No momento você está vendo LIVRO: Fundamentos de Geometria Espacial

LIVRO: Fundamentos de Geometria Espacial

 

 

LIVRO: Fundamentos de Geometria Espacial = PDF DOWNLOAD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 2                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:21

 

 

Paulo Antônio Fonseca Machado

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Belo Horizonte CAED-UFMG 2013

 

 

 

 

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 3                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:23

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Profº Clélio Campolina Diniz

Reitor

Profª Rocksane de Carvalho Norton

Vice-Reitoria

Profª Antônia Vitória Soares Aranha

Pró Reitora de Graduação

Profº André Luiz dos Santos Cabral

Pró Reitor Adjunto de Graduação

 

 

CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Diretor de Educação a Distância

Prof º Wagner José Corradi Barbosa

Coordenador da UAB/UFMG

Profº Hormindo Pereira de Souza Junior

Coordenador Adjunto da UAB/UFMG

 

 

EDITORA CAED-UFMG

Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

CONSELHO EDITORIAL

Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer

Profª. Eliane Novato Silva

Profº. Hormindo Pereira de Souza Profª. Paulina Maria Maia Barbosa Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº. Vito Modesto de Bellis

Profº. Wagner José Corradi Barbosa

 

COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA

Coordenador: Dan Avritzer

LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado Revisão: Jussara Maria Frizzera

Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia

para Educação/EBA/UFMG

Formatação: Sérgio Luz

 

 

 

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725)

 

 

 

 

 

 

SUMÁRIO

Introdução………………………………………………… 7

Nota do Editor……………………………………………… 9

Aula 1: O Espaço…………………………………………… 11

  • Introdução………………………………………………….. 11
  • Elementos primitivos e axiomas…………………………………. 13
  • Algumas consequências dos axiomas do grupo I……………………………… 16
  • Exercícios…………………………………………………. 18

Aula 2: Mais propriedades do espaço………………………………. 21

  • Introdução………………………………………………….. 21
  • Separação do espaço: semiespaços………………………………….. 21
  • Ângulos e congruência no espaço………………………………………….. 23
  • O axioma das paralelas no espaço…………………………………… 26
  • Opcional: demonstração dos teoremas 1 e 2.9…………………………. 28
  • Exercícios…………………………………………………. 32

Aula 3: Paralelismo no espaço…………………………………… 35

  • Introdução………………………………………………….. 35
  • Paralelismo entre retas e planos…………………………………….. 35
  • Paralelismo entre planos……………………………………….. 37
  • Algumas propriedades de paralelismo no espaço……………………………… 38
  • Problemas resolvidos……………………………………………………… 40
  • Exercícios…………………………………………………. 43

Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço…………………….. 45

  • Introdução………………………………………………….. 45
  • Ângulos entre retas no espaço……………………………………………… 45
  • Perpendicularismo de retas e planos………………………………….. 47
  • Existência de retas perpendiculares…………………………………………. 50
  • Opcional: demonstração dos teoremas 1 e 4.7…………………………. 53
  • Exercícios…………………………………………………. 56

Aula 5: Ângulos entre planos……………………………………. 59

  • Introdução………………………………………………….. 59
  • Ângulos entre planos: diedros………………………………………………. 59
  • Planos perpendiculares…………………………………………… 62
  • Construção de planos perpendiculares………………………………… 63
  • Alguns problemas resolvidos………………………………………………. 64
  • Exercícios…………………………………………………. 67

 

 

 

 

 

 

Aula 6: Lugares geométricos e poliedros………………………………………………………………… 69

Aula 7: Volumes de poliedros…………………………………………… 85

  • Introdução……………………………………………………………. 85
  • Volume de regiões poliedrais………………………………………………………….. 85
  • Volume de prismas……………………………………………………….. 86
  • Volume de pirâmides……………………………………………………… 92
    • Propriedades basicas de pirâmides…………………………………………. 92
    • Cálculo do volume de uma pirâmide………………………………….. 97
  • Aplicações………………………………………………………………………. 99
  • Exercícios………………………………………………………… 103

Aula 8: Cilindros, cones e esferas…………………………………………… 105

Apêndices: Axiomas da geometria plana………………………………….. 115

  • Axiomas: grupo I, axiomas de incidência………………………………………………. 115
  • Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta……………………………………… 115
  • Axiomas: grupo III, medida de ângulos………………………………………………… 116
  • Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos………………………………………….. 117
  • Axiomas: grupo V, axioma das paralelas………………………………………………. 117
  • Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas………………………………………………. 117

Referências…………………………………………………….. 119

 

 

 

 

 

 

 

INTRODUC¸ A˜O

 

Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial euclidiana, e pode ser visto como uma continuac¸˜ao do livro [7].  Na verdade, o que chamamos “Fundamentos  da  Geometria  Euclidiana”  n˜ao  deveria  ser  separado  em  geometria  plana  e geometria  espacial,  pois  ´e  um  s´o  assunto,  coeso.   Esta  separa¸c˜ao  ´e  apenas  uma  forma  de apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´atica e pr´atica.

Adotaremos  neste  texto  todas  as  nomenclaturas,  terminologias  e  nota¸c˜oes  estabelecidas em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de geometria  euclidiana.  Suporemos  que  todos  vocˆes  est˜ao  familiarizados  com  os  termos  utili- zados nesse livro.  Em caso de du´vidas, consultem-no.

Abaixo,  como uma forma de  refrescar  a mem´oria,  listamos  as  principais  notac¸˜oes  que  utili- zaremos.

Pontos ser˜ao denotados por letras latinas maiu´sculas (A, B, etc.).

←→                                          ←→

Retas  ser˜ao  em  geral  denotadas  por  letras  latinas  minu´sculas  (r,  s,  etc.).   No  caso em  que  apresentarmos  retas  determinadas  por  dois  pontos  espec´ıficos  usaremos  uma seta de duas pontas ( ) sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta determinada pelos pontos A e B  ser´a denotada por AB.

—→                        —→                                        —→

Para  semirretas  adotamos  uma  notac¸˜ao  an´aloga  `a  para  retas,  mas  as  demarcaremos por  uma  seta  com  uma  ponta  (    ).  Por  exemplo,  o  s´ımbolo   r   denota  a  semirreta  r; e o s´ımbolo AB  denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B.

Segmentos  de  reta  ser˜ao  demarcados  por  uma  barra  cont´ınua  sobre  as  letras  que  no- meiam os pontos que determinam o mesmo.  Por exemplo, o segmento de extremos A e B  ser´a denotado por AB.  A medida de um segmento ser´a denotada pelos extremos do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB ´e AB.

denotada por m(&α).
denotado  por  &α;  e  um  ˆangulo  determinado  por  trˆes  pontos  A,  B,  C,  com  origem

Aˆngulos  ser˜ao  denotados  pelo  s´ımbolo  &.   Por  exemplo,  um  ˆangulo  chamado  α  ser´a em  B,  ser´a  denotado  por  &ABC.   A  medida  de  um  ˆangulo  &α,  por  exemplo,  ser´a

&

Os  nossos  novos  elementos,  os  planos,  sera˜o  denotados,  como  manda  a  tradic¸˜ao,  por letras  gregas  minu´sculas  (α,  β,  γ,  etc.).  N˜ao  h´a  perigo  de  confundir  uma  letra  grega que represente um plano com a mesma que denote um ˆangulos, pois a segunda sempre vir´a acompanhada com o s´ımbolo     .

Para  facilitar  a  consulta  de  vocˆes  listamos  no  apˆendice  A  os  axiomas  da  geometria  plana euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸c˜oes b´asicas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

NOTA DO EDITOR

 

A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância.

O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD.

Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior.

Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização.

Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.

 

 

Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Editor

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • O Espaço

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 10                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:25

 

 

 

 

 

 

AULA1:  O  ESPAC¸ O

 

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Todos  temos  uma  ideia  bem  intuitiva  do  conceito  que  denominamos  “espa¸co”:   ´e  o  ambi- ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo, o  mundo  “tridimensional”,  ou  seja,  que  possui  trˆes  dimens˜oes,  uma  a  mais  que  o  mundo plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos neste tal espa¸co.  Pois bem, um conceito aparentemente t˜ao simples na verdade esconde uma complexidade  filos´ofica,  f´ısica  e  matem´atica  que  n˜ao  imaginamos1.  Neste  curso  n˜ao  vamos discutir estas profundas quest˜oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´atico.

 

Figura 1.1

 

Nosso  ponto  de  partida  neste  curso,  como  j´a  o  dissemos  na  Introdu¸c˜ao, ´e  o  texto  [7],  onde apresentamos  um  modelo  axiom´atico  para  a  geometria  plana  euclidiana.  Recomendamos  a todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆes.

Antes  de  come¸carmos,  vamos  abordar  um  problema  pr´atico  que  se  tem  quando  estudamos geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi- guras planas ´e f´acil, pois as p´aginas de um livro, por exemplo, s˜ao boa representa¸c˜ao de um plano.  Desenhar figuras que vivem no espac¸o, por outro lado, representa um desafio, j´a que os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel.  Assim a imagina¸c˜ao dos leitores  ser´a  muito  mais  exigida  neste  curso  do  que  num  curso  de  geometria  plana.  Vamos mostrar alguns exemplos.

Para  come¸car,  representaremos  um  plano  no  espa¸co  em  geral  como  na  figura  1.1  (na  ver- dade,  uma  “por¸c˜ao”  de  um  plano  –  use  a  imagina¸c˜ao!).  Usaremos,  em  geral,  letras  gregas minu´sculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por  α.

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1.2

 

 

△                                                             △

Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e contˆem dois  triˆangulos:   o  triˆangulo     LMN  contido  no  plano  α,  e  o  triˆangulo     IJK  contido  no plano  β.  Para  dar  a  noc¸˜ao  de  tridimensionalidade  usamos  linhas  pontilhadas  indicando  as partes  da  figura  que  est˜ao  atr´as  e  `a  frente  dos  objetos  representados.   No  nosso  exemplo, peda¸cos  dos  segmentos  IK  e  JK  est˜ao  por  tr´as  da  por¸c˜ao  do  plano  α,  do  ˆangulo  de  vis˜ao em  que  desenhamos  a  situa¸c˜ao.  Analogamente,  partes  dos  segmentos  LM  e  LN  est˜ao  por tr´as da por¸c˜ao desenhada do plano β.

 

 

Figura 1.3

 

Na figura 1.3 representamos uma situa¸c˜ao mais elaborada.  Desenhamos uma esfera contendo em  seu  interior  uma  pirˆamide  triangular  (um  tetraedro  –  veremos  sobre  isto  mais  adiante). Os pontos A, B, C  e D s˜ao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC, AD, etc.)  est˜ao no interior da esfera.  Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos” de nossa vis˜ao pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim.  Ent˜ao, neste caso, deixamos todos os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este est´a  na  parte  de  tr´as  do  tetraedro.    Cabe  ao  leitor  usar  sua  imagina¸c˜ao  e  compreens˜ao intuitiva para completar o significado da figura.

Problema  1.1.   Fa¸ca  uma  pesquisa  sobre  as  diversas  figuras  espaciais  que  vocˆe  j´a  deve conhecer  (prismas,  pirˆamides,  cones,  cilindros,  etc.)  e  as  desenhe,  tentando  dar  a  sensa¸c˜ao visual de tridimensionalidade.

 

 

 

12     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

  • Elementos primitivos e axiomas

 

Em  [7]  apresentamos  os  trˆes  elementos  primitivos  da  geometria  plana:  os  pontos  as  retas  e o plano.  Quando  passamos  para  o espa¸co “aumentamos” uma  “dimens˜ao geom´etrica”,  isto

´e,  passamos  a  ver  um  universo  onde  temos  v´arios  planos,  todos  essencialmente  c´opias  de um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos primitivos  ser˜ao  os  pontos,  as  retas,  os  planos  (no  plural,  e  n˜ao  mais  no  singular!)    e  o espa¸co.    Mas  atenc¸˜ao!    Esta  n˜ao  ´e  uma  “nova  geometria”.    Separamos  estes  assuntos  – geometria plana e geometria espacial – por quest˜oes did´aticas, mas s˜ao todas partes de um conjunto  u´nico.  Em  particular,  todos  os  resultados  da  geometria  plana  continuam  v´alidos, inclusive os axiomas.

Em  [7]  apresentamos  um  sistema  axiom´atico  da  geometria  plana  dividido  em  seis  grupos (veja o apˆendice A):

Grupo I: axiomas de incidˆencia.

Grupo II: axiomas de m´etrica na reta e ordem na reta e no plano. Grupo III: axiomas de medidas de ˆangulos.

Grupo IV: axiomas de congruˆencia de triˆangulos. Grupo V: axioma das paralelas.

Grupo VI: axiomas sobre ´areas de figuras planas.

 

Para estudarmos a geometria no espa¸co precisaremos atualizar a lista de axiomas.  Mas esta operac¸˜ao n˜ao sera´ muito traum´atica, pois a u´nica modificac¸˜ao (na verdade uma extens˜ao) que precisa ser feita ´e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relac¸˜oes entre os elementos primitivos que agora incluem planos e o espac¸o.

Os  trˆes  axiomas  do  grupo  I  listados  em  [7]  permanecem  como  est˜ao,  apenas  trocando-se  a palavra plano por espa¸co.

 

Observa¸c˜ao 1.1.  Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´etrica estabelecida em [7]. Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos distintos  do  espa¸co  ent˜ao  existe  apenas  uma  reta  que  os  cont´em.

 

 

 

Em  seguida  precisamos  estabelecer  condi¸c˜oes  an´alogas  `as  dadas  nos  axiomas  I.1  e  I.2  para planos  –  isto  ´e  as  condic¸˜oes  de  determina¸c˜ao  de  um  plano  por  pontos,  e  o  fato  de  planos serem  conjuntos  n˜ao  vazios  do  espa¸co.   Primeiro  observe  o  que  nossa  experiˆencia  nos  traz: se vocˆe toma um banco com trˆes pernas e o coloca no ch˜ao, vera´ que ele na˜o claudica (veja figura 1.4).

 

 

 

AUL A 1: O EsPAçO   13

 

 

 

 

 

 

Figura 1.4

 

 

 

Ent˜ao  ´e  razo´avel  estabelecermos  o  seguinte  axioma,  que  traduz  para  o  mundo  abstrato  da matem´atica  esta  propriedade  experimental:  precisamos  de  trˆes  pontos  para  determinar  um plano.

 

O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que s˜ao conjuntos n˜ao vazios.

 

 

Observa¸c˜ao  1.2.   Observe  que  n˜ao  exigimos  que  um  plano  contenha  trˆes  pontos,  como sugeriria uma analogia com  o axioma I.2,  mas apenas um.  Veremos mais adiante  que, como  consequˆencia  dos  axiomas  estabelecidos,  todo  plano  cont´em  pelo  menos  trˆes  pontos n˜ao  colineares.

 

 

Nos  faltam  agora  as  regras  que  realmente  descrevem  o  espa¸co  tridimensional.   Esta  “tridi- mensionalidade” ser´a garantida pelas propriedades descritas a seguir.

 

Figura 1.5: – Axioma I.6

 

 

O  axioma  acima  traduz  o  fato  esperado:  quando  vocˆe  tra¸ca  uma  reta  numa  folha  de  papel usando  uma  r´egua  e  um  l´apis,  n˜ao  tem  como  deix´a-la  perfurando  a  folha.   Na  figura  1.5  a linha  designada  pela  letra  s  n˜ao ´e  o  que  se  espera  ser  uma  reta  passando  pelos  pontos  A  e B do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.

 

 

 

 

14     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

Figura 1.6: – Axioma I.7

 

 

O  axioma  I.7  nos  diz  como  planos  se  “interpenetram”  no  espa¸co.   Dados  dois  planos  no espa¸co trˆes coisas podem acontecer:

  • eles s˜ao idˆenticos, ou
  • eles s˜ao distintos e possuem pontos em comum, ou
  • eles n˜ao tˆem pontos em com

 

 

Na  terceira  possibilidade  s˜ao  chamados  de  planos  paralelos,  assunto  que  veremos  com  mais detalhes  adiante.   Na  segunda  possibilidade  nossa  intui¸c˜ao  nos  diz  que  a  intersec¸˜ao  deles n˜ao  pode  ser  muito  grande.   Se  vocˆe  examinar  as  p´aginas  deste  livro,  imaginando  que  s˜ao planos, pode ver que se interceptam numa reta, que ´e a lombada do livro – da´ı este axioma. Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que tˆem um ponto P  em comum e, portanto, possuem a reta t em comum.

