜ao anterior apresentamos todo o material necess´ario para se calcular o volume de uma pirˆamide. Agora, vamos ao c´alculo efetivo.

Teorema 7.13. O volume de uma pirˆamide qualquer ´e um ter¸co do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Ou, dito de outra forma, se ´e a base da pirˆamide, e h sua altura ent˜ao seu volume ´e

V = 1 ffi(B).h.

Figura 7.19

Demonstrac¸a˜o. Observamos primeiro que basta fazer o caso em que a pirˆamide ´e tri- angular (um tetraedro). De fato, dada uma pirˆamide qualquer, construa uma outra de mesma altura e cuja base seja um triˆangulo de mesma ´area da pirˆamide dada. Assim, pelo corol´ario 7.12 estas duas pirˆamides possuem o mesmo volume.

Uma outra simplifica¸c˜ao ´e a seguinte: podemos assumir que uma das arestas laterais da pirˆamide ´e perpendicular ao plano da base pois, repetimos, o volume de uma pirˆamide depende apenas da ´area de sua base e de sua altura.

Resumindo: assumimos que a pirˆamide ´e triangular com uma de suas arestas laterais perpen- dicular ao plano da base, sem perda de generalidade. Agora constru´ımos sobre esta pirˆamide um prisma triangular reto, como apresentado na figura 7.19 (na figura 7.19a representamos a pirˆamide original, e na figura 7.19b o prisma).

Em seguida desmembramos o prisma em trˆes pirˆamides, como mostramos nas figuras 7.19b e 7.20. As trˆes pirˆamides s˜ao⁵ ADEV , ABEV e ABCV (que ´e a pirˆamide original). Mos- traremos agora que estas trˆes pirˆamides possuem o mesmo volume.

Consideremos △ADE e △AEB como bases, respectivamente, destas duas pirˆamides.

As pirˆamides ADEV e ABEV possuem o mesmo volume:

Com esta escolha a distˆancia h de V ao plano determinado pelos triˆangulos △ADE e

⁵Utilizamos os v´ertices para indicar as pirˆamides, escritos em ordem qualquer.

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 97

Figura 7.20

( ) = ( )

Para finalizar, observe que △ADE ≡ △AEB (verifique!), donde ffi(△ADE) = ffi(△AEB).

△AEB (preste aten¸c˜ao: os triˆangulos s˜ao coplanares!) ´e a altura das duas pirˆamides. Logo as duas pirˆamides possuem bases de mesma ´area e a mesma altura, e portanto

V ADEV V ABEV .

△ △

As pirˆamides ADEV e ABCV possuem o mesmo volume:

△estes triˆangulos s˜ao as bases do prisma reto que constru´ımos, ´e claro que △DEV ≡

Consideremos DEV e ABC como bases, respectivamente, das duas pirˆamides. Como

ABC. Al´em disso a altura destas duas pirˆamides relativa `as bases escolhidas ´e exa- tamente a distˆancia entre os planos das bases, donde ´e a mesma altura. Assim s˜ao pirˆamides com mesma ´area da base e mesma altura, donde

V(ADEV ) = V(ABCV ).

Conclu´ımos ent˜ao que

V(ADEV ) = V(ABEV ) = V(ABCV ).

( ) = (B)

Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que constru´ımos ´e

B = △ =

V ABCV DE ffi .h,

onde ABC ´e a base do prisma; e h VC ´e a altura do prisma relativa a esta base. Mas temos ainda que

donde

V(ABCV DE)

( ) + ( ) + ( ) =

V ADEV V ABEV V ABCV

= 3.V(ABCV ),

V = V(ABCD) = 1 ffi(B).h

98 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Aplica¸c˜oes

Nesta sec¸˜ao vamos calcular volumes de alguns s´olidos, a t´ıtulo de exemplo.

Problema 7.5. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21).

Figura 7.21: – Problema 7.5

△

Soluc¸a˜o. Lembramos que um tetraedro regular ´e uma pirˆamide triangular cujas faces (e base) s˜ao triˆangulos equil´ateros congruentes. Para calcular o seu volume precisamos encontrar a ´area de sua base e a sua altura. Na figura 7.21 a base do tetraedro ´e o triˆangulo equil´atero ABC, cujos lados medem todos l. Assim sua altura ´e

AM = l√3 . (7.8)

√

Logo sua ´area ´e

ffi = 1 l.(AM ) =

l 3 .

△

Observe agora na figura 7.21 que a altura do tetraedro ilustrado ´e o comprimento h do segmento V O. Como V ´e equidistante dos v´ertices da base ABC do tetraedro, e VO ´e perpendicular ao plano da base, ent˜ao pelo problema 6.8 sabemos que O ´e o circuncentro do triˆangulo ABC (justifique!). Ora, O tamb´em ´e o baricentro do triˆangulo, donde

Para calcular h aplicamos o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo △V OA:

OA = l√3 . (7.9)

h² + (OA)2 = l² ⇒ h = l√6

(7.10)

Ent˜ao o volume V do tetraedro ´e

1 l²√3

l√6

l³√2

V = 3 ffi ⋅ h = 3 ⋅

4 ⋅ 3 = 12 .

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 99

Problema 7.6. Mostre que as igualdades (7.8) e (7.9) est˜ao corretas.

Problema 7.7. Calcule o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22).

Figura 7.22: – Problema 7.7

□

Soluc¸a˜o. Lembramos que um octaedro regular, representado na figura 7.22 ´e um poliedro cujas oito faces s˜ao triˆangulos equil´ateros. O octaedro da figura pode ser seccionado em duas pirˆamides quadrangulares V ABCD e WABCD cuja base comum ´e o quadrado ABCD e cujas alturas s˜ao iguais. Ent˜ao o volume V do octaedro pode ser escrito assim:

V = V(V ABCD) + V(WABCD) = 2 ⋅ V(V ABCD).

´e a ´area do quadrado □ ABCD, ou seja,

Logo basta calcular o volume V^′ = V(V ABCD). Vamos l´a. A ´area ffi da base da pirˆamide

ffi l².

□

a△ltura da pirˆamide ´e h V O. Calculamos h aplicando o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo

Para calcular a altura da pirˆamide observe que se O ´e o centro de ABCD (isto ´e, o encontro de suas diagonais), ent˜ao VO ´e perpendicular ao plano do quadrado, donde a

)

V OA:

√ ₂

√

Ent˜ao

h² + (OA)2 = l² ⇒ h² = l² − (OA)2 = l² − ( l 2

V^′ = 1 ffi ⋅ h = l

₃√

⇒ h = l 2 .

Logo o volume do octaedro ´e

√

V = 2 ⋅ V^′ =

l³ 2

Problema 7.8. Mostre que, nas nota¸c˜oes da figura 7.22,

OA = l√2/2. (Sugest˜ao: observe que AC ´e a diagonal do quadrado □ ABCD)

100 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

circuncentro dos triˆangulos △ABD e △BCD e aplique o problema 6.8.)

VO ´e perpendicular ao plano do quadrado □ ABCD. (Sugest˜ao: Mostre que O ´e o
Mostre que V , O e W s˜ao pontos alinhados.

Figura 7.23: – Tronco de pirˆamide

B B′

Ao se seccionar uma pirˆamide por um plano paralelo `a sua base separamos a pirˆamide em dois poliedros: um que cont´em o v´ertice da pirˆamide, que ´e uma nova pirˆamide; e outro que cont´em a base da pirˆamide, que denominamos tronco de pirˆamide. Na figura 7.23 represen- tamos uma pirˆamide seccionada por um plano. A parte da figura desenhada em linhas mais

B B

grossas ´e seu tronco. Dizemos ainda que a base da pi′rˆamide e a se¸c˜ao transversal s˜ao

bases do tronco. A distˆancia h entre os planos de B e B ´e a altura do tronco.

Problema 7.9. Calcule o volume de um tronco de pirˆamide de bases e ^′ e altura h.

′

= −

Soluc¸a˜o. Vamos seguir aqui as nota¸c˜oes da figura 7.23. Sejam V_T o volume do tronco da pirˆamide, V_P o volume da pirˆamide maior, e V o volume da pirˆamide menor. Temos ent˜ao que

V_T V_P V^′. (7.11)

Vamos calcular V^′ e V_P . Para isto denotaremos

B = ffi(B) e B^′ = ffi(B′).