 

Problema 1.2.  Se os planos α e β da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora de  t,  o  que  vocˆe  pode  dizer  sobre  eles?  Em  quais  dos  itens  listados  acima  se  encaixariam? (Sugest˜ao:  veja  o  axioma  I.4).

 

 

O  axioma  I.8  descreve  formalmente  o  que  nossa  vis˜ao  do  espa¸co  nos  diz:   podemos  andar nele  para  os  lados,  para  cima  e  para  baixo,  sem  ficarmos  presos  a  uma  existˆencia  plana (figura 1.7).

 

 

 

Figura 1.7: – Axioma I.8

 

 

 

 

 

 

AUL A 1: O EsPAçO   15

 

  • Algumas consequˆencias  dos  axiomas  do  grupo  I

Vamos  deduzir  algumas  propriedades  dos  axiomas  que  apresentamos.   Come¸camos  com  a seguinte

 

Figura 1.8

 

 

Proposi¸c˜ao  1.1.  Por  duas  retas  concorrentes  passa  um  u´nico  plano.

 

Demonstrac¸a˜o.  Sejam  r  e  s  duas  retas  concorrentes  num  ponto  P .    Para  provar  este resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):

 

∈            ∈
  • Tome os pontos A r e B  s distintos de P (existem pelo axioma 2);
  • tome α o u´nico plano que passa por A, B e P  (axioma 4);
  • a reta r  est´a  contida  em  α,  pois ´e  determinada  pelos  pontos  A  e  P  que  pertencem  a  α

(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s      α.

 

Provamos  assim  que  o  plano  α  determinado  pelos  pontos  AB  e  P  ´e  o  u´nico  plano  que cont´em simultaneamente as retas r  e s.

 

 

Figura 1.9

 

 

Problema  1.3.  Adapte  a  demonstra¸c˜ao  da  proposi¸c˜ao  1.1  para  provar  o  seguinte  fato:  por uma  reta  r  e  um  ponto  P  fora  de  r  passa  um  u´nico  plano  (veja  figura  1.9).

 

Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.

Teorema  1.2.  Todo  plano  possui  pelo  menos  trˆes  pontos  n˜ao  colineares.

 

Demonstrac¸a˜o.  Seja  α  um  plano  qualquer  do  espa¸co.   Vamos  “marcar”  trˆes  pontos  n˜ao colineares  em  α  seguindo  os  passos  abaixo,  que  vocˆe  pode  acompanhar  nas  figuras  1.10  e 1.11:

 

  • Existem um ponto P α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas 5 e I.8, respectiva- mente.
contida em α, j´a que Q ∈/ α.
  • Seja r = ←PQ. Pelo  axioma  I.3  existe  um  terceiro  ponto  R ∈/ r.  Observe  que  r  n˜ao  est´a
  • Pelos trˆes pontos n˜ao colineares P , Q e R passa um u´nico plano β (axioma I.4). Observe que r β, j´a que P  e Q pertencem a β.

 

 

 

16     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

(4)  Os  planos  α  e  β  possuem  o  ponto  P  em  comum,  donde  α β  =  s,  onde  s  ´e  uma  reta

Figura 1.10                                                                                    Figura 1.11

 

 

 

 

passando  por  P  (axioma  I.7).   Observe  que  Q  ∈/ s,  pois  s  est´a  contida  em  α, e  Q  n˜ao

  • Seja S um quarto ponto na hist´oria, n˜ao contido em β  (novamente axioma 8).
∩   =
  • O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 3), distinto de α e β (por quˆe?).
  • Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α       γ       t, uma reta passando por

P .

  • Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.

 

∈             ∈

Para terminar tomamos dois pontos A        s e B      t quaisquer, distintos de P , de forma que os pontos A, B  e P  s˜ao pontos de α n˜ao colineares, como quer´ıamos.

 

O estudante pode se perguntar para quˆe demonstrar este resultado do teorema anterior, que parece  t˜ao  ´obvio?  Este ´e  um  exemplo  da  ingrata  tarefa  de  se  trabalhar  com  a  formalidade de  um  sistema  axiom´atico.   N˜ao  temos  nenhuma  afirma¸c˜ao,  na  lista  dos  axiomas  I.1  a  I.8, que nos garanta a existˆencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que isto ´e verdade.  O que temos ´e o contr´ario:  se temos trˆes pontos n˜ao colineares ent˜ao existe um plano que os cont´em (axioma I.4).

Chamamos tamb´em aten¸c˜ao para a t´ecnica utilizada na demonstra¸c˜ao do teorema 1.2:  para marcar  os  pontos  desejados  fomos  criando  planos  e  encontrando  intersec¸˜oes  entre  planos  e retas.  Esta t´ecnica ´e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequˆencia.  Portanto convidamos  todos  a  estudarem  com  bastante  atenc¸˜ao  os  passos  desta  demonstra¸c˜ao,  como fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.

Problema   1.4.   Nas  figuras  1.10  e  1.10  ilustramos  os  passos  da  demonstra¸c˜ao  do  teo- rema  1.2.  Diga  at´e  qual  passo  a  figura  1.10  corresponde.

Problema  1.5.  Tente  adaptar  a  demonstra¸c˜ao  do  teorema  1.2  para  provar  o  seguinte  fato: dada  uma  reta  r  contida  num  plano  α,  existe  um  ponto  A    α  que  n˜ao  pertence  a  r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 1: O EsPAçO   17

 

  • Exerc´ıcios

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1

 

 

  • Analisando visualmente a figura 12, onde deve-se considerar que o ponto D  n˜ao est´a no mesmo plano que os pontos A, B e P, decida se os pontos nos conjuntos listados mais abaixo

 

  • s˜ao colineares  ou
  • n˜ao sa˜o  colineares,  mas  s˜ao  coplanares  ou
  • n˜ao sa˜o  coplanares.

 

(b)  {A,B, D};

(a)  {A,B, C, D};

(d)  {P,B,C};

(c) {P, D, Q};

(e)  {A,B, C, Q}.

  • Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos

A, B, C e D se

 

  • A, B  e  C  s˜ao  colineares;
  • cada trˆes  pontos  n˜ao  s˜ao  colineares;
  • os pontos  n˜ao  s˜ao  coplanares.

 

Fa¸ca  um  desenho  de  cada  situa¸c˜ao  poss´ıvel.

 

  • Vimos que  trˆes  pontos  n˜ao  colineares  no  espa¸co  determinam  um  u´nico  pl   Prove que  se  os  trˆes  pontos  s˜ao  colineares,  ent˜ao  existem  infinitos  planos  que  os  contˆem.

 

  • Sejam A, B  e  C  trˆes  pontos  n˜ao  colineares,  e  seja  α  o  plano  determinado  por  eles. Prove  que  os  lados  do  triˆangulo     ABC  est˜ao  contidos  em  α.

 

 

 

 

18     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

  • Sejam A,  B,  C  e  D  quatro  pontos  do  espa¸   Decida  se  cada  afirma¸c˜ao  a  seguir  ´e verdadeira  ou  falsa.  Justifique  cada  resposta  com  uma  demonstra¸c˜ao  ou  um  contraexemplo, e  fa¸ca  um  desenho  para  cada  situa¸c˜ao.

 

  • Se AB  e  CD  possuem  um  ponto  em  comum,  ent˜ao  s˜ao  coplanares.
  • Se AB  e  CD  n˜ao  possuem  pontos  em  comum  ent˜ao  n˜ao  s˜ao  coplanares.
interiores  dos  lados  do  triˆangulo  ABC.                                            
∈/
  • Suponha que os pontos A, B e C n˜ao sejam colineares.  Seja α o plano determinado por estes pontos.  Se D    α ent˜ao os segmentos DA, DB  e DC  n˜ao interceptam nenhum dos

 

  • Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos n˜ao colineares A, B e
de algum lado de ABC.
  1. C. Se D  α  ent˜ao pelo menos um dos segmentos DA,  DB  ou DC  intercepta o interior

 

△                      ∈
  • Ainda nas condi¸c˜oes do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC  intercepta o  interior  de  algum  lado  de                              ABC  ent˜ao  D    α.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 1: O EsPAçO   19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Mais propriedades

do espaço

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 20                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:27

 

 

 

 

 

 

AULA2:  MAIS  PROPRIEDADES  DO  ESPAC¸ O

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Na  aula  anterior  apresentamos  o  nosso  novo  elemento  primitivo,  o  espa¸co,  e  os  axiomas que  regem  as  inter-relac¸˜oes  entre  pontos,  retas,  planos  e  o  espa¸co,  chamados  axiomas  de incidˆencia.   Estes  s˜ao,  essencialmente,  os  u´nicos  axiomas  que  precisam  ser  modificados  em rela¸c˜ao  a  um  sistema  axiom´atico  para  a  geometria  plana.   Os  outros,  como  ja´  o  dissemos, permanecem  v´alidos.    Nesta  aula  estudaremos  os  axiomas  dos  outros  grupos  e  veremos algumas consequˆencias.

 

 

  • Separa¸c˜ao do  espa¸co:  semiespa¸cos

 

Vamos  come¸car  estabelecendo  um  axioma  “curioso”,  que  sintetiza  o  que  afirmamos  na  in- troduc¸˜ao acima:

 

Queremos  dizer  com  este  axioma  que  todas  as  afirma¸c˜oes  sobre  propriedades  da  geometria plana s˜ao v´alidas no espa¸co, com as devidas adaptac¸˜oes.  Vamos ent˜ao “passar os olhos” nos axiomas apresentados em [7], chamando a atenc¸˜ao para os pontos mais complicados.

Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta e  de  semirretas.   Estas  propriedades  s˜ao  transcritas  automaticamente  para  o  espa¸co,  como se pode ver facilmente.

Problema  2.1.  Reveja  os  axiomas  II.1  a  II.5  de  [7]  e  tente  visualiz´a-los  no  espa¸co.

 

O axioma II.6, que trata da separa¸c˜ao de um plano em semiplanos por retas, sera´ analisado com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.

 

 

 

 

 

Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntos αl  e  α˜l  de  α,  denominados  semiplanos  de  α  em  rela¸c˜ao  a  l,  satisfazendo  as  seguintes propriedades:

(b)  α  α˜   = l;l              l
  • todos os pontos  de  α  est˜ao  contidos  em  αlα˜l;
∩ = ø
  • dois pontos A  e  B  de  α  n˜ao  pertencentes  a  l  est˜ao  num  mesmo  semiplano  de  α  em rela¸c˜ao  a  l  se  e  somente  se  AB                                  l       ;
∩ ≠ ø
  • dois pontos A  e  B  n˜ao  pertencentes  a  l  est˜ao  em  semiplanos  distintos  de  α  em rela¸c˜ao  a  l  se  e  somente  se  AB                               l       .

 

Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7] e  aponte  as  diferen¸cas.    Aproveite  a  oportunidade  e  reescreva  os  enunciados  dos  outros axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.

 

Na  figura  2.1  representamos  dois  planos  α  e  β  no  espa¸co.   Eles  s˜ao  cortados  pelas  retas  l e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, por exemplo, os pontos A e B  est˜ao do mesmo lado1 em rela¸c˜ao a l, e os pontos B  e C  est˜ao em lados opostos.

Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado est˜ao  em  cada  plano  α  e  β,  em  rela¸c˜ao  `as  retas  l  e  s,  respectivamente.

 

Situac¸a˜o  an´aloga  `a  descrita  no  axioma  II.6  vale  no  espac¸o,  isto  ´e,  um  plano  determina  no espa¸co  dois  conjuntos  com  propriedades  exatamente  equivalentes  `as  propriedades  descritas neste  axioma.  No  entanto,  esta  propriedade  n˜ao  precisa  ser  estabelecida  como  um  axioma, mas ´e consequˆencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.

 

 

Figura 2.2:  – Separa¸c˜ao do Espa¸co

 

 

̃

Teorema  2.1  (Separa¸c˜ao  do  espa¸co).  Todo  plano  α  do  espa¸co  determina  exatamente  dois subconjuntos  n˜ao  vazios  Eα  e  Eα  do  espa¸co,  denominados  semiespa¸cos  em  rela¸c˜ao  a  α, satisfazendo as seguintes propriedades:

  • todos os  pontos  do  espa¸co  est˜ao  contidos  em  Eα ∪ ̃Eα;

 

1

Lembramos  que  os  lados  de  um  plano  α em  rela¸c˜ao  a  uma  reta  lα s˜ao  os  conjuntos  α × l e  α˜ × l,  na

nota¸c˜ao  do  axioma  II.6,  onde  o  s´ımbolo  “×”  –  vale  a  pena  recordar  –  significa  diferen¸ca  de  conjuntos.

 

 

 

22     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

∩ ̃   =
  • Eα Eα α;
∩   = ø
  • dois pontos A  e  B  do  espa¸co  n˜ao  pertencentes  a  α  est˜ao  num  mesmo  semiespa¸co  em rela¸c˜ao  a  α  se  e  somente  se  AB                                    α       ;
∩   ≠ ø
  • dois pontos A  e  B  n˜ao  pertencentes  a  α  est˜ao  em  semiespa¸cos  distintos  (ou  opostos) em  rela¸ca˜o  a  α  se  e  somente  se  AB                                  α       .

 

N˜ao  demonstraremos  este  teorema  agora  –  sua  demonstrac¸˜ao,  cuja  leitura ´e  opcional,  ser´a apresentada na u´ltima se¸c˜ao desta aula – mas ´e preciso compreender bem o seu significado. Para  explic´a-lo  melhor  vamos  estabelecer  uma  terminologia,  an´aloga  `a  que  vocˆes  j´a  viram num curso de geometria plana em rela¸c˜ao a semiplanos:

Defini¸c˜ao   2.2.   Se  α  ´e  um  plano  do  espa¸co,  o  conjunto  dos  pontos  de  um  semiespa¸co determinado  por  α  que  n˜ao  est˜ao  contidos  em  α  ´e  um  lado  do  espa¸co  em  rela¸c˜ao  a  α.  Os lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ao chamados de lados opostos em rela¸c˜ao  a  α.

 

∩   ≠ ø                         ∩   = ø
teorema, j´a que estamos supondo (implicitamente) que C ∈/ α.
̃

Na  figura  2.2  representamos  a  situa¸c˜ao  descrita  no  teorema  2.1.  Os  pontos  A  e  C  est˜ao  de um mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D est˜ao em lados opostos. Usando estes dados podemos concluir que  CB     α        .  De fato,  se CB     α        ,  ent˜ao, pelo item  (c)  do  teorema,  os  pontos  C  e  B  deveriam  estar  do  mesmo  lado  do  espa¸co  em  rela¸c˜ao a  α.   Ora,  ent˜ao  C  est´a  no  mesmo  semiespa¸co  que  A  e  no  mesmo  semiespa¸co  que  B,  que s˜ao  semiespa¸cos  distintos.   Logo  C  pertence  a  ambos  Eα  e  Eα,  contrariando  o  item  (b)  do

 

∩   = ø

Problema 2.4.  Prove, adaptando a argumenta¸c˜ao apresentada no par´agrafo precedente que, seguindo os dados representados na figura 2.2, BD α .

 

 

 

  • Aˆngulos e  congruˆencia  no  espa¸co

 

Definimos  em  [7]  um  ˆangulo  simplesmente  como  sendo  um  par  de  semirretas  com  origem comum.  Esta definic¸˜ao n˜ao apresenta nenhum problema quando passamos a vˆe-la do ponto de vista do espa¸co.  No entanto devemos nos lembrar que ˆangulos s˜ao essencialmente objetos planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:

 

Figura 2.3:  – Proposi¸c˜ao 2.3

 

 

Proposi¸c˜ao  2.3.  Todo  ˆangulo  no  espa¸co  determina  um  u´nico  plano.

Problema  2.5.  Demonstre  a  proposi¸c˜ao  2.3  (a  figura  2.3  d´a  uma  dica  de  como  resolver este problema).

 

Precisamos  tomar  cuidado,  no  entanto,  com  o  conceito  de  regi˜ao  angular.    Para  deixar isto  claro,  transcrevemos  a  defini¸c˜ao  de  regia˜o  angular  apresentada  em  [7]  com  as  devidas modifica¸c˜oes.

 

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 23

 

 

 

 

 

&    = &
=      ∩&A   l           r

Defini¸c˜ao  2.4.  A  regi˜ao  angular  determinada  por  um  ˆangulo  (n˜ao  trivial)                                                                                                      A                                                                                                      BAC  ´e o subconjunto

= ←→        ←→=

R           α     α ,

Os  pontos  pertencentes  a  R&A  que  n˜ao  pertencem  aos  lados  de  &A  s˜ao  denominados  pon-

onde α ´e o plano determinado por A, B  e C, l    AB, r                                                                                       AC, αl ´e o semiplano de α relativo a  l  que  cont´em  o  ponto  C, e  αr  ´e  o  semiplano  de  α  relativo  a  r  que  cont´em  o  ponto  B.

 

tos  interiores  a  &A,  e  os  pontos  que  n˜ao  pertencem  a  R        e  nem  aos  lados  de  &A  s˜ao&A
&                             ⊂                                                    &

denominados pontos exteriores a &A.               —→

Se  D  ´e  um  ponto  interior  a     A  dizemos  que  AD     α  divide  ou  separa  o  ˆangulo     A.

Problema  2.6.  Compare  a  defini¸c˜ao  acima  com  a  defini¸c˜ao  de  regi˜ao  angular  apresentada em  [7],  apontando  as  diferen¸cas,  e  fa¸ca  um  desenho.

Observa¸c˜ao  2.1.   As  defini¸c˜oes  de  ˆangulo  adjacente,  ˆangulo  raso  e  aˆngulo  suplementar tamb´em  s˜ao  todas  relativas  ao  plano  determinado  pelo  ˆangulo  em  quest˜ao,  ou  seja,  s˜ao objetos planos.

 

Se prestarmos aten¸c˜ao na defini¸c˜ao 2.4 e na observa¸c˜ao acima vemos que os axiomas III.1 e

—→                        —→                                          ——<→ <—→

III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ˆangulos no plano – vistos em [7], s˜ao v´alidos no  espa¸co  sem  necessidade  de  adaptar  seus  enunciados.  No  entanto,  o  axioma  III.3  precisa de ser reescrito, como se segue.

 

 

Axioma  III.3.  Para toda semirreta AB,  todo nu´mero real a tal que 0                                                                                                a                                                                                           180,  e cada plano  ξ  contendo  AB  existem  exatamente  duas  semirretas  AD ξl  e  ADξ˜l   tais  que

←→

m(&BAD) = m(&BAD) = a,

onde  l = AB  e  ξl,  ξ˜l   s˜ao  semiplanos  de  ξ  em  rela¸cao  a  l.

 

 

Figura 2.4: – Axioma III.3

 

←→

Na figura 2.4 representamos a situa¸c˜ao descrita no axioma III.3.  No plano ξ temos os pontos

D  e D em lados opostos da reta l = AB  como no axioma III.3, isto ´e, tais que

para um dado′  nu´mero a com 0 < a < 180.  Analogamente  fica garantida a existˆencia de dois

m(&BAD) = m(&BAD) = a,

 

 

pontos P e P

num outro plano α passando por l, com

 

m(&BAP ) = m(&BAP ) = a.

 

 

 

 

 

24     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.5:  – Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos

 

 

△            △

Fechamos  esta  se¸c˜ao  com  algumas  observa¸c˜oes  sobre  congruˆencias.  No  sistema  axiom´atico de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruˆencia na ideia de medida. Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a geometria  espacial.   Em  particular,  o  axioma  IV  em  [7],  que  postula  o  caso  “lado-ˆangulo- lado”  (LAL)  de  congruˆencia  de  triˆangulos  ´e  v´alido  tamb´em  ao  se  comparar  triˆangulos  em planos  distintos.  Por  exemplo,  na  figura  2.5  representamos  os  triˆangulos     ABC  e     PQR nos planos α e β, respectivamente, tais que

&  AB     ≡   PQ         

BC     QR
△         ≡ △

ABC     ≡   &PQR  }ı’ (LAL)

Nestas condic¸˜oes, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos tem-se que                                                                                                        ABC                                                                                                        PQR. Vamos agora resolver um problema de congruˆencia no espa¸co no exemplo a seguir.

⊥              ⊥                ≡                                    ≡

Exemplo  2.1.  Na figura 2.6 sabe-se que A,  B,  C  e D  s˜ao pontos n˜ao coplanares,  e que B,

 

C  e  D  est˜ao  no  plano  α.  Se  AB      BC,  AB     BD  e  BC    BD,  demonstre  que  AC                                                                AD.

 

A

 

Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7

 

Soluc¸a˜o:  Os  triˆangulos  ABD  e  ABC  s˜ao  congruentes  pelo  caso  LAL,  pois

AB     ≡   AB            Lado  comum  aos  triˆangulos;          vı

&ABD      ≡   &ABC     Aˆngulos  retos,  por  hip´otese;            }ı (LAL)

a

BD    ≡   BC           Lados  congruentes,  por  hip´otese.  

Logo  os  lados  AD  e  AC  s˜ao  congruentes.

Resolva vocˆe o problema seguinte.

CAB,  AB BD  e  AB BC.  Nestas  condi¸c˜oes,  prove  que  AD AC.

&Problema  2.7.  Novamente  usando  a  figura  2.6  como  referˆencia,  suponha  que  &DAB  

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 25

 

 

 

 

  • O axioma  das  paralelas  no  espa¸co

 

Vimos  em  [7]  que  duas  retas  paralelas  no  plano  s˜ao  retas  que  n˜ao  tˆem  pontos  em  comum. No  espa¸co,  por´em,  temos  outra  situa¸c˜ao  em  que  retas  n˜ao  tˆem  pontos  em  comum,  as  retas reversas:

 

 

 

Figura 2.7: – Retas reversas

 

 

Defini¸c˜ao  2.5.  Duas  retas  no  espa¸co  sa˜o  reversas  se  n˜ao  est˜ao  contidas  em  um  mesmo plano.

 

Na figura 2.7 representamos duas retas reversas.  Para indicar em ilustra¸c˜oes que as retas s˜ao reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos expressar a ideia de que a reta r  passa “por tr´as” da reta l  em rela¸c˜ao `a nossa vis˜ao.

∈/
∈          ∈

Problema  2.8.  Como  vocˆe  demonstraria  a  existˆencia  de  retas  reversas?  Isto ´e,  tome  uma reta r e um ponto P r e prove que por P passam retas reversas a r.

Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A r e B s e sejam α o plano determinado  por  r  e  B, e  β  o  plano  determinado  por  s  e  A.  Desenhe  a  situa¸c˜ao  descrita  e diga  quem ´e  α    β.

 

A defini¸c˜ao de retas paralelas fica assim:

 

Figura 2.8: – Retas paralelas

 

 

Defini¸c˜ao  2.6.  Duas  retas  r  e  l  no  espa¸co  s˜ao  paralelas  se  s˜ao  coplanares  e  n˜ao  possuem pontos  em  comum.  Denotaremos  esta  rela¸cao,  como ´e  tradicional,  por  r                                                                                                        l.

 

O axioma das paralelas continua valendo.

 

Como  todos  devem  se  lembrar,  na  geometria  plana  demonstramos  a  existˆencia  de  retas

 

paralelas.  Este  fato  (e  sua  demonstra¸c˜ao)  s˜ao  v´alidos  no  espa¸co. pequeno cuidado a mais.

E´  preciso  apenas  ter  um

 

Teorema  2.7.  Sejam  dados  uma  reta  r  e  um  ponto  P  fora  de  r.  Ent˜ao  existe  uma  u´nica reta s passando por P e paralela a r.

 

 

 

26     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano:  seja α o plano determinado  por  r  e  P ,  e  tome  s     α  a  reta  paralela  a  r  passando  por  P ,  cuja  existˆencia ´e garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.

 

Problema  2.10.  Reveja  a  demonstra¸c˜ao  da  existˆencia  de  retas  paralelas  em  um  texto  de fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.

 

Duas  retas  paralelas  determinam  um  u´nico  plano.    Vamos  registrar  este  fato  como  uma proposic¸˜ao.

Proposi¸c˜ao  2.8.  Por  duas  retas  paralelas  r  e  l  passa  um  u´nico  plano.

 

=

Demonstrac¸a˜o.  Observe que, por defini¸c˜ao, as retas paralelas r e l est˜ao contidas em um plano  α.   Suponha  que  exista  um  outro  plano  β  contendo  e  l.   Se  P  ´e  um  ponto  de  l, ent˜ao  β  ´e  determinado  por  r  e  P .   Mas  α  tamb´em  ´e  determinado  por  r  e  P  donde,  pelo problema 1.3, α β.

 

V´arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co. Uma  das  mais  importantes  ´e  a  transitividade  que  registramos  no  teorema  a  seguir,  cuja demonstra¸c˜ao ser´a apresentada na se¸c˜ao 2.5.

 

Figura 2.9: – Teorema 2.9

 

 

∥        ∥               ∥

Teorema  2.9.  Se  r,  s  e  t  s˜ao  retas  tais  que  r      s  e  s     t  ent˜ao  r     t.

 

Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ao deste teorema.

Exemplo  2.2.  Em  geometria  plana  prova-se  o  seguinte  resultado:   dado  um  quadril´atero qualquer     ABCD  num  plano,  os  pontos  m´edios  de  seus  lados  sa˜o  v´ertices  de  um  paralelo- gramo.   O  mesmo  resultado  vale  se  os  v´ertices  do  quadrila´tero  n˜ao  s˜ao  coplanares  (veja  a figura 2.10)

De fato, tome 4 pontos A, B, C  e D n˜ao coplanares, e seja α o plano determinado por A, B e D.  Sejam M, N, P  e Q os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Ent˜ao  temos,  no  triˆangulo     ABD,  que

2

MPBD e  MP = BD.

 

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 27

 

 

 

 

 

C

 

Figura 2.10: – Exemplo 2.2

 

 

Analogamente,  no  triˆangulo  BCD  temos

2

ON BD  e ON = BD.

 

←—→ ∥                   ∥        ⇒        ∥                                                                  ←—→

Assim temos que

  • M P BD  e  ON      BD     MP       ON, pelo teorema Em particular, M P  e

ON  s˜ao  coplanares,  ou  seja,  os  quatro  pontos  m´edios  pertencem  a  um  mesmo  plano.

  • MP
e  congruentes,  donde ´e  um  paralelogramo.                                                                                       a

Provamos ent˜ao queMNOP  ´e um quadril´atero contido num plano com dois lados paralelos

Problema   2.11.   Reveja  as  demonstra¸c˜oes  dos  fatos  sobre  paralelogramos  utilizados  no exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.

 

 

 

  • Opcional: demonstra¸c˜ao  dos  teoremas  2.1  e  2.9

 

Apresentamos nesta se¸c˜ao as demonstra¸c˜oes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura ´e opcional. Come¸camos pelo teorema 2.1.

Demonstrac¸a˜o.  (Teorema  2.1)  Sejam  α  um  plano  e  P   ∈/̃α  um  ponto  (existe  o  ponto

P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos Eα e Eα e provar que satisfazem as

̃

propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.

 

=                                                    ∩        }= ø  ∪ { } ∪
  • Definamos Eα e Eα da seguinte forma:
̃   =                                                                 }∩                                                                 ≠ ø

Eα      pontos  X  do espa¸co tais que  XP       α                P       α

Eα      pontos  X  do espa¸co tais que  XP       α

–     −
I.5) e na reta PQ tome R tal que P Q R2. Assim R ∈ ̃E  (veja figura 2.11).α

Observe  que  E←α→≠ ø,  pois  P  ∈ Eα.  Para  verificar  que  ̃Eα ≠ ø tome  Q α  (pelo  axioma

 

 

2Lembramos  que  em  [7]  usamos  a  nota¸c˜ao  P    Q    R para  indicar  que  o  ponto  Q est´a entre P  e  R,  isto  ´e, que o ponto Q pertence ao interior do segmento P R.  Em particular, a existˆencia de R ´e garantida pelo axioma II.3 de [7].

 

 

 

28     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Figura 2.11

 

 

̃
∩    = ø                ∈ ̃
(b)  ou XP α ≠ ø, donde X ∈ Eα (observe que este u´ltimo caso engloba a possibilidade
  • O item (a) do teorema ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao dos conjuntos Eα e Eα: dado um ponto X qualquer do espa¸co, podem acontecer duas coisas:
  • ou XP α        , donde X  Eα;

Xα.).                                                              ̃

(3)  Para  provar  (b)  tomemos  X  ∈  α.   Ent˜ao  X  ∈  Eα̃por  defini¸c˜ao,  e  X  ∈  Eα  pois,  neste

Logo todos os pontos do espa¸co est˜ao em Eα ∪ Eα.                                              ̃

segundo caso, XP α = {X} ≠ ø.  Assim α ⊂ Eα ∩ Eα.                        ̃                        ̃

como X E    ent˜aoα
P  ∈/ E    ent˜ao  X  P .  Em  particular  XP  α = {D},  D  um  ponto  de  α.  Por  outro  lado,α

Parãverificar  a  continˆencia  rec´ıproca  tomemos  agora  X  ∈  Eα ∩ Eα.   Como  X  ∈  Eα  e

∩   = ø
  • ou XP α , ou
(iii) X α.
  • X = P , ou
ou seja, E ∩ E ⊂ α, como quer´ıamos provar.α          α
̃

Ora, j´a vimos que os itens (i) e (ii) acima n˜ao podem acontecer, donde s´o pode ser X α,

  • Para a  demonstra¸c˜ao  dos  itens  (c)  e  (d)  vamos  chamar  a  atenc¸˜ao  para  o  seguinte  fato: se  P ,  A  e  B  s˜ao  trˆes  pontos  do  espa¸co,  sempre  existe  um  plano  que  os  cont´em  (veja  o exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou n˜ao interceptar o plano α.  Posto isto, vamos analisar (c).
um plano contendo A, B  e P .  Se α e β  n˜ao se encontram, ent˜ao ´e claro que AB α = ø

Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertenc¸am a um mesmo semiespa¸co, por exemplo, A, B    Eα.  Neste caso, por definic¸˜ao, AP  e BP  n˜ao interceptam α.  Seja β

figura 2.12c).
axioma II.̃6 ao plano β e `a reta l vemos AB l = ø, donde AB α = ø (veja figura 2.12a).

(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α β = l. Aplicando o Se A, B ∈ Eα a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja

Para  verificar  a  rec´ıproca  suponhamos  que  AB  n˜ao  intercepte  α  e  provemos  que  A e  B  est˜ao  num  mesmo  semiespa¸co.   O  argumento  segue  a  mesma  ideia  do  par´agrafo precedente:   tome  β  um  plano  contendo  A,  B  e  P .   Se  β  n˜ao  encontra  α,  ent˜ao  AP e  BP  tamb´em  n˜ao  cortam  α,  donde  A  e  pertencem  a  Eα,  por  defini¸c˜ao.   Se  β  e  α se  interceptam  segundo  uma  reta  l,  ent˜ao  AB  n˜ao  encontra  l  donde,  pelo  axioma  II.6 aplicado a β e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β em rela¸c˜ao a l, ou seja, A e B  se encontram num mesmo semiespa¸co em rela¸c˜ao a α.

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 29

 

 

 

 

 

 

 

 

  • (b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(c)                                                                     (d)

 

Figura 2.12

 

 

 

A an´alise de (d) ´e inteiramente an´aloga `a realizada para (c) bastando trocar a express˜ao “n˜ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados.  Deixamos este exerc´ıcio ao leitor.