Com esta nota¸c˜ao obtemos:

V^′ = 1 B^′ ⋅ h^′ e V = 1 B ⋅ (h + h^′).

= ( ′) ⋅

Para eliminarmos h^′ das express˜oes acima aplicamos o teorema 7.10:

′

h 2

B (h + h′)2 B. (7.12)

Ap´os algumas manipulac¸˜oes alg´ebricas obtemos:

B −

′

h^′ = √ h√B√′

(7.13)

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos

101

Ent˜ao, de (7.11),

3 √ ′

V = 1 (B ⋅ (h + h^′) − B^′ ⋅ h^′) =

= 1 (B ⋅ h + (B − B^′) ⋅ h^′) = 1 (B ⋅ h + (B − B^′) ⋅ √ h B√

_′ ) =

√ √ √

B − B

= 1 (B ⋅ h + (B − B^′) ⋅ √ h

B√′

′ ⋅ (√B + √B′)) =

3 √B − √B

(√ B +

B′)

= 1 (B ⋅ h + (B − B^′) ⋅ h

B′(

B +′

B′)) =

= 1 h(B + B^′ +

√BB′).

B − B

Problema 7.10. Mostre:

Como se obt´em (12) aplicando o teorema 7.10.
Como se obt´em (13) a partir de (7.12).

102 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Exerc´ıcios

A altura de uma pirˆamide de base quadrada ´e 10, e o comprimento de um dos lados da base ´e Determine a ´area de uma se¸c˜ao transversal da pirˆamide cuja distˆancia⁶ ao v´ertice ´e 6.

Uma pirˆamide ´e chamada de regular se a sua base ´e um pol´ıgono regular e seu v´ertice

´e equidistante de cada v´ertice da base. Mostre que as faces de qualquer pirˆamide triangular s˜ao triˆangulos is´osceles congruentes entre si.

A altura de um paralelep´ıpedo retangular ´e 7, e os lados de sua base medem 4 e Calcule o volume do paralelep´ıpedo.

Ao se introduzir um peda¸co de metal em um tanque retangular cheio de a´gua, de

dimens˜oes 50 cm de frente por 37 cm de profundidade, o n´ıvel da ´agua subiu 1 cm. Qual ´e o volume do peda¸co de metal?

Figura 7.24: – Exerc´ıcio 7.4

Volte ao exerc´ıcio 3 e calcule o volume do prisma representado na figura 6.21.

Um prisma retangular reto tem uma altura de 18 cm e uma base que mede 6 cm por 8 cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um v´ertice da base superior forma uma pirˆamide com as faces do prism Determine o volume da pirˆamide.

⁶A distˆancia de uma se¸c˜ao transversal de uma pirˆamide a seu v´ertice ´e a distˆancia do plano da sec¸˜ao ao v´ertice.

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos

103

Cilindros, cones

e esferas

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 104 28/01/2013 11:09:55

AULA8: CILINDROS, CONES E ESFERAS

Introdu¸c˜ao

Nesta aula daremos uma breve introdu¸c˜ao ao estudos dos “corpos redondos”: cilindros, cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, mais informais ainda do que at´e agora, pois esperamos que, a esta altura, vocˆes j´a estejam mais familiarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuais lacunas por conta pr´opria.

Cilindros

Figura 8.1

na se¸c˜ao 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “s´olido” e frase “regi˜ao poligonal R”

Um cilindro circular, denominado simplesmente cilindro¹ neste texto, ´e um corpo s´olido an´alogo a um prisma, mas cuja base² ´e uma regi˜ao circular, e n˜ao uma regi˜ao poligonal. A forma de defini-lo construtivamente ´e inteiramente an´aloga `a forma que definimos prismas

por “regi˜ao circularR” na descric¸˜ao apresentada no in´ıcio da se¸c˜ao, e teremos um cilindro.

Problema 8.1. Na figura 8.1 representamos um cilindro cuja base ´e a regi˜ao circular do plano α delimitada pela circunferˆencia , e cuja reta diretriz ´e a reta l secante aos planos α e β. Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro, acompanhando a defini¸c˜ao de prisma dada na se¸c˜ao 6.5.1.

Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro ´e a distˆancia dos planos paralelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado ´e a distˆancia h dos planos α e β.

Figura 8.2

Dizemos que um cilindro ´e reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimi- tam o cilindro, como representado na figura 8.2. Quando isto n˜ao acontece dizemos que o cilindro ´e obl´ıquo, como representado na figura 8.1.

Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro. O “truque” ´e comparar um cilindro com uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri que vimos na aula anterior. A escolha natural ´e usar um prisma (que nada mais ´e que um tipo de cilindro, como j´a observamos) para realizar a compara¸c˜ao. Para isto precisamos do conceito de se¸c˜ao transversal de um cilindro, que ´e an´alogo ao de se¸c˜ao transversal de um prisma:

Figura 8.3

Defini¸c˜ao 8.1. A interse¸c˜ao de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas bases

´e uma se¸c˜ao transversal do mesmo.

Na figura 8.3 a regi˜ao ´e uma sec¸˜ao transversal do cilindro.

Uma propriedade fundamental das sec¸˜oes de um cilindro, que nos permite aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular o seu volume ´e que a ´area de cada uma ´e igual `a ´area da base do cilindro, como foi demonstrado para prismas no corol´ario 7.4:

106 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Teorema 8.2. Dado um cilindro, a ´area de cada uma de suas se¸c˜oes transversais ´e igual `a

´area de sua base.

Para demonstrar este teorema siga os passos do pr´oximo problema.

Problema 8.2. Para provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada se¸c˜ao transversal ´e um c´ırculo com o mesmo raio da base do cilindro. Para fazer isto vamos usar neste problema as nota¸c˜oes da figura 8.3.

←—→

′ ←→ ←—→

Seja r o raio da base do cilindro. Chamemos de γ o plano que corta o cilindro na se¸c˜ao . Sejam I ponto de γ em comum com a superf´ıcie lateral do cilindro, O o centro da base do cilindro, e L o ponto em que a reta OO , paralela `a reta-diretriz do cilindro, corta γ. Seja

tamb´em C o ponto da circunferˆencia da base do cilindro tal que IC ∥ OO^′. Ent˜ao mostre

(b) OC = LI = r.

o quadril´atero □ OCIL ´e um paralelogramo;

Conclua que todos os pontos em que a superf´ıcie do cilindro corta γ est˜ao em uma circun- ferˆencia de raio r contida em γ, donde as ´areas das se¸c˜oes transversais s˜ao todas iguais `a

´area da base do cilindro.

Deste teorema deduzimos o seguinte:

Teorema 8.3. O volume de um cilindro qualquer ´e o produto da ´area de sua base pela sua altura.

Demonstrac¸a˜o. Sejam r o raio da base do cilindro e h sua altura. Ent˜ao a ´area de√sua

base ´e B = πr². Construa um prisma de altura h e base quadrada cujo lado mec¸a l = r π.

Pelo Princ´ıpio de Cavalieri sabemos que o volume deste prisma e o volume do cilindro s˜ao

iguais (por quˆe?), donde o volume do cilindro ´e

V = Bh = πr²h.

Problema 8.3. Justifique por que o cilindro e o prisma constru´ıdo na demonstra¸c˜ao do teorema acima possuem o mesmo volume.

Cones

Assim como cilindros s˜ao an´alogos a prismas, cones s˜ao an´alogos a pirˆamides, e a sua de- fini¸c˜ao ´e inteiramente an´aloga `a de pirˆamide, apresentada na se¸c˜ao 6.5.3, trocando-se a palavra “poliedro” por “s´olido” e a frase “regi˜ao poligonal plana” por “regi˜ao circular”³.

³Assim como observamos quando definimos um cilindro, no caso do cone tamb´em podemos escolher uma regi˜ao qualquer de um plano para construir um cone. Por exemplo, se escolhemos uma regia˜o limitada por uma elipse, teremos o que costumamos chamar de cone el´ıptico. Ent˜ao, com esta vis˜ao mais geral, podemos dizer que uma pirˆamide ´e, em particular, um cone.