 

Agora passamos `a demonstra¸c˜ao do teorema 2.9.

 

Figura 2.13:  – Demonstra¸c˜ao do teorema 2.9

 

 

 

Demonstrac¸a˜o.  (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t s˜ao coplanares j´a foi provado em [7].  Vamos estudar ent˜ao o caso em que as trˆes retas n˜ao s˜ao coplanares.  Acompanhe os passos abaixo na figura 2.13.

 

 

30     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

∥        ∥
  • Suponha, como no enunciado, que r s e s   t. Sejam α o plano determinado por s e t, e  β o  plano  determinado  por  s e  r.  Como  as  retas  n˜ao  s˜ao  coplanares,  por  hip´otese,  os planos α e β s˜ao distint  Al´em disso

 

∩   =

α β   s.

 

  • Tome um ponto P r qualquer e seja γ o plano determinado por t e P . Como γ e β s˜ao distintos e possuem o ponto P em comum, ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta l.
por  absurdo,  que  l e  s se  encontram  num  ponto  Q.  Ora,  nesta  situa¸c˜ao  Q γ e  Q α,
  • As retas l e s est˜ao contidas no plano β. Vamos provar que l s.  Para isto suponhamos,

 

∩   =

donde γ e α se interceptam segundo uma reta.  Mas a reta s passa por Q e est´a contida em ambos os planos, logo

=

γ   α   s.

Por´em t tamb´em est´a contida em ambos os planos.  Assim temos s   t, o que ´e absurdo, pois estamos supondo que as retas s˜ao distintas.  Ent˜ao o ponto  Q n˜ao pode existir, ou seja, l s.

por P . Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r γ.
  • Do item anterior conclu´ımos que as retas l = γβ e rβ s˜ao paralelas a sβ e passam
pertenceria a s = αβ, ou seja, r e s teriam um ponto em comum.  Mas isto ´e imposs´ıvel,
  • Provamos que as retas r e t est˜ao ambas contidas em γ (veja figura 2.9). Se r e t tivessem um ponto  X em  comum,  ent˜ao  este  ponto  pertenceria  a  β e a  α (por  quˆe?),  donde  X

 

pois rs por hip´otese.  Logo rt, com quer´ıamos provar.

 

Problema  2.12.  Complete  os  detalhes  das  demonstra¸c˜oes  acima.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 31

 

  • Exerc´ıcios

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.14: – Exerc´ıcio 2.1

 

 

  • Definimos uma  regi˜ao  poliedral  do  espa¸co  como  sendo  uma  interse¸c˜ao  de  semiespa¸cos. Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regi˜oes poliedrais, como ilustrado na  figura  14.   Determine  em  quantas  regi˜oes  poliedrais  os  planos  α,  β  e  γ  representados na  figura  2.15  dividem  o  espa¸co.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.15: – Exerc´ıcio 2.1

 

 

  • Examine a  figura  12  da  aula  anterior  e  liste  todos  os  ˆangulos  que  nela  aparecem.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.16: – Exerc´ıcios 2.3

 

base  BC.  Prove  que  os  triˆangulos  DAB  e  DAC  s˜ao  congruentes  entre  si.
  • a Na figura 16 suponha que os triˆangulos ABC e DBC  s˜ao is´osceles, ambos com

 

 

 

 

 

 

 

32     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

&         ≡ &          ≡ &
  • Ainda na figura 16a suponha que

 

ADB        BDC        CDA

 

e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto D sejam congruentes entre si. Prove  que                       ABC  ´e  equil´atero.

 

AD  ´e  bissetriz  de  &BAC,  prove  que  PD  ´e  bissetriz  de  &BPC.
  • Na figura 16b  os  triˆangulos  ABC  e  PBC  s˜ao  is´osceles,  ambos  com  base  BC.  Se
△         ≡ △
  • Neste exerc´ıcio usaremos  novamente  a  figura  16b  como  referˆencia.    Suponha  que

PBC        ABC  e  que  D  ´e  um  ponto  qualquer  entre  B  e  C.  Nestas  condi¸c˜oes  prove  que

2.7. Sejam r e s retas concorrentes e α o plano por elas determinado.  Seja ss uma reta

&DAP  ≡ &DPA.

 

 

 

 

concorrente com r e paralela a s. Prove que s s  e  concorrentes  com  r  est˜ao  contidas  em  α.

α. Conclua que todas as retas paralelas a

 

 

2.8. Sejam r e s retas reversas.

 

  • Prove que existe uma reta s concorrente com r e paralela a
  • Prove que todas  as  retas  paralelas  a  s  e  concorrentes  com  r  est˜ao  contidas  num  mesmo plano que, em particular, cont´em r.  (Sugest˜ao:  observe que se s  ´e uma reta concorrente com r e paralela a s ent˜ao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s s˜ao paralelas a  s   (justifique  esta  afirma¸c˜ao)  e  aplique  o  exerc´ıcio  anterior.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 2 – MAIs PRoPRIEDADEs Do EsPAço                 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Paralelismo no espaço

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 34                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:31

 

 

 

 

 

 

AULA3:  PARALELISMO  NO  ESPAC¸ O

 

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Na  aula  anterior  fomos  apresentados,  na  se¸c˜ao  2.4,  `as  retas  paralelas  no  espa¸co,  e  vimos  o axioma  V,  sobre  a  unicidade  das  paralelas,  e  algumas  de  suas  consequˆencias.   Nesta  aula aprofundaremos  o  estudo  de  paralelismo  entre  retas  e  planos  no  espa¸co,  e  apresentaremos nossos primeiros objetos “espaciais”.

 

 

  • Paralelismo entre retas e planos

 

Na  aula  anterior  estudamos  propriedades  de  paralelismo  entre  retas  no  espa¸co.  Agora  pas- samos ao pr´oximo est´agio:  paralelismo entre retas e planos.  A defini¸c˜ao ´e natural:

Defini¸c˜ao 3.1.  Uma reta r e um plano α no espa¸co s˜ao paralelos, rela¸c˜ao que ser´a denotada por  r     α,  se  n˜ao  possuem  pontos  em  comum.

 

E´   bom  lembrarmos  aqui  uma  terminologia  que  j´a  ´e  conhecida  de  vocˆes  no  contexto  da

geometria  plana:  dizemos  que  duas  retas  s˜ao  concorrentes  ou  secantes  se  se  cortam  em  um ponto.  Esta  mesma  terminologia  se  transporta  naturalmente  para  o  espa¸co.  Por  exemplo, dizemos  que  uma  reta  e  um  plano  s˜ao  secantes  se  possuem  um  ponto  em  comum,  e  assim por diante.

Um primeiro fato sobre retas e planos no espac¸o ´e o seguinte:

 

Figura 3.1

 

 

 

 

 

Precisamos de crit´erios para decidir se uma reta e um plano s˜ao paralelos entre si.  Um deles, o mais fundamental, ´e dado pelo teorema a seguir.

 

Figura 3.2: – Teorema 3.3

 

 

⊂                 ∥

Teorema  3.3.   Um  plano  α  e  uma  reta  r  n˜ao  contida  nele  sa˜o  paralelos  entre  si  se,  e somente se, existir uma reta s α tal que s r.

 

⊂                 ∥
por quˆe!).
Tome P α um ponto qualquer e seja β o plano determinado por r e P .   Seja s a reta

Demonstrac¸a˜o.  Para a primeira parte suponha que r α.  Ent˜ao, por defini¸c˜ao, r α = ø. segundo  a  qual  α  e  β  se  interceptam  (veja  figura  3.2).  Ent˜ao ´e  claro  que  r s  (explique  o

Reciprocamente, suponha que exista s    α tal que r    s. Seja β o plano determinado por r e

∥               ∥
  1. s. Nesta situa¸c˜ao todos os pontos comuns entre α e β s˜ao os pontos de s.  Em particular, se houvesse um ponto em comum entre r e α, este ponto deveria pertencer a s, uma contradi¸c˜ao, j´a que supomos r     s.  Logo r     α.

 

Problema  3.2.  Explicite  na  demonstra¸c˜ao  acima  os  axiomas  e  resultados  anteriores  que (implicitamente) foram utilizados.

Corol´ario 3.4.  Dados um plano α e um ponto P  fora de α, existe uma reta r  passando por

P e paralela a α.

 

Demonstrac¸a˜o.  A demonstra¸c˜ao deste corol´ario ´e bem simples.  Tome uma reta qualquer

por P .  Ent˜ao s α.

s   α e seja β o plano determinado por P e s. Em β tome r a reta paralela a s passando

 

Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao do teorema 3.3.

 

 

Exemplo 3.1.  Vamos mostrar que se uma reta r

´e  paralela  a  dois  planos  secantes,  ent˜ao  ´e  paralela  `a interse¸c˜ao  destes  dois  planos.

l = α β.   Ora, como r α, existe uma reta s α
t s.  Seja γ o plano determinado por t e s.  Vamos
reta  t β  com  r t.  Como  consequˆencia  temos  que

Sejam α e β planos secantes e paralelos a r. Seja tal que r s. Analogamente, como r β, existe uma

provar que lγ (veja figura 3.3).

Figura 3.3

 

e l s e, portanto, l r.                                                                                                                        a
∩ =         ∩ =                 ∈ ∩                                            ∥                 ∥

De  fato,  suponha  que  l  encontre  γ  em  um  ponto  P.  Ent˜ao  os  planos  α,  β  e  γ  se  encontram em P.  Mas α    γ                                   s e β    γ     t, donde P    s    t, o que ´e um absurdo.  Logo l                    γ, donde l    t

 

 

 

 

 

36     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

=     ∩

Problema 3.3.  Mostre que se α, β e γ s˜ao trˆes planos que se encontram em um ponto, ent˜ao n˜ao  pode  existir  uma  reta  paralela  aos  trˆes  simultaneamente.  (Sugest˜ao:  tome  r  paralela  a α  e  β,  por  exemplo.  Pelo  exemplo  anterior  r  ´e  paralela  a  l     α    β.  Verifique  que  γ  e  l  s˜ao secantes  e  aplique  a  proposi¸c˜ao  3.2).

 

 

 

  • Paralelismo entre planos

 

A pr´oxima etapa ´e estudar o paralelismo entre planos.  A defini¸c˜ao natural de planos paralelos

´e

Defini¸c˜ao  3.5.  Dois  planos  α  e  β  s˜ao  paralelos  se  n˜ao  possuem  pontos  em  comum.   Esta rela¸c˜ao  ser´a  denotada  por  α                                             β.

 

Apresentamos um crit´erio para testar paralelismo de planos an´alogo ao teorema 3.3.

um par de retas concorrentes paralelas a β).
(

Teorema  3.6.  Dois  planos  α  e  β  s˜ao  paralelos  entre  si  se  e  somente  se  existir  em  β  um par de retas concorrentes paralelas a α.   Ou, reciprocamente, se e somente se existir em α

 

 

Demonstrac¸a˜o.  A primeira parte ´e simples:  se α      β  ent˜ao nenhuma reta de β  intercepta

α.  Em particular, quaisquer retas concorrentes de β  s˜ao paralelas a α.

 

Figura 3.4

 

dois planos.  Ora, como l α, e r α, s α, ent˜ao r  e s s˜ao retas passando por um ponto P

A rec´ıproca ´e mais interessante.  Sejam r  e s duas retas de β  concorrentes em um ponto P , e suponha que e s sejam paralelas a α.  Vamos provar que α    β.  Para isto suponhamos, por  absurdo,  o  contr´ario,  isto ´e,  que  α  e  β  se  interceptam,  e  seja  l  a  reta  de  interse¸c˜ao  dos

 

e paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo α β

 

 

Este teorema nos d´a uma forma de construir planos paralelos.

Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano α passa um e somente um plano β paralelo a α.

 

Demonstrac¸a˜o.  Para provar a existˆencia de β  fa¸camos a seguinte constru¸c˜ao:

 

  • Tome em α duas retas concorrentes r e s.
  • Tome as retas r e s passando por P e paralelas a r e s,
  • Seja β o plano determinado por r e s.  Ent˜ao β  ´e paralelo a α, pelo teorema anterior.

 

 

 

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço      37

 

 

 

 

 

Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos β e γ passando por P e paralelos a α (veja a figura 3.5). Tome t  α uma reta qualquer e seja ζ o plano determinado por t e P .  Ent˜ao ζ  corta β  segundo uma reta r  e γ  segundo uma reta s.

 

Figura 3.5

 

Assim r e s s˜ao retas distintas e paralelas a α.  Em particular, r, s e t s˜ao retas de ζ  paralelas entre si.  Mas r  e s passam pelo mesmo ponto P , o que contradiz o axioma V. Logo n˜ao h´a dois planos distintos passando por P e paralelos a α.

 

Problema  3.4.  Justifique  os  passos  (1)  a  (3)  da  demonstra¸c˜ao  do  teorema  anterior.

 

 

 

 

  • Algumas propriedades  de  paralelismo  no  espa¸co

 

Listaremos nesta sec¸˜ao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades j´a conhecidas de retas paralelas no plano.

 

Figura 3.6: – Teorema 3.8

 

 

Teorema  3.8.  Se  uma  reta  corta  um  plano,  corta  tamb´em  qualquer  plano  paralelo  a  este.

 

Demonstrac¸a˜o.  Seja  r  uma  reta  secante  a  um  plano  α.   Seja  A  o  ponto  em  que  r  corta α. Seja β um plano paralelo a α. Seja γ um plano qualquer passando por r. Em particular γ  cont´em  o  ponto  A  e  corta  α  segundo  uma  reta  t.   Pelo  teorema  3.7  sabemos  que  γ  n˜ao pode ser paralelo a β  (por quˆe?), donde γ  e β  se cortam segundo uma reta l.  Assim l     t e r

´e  secante  a  t,  donde  r  ´e  secante  a  l,  por  resultado  j´a  conhecido  de  geometria  plana.  Ent˜ao provamos que r passa por um ponto B β.

 

 

 

38     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

Problema  3.5.  Complete  a  figura  3.6  com  os  elementos  constru´ıdos  na  demonstra¸c˜ao  do teorema 3.8.

 

O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” e vice-versa.

 

Figura 3.7: – Teorema 3.9

 

 

Teorema  3.9.  Se  um  plano  corta  uma  reta,  corta  tamb´em  qualquer  reta  paralela  a  ela.

Problema 3.6.  Demonstre o teorema 3.9. (Sugestao: Suponha que o plano α corta a reta r em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja β o plano determinado por r e s. Reduza  o  problema  ao  caso  an´alogo  entre  retas  paralelas  num  plano.)

 

Finalmente temos resultado an´alogo a estes para planos.

Teorema  3.10.  Se  um  plano  α  ´e  secante  a  um  plano  β,  ent˜ao  α  ´e  secante  a  todo  plano paralelo a β.

 

 

Figura 3.8: – Teorema 3.10

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Sejam  α  e  β  planos  secantes.  Seja  γ  um  plano  paralelo  a  α.  Se  β  fosse paralelo  a  γ  ter´ıamos  uma  contradi¸c˜ao  com  a  parte  da  unicidade  do  teorema  3.7.   Logo  β n˜ao pode ser paralelo a γ, e portanto β  e γ  s˜ao secantes (veja figura 3.8).

Problema  3.7.  Prove  que  as  retas  r  e  s  representadas  na  figura  3.8  s˜ao  paralelas  entre  si, onde  os  planos  α,  β  e  γ  s˜ao  como  descritos  na  demonstra¸c˜ao  do  teorema  acima.

 

Uma consequˆencia deste teorema ´e a transitividade de paralelismo para planos.

Corol´ario  3.11.  Dados  trˆes  planos  α,  β  e  γ  distintos  tais  que  α β  e  β γ,  ent˜ao  α γ.

 

 

 

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço      39

 

Demonstrac¸a˜o.  De fato, se α n˜ao fosse paralelo a γ, ou seja, se α fosse secante a γ ent˜ao, pelo teorema anterior, α seria secante a β,uma contradi¸c˜ao.