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

107

Figura 8.4

Neste texto s´o trataremos de cones circulares, isto ´e, cuja base ´e uma regi˜ao circular, como ilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designar´a este tipo de s´olido.

Problema 8.4. Na figura 8.4 representamos um cone cuja base ´e a regi˜ao circular do plano α delimitada pela circunferˆencia de centro O, e cujo v´ertice ´e o ponto V , externo a α. Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando a defini¸c˜ao de pirˆamide apresentada na se¸c˜ao 6.5.3.

Como definimos para pirˆamides, a altura de um cone ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano de sua base. No cone representado na figura 8.4, a sua altura ´e o comprimento do segmento V J, denotada por h.

Figura 8.5

Dizemos que um cone ´e reto se o segmento que liga seu v´ertice ao centro de sua base for perpendicular ao plano da base, caso contr´ario dizemos que o cone ´e obl´ıquo. Na figura 8.4 representamos um cone obl´ıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto.

Para calcular o volume de um cone aplicaremos a mesma t´ecnica utilizada para calcular o volume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido e para a qual se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri. A escolha natural aqui ´e comparar um cone com uma pirˆamide. Neste caso precisamos de um resultado an´alogo ao teorema 7.10 para pirˆamides, que enunciamos a seguir. Observe que, neste enunciado, usamos o termo “se¸c˜ao transversal de um cone”, cuja definic¸˜ao formal deixamos ao leitor como exerc´ıcio.

Teorema 8.4. Em todo cone a raz˜ao da ´area de uma se¸c˜ao transversal pela ´area de sua base ´e d² h², onde h ´e a altura do cone e d ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano da se¸c˜ao transversal.

108 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 8.6

Seguiremos as nota¸c˜o′es da figura 8.6. Se S ´e uma se¸c˜ao do cone correspondente `a circun-

Demonstrac¸a˜o. Demonstraremos o teorema, por simplicidade, no caso em que o cone ´e reto. A demonstra¸c˜ao do caso geral ser´a deixada como exerc´ıcio.

ferˆencia de centro O

mostrar que

e raio r, e sua base ´e o c´ırculo B de centro O e raio R, queremos

ffi(S) = d²

ffi(B) h2 .

△ ′ ′△

Para ver isto observe os triˆangulos V OD e V O D representados na figura, obtidos

cortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seu v´ertice. Estes triˆangulos s˜ao semelhantes, donde

VO OD h R

V O^′ = O^′D^′ ⇒ d = r .

Logo

r ² ² ²d d

ffi(S) = πr²

= ( ) = ( ) =

como quer´ıamos.

ffi(B)

πR2 R

h h2 ,

Problema 8.5. Escreva uma defini¸c˜ao de se¸c˜ao transversal de um cone.

VO D

s˜ao semelhantes. Verifique isto com detalhes.

△Prob′lem′ a 8.6. Na demonstra¸c˜ao do teorema 8.4 afirmamos que os triˆangulos △V OD e

Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri.

Teorema 8.5. O volume V de um cone de altura h e cujo raio da base ´e r ´e dado por

V 1 πr²h, 3

ou seja, corresponde a um ter¸co do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura.

D√emonstr′ac¸a˜o. Seja T uma piraˆmide de altura h e cuja base seja um quadrado de lado

r π. Se S_d ´e uma se¸c˜ao transversal de T cuja distˆancia ao v´ertice da pirˆamide ´e d ent˜ao,

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

109

pelo teorema 7.10, sabemos que

ffi(S_d′ ) = d²

πr2

h2 .

Analogamente, se _d ´e uma se¸c˜ao do cone que dista de seu v´ertice de d ent˜ao, pelo teorema 8.4 temos que

πr2

h2 .

ffi(S_d) = d²

V 1 2πr h,

Logo ffi(S_d′ ) = ffi(S_d) donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, obtemos V(T ) = V, ou seja,

como quer´ıamos.

Esferas

As esferas s˜ao os objetos espaciais an´alogos aos c´ırculos no plano. Uma definic¸˜ao formal ´e a seguinte:

Figura 8.7

< >

Defini¸c˜ao 8.6. Dado um ponto O e um nu´mero real positivo r, o conjunto de todos os pontos do espa¸co cuja distˆancia a O ´e no m´aximo r ´e chamado de esfera. O ponto O ´e o centro da esfera, e o nu´mero r seu raio.

Dizemos que um ponto P ´e interior `a esfera se OP r, e ´e exterior se OP r.

Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r. No desenho OM = r, donde M ´e

O conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia a O ´e exatamente r ´e chamado de superf´ıcie esf´erica.

um ponto da superf´ıcie da esfera, OK < r, donde K ´e um ponto interior `a esfera, e OL > r,

Nosso objetivo agora ´e calcular o volume de uma esfera, novamente aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri, como fizemos em todas as se¸coes desta aula. Para isto precisamos analisar as se¸c˜oes planas de uma esfera.

110 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Figura 8.8

Sejam O^′ ∈ α o p´e da perpendicular a α por O, e P um ponto da circunfe′rˆencia que o plano

Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano α. Intuitivamente podemos perceber que este corte determina um c´ırculo contido no plano e na esfera, fato que n˜ao demonstraremos com rigor aqui (o leitor interessado poder´a encontrar a demonstra¸c˜ao em algumas das referˆencias indicadas). Vamos calcular a ´area desta se¸c˜ao plana da esfera em func¸a˜o da distˆancia d do plano α ao centro O da esfera e de seu raio R. Na sequˆencia utilizaremos as notac¸˜oes indicadas na figura 8.8.

α determina na′ super′f´ıcie da esfera. Nestas condi¸c˜oes o ′triˆangu′ lo △OO P ´e um triˆangulo

retˆangulo em O , OO = d, OP = R ´e o raio da esfera, e O P = R ´e o raio da circunferˆencia.

Assim, pelo Teorema de Pit´agoras,

(OP )2 = (OO^′)2 + (O^′P )2 ⇒ R² = d² + R^′²,

donde

R^′ =

√R2 − d2.

Logo a ´area da se¸c˜ao plana que est´a a uma distˆancia d do centro da esfera ´e:

ffi_d = π(R² − d²). (8.1)

Para aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um s´olido que:

tenha volume conhecido, e

as sec¸˜oes planas da esfera e do s´olido obtidas pelo corte com um mesmo plano tenham as mesmas ´ar

Um s´olido com estas caracter´ısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9):

tome um cilindro de altura 2R e raio da base R;

tome V o “centro” do cilindro, isto ´e, o ponto m´edio do segmento O₁O₂, onde O₁ e O₂

s˜ao os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente;

retire fora do cilindro dois cones com v´ertices em V , sendo a base de um deles a base inferior do cilindro, e a base do outro a base superior do

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

111

Figura 8.9

△ △

A parte do cilindro que sobra ´e o s´olido que usaremos para calcular o volume de uma esfera de raio R. Observe que se cortarmos o s´olido por um plano perpendicular aos planos das bases e passando pelos centros da mesma obtemos dois triaˆngulos, representados na figura 8.9 como sendo os triˆangulos MV N e PV Q. E se cortarmos o s´olido com um plano paralelo

`as bases do cilindro obtemos uma sec¸˜ao que ´e um anel circular. Na figura representamos a se¸c˜ao obtida com o corte por um plano cuja distˆancia a V ´e d.

= ( ) − ( ) = − = ( − )

pois V O = R = O M . Os pontos O e C s˜ao os pontos em que O O e VM encontram o₂ ₂ ₁ ₂

com VO = d = OC. A ´area da se¸c˜ao representada do s´olido na figura 8.9 ´e dada por

Prestemos aten¸c˜ao agora no triˆangulo △V O₂M . Este triˆangulo ´e reto em O₂ e ´e is´osceles, plano da se¸c˜ao, respectivamente. N˜ao ´e dif´ıcil de perceber que △V OC tamb´em ´e is´osceles,

Problema 8.7. Explique por que (8.2) ´e a ´area do anel circular mostrado na figura 8.9.