  • Problemas resolvidos

Apresentamos  nesta  sec¸˜ao  alguns  problemas  resolvidos  utilizando  os  resultados  desta  aula, para vocˆes se acostumarem com as t´ecnicas de trabalho em geometria espacial.

 

 

Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9

 

 

Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paralelo a  s.  Mostre  que  este ´e  o  u´nico  plano  poss´ıvel.

 

 

Soluc¸a˜o.  Por  um  ponto  qual′quer  Xr tome  a  reta  s paralela  a  s.  Ent˜ao  a  soluc¸˜ao  ´e  o

plano α determinado por r e s  (veja figura 3.9), j´a que:

 

∥              ∥            ⊂
  • rα, por constru¸c˜ao;
  • s α, pois s   s, e s    α, por constru¸c˜
′′ ⊂

Para  verificar  que  α ´e  o  u´nico  plano  com  as  propriedades  desejadas,  tome  um  outro  plano β passando por r. Se s e β fossem paralelos, existiria uma reta s β (pelo teorema 3.3) passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V.

 

⊂           ⊂

Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e β

tais  que  r   α e  s   β.  Mostre  que  esta ´e  a  u´nica  solu¸c˜ao  poss´ıvel.

 

Soluc¸a˜o.  Primeiro sigamos os seguintes passos:

 

  • Usando o problema 8 construa o plano α contendo r e paralelo a s.
  • Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um u´nico plano β paralelo a α.
l = s.
uma  reta  l que  passa  por  P .  Como  βα ent˜ao  lr.  Assim  pelo  axioma  V  temos  que
  • Provemos que sβ:  seja  γ o  plano  determinado  por  r e  P .  Ent˜ao  γ corta  β segundo

 

Com os passos acima constru´ımos dois planos α e β com as propriedades desejadas. A unicidade decorre do problema anterior.

 

O problema seguinte ´e mais complicado.

 

 

 

40     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

Figura 3.10

 

 

Problema 3.10.  Sejam dadas trˆes retas r, s e t reversas duas a duas.  Construa, se poss´ıvel, uma  reta  paralela  a  t  e  secante  a  r  e  s  simultaneamente.  Prove  que  a  solu¸c˜ao,  se  existe,  ´e u´nica.

 

Soluc¸a˜o.  Este  problema  nem  sempre  tem  soluc¸˜ao,  pois  depende  da  posi¸c˜ao  relativa  das retas. Vejamos o que pode acontecer.

Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temos duas possibilidades:

 

  • t ´e paralela a α e, consequentemente, tamb´em ´e paralela a β.
  • t corta α e, consequentemente, tamb´em corta β.

 

Se  acontece  (i)  o  problema  n˜ao  tem  solu¸c˜ao.   De  fato,  se  l  ´e  uma  reta  concorrente  com  r, por exemplo, e paralela a t, ent˜ao l ´e paralela a β, j´a que t ´e paralela a β.  Logo l  n˜ao pode ser concorrente com s (veja figura 3.10).

 

Figura 3.11

 

Se acontece (ii) o problema tem solu¸c˜ao.  Para constru´ı-la sigamos os passos (acompanhe na figura 3.11):

 

=     ∩                                      =    ∩              ∥
  • Tome γ o  plano  paralelo  a  t  contendo  r  (problema  3.8).   O  plano  γ  ´e  secante  a  α  e  β

(por quˆe?).  Temos que r      α    γ.  Observe ainda que se b      β    γ  ent˜ao r      b (por quˆe?).

 

 

 

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço      41

 

 

(3)  Seja  t a  reta  que  p′assa  por  A  e ´e  paralela  a  t.  Como  t γ  ent˜ao′  t est´a  contida  em  γ
  • A reta s  corta  γ  em  um  ponto  A  pois,  caso  contr´ario  seria  paralela  a  b  e,  portanto, paralela a r, uma contradi¸c˜ao.  Em particular A    b.

 

 

 

´e uma solu¸c˜ao do problema.
Para  mostrar  que  t  ´e  sol′u′ ¸c˜ao  u´nica,  tome  t  u′m′  a  outra  solu¸c˜ao.    Ent˜ao  t  ∥ t  e  t  ´e

(por quˆe?).  Como t

 

´e secante a b, por construc¸˜ao, e b r, ent˜ao t

´e secante a r.  Assim

 

 

 

concorrente com r.  Logo t   γ  (por quˆe?).  M′a′ s t

tamb´em deve ser concorrente com s; no

 

entanto s encontra γ no ponto A, donde A t

. Assim t  = t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

  • Exerc´ıcios
  • Sejam α,  β  e  γ  trˆes  planos  distintos.  Mostre  que  as  posi¸c˜oes  relativas  dos  trˆes  planos s˜ao  as  seguintes:

 

  • Os trˆes  planos  s˜ao  paralelos.
  • Dois deles  s˜ao  paralelos  entre  si,  e  o  terceiro  ´e  secante  a  ambos,  cortando-os  segundo retas paralelas entre
  • Os trˆes  planos  de  cortam  segundo  uma  r
  • Os trˆes  planos  se  cortam  dois  a  dois  segundo  trˆes  retas  paralelas  entre  si.
  • Os trˆes  planos  se  encontram  em  um  u´nico  p

 

Para  cada  situa¸c˜ao  da  lista  acima  encontre  um  exemplo  no  “mundo  real”.

 

 

  • Sejam r  e  s  duas  retas  reversas,  e  P  um  ponto  que  n˜ao  pertence  a  nenhuma  das  duas. Mostre  que  existe  um  u´nico  plano  α  passando  por  P  paralelo  a  r  e  s.

 

 

□              □                □
  • Na figura 12  os  quadril´ateros     ABCD,      ADEK  e      BCEK  s˜ao  paralelogramos.

Demonstre que

 

∥       ∥
  • EK AD BC e
  • &KAB ≡ &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 3.12: – Exerc´ıcio 3.3                                 Figura 3.13: – Exerc´ıcio 3.4

 

 

=
  • Na figura 13 AP, BP e CP  s˜ao perpendiculares entre si;  AC         BC; e D,  E  e F  s˜ao pontos  m´edios  dos  respectivos  segmentos.  Mostre  que

&DEF  ≡ &PAB.

(Sugest˜ao:  mostre  que  os  triˆangulos  APB  e  EDF  s˜ao  semelhantes.)

secantes a α. Se A, A
s˜ao  os  pontos  em  que  r  e  r
encontram α, respectivamente, e B, B
  • Sejam α e  β  dois′ plano  paralelos  entre  si.  Sejam  r  e  r duas  retas  paralelas  entre  si  e
verifique  que  AA B B  ´e  um  paralelogramo.)

s˜ao os pontos em qu′ er e r encontram β, respectivamente, prove que ABAB.  (Sugest˜ao:

 

 

 

 

 

AUL A 3: PAR ALELIsMo No EsPAço      43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Perpendicularismo entre retas e planos no espaço

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 44                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:34

 

 

 

 

 

 

 

AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E  PLANOS  NO  ESPAC¸ O

 

 

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Na  se¸c˜ao  2.3  estudamos  um  pouco  sobre  ˆangulos  “planos”  no  espa¸co,  isto ´e,  sobre  aˆngulos determinados  por  pares  de  semirretas,  que  j´a  bem  conhecemos.    No  espa¸co  temos  como ampliar  o  conceito  de  ˆangulo,  pois  podemos  comparar  “inclina¸c˜oes”  n˜ao  entre  retas  e  se- mirretas,  como  tamb´em  entre  retas  e  planos  e  entre  planos.  Nesta  aula  estudaremos  sobre ˆangulos entre retas e planos no espa¸co.

 

  • Aˆngulos entre  retas  no  espa¸co

 

&(    )                               (&(    ))

Nesta se¸c˜ao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de ˆangulos entre retas no espa¸co. No  plano  duas  retas  ou  s˜ao  paralelas  ou  se  cortam.   No  primeiro  caso  podemos  dizer  que o  ˆangulo  entre  elas  ´e  nulo,  ou  zero;  no  segundo  caso  as  retas  determinam  no  plano  quatro ˆangulos,  e dizemos que o ˆangulo entre elas ´e o menor deles1.  O ˆangulo entre duas retas r  e l ´e indicado por       r, l  , e sua medida por m        r, l    .

 

 

Figura 4.1

 

(&(     )) =
m(&(r, l)) = m(&a).
(& ) ≤     (& )                                                                  &(    ) = &

Na figura 4.1a as retas r  e l  s˜ao paralelas, e ent˜ao m        r, l         0.  Na figura 4.1b as retas r e l  s˜ao concorrentes, demarcando no plano α quatro ˆangulos, dois a dois congruentes, como indicado.  Se  m      a       m      b    (como  sugere,  visualmente,  a  figura)  ent˜ao,       r, l                                                                                                     a,  ou

 

 

 

 

 

 

Figura 4.2

 

 

′                                                                             ′
auxiliares.  Dito de outra f′orma, se, por exemplo, r for uma reta paralela a r  e concorrente′

No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem concorrentes nem paralelas. Como  poder´ıamos  medir  o  ˆangulo  entre  elas?  Bem,  poder´ıamos  fazer  o  seguinte:  “colocar” uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas.  Explicando melhor, se r e s s˜ao reversas, tomamos, por exemplo, uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medida do  ˆangulo  entre  r  e  s  como  sendo  a  medida  do  ˆangulo  entre  r  e  s .   A  ideia  parece  boa? Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas

 

com  s,  sera´  que  m(&(r, s )) =  m(&(r , s))?   De  fato,  isto  acontece,  como  enunciamos  em

Ent˜ao  m(&(r, s)) = m(&(r ,s )).
′   ′

Teorema 4.1. Sejam r, s e r, s dois pares de retas concorrentes tais que r r e s s.

 

 

 

 

Figura 4.3

 

Na figura 4.3 representamos a situa¸c˜ao do teorema 4.1.  Temos, na figura, que  &a = &(r, s)

′                        ′               ′

e  &b  =  &(r ,s ) onde  r  r   e  s  s .   O  teorema  nos  diz  ent˜ao  que  &a  ≡  &b.   Procure

entender  bem  o  significado  deste  teorema,  que  ´e  bem  intuitivo.   A  sua  demonstra¸c˜ao,  de

′         ′

leitura opcional, ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.5.

Corol´ario  4.2.   Sejam  r  e  s  retas  reversas.    Se  r  ∥ r  e  s  ∥ s  s˜ao  retas  tais  que  r  ´e

Problema   4.1.   Demonstre  o  teorema  4.1  no  caso  em  que  r,   s,   r    e  s    s˜ao  coplana- res.(Sugest˜ao:  consulte  um  livro  de  geometria  plana  como,  por  exemplo,  [7].)

 

 

concorrente a s e s

´e  concorrente  a  r,  ent˜ao

m(&(r, s)) = m(&(r, s)).

 

 

 

Agora podemos definir a medida de ˆangulos entre retas reversas.

(&(    ))                       (&(    ′))            ′

Defini¸c˜ao  4.3.  Sejam  r  e  s  duas  retas  reversas  no  espa¸co.  Definimos  a  medida  do  ˆangulo entre  r  e  s,  denotada  por  m        r, s    ,  como  sendo  m        r, s     ,  onde  s   ´e  uma  reta  paralela a s e concorrente a r.

 

 

 

46     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Proble′ ma 4.3.  Sejam r e s retas reversas, e sejam rr, ss tais que r seja concorrente

a s e s

concorrente a r. Prove que

m(&(r, s)) = m(&(r, s)) = m(&(r, s)) = m(&(r, s)).

 

 

 

 

  • Perpendicularismo de retas e planos

 

Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s s˜ao perpendicula- res se s˜ao concorrentes e os ˆangulos que formam entre si s˜ao retos, e esta rela¸c˜ao ´e denotada por  r    s.   Esta  defini¸c˜ao  continua  valendo  no  espa¸co,  ´e  claro.   Veremos  agora  como  fica  o conceito de perpendicularidade entre retas e planos.

 

Figura 4.4

 

A  ideia  de  uma  reta  perpendicular  a  um  plano  ´e  bem  intuitiva.   Basta  vocˆe  equilibrar  um l´apis  em  sua  base  sobre  a  mesa  que  ter´a  a  “sensa¸c˜ao”  do  que  ´e  perpendicularismo  de  reta (representada pelo l´apis) e plano (representado pela mesa).  Se vocˆe medir o ˆangulo entre o l´apis  e  o  plano  em  qualquer  direc¸˜ao  do  plano  ver´a  que ´e  aproximadamente  um  ˆangulo  reto (veja a figura 4.4).  Formalizaremos este conceito na definic¸˜ao abaixo.

Defini¸c˜ao  4.4.  Uma  reta  r  e  um  plano  α  s˜ao  perpendiculares  entre  si,  rela¸c˜ao  denotada por r α, se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de α que passa por P for perpendicular  a r (veja figura 4.5).  O  ponto  P  ´e chamado de p´e da reta r,  perpendicular  ao plano.

 

Figura 4.5

 

 

⊥                                    ⊂                            (&(     )) =

Problema  4.4.  Mostre que se r    α ent˜ao para toda reta s    α tem-se que m      r, s       90.

Observa¸c˜ao 4.1.  Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espa¸co que fazem entre si  um  aˆngulo  reto.  Se  s˜ao  concorrentes,  com  j´a  dissemos,  as  chamamos  de  perpendiculares. Se  s˜ao  reversas,  dizemos  que  s˜ao  ortogonais.   Algumas  vezes  utiliza-se  o  termo  ortogonal para  indicar  quaisquer  pares  de  retas  no  espa¸co  que  fazem  entre  si  um  ˆangulo  reto.

 

Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas e planos no espac¸o an´alogas `as propriedades entre retas perpendiculares num plano.

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  47

 

 

 

 

 

 

Figura 4.6

 

( )                                                                             (                     )

Teorema  4.5.  Sejam  r  e  α  uma  reta  e  um  plano  perpendiculares  entre  si.  Ent˜ao: a    Toda  reta  paralela  a  r  tamb´em ´e  perpendicular  a  α    veja  figura  4.6  .

(b)  Todo  plano  paralelo  a  α  tamb´em ´e  perpendicular  a  r  (veja  figura  4.7).

 

Figura 4.7

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstra¸c˜ao de (b), que

´e inteiramente an´aloga, como exerc´ıcio.

∥               ∩   ≠ ø

Sejam, como no enunciado, r uma reta e α um plano tais que r                                                                                                        α. Seja s uma reta paralela a  r.  O  que  temos  que  fazer ´e  conferir  se  s  satisfaz  a  defini¸c˜ao  4.4.  Pelo  teorema  3.9  vemos

que  como  s      r  ent˜ao  s    α        .  Chamemos  de  A e  Q  os  pontos  em que  r  e ′s  encontram  α,
a u passando por A.  Observe ent˜ao que r, u
e s, u est˜ao na situa¸c˜ao do teorema 4.1, donde

respectivamente. Seja u α uma reta qualqu′er passando por Q, e tomemos u a reta paralela

⊥                                                    ⊥
(&(      )) =     (&(     ))

m        r, u       m        s, u  .

Ent˜ao como r     u, por defini¸c˜ao, conclu´ımos que s     u.

Assim provamos que toda reta de α concorrente com s ´e perpendicular a esta reta, ou seja,

s   α.

Problema  4.5.   Demonstre  a  parte  (b)  do  teorema  anterior.    (Sugesta˜o:   v´a  trocando  a palavra  “reta”  por  “plano”  na  argumenta¸c˜ao  da  demonstra¸c˜ao  do  teorema,  mas  cuidando para  que  fa¸ca  sentido!)

 

Temos ainda o resultado abaixo, an´alogo ao teorema 4.5:

 

 

 

48     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

Teorema  4.6.  As  seguintes  propriedades  s˜ao  v´alidas:

 

  • duas retas  distintas  perpendiculares  a  um  mesmo  plano  s˜ao  paralelas  entre  si,  e
  • dois planos  distintos  perpendiculares  a  uma  mesma  reta  s˜ao  paralelos  entre  si.