= −

Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as ´areas das se¸c˜oes da esfera de raio R e do so´lido constru´ıdo acima que est˜ao `a mesma distˆancia do centro dos respectivos s´olidos s˜ao iguais donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume. O volume do s´olido ´e dado por

VS Vcil 2Vcone

onde V_cil ´e o volume do cilindro e V_cone ´e o volume de cada um dos cones. Substituindo pelos nossos dados:

V_S = πR².(2R) − 2 ( 1 πR².R) = 4 πR³,

Problema 8.8. Mostre, com detalhes, que VO = OC, na figura 8.9.

112 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Exerc´ıcios

A base de um cilindro ´e um c´ırculo de diˆametro 8, e sua altura tamb´em ´e Qual o seu volume?

Qual deve ser o comprimento de um tubo cujo diˆametro interno mede 2 cm, para poder conter 600 cm³ de ´agua?

Determine o volume de um cone de altura 12 e base de raio

A altura de um cone ´e Um plano paralelo ao plano de sua base o intercepta a uma distˆancia de 5 da base, determinando um pequeno cone na parte superior.

Desenhe uma figura que representa a situa¸c˜
Qual a raz˜ao entre as alturas dos dois cones?
Qual a raz˜ao entre os raios de suas bases?
Qual a raz˜ao entre as ´areas de suas bases?
Qual a raz˜ao entre os volumes dos dois cones?

Reveja o problema resolvido 9 e diga o que ´e um tronco de cone, usando como referˆencia a figura 8.10. Em seguida, calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raios das bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente. (Sugest˜ao: usando propor¸c˜oes, calcule a altura integral do cone e subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.)

Calcule o volume de uma esfera de raio

O diˆametro de uma certa esfera ´e igual ao raio de uma outra Responda:

Qual ´e a raz˜ao entre os raios das esferas?
Qual ´e a raz˜ao de seus volumes?

Figura 8.10: – Exerc´ıcio 8.5

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

113

Apêndices

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 114 28/01/2013 11:10:00

APEˆNDICE A: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA

Listamos neste apˆendice todos os axiomas e algumas definic¸˜oes b´asicas apresentados em [7], para facilitar a consulta dos leitores.

Axiomas: grupo I, axiomas de incidˆencia

Axioma I.1. Se A e B s˜ao dois pontos distintos do plano, ent˜ao existe uma e uma u´nica reta l tal que A e B pertencem a l.

Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma I.3. O plano cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a uma mesma reta.

Axiomas: grupo II, parte 1: m´etrica e ordem na reta

≥

Axioma II.1. Para cada par de pontos A, B do plano existe um u´nico nu´mero real asso- ciado, denotado por AB, satisfazendo as propriedades:

AB 0;

(c) AB = BA.

AB = 0 se e somente se A = B;

Defini¸c˜ao A.1. A distˆancia entre dois pontos A e B do plano ´e o nu´mero AB postulado no axioma II.1.

∈

←→

Defini¸c˜ao A.2. Dados dois pontos A e B diremos que um ponto C est´a entre A e B se:

= +

C AB;

– −

AB AC

Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por A C B.

Axioma II.2. Se A, B e C s˜ao trˆes pontos alinhados, ent˜ao um deles est´a entre os outros dois.

por —→

Defini¸c˜ao A.4. Dados dois pontos A e B de uma reta l, o subconjunto A—→B de l definido

AB = AB ∪ {pontos P ∈ l tais que A − B − P } —→

– −

´e uma semirreta de l com origem em A. Dizemos tamb´em que l ´e a reta suporte de AB.

Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que A

est´a entre C e B, ou seja, tal que C A B.

(a) —A→B ∪ —→AC = l;

l, com C − A − B, satisfazem as seguintes propriedades:

Axioma II.4. As semirretas —A→B e —A→C determinadas pelos pontos A, B e C de uma reta

∈

—→ ∩ —→ = { }

AB AC A ;

∈

dois pontos P, Q l diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e s´o se A n˜ao pertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A n˜ao est´a entre P e Q);
dois pontos P, Q l diferentes de A pertencem a semirretas diferentes se e s´o se A

Axioma I—I→.5. Em qualquer semirreta A—→B e para todo nu´mero real positivo c existe um

pertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A est´a entre P e Q).

ponto C ∈ AB tal que AC = c. ̃

Axioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos P_l e P_l do plano, de-

nominados semiplanos em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades:

(b) P ∩ ̃P = l; _l _l

(a) todos os pontos do plano est˜ao contidos em P_l ∪ P̃l;

∩ = ø

dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l ;

∩ ≠ ø

dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos se e somente se

AB l .

Axiomas: grupo III, medida de ˆangulos

≤ (& ) ≤

tado por m(&BAC), satisfazendo as propriedades:

Axioma III.1. Para cada ˆangulo &BAC do plano existe um nu´mero real associado, deno-

m BAC 0 se e somente se BAC for um ˆangulo nulo;

(& ) = (& )

(& ) = &

m BAC 180 se e somente se BAC for um ˆangulo raso;
m BAC m CAB .

BAC.

D&efini¸c˜ao A.5. O nu´mero m(&BAC) postulado no axioma III.1 ´e a medida do ˆangulo

116 FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

Axioma III.2. (a) Se BAC ´e um ˆangulo n˜ao trivial e D ´e um ponto em seu interior, ent˜ao

(b) Se BAC ´e um ˆangulo raso e D est´a em um dos lados do plano determinado por BC

ent˜ao

m(&BAC) = m(&BAD) + m(&DAC). ←→

(& ) + (& ) =

←→ —→ < <—→

m BAD m DAC 180.

Axioma III.3. Para toda semirreta AB, todo nu´mero real a tal que 0 a 180, e cada semiplano P determinado por AB, existe uma u´nica semirreta AD ⊂ P tal que

m(&BAD) = a.

Axiomas: grupo IV, congruˆencia de triˆangulos

△ △

Axioma IV. (Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos) Se dois triaˆngulos ABC e DEF

forem tais que

ent˜ao

AB ≡ DE, AC ≡ DF e &BAC ≡ &EDF

△ABC ≡ △DEF.

Axiomas: grupo V, axioma das paralelas

Axioma V. Dada uma reta, por cada ponto que n˜ao lhe pertencente passa, no m´aximo, uma reta paralela a ela.

Axiomas: grupo VI, axiomas sobre ´areas

denotado por ffi(R).

Axioma VI.1. A cada regi˜ao poligonal R est´a associado um u´nico nu´mero real positivo,

(R) R

Defini¸c˜ao A.6. O nu´mero ffi do axioma VI.1 ´e a ´area de .

Axioma VI.3. Se uma regi˜ao R ´e a uni˜ao de duas regi˜oes R e R tais que R e R₁ ₂ ₁ ₂

Axioma VI.2. Se dois triˆangulos s˜ao congruentes, as regi˜oes triangulares determinadas por eles tˆem a mesma a´rea.

ffi(R ) + ffi(R ).₁ ₂

se interceptam em no m´aximo um nu´mero finito de segmentos e pontos, ent˜ao ffi(R) =

Axioma VI.4. A ´area de um quadrado ´e o produto do comprimento de seus lados.

APÊNDICEs: A XIOMAs DA GEOMETRIA PL ANA

117

Referˆencias

L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Rio de Janeiro, 1985.
P. P. Carvalho, Introdu¸c˜ao `a Geometria Espacial, 4^a ed., SBM, Rio de Janeiro, 2005.
O. Dolce & N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 9: Geome- tria Plana, 6^a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 1990.
O. Dolce & N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 10: Geo- metria Espacial, posi¸c˜ao e m´etrica, 6^a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 2005.
L. Downs, Jr. & E. E. Moise, Geometria Moderna, 2 volumes, Ed. Edgar Blucher, S˜ao Paulo, 1971.
M .C. de Farias. Resolu¸c˜ao de Problemas Geom´etricos, UFMG, Belo Horizonte, 2009.
A. F. Machado. Fundamentos de Geometria Plana, preprint, 2010.
V. Pogorelov, Geometr´ıa elemental, trad. para o espanhol por Carlos Vega, Ed. Mir, Moscou, 1974.
L. B. de Queiroz & E. Q. F. Rezende, Geometria Euclidiana Plana e Cons- tru¸c˜oes Geom´etricas, 2^a ed., Ed. da Unicamp, Campinas, 2008.

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