 

 

Figura 4.8

 

 

 

Demonstrac¸a˜o.  A  demonstra¸c˜ao  deste  teorema ´e  um  pouquinho  mais  complicada  que  a do  anterior.   Como  no  teorema  anterior,  apresentaremos  em  detalhes  a  demonstra¸c˜ao  do item (a), deixando (b) como exerc´ıcio.

Vamos l´a.  Sejam α um plano e r  uma reta perpendicular a α.  Chamemos de A o ponto em que r encontra α.  Seja s outra reta perpendicular a α, encontrando este plano em um ponto P . Queremos mostrar que r s.

 

Bem,  sabemos ′que  existe  uma  reta  s passando  por  P  e  paralela  ′a  r.   Provaremos  que′ ,  na

verdade,  s  =  s .    Para  isto  suponhamos,  por  absurdo,  que  s  ≠  s .    Neste  caso  s  e  s   s˜ao

retas concorrentes em P  e determinam um plano β.  Os planos α e β  contˆem o ponto P  em comum, logo se cortam segundo uma reta l  (veja a figura 4.8).  Temos ent˜ao que

 

⊥                                 ⊥
  • s l pois, por hip´otese, s     α;

 

⊥              ∥                                                                  ⊥
  • s l, pois s r  por constru¸c˜ao donde, pelo teorema 5, s       α;
  • s e s passam por P e pertencem ao mesmo plano β.
sr.
′                                                               =   ′

Nestas condic¸˜oes temos que s e s  s˜ao retas de β passando por um ponto P  e perpendiculares a uma mesma reta  l,  o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma u´nica reta  perpendicular  a  uma  dada  reta.   Assim  s  e  s   n˜ao  podem  ser  distintas.   Logo  s     s   e

 

Problema  4.6.  Demonstre  a  parte  (b)  do  teorema  acima.   (Sugest˜ao:  veja  a  sugest˜ao  do problema anterior.)

 

 

 

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  49

 

 

 

 

  • Existˆencia de  retas  perpendiculares

 

Apresentamos nas se¸c˜oes anteriores v´arias propriedades envolvendo retas perpendiculares a planos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermos provar a sua existˆencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a definic¸˜ao 4.4, pois  a  frase  “toda  reta  de  α…”  da  defini¸c˜ao  nos  p˜oe  um  problema  pr´atico:  como  testar  se uma reta ´e perpendicular a um plano?  O teorema a seguir nos diz como.

Teorema  4.7.  Uma  reta  r  ´e  perpendicular  a  um  plano  α  se  e  somente  r  for  perpendicular a duas retas distintas de α.

 

Figura 4.9

 

 

⊥        ⊥

A  situac¸˜ao  descrita  no  enunciado  do  teorema  4.7  ´e  ilustrada  na  figura  4.9.   O  teorema  diz que basta verificar a perpendicularidade de r  em rela¸c˜ao a duas retas do plano (no caso da figura, r     t e r     u).  Isto ´e bem intuitivo.  Fac¸a o seguinte experimento:  trace uma reta em uma folha de papel e apoie um l´apis com sua base sobre esta reta, formando um ˆangulo reto com  ela;  mantendo  este  ˆangulo  vocˆe  pode  mover  o  l´apis  para  um  lado  e  para  outro,  como uma dobradic¸a.  Depois trace outra reta na folha, transversal `a primeira e coloque a base do l´apis sobre a interse¸c˜ao das duas retas; observe que o l´apis forma um ˆangulo reto com cada uma delas, e que qualquer movimento que vocˆe fizer com ele alterar´a um desses ˆangulos.

Entendido  o  que  quer  dizer  o  resultado  do  teorema  4.7,  vamos  aplic´a-lo,  como  veremos  a seguir, e deixaremos sua demonstra¸c˜ao como leitura opcional na se¸c˜ao 4.5.

Nossa  primeira  aplica¸c˜ao  do  teorema  4.7  ´e  a  seguinte:   construir  retas  perpendiculares  a planos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemos construir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado.  Veja os dois teoremas a seguir.

Teorema  4.8.  Dados  um  ponto  P  e  uma  reta  r  existe  um  u´nico  plano  α  perpendicular  a  r

passando por P.

 

∈/          ∈
∈/

Demonstrac¸a˜o.  Temos  dois  casos  a  considerar:  P     r  e  P     r.  A  constru¸c˜ao  do  plano  α passando  por  P  e  perpendicular  a  r  ´e  essencialmente  a  mesma  nos  dois  casos,  a  menos  de um pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exerc´ıcio.

Suponhamos ent˜ao que P     r.  Vamos construir o plano α seguindo os seguintes passos, que vocˆe pode acompanhar na figura 4.10:

 

  • Seja β o plano que passa por P e r.  Tome em β  a reta t passando por e perpendicular a r. Seja A o ponto em que t e r se
  • Tome γ um outro plano distinto de β passando por r e, em γ, construa a reta s perpen- dicular a r por A.

 

 

 

50     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Figura 4.10

 

 

⊥        ⊥                                        ⊥
  • Ent˜ao o plano determinado por t e s ´e o plano α que procuramos. De fato:
    • r t e r   s, por constru¸c˜ao, donde r    α, pelo teorema 7;
    • Pα, j´a que Pt.

 

Figura 4.11

 

⊥ ′               ′ ⊥                                              ′
Ent˜ao β, o plano determinado por P e r, corta α
segundo uma reta t . Em particular, como

Para provar a unicidade, suponha que α seja outr′o plano passando por′ P e perpendicular a r.

r   α , ent˜ao t    r.  Assim temos duas retas, t e t , ambas passando por P e perpendiculares a r, o que ´e uma contradi¸c˜ao, j´a que a perpendicular a uma reta por um ponto dado ´e u´nica. Logo o plano α ´e o u´nico plano que passa por P e ´e perpendicular a r (veja a figura 4.11).

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  51

 

 

 

 

planos β e γ quaisquer, distintos, passando por r, e retas t β, s γ passando por P  e

Problema 4.7.  Demonstre o teorema anterior no caso em que P  r.  (Sugest˜ao:  tome dois

 

Teorema  4.9.  Dados  um  um  ponto  P  e  um  plano  α,  existe  uma  u´nica  reta  r  passando  por

P e perpendicular a α.

 

∈/           ∈

Demonstrac¸a˜o.  Como  no  teorema  anterior,  h´a  dois  casos  a  considerar:   P                                                                                                        α  e  P                                                                                                        α. Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor.

 

 

Figura 4.12

 

∈/

Suponhamos  ent˜ao  que  P     α.  Sigamos  os  seguintes  passos,  que  podem  ser  acompanhados na figura 4.12:

 

  • Tome uma reta  t      α  qualquer,  e  seja  β  o  plano  que  passa  por  P  e ´e  perpendicular  a  t

(pelo teorema 4.8).

  • Seja l  a  reta  em  que  os  planos  α  e  β  se  encontram.  Observe  que  l                                                                                                 t  (por  quˆe?).  Seja ainda Q o ponto em que l e t se
  • Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l.

 

A reta r  constru´ıda acima ´e a soluc¸˜ao do nosso problema.  Para aplicarmos a caracterizac˜ao dada no teorema 4.7 precisamos encontrar em α duas retas concorrentes e perpendiculares a  r.   Uma  n´os  j´a  temos:  a  reta  l,  pois  r      l  por  construc¸˜ao.   Para  obter  outra  precisamos analisar duas possibilidades que podem acontecer:

 

rα.
(ii)  Os  pontos  Q  e  R  s˜ao  distintos.   Neste  cas′o  tome  t a  reta  paralela  a  t′  passando  por
  • Os pontos Q  e  R  s˜ao  coincident  Neste  caso,  como  β t  e  r β,  ent˜ao  r t,  donde

 

 

 

  1. R. Ent˜ao,  pelo  teorema  5,  temos  que  t

conclu´ımos que r     α.

β.  Em particular, r t , e novamente

 

 

′                           ′

Finalmente,  para mostrar  que r ´e  a u´nica reta perpendicular  a α  passando por  P  podemos seguir argumento an´alogo ao apresentado no teorema 4.8.  Suponha que exista outra reta r passando por P e perpendicular a α, e seja γ o plano determinado por r e r . Os planos α e

 

 

γ  se cortam segundo uma reta l .  Ent˜ao acabamos de apresentar duas retas perpendicu′lares

a  uma  mesma  reta  passando  por  um  mesmo  ponto,  o  que ´e  uma  contradic¸˜ao.  Logo  r

pode existir.

n˜ao

 

 

 

 

 

52     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

′                                                                                                                                                       ′
duas retas l e l
contidas em α passando por P; tome β e β
os planos perpendiculares a l

Problema  4.8.  Demonstre  o  teorema  anterior  no  caso  em′  que  P  α.   (Sugest˜ao:   tome

e  l ,  respectivamente,  tamb´em  passando  por  P.  Verifique  que  a  reta  r  comum  a  β  e  β   ´e  a reta procurada.)

 

 

 

 

  • Opcional: demonstra¸c˜ao  dos  teoremas  4.1  e  4.7

 

A seguir apresentamos as demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.7.  Come¸camos com o primeiro.

Demonstrac¸a˜o.  (Teorema 4.1) Esta ser´a nossa primeira demonstra¸c˜ao em que usaremos, no espa¸co, a congruˆencia de triˆangulos.  Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumenta¸c˜ao na listados abaixo.

 

Figura 4.13

 

 

(1)  Sejam A e P  o′ s pontos em que r encontra s e que r encontra s, respectivamente.  Tome

B  r  e  R′   ∈ r   pontos  de  um  mesmo  lado  do  espa¸co  em  rela¸c˜ao  ao  plano  determinado

por s e s , de forma que AB PR.                         

plano determinado por r e r , de forma que AC P Q.                     
  • Analogamente, tome C s  e′ Qs pontos  de  um  mesmo  lado  do  espa¸co  em  rela¸c˜ao  ao
mostrar que &BAC ≡ &RPQ.  Para isto vamos mostrar que BC RQ e aplicar o crit´erio
  • Temos agora dois triˆangulos △BAC e △RPQ no espa¸co, em planos diferent Queremos

 

r   e s˜ao determinadas por pontos equidistantes).  Logo □ ABRP  ´e um paralelogramo, e

□                                                                        ≡
(4)  C′omo  AB PR,  ent˜ao  temos  que  B←→R ∥ ←AP  (pois  est˜ao  no  plano  determinado  por  r  e

portanto AP     BR.

  • Analogamente mostra-se  que       ACQP  tamb´em  ´e  um  paralelogramo,  e  que  AP                                                          CQ

(escreva os detalhes).

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  53

 

 

 

  • Agora temos que ←AP ∥ ←BR  e ←AP  ∥ ←CQ; logo ←BR ∥ ←CQ.  Al´em disso

BR AP CQ.

Com isto mostramos que □ BCQR  tamb´em ´e um paralelogramo!  Assim

BC RQ,

 

como quer´ıamos verificar.

 

  • Dos fatos acima conclu´ımos que △BAC ≡ △RPQ pelo crit´erio LLL. Em particular,

&BAC ≡ &RPQ.

 

Logo m(&(r, s)) ≡ m(&(r, s)).

Agora apresentamos a demonstra¸c˜ao do teorema 4.7.

 

Demonstrac¸a˜o.  (Teorema  4.7)  Se  a  reta  r  for  perpendicular  ao  plano  α  ent˜ao,  por  de- finic˜ao,  ´e  perpendicular  a  todas  as  retas  de  α  que  a  cortam,  em  particular  a  duas  retas distintas quaisquer dentre estas.

figura 4.14).
s  e  s de  α.  Seja  P  o  ponto  em  que  r  encontra  α.  Se  t α ´e  outra  reta  qualquer  passando

A  rec´ıproca ´e  um  pouco  mais  trabalhosa.  Tomemos  r  uma  reta  perpendicular  a  duas  retas por P , queremos provar que r t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe na

 

Figura 4.14

 

regi˜oes  e  tome  nas  semirretas  de  s  e  s que  a delimitam  dois  pontos  B ∈                   ′s  e  C  s tais
  • Primeiro observe que  s  e  s   dividem  α  em  quatro  regi˜oes  angulares,  e  que  t  passa  por duas  delas,  correspondentes  a  dois  ˆangulos  opostos  pelo  v´erti   Escolha  uma  destas

 

que PB PC.  Nestas condic¸˜oes o segmento BC  encontra t em um ponto K.

 

 

 

54     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

′                                                                                                  ≡      ′
  • Tome A e A pontos de r  em lados opostos do espa¸co tais que PA         P A .  Assim temos
△         ≡ △         ≡ △        ≡ △

que

APB         APB         APC         APC,

sendo todas as congruˆencias pelo crit´erio LAL (complete os detalhes).

≡          ≡        ≡
  • Do item anterior deduzimos que
△         ≡ △

AB     AB     AC     AC.

&         ≡ &

Logo     ABC           ABC donde, em particular, tiramos que

ABC         ABC.

△                  ′≡ △
  • Dos dados dos  itens  anteriores  conclu´ımos  que                                                                                           ABK                                                                                           A BK,  pelo  crit´erio   Em particular,
(5)  Agora  examinemos  o  triˆangulo  △AKA.    Este  triˆangulo  ′´e  is´osceles  com  base  AA′,  e

                              AK AK.

P←—→´e  po←n—t→o  m´edio  de  A←—A→′.   Logo←—KP  ´e  altura  de  △AKA   (por  quˆe?).   Em  particular

KP AA. Como t = KP  e r = AA, temos o resultado desejado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  55

 

  • Exerc´ıcios

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4.15: – Exerc´ıcio 4.1

 

 

4.1.  Na  figura  4.15  os  pontos  A,  B,  C  e  D  n˜ao  s˜ao  coplanares.

 

≡                  ≡                    &
  • Quantos planos s˜ao  determinados  por  estes  pontos?
  • Suponha que  AD     DC,  BC     BA  e  que     DBA  ´e  r  Nestas  condi¸c˜oes  pelo  menos um  dos  segmentos  indicados  na  figura  ´e  perpendicular  a  um  dos  planos  determinados pelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa.

 

 

 

4.2.  Seja  r α;  seja  P  o  ponto  comum  a  r  e  α.  Prove  que  se  t ´e  uma  reta  passando  por  P
e′ perpendicular  a  r,  ent˜ao  t α.  (Sugest˜ao:  to′ me  no  plano  β  determinado  por  t  e  r  a  reta

t perpendicular a r em P e verifique que t = t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

←→                                                                                            ←—→←—→

Figura 4.16: – Exerc´ıcio 4.3

 

 

  • Na figura 16 os planos α e β se interceptam segundo a reta KQ. Tem-se ainda que
(a)  AB ⊥ ←→BR  ?

AB α, onde B KQ, R α e C β. Responda se verdadeiro ou falso e justifique:

(b)  AB     K—→Q  ?

(c)  AB ⊥ ←BC  ?

≡                     ≡                    ≡                      ≡                                            ←→
←—→  ←—→  ←—→      ←—→
  • Na figura 17,  na  qual  nem  todos  os  pontos  indicados  s˜ao  coplanares,  tem-se  que AW      BW,  AX      BX,  AY       BY   e  AZ      BZ.   Prove  que  os  pontos  W,  X,  Y   e  Z  s˜ao coplanares.   (Sugest˜ao:   Se  M  ´e  o  ponto  m´edio  de  AB  mostre  que  AB  ´e  perpendicular  `as retas  WM,  XM,  YM  e  ZM.  Conclua,  usando  o  exerc´ıcio  4.2.)

 

 

 

 

 

56     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4.17: – Exerc´ıcio 4.4

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4.18: – Exerc´ıcios 4.6 e 4.7

 

 

o circuncentro de ABC. Seja r a reta perpendicular a α passando por T. Mostre que se
  • Sejam A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´atero contido em um plano α.  Seja T  α Xr  ent˜ao  AX = BX = CX.  Fa¸ca  um  desenho  que  represente  a  situa¸c˜a
PSR, prove que &PQS ≡ &PSQ.
←→    ←→                                                                    ←→ ⊥              >            ←→ ⊥ ←→

&4.6.  Na  figura  4.18  o  triaˆngulo  RSQ  est´a  contido  no  plano  α, e      R  α.   Se  &PQR  

 

 

  • Ainda usando  a  figura  18  como  referˆencia,  se  PR       α,  PR       RS,  SQ                                                                                                         RQ  e

SQ P Q, prove que PQ > QS.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4.19: – Exerc´ıcio 4.8

 

  • Na figura  19  os  planos  α  e  β  s˜ao  paralelos,  A←→B  ⊂  β,  CD→ ⊂  β,  AC  α  e  BD→ ⊥ β.

Demonstre que AD e BC  se bissectam (isto ´e, se encontram em um ponto que ´e ponto m´edio

de ambos segmentos).

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 4: PERPENDICUL ARIsMo ENTRE RETA s E PL ANos No EsPAço                                  57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Ângulos entre planos

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 58                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AULA5:

AˆNGULOS  ENTRE  PLANOS

 

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Na  aula  anterior  estudamos  um  pouco  sobre  ˆangulos  entre  retas  no  espa¸co,  e  tamb´em  es- tudamos  perpendicularismo  entre  retas  e  planos.  A  pr´oxima  etapa ´e  estudar  ˆangulos  entre retas e planos e ˆangulos entre planos.  Veremos que existe um conceito de “ˆangulo” no espa¸co inteiramente an´alogo ao de ˆangulo no plano, um “ˆangulo” cujos lados s˜ao semiplanos.

 

  • Aˆngulos entre  planos:  diedros

 

Em  [7]  definimos  um  ˆangulo  como  um  par  de  semirretas  com  origem  comum.  Podemos,  de maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto ´e, podemos “tridimensi- onalizar” o ˆangulo determinado por semirretas.  Chamamos a vers˜ao de ˆangulo para planos de diedro, conforme a defini¸c˜ao mais abaixo.  De agora em diante, para facilitar a exposi¸c˜ao, indicaremos  semiplanos  com  um  sinal  de  chap´eu;  por  exemplo,  αˆ  indica  um  semiplano  do plano α.

 

Figura 5.1

 

 

&(      )

Defini¸c˜ao  5.1.  Um  diedro1  ´e  a  uni˜ao  de  dois  semiplanos  com  a  mesma  reta  de  origem. Dizemos  que  os  semiplanos  que  determinam  o  diedro  s˜ao  suas  faces,  e  a  reta  comum  aos semiplanos a sua aresta.

O  diedro  determinado  pelos  semiplanos  αˆ  e  βˆ  ser´a  denotado  por       αˆ, βˆ  ,  onde  αˆ  e  βˆ  s˜ao suas faces.

 

Um  bom  modelo  de  diedro  ´e  um  livro  ou  caderno  aberto  parcialmente.   As  p´aginas  opos- tas  s˜ao  suas  faces,  e  a  sua  aresta  ´e  o  encontro  das  mesmas  na  lombada.    Na  figura  5.1 representamos um diedro formado pelos semiplanos αˆ  e βˆ com aresta l.

 

 

 

1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face.

 

 

 

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos        59

 

 

 

 

 

 

&(      )

Podemos tamb´em definir regi˜ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1).

Defini¸c˜ao 5.2.  A regi˜ao diedral determinada pelo diedro       αˆ, βˆ   ´e a interse¸c˜ao do subespa¸co determinado  pelo  plano  α  no  qual  se  encontra  o  semiplano  βˆ com  o  subespa¸co  determinado pelo  plano  β  no  qual  se  encontra  o  semiplano  αˆ.

Problema  5.1.  Identifique  na  figura  5.1  a  regi˜ao  diedral  correspondente.

 

 

Figura 5.2

 

&(      )

Uma  pergunta  que  surge  de  imediato  ´e:  como  medir  um  diedro,  ou  melhor,  como  medir  a “abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pela parte  de  baixo  numa  mesa.   Quando  vocˆe  olha  de  cima  para  baixo  vˆe  um  ˆangulo  na  mesa determinado  pelas  p´aginas  abertas  do  livro  (veja  a  figura  5.2).  Esta ´e  a  ideia  que  podemos usar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro

αˆ, βˆ   de aresta l  e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3):

 

  • primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano γ perpendicular `a reta l;
  • o plano γ corta αˆ  e βˆ em duas semirretas —→a  e —→b , respectivamente;
&(                                                    —→ —→)   &(                                                    )
&(        )
  • as semirretas —→a e —→b  determinam o ˆangulo           —→a, —→b      em γ.

Poder´ıamos  definir  a  medida  de        αˆ, βˆ    como  sendo  a  medida  de         a,  b     constru´ıdo acima, mas precisamos garantir que esta medida na˜o depende da escolha de γ.  Na verdade, j´a  temos  este  resultado,  disfar¸cado  em  outro  resultado:   o  teorema  4.1  –  veja  o  teorema  a seguir.

 

Figura 5.3

 

 

 

 

 

 

60     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

&(                                                                                         ′)

Teorema  5.3.  Seja       αˆ, βˆ    um  diedro  de  faces  αˆ  e  βˆ,  com  aresta  l.   Sejam  γ  e  γ   dois planos perpendiculares a l. Tomemos ainda

∩   =           ∩   =             ∩   =              ∩   =

γ     αˆ     —→a,  γ     βˆ     —→b ,  γ    αˆ     —→a ,  γ    βˆ     —→b.

∥   ′                                      —→ ∥ —→′         —→     —→∥
(&(        )) =     (&(          ))

Ent˜ao  m        —→a, —→b           m        —→a , —→b

Demonstrac¸a˜o.  Observe  que  γ        γ   (por  quˆe?),  donde   a         a    e   b        b ′  (por  quˆe?).

Logo, pelo teorema 4.1 conclu´ımos que

m(&(—→a, —→b )) = m(&(—→a , —→b ′)),

como quer´ıamos.

Problema  5.2.  (a)  Fa¸ca  um  desenho  ilustrando  a  situa¸c˜ao  descrita  no  enunciado  do  teo- rema acima.

(b)  Justifique  os  por  quˆes  na  demonstra¸c˜ao  do  teorema  acima.

 

&(      )

Defini¸c˜ao  5.4.   Usando  as  nota¸c˜oes  da  figura  5.3,  com  base  na  constru¸c˜ao  descrita  na p´agina  anterior,  definimos  a  medida  do  diedro                                       αˆ, βˆ   como  sendo

m(&(αˆ, βˆ)) = m(&(—→a, —→b )),

 

onde

(b)  —→a  =                —→     ˆαˆ ∩ γ  e   b = β γ.

(a)  γ  ´e  um  plano  qualquer  perpendicular  `a  reta  l,  aresta  do  diedro  &(αˆ, βˆ);

Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos…

Defini¸c˜ao  5.5.  Dizemos  que  um  diedro ´e  reto  se  sua  medida  for  90.

 

&(      )     &( ′     ′)

…  e congruˆencia de diedros.

Defini¸c˜ao  5.6.   Dizemos  que  dois  diedros        αˆ, βˆ    e                                                                                      αˆ , βˆ                                                                                      s˜ao  congruentes,  rela¸c˜ao denotada por

 

se  m(&(αˆ, βˆ)) = m(&(αˆ, βˆ′)).

&(αˆ, βˆ) ≡ &(αˆ, βˆ′),

 

Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes (isto  ´e  o  o  an´alogo  aos  ˆangulos  O.P.V.  (opostos  pelo  v´ertice)  da  geometria  plana).    Em particular,  se  um  dos  diedros  for  reto,  todos  o  s˜ao  tamb´em.

 

Finalmente definimos ˆangulos entre planos.

(&(      ))

Defini¸c˜ao   5.7.   Definimos  a  medida  do  ˆangulo  entre  dois  planos  α  e  β,   denotada  por

(&(      )) =               ∥

m   α, β  , como sendo

 

  • m α, β         0, se α     β;
  • a medida  do  menor  dos  diedros  por  eles  determinado,  se  α  e  β  s˜ao  secantes.

 

 

 

 

 

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos        61

 

 

 

 

  • Planos perpendiculares

 

Uma  vez  que  sabemos  medir  ˆangulos  entre  planos  podemos,  definir  o  conceito  de  planos perpendiculares.

Defini¸c˜ao  5.8.  Dizemos  que  dois  planos  secantes  α  e  β  s˜ao  perpendiculares,  rela¸c˜ao  deno-

m        α, β         90.

 

(&(      )) =

Apresentamos a seguir uma outra forma, muito u´til, de caracterizar planos perpendiculares.

 

Figura 5.4

 

 

⊂                                                          ⊂                       ⊥                                ⊥

Teorema  5.9.  Dois  planos  α  e  β  s˜ao  perpendiculares  entre  si  se  e  somente  se  existir  uma reta a                          α (respectivamente, uma reta b                       β) tal que a     β (respectivamente, b                                         α).

 

que α β; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4):
⊂                        ⊥

Demonstrac¸a˜o.  Sejam  α  e  β  dois  planos  secantes,  e  seja  l  a  reta  em  que  se  encontram. Facamos a primeira parte: suponhamos que exista a                                              α tal que a                                                                                                      β. Queremos provar

 

 

⊥                                       ⊥
  • seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r β que passa por P  e ´e perpendicular a l;
  • ent˜ao a l (por qual hip´otese?), e r       l por constru¸c˜ao; logo o plano γ  determinado por

a e r ´e perpendicular a l;

por α e β  ´e 90 (por quˆe?), donde α β.
  • temos ainda que a r, pois a β; logo a medida de quaisquer dos diedros determinados
⊥                                                     ⊂

Suponhamos agora que α      β.  Podemos construir uma reta a                                          α perpendicular a β  da seguinte forma (veja novamente a figura 5.4):

 

  • tome γ um plano qualquer perpendicular a l;
  • tome a = α γ.

 

 

 

 

 

 

62     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

Observe que a ´e, de fato, a reta desejada, pois:

 

⊥                ⊂         ⊥
⊥                                             ⊥
  • a l, j´a que a γ  e γ     l;
  • se r ´e a reta comum a β e γ ent˜ao a  r, pois estamos supondo que α     β e a medida de quaisquer dos diedros determinados por α e β ´e 90, exatamente a medida de quaisquer dos ˆangulos determinados por a e r  (reveja a defini¸c˜ao de medida de diedros);
  • assim a ´e perpendicular a duas retas de β, e portanto a β.

 

Problema  5.4.  Responda  aos  por  quˆes  da  demonstra¸c˜ao  acima.

 

⊥         =   ∩                              ⊂

Uma  consequˆencia  (indireta)  da  demonstra¸c˜ao  do  teorema  acima ´e  a  propriedade  seguinte, apresentada na forma de exemplo.

a β.  De fato, seja P  o ponto de encontro de l e r, e tome t β a reta que passa por P

Exemplo  5.1.  Se  α     β  e  l    α    β,  ent˜ao  toda  reta  r     α  perpendicular  a  l ´e  perpendicular

 

(&(     )) =                                                                                       ⊥                       a

e  ´e  perpendicular  a  l.  Ent˜ao  o  plano  γ  determinado  por  r  e  t  ´e  perpendicular  a  l.  Assim,

m        r, t        90,  pela  defini¸c˜ao  de  perpendicularidade  de  planos.  Logo  r     β.

Problema  5.5.  Complete  os  detalhes  do  exemplo  acima  e  fa¸ca  um  desenho  que  o  ilustre.

 

 

 

  • Constru¸c˜ao de  planos  perpendiculares

 

A caracterizac¸˜ao do teorema 5.9 permite a construc¸˜ao de planos perpendiculares, em analogia

×                                                                                                          ×

`a construc¸˜ao de retas perpendiculares.  Explico:  vimos que por um dado ponto e uma dada reta (ou dado plano) pode-se trac¸ar uma u´nica reta perpendicular `a reta dada (ou ao plano dado).  Veremos agora as constru¸c˜oes an´alogas a estas no contexto “ponto      plano” e “reta

plano”.

Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um plano α  dado:   basta  tra¸car  por  P  a  reta  r  perpendicular  a  α,  e  todos  os  planos  que  contˆem  r s˜ao  perpendiculares  a  α.  Analogamente,  se  r  ´e  uma  reta  perpendicular  a  α,  por  r  passam infinitos planos perpendiculares a α, pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamos estas situa¸c˜oes.

 

 

Figura 5.5

 

 

 

 

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos        63

 

 

 

 

Vejamos agora o caso mais interessante.

Teorema 5.10.  Sejam dados um plano α e uma reta r  n˜ao perpendicular a α.  Ent˜ao existe um  u´nico  plano  perpendicular  a  α  passando  por  r.

 

Demonstrac¸a˜o.  A  constru¸c˜ao  ´e  bem  simples:   tome  um  ponto  P      r  qualquer,  e  por  P trace a reta t perpendicular a α.  O plano β  determinado por r e t ´e o plano procurado (veja a figura 5.6), pois:

 

  • rβ por constru¸c˜ao;
  • βα, pois t β ´e uma reta perpendicular a α por constru¸c˜

 

 

Figura 5.6

 

′        ′

A  unicidade  tamb´em  ´e  simples:   suponha  que  exista  um  outro  plano  β passando  por  r  e

′                                                  ′

perpendicular  a  α,  e  seja  l   = β  α.  Certamente ′l   ⊂/ β  pois,  caso  contr´ario,  β  =′ β  .  Tome

 

 

contradi¸c˜ao, j´a que por n˜ao podem passar duas perpendiculares a α.  Logo β  ´e u´nico.

t β  uma reta passando por P e perpendicular a l . Pelo exemplo 5.1 temos que t

α, uma

 

Problema 5.6.  Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e o  

plano  α  s˜ao  concorrentes.  Fa¸ca  desenhos  que  representem  a  situa¸c˜ao  nos  casos  em  que:

 

  • r α;
  • r α.

 

  • Alguns problemas resolvidos

 

Vejamos agora alguns probleminhas interessantes.

⊂              ∥

Problema 5.7. Sejam α e β dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen- dicular a β. Prove que ou r                                                     α ou r     α.

 

⊥                                      ⊂

Soluc¸a˜o.  Como α     β, ent˜ao existe uma reta t       α perpendicular a β (teorema 5.9).  Temos duas possibilidades:

 

duas retas passando por P  e perpendiculares a β.  Ent˜ao r α.
  • r e t  possuem  um  ponto  P  em  comum:  neste  caso  r = t  pois,  caso  contr´ario,  ter´ıamos

 

 

 

 

 

64     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

donde r α.
  • r e t  n˜ao  possuem  pontos  em  comum:  neste  caso,  pelo  teorema  6  temos  que  r  t,

 

 

Problema  5.8.  Fa¸ca  desenhos  que  ilustrem  o  problema  anterior.

Problema  5.9.  Prove  que  se  α,  β  e  γ  s˜ao  planos  tais  que  α β  e  β γ  ent˜ao  α γ.

 

 

 

 

 

 

Soluc¸a˜o.  Como  β

paralela a r.  Ent˜ao r

Figura 5.7

 

 

 

⊥′
⊥                                       ⊂                  ⊥               ′ ⊂

γ,  ent˜ao  existe  uma  reta  r        β  tal  que  r      γ.   Seja  r       α  uma  reta

γ  pelo teorema 4.5.  Logo, pelo crit´erio estabelecido no teorema 5.9,

 

temos que α γ (veja a figura 5.7).

 

 

Figura 5.8

 

 

Problema  5.10.  Prove  que  se  r  e  s  s˜ao  duas  retas  reversas,  ent˜ao  existe  uma  u´nica  reta  t

perpendicular a ambas.

 

 

 

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos        65

 

∥         ⊂         ⊂

Soluc¸a˜o.  A  propriedade  fundamental  para  lidar  com  retas  reversas  ´e  a  descrita  no  pro- blema 3.9:  existem dois planos α e β, u´nicos, tais que α   β e r   α, s   β.  Usando este fato vamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe na figura 5.8):

 

  • Tome γ o plano  que  passa  por  r e ´e  perpendicular  a  β.  Ent˜ao,  pelo  problema  anterior,

α   γ.

sr, o que n˜ao ´e poss´ıvel.
  • Observe em seguida  que  s ´e  secante  a  γ.   De  fato,  se  sγ ou  se  sγ ent˜ao  ter´ıamos
  • Pelo ponto P em que s encontra γ trace a reta t perpendicular a α.

 

⊥                                      ⊥

A  reta  t ´e  a  reta  procurada.    De  fato,  temos  que  t    γ pelo  problema  5.7  (complete  os detalhes!);  logo  t e  r s˜ao  secantes  pois  est˜ao  contidas  no  mesmo  plano  e  n˜ao  s˜ao  paralelas.

Finalmente, como t    α ent˜ao, em particular, t    r.

⊥                  ′                                                     ∥′

Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t perpendicular a r e s. Observe

determinado por t e t .  Como r ´e concorrente a t e t , ent˜ao rδ; analogamente sδ.  Ora,

que t     α (veja o problema a seguir), donde t    t, pelo teorema 4.6.   Seja δ o plano

isto ´e uma contradic¸˜ao, pois r e s s˜ao reversas e portanto n˜ao podem pertencer a um mesmo plano.  Logo n˜ao pode haver outra reta perpendicular a r e s al´em de t.

Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α o plano passando por r e paralelo

a s.  Se t ´e uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t  ′ α.  (Sugest˜ao:  se

r t = {P }, tome s a reta paralela a s passando por P e mostre que t s .)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

66     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

  • Exerc´ıcios
  • Sejam A e B dois pontos e α um Prove que sempre existe um plano γ passando por A  e  B  e  perpendicular  a  α.  Em  que  situa¸c˜ao  este  plano ´e  u´nico?

 

  • Mostre que  se  um  plano  α  cont´em  uma  reta  perpendicular  a  outro  plano  β,  ent˜ao  β

cont´em  uma  reta  perpendicular  a  α.

 

  • Sejam α e  β  dois  planos  que  se  cortam  em  uma  reta  l.    Prove  que  γ  ´e  um  plano perpendicular  a  α  e  β  simultaneamente  se  e  s´o  se  γ     l.

 

  • Podemos definir  diedros  alternos  internos  de  maneira  an´aloga  `a  defini¸c˜ao  de  ˆangulos alternos internos.  Escreva uma defini¸cao para este conceito e marque na figura 9, onde os planos  α  e  β  s˜ao  paralelos,  os  pares  de  diedros  alternos  internos  formados.  Demonstre  que dois  diedros  alternos  internos  s˜ao  congruentes  entre  si.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 5.9: – Exerc´ıcio 5.4                                  Figura 5.10: – Exerc´ıcio 5.5

 

 

△                                                                                                                    △
  • Na figura 10  os  planos  α e  β  s˜ao  perpendiculares  entre  si,  e  os  triˆangulos                                                                                     ACD  e

CBD  s˜ao  is´osceles,  com  base  CD  e  congruentes.  Al´em  disso  M  ´e  ponto  m´edio  de  AB  e

N  ´e  ponto  m´edio  de  CD.  Mostre  que

 

  • MN  AB e
  • MN                                         

(Sugest˜ao:  mostre  que  AN  NB  e  CM  MD.)

= ∩
  • Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respec- Sejam δ o plano passando por r e perpendicular a β, e γ  o plano passando por s e  perpendicular  a  α.  Mostre  que  t     δ    γ  ´e  a  reta  perpendicular  a  r  e  s  que  foi  apresentada no problema 5.10.

 

m(&(α, β)) = m(&(r, s)).
  • Sejam α e  β  dois  planos  concorrentes,  e  r  α,  s  β  duas     Mostre  que

 

 

 

 

 

AUL A 5: A s ÂNGULos ENTRE PL ANos        67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Lugares geométricos

e poliedros

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 68                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:43

 

 

 

 

 

 

AULA6:  LUGARES  GEOME´TRICOS  E  POLIEDROS

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

Nesta aula estudaremos alguns lugares geom´etricos no espa¸co e apresentaremos alguns obje- tos  geom´etricos  que  muitos  j´a  conhecem:  os  poliedros.  Come¸caremos  estudando  o  conceito de  distˆancia  no  espa¸co:   distˆancia  entre  pontos  e  retas,  entre  pontos  e  planos,  entre  retas e  planos,  e  entre  planos.   Em  seguida  apresentaremos  alguns  lugares  geom´etricos,  como  os planos  bissetores  (o equivalente  a  bissetrizes  de  ˆangulos planos).  Terminamos  a aula  com o estudo  de  poliedros,  focando  nos  mais  b´asicos:  paralelep´ıpedos,  cubos,  prismas  em  geral,  e pirˆamides.

 

 

  • Distˆancias

Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distˆancia entre pontos, distˆancia de ponto  a  reta  e  distˆancia  entre  retas.  No  espa¸co  temos  mais  algumas  entidades  a  introduzir nesta  lista:  distˆancia  de  ponto  a  plano,  distˆancia  de  reta  a  plano  e  distˆancia  entre  planos. Vamos ver isto nesta se¸c˜ao.

Primeiro recordemos as defini¸c˜oes de distˆancia entre ponto e reta:

(      )

Defini¸c˜ao  6.1.   Definimos  a  distˆancia  entre  um  ponto  A e  uma  reta  r como  o  nu´mero

∈                      (      ) =

dist A, r satisfazendo as seguintes propriedades:

  • se A   r ent˜ao  dist  A, r     0;
  • se A ∈/ r ent˜ao  dist(A, r) = AP,  onde  P ´e  o  p´e  da  reta  perpendicular  a  r passando  por
(      ) <                                             ∈

Lembramos  ainda  que  esta  defini¸c˜ao  ´e  natural,  pois  ´e  f´acil  de  ver  que  se  A ∈/  r  ent˜ao

dist  A, r    AQ para  todo  ponto  Q   r distinto  de  P .  A  defini¸c˜ao  de  distˆancia  entre  ponto

e plano ´e inteiramente an´aloga:

(      )

Defini¸c˜ao  6.2.   Definimos  a  distˆancia  entre  um  ponto  A e  um  plano  α como  o  nu´mero

dist A, α satisfazendo as seguintes propriedades:

  • se Aα ent˜ao  dist(A, α) = 0;

 

 

 

 

 

 

Figura 6.1

 

 

 

 

Problema 6.1.  Sejam A, α e P  como na defini¸cao˜    6.2, com A ∈/ α.  Mostre que dist(A, α) =

AP < AQ para  todo  ponto  Qα distinto  de  P.  (Sugest˜ao:  na  figura  6.1  o  triˆangulo  APQ

 

(    )

Passemos  agora  ao  estudo  de  distˆancia  entre  planos.   Lembremos  a  defini¸c˜ao  de  distˆancia entre retas num plano:

 

Defini¸c˜ao  6.3.  A distˆancia entre duas retas r e s coplanares ´e o nu´mero dist  r, s   definido da seguinte maneira:

 

  • dist(r, s) = 0 se  r e  s s˜ao  concorrentes;
  • dist(r, s) = dist(A, s) para algum  ponto  Ar,  se  r e  s s˜ao  paralelas.
(      )

Traduzimos facilmente esta defini¸c˜ao para o caso de distˆancia entre planos:

 

Defini¸c˜ao  6.4.   A  distˆancia  entre  dois  planos  α  e  β  ´e  o  nu´mero  dist  α, β    definido  da seguinte maneira:

 

  • dist(α, β) = 0 se  α e  β s˜ao  concorrentes;
  • dist(α, β) = dist(A, β) para algum  ponto  Aα,  se  α e  β s˜ao  paralelos.

 

 

Figura 6.2

 

 

A  propriedade  que  garante  que  a  defini¸c˜ao  acima  ´e  “boa”,  isto  ´e,  que  tem  um  sentido adequado, ´e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente an´aloga `a que garante o bom sentido da defini¸ca˜o 6.3 (veja [7]).

 

 

 

 

70     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

(      ) =        (      )

Problema 6.2. Sejam α e β dois planos paralelos entre si.  Mostre que

 

            dist A, β        dist  B, β                                                    

 

∥                          □

para  quaisquer  pontos  A  e  B  de  α.    (Sugest˜ao:   Na  figura  6.2  temos  que  AP   e  BQ  s˜ao perpendiculares  a  β,  donde  AP     BQ.  Mostre  que     APQB  ´e  um  retˆangulo  e  conclua.)

 

O  leitor  atento  deve  ter  percebido  que  “pulamos”  a  defini¸c˜ao  de  distˆancia  entre  retas  n˜ao coplanares.  Bem,  o  fato ´e  que  fica  mais  f´acil  falar  disto  depois  de  introduzir  o  conceito  de distˆancia entre planos, por causa das retas reversas.  Sim, como todos devem se lembrar, no espa¸co temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a defini¸c˜ao 6.3 sobre apenas os casos em que as retas s˜ao coplanares (ou seja, quando s˜ao concorrentes ou paralelas).

E  como  definir  distˆancia  entre  retas  reversas?    Ora,  seguindo  a  mesma  forma  de  pensar que  usamos  at´e  agora  para  definir  distˆancia  entre  v´arios  elementos  no  plano  e  no  espac¸o, poder´ıamos  usar  o  resultado  do  problema  resolvido  5.10:  se  r  e  s  s˜ao  retas  reversas  ent˜ao existe  uma  u´nica  reta  t  perpendicular  a  ambas.  Mas  usar  isto  em  que  sentido?  Bem,  veja primeiro o resultado seguinte:

∩ = { }       ∩ = { }                  ≤                                                      ∈           ∈

Teorema  6.5.  Sejam  r  e  s  duas  retas  reversas.  Seja  t  a  u´nica  reta  perpendicular  a  ambas. Tome  t    r       R    e  t    s       S  .  Ent˜ao  RS     PQ  para  quaisquer  pontos  P     r  e  Q    s.

 

Figura 6.3

 

 

≠               ≠                                          ←→
′                                                                                                   =        (      )

Demonstrac¸a˜o.  Este  resultado ´e  uma  consequˆencia  direta  do  problema  6.1.  Acompanhe a  demonstra¸c˜ao  na  figura  6.3  para  o  caso  em  que  P                                           R  e  Q                                                                                                      S:   sejam  α  e  β  os  planos paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a PQ passando por R e seja Q   o ponto em que l  encontra β.  Ora, ´e f´acil ver que RS                                                                                                      dist  α, β donde, pelo problema 6.1, conclu´ımos que

RS = dist(α, β) < RQ = PQ.

Problema 6.3. Prove o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentes com R e/ou S.

 

O  teorema  6.5  nos  diz  que  a  “menor  distˆancia”  entre  duas  retas  reversas  r  e  s  ´e  atingida justamente  nos  pontos  que  determinam  a  (u´nica)  reta  perpendicular  a  elas,  e  vimos  na demonstra¸c˜ao  do  teorema  anterior  que  a  distˆancia  entre  esses  pontos ´e  a  distˆancia  entre  os planos paralelos que contˆem r e s.  Com estes dados podemos, finalmente, definir a distˆancia entre retas no espa¸co:

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               71

 

 

 

 

 

(    )

Defini¸c˜ao  6.6.  A  distˆancia  entre  duas  retas  r  e  s  no  espa¸co ´e  o  nu´mero  dist  r, s   definido da seguinte maneira:

 

(    ) =        (     )                               ∈             ∥
(    ) =
  • dist r, s 0  se  r  e  s  s˜ao  concorrentes;
(    ) =        (      )
  • dist r, s dist A, s  para algum ponto A    r, se r     s;
  • dist r, s       dist  α, β    se  r  e  s  s˜ao  reversas,  onde  α  e  β  s˜ao  os  u´nicos  planos  paralelos passando por r e s,

 

 

 

 

  • Planos bissetores

 

Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “ˆangulos espaciais”.  Estes objetos possuem diversas  propriedades  an´alogas  `as  de  ˆangulos  planos,  e  j´a  vimos  algumas.  Apresentaremos agora o objeto an´alogo `as bissetrizes de ˆangulos planos:  os planos  bissetores.  Acompanhe a seguinte construc¸˜ao na figura 6.4:

 

Figura 6.4

 

 

&(      )
  • Considere o diedro αˆ, βˆ  com aresta l.
(c)  O  p—la→n—o→γ  corta  αˆ  em  uma  semirreta  —→a   e  βˆ em  uma  semirreta  —→b ,  formando  o  ˆangulo
  • Tome γ um plano perpendicular a l.

 

&(—→      )                      ⊂

&( a, b ).                               —→

  • Seja s a bissetriz de a, b  ; observe que s    γ.
&(      )
  • Seja σ o  plano  determinado  por  s  e  l,  e  designemos  por  σˆ  o  semiplano  de  σ  contido  na regi˜ao diedral determinada por                                  αˆ, βˆ  , com origem em l.

 

(&(      )) =     (&(      ))

Ent˜ao ´e f´acil verificar que

m        αˆ, σˆ         m        βˆ, σˆ    .

Problema  6.4.  Mostre  que  a  igualdade  acima ´e,  de  fato,  verdadeira.

 

&(      )

Defini¸c˜ao  6.7.  Com  a  nota¸c˜ao  da  figura  6.4  e  as  condi¸c˜oes  descritas  acima,  definimos  o plano  σ  como  sendo  o  plano  bissetor  do  diedro                                 αˆ, βˆ  .

 

 

 

 

72     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 6.5

 

 

Para finalizar a se¸c˜ao apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores.

&(         ) ≡ &(         )      &(         ) ≡ &(         )

Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes α e β determinam 4 diedros, dois a dois congruentes:

&(         )    &(         )                                       &(         )1                           1        1             2       2      2                                                 1       2

αˆ1, βˆ1                αˆ2, βˆ2       e        αˆ1, βˆ2                αˆ2, βˆ1   .

&(        )

O plano σ   ´e o plano bissetor de       αˆ  , βˆ     e       αˆ  , βˆ    , e σ   ´e o plano bissetor de       αˆ  , βˆ e       αˆ2, βˆ1   .  A propriedade que queremos mostrar ´e a seguinte:

Problema  6.5.  Seguindo  a  nota¸cao  da  figura  6.5,  mostre  que  σ1     σ2.

 

=     ∩

Soluc¸a˜o.  Esta propriedade ´e inteiramente an´aloga `a relativa a bissetrizes de ˆangulos:  duas retas concorrentes no plano determinam quatro ˆangulos, congruentes dois a dois (s˜ao ˆangulos O.P.V.), e as duas bissetrizes s˜ao perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobre geometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso no plano:   tome  γ  um  plano  perpendicular  a`  reta  l      α     β.   O  plano  γ  corta  os  planos  α  e β em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos σ1 e σ2 em duas retas s1 e s2, respectivamente (veja a figura 6.6).

Figura 6.6

 

⊥                              ⊥

Da  defini¸c˜ao  de  medidas  de  ˆangulos  diedros  temos  que  σ1     σ2  se  somente  se  s1     s2.  Mas esta u´ltima rela¸ca˜o ´e verdadeira, j´a que s1 e s2 s˜ao bissetrizes dos ˆangulos formados por a e b.

 

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               73

 

 

 

 

  • Alguns lugares  geom´etricos

 

Nesta se¸c˜ao vamos apresentar alguns lugares geom´etricos.  Lembramos que um lugar geom´etrico

´e, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espa¸co) que satisfazem a alguma pro- priedade preestabelecida.  Come¸camos mostrando que os planos bissetores s˜ao, em verdade, lugares geom´etricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro de geometria plana, como [7]).

Problema  6.6.   Seguindo  as  nota¸c˜oes  da  figura  6.5,  mostre  que  o  lugar  geom´etrico  dos pontos  equidistantes  de  α  e  β  ´e  justamente  a  uni˜ao  dos  planos  bissetores  σ1  e  σ2.

 

Soluc¸a˜o.  Novamente  uma  propriedade  an´aloga  `a  de  bissetrizes,  que  recordamos  aqui:   o lugar  geom´etrico  dos  pontos  equidistantes  de  duas  retas  concorrentes ´e  justamente  a  uni˜ao das bissetrizes dos ˆangulos por elas formados.  E a t´atica para resolver o problema ´e a mesma do problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.

 

 

Figura 6.7

 

dade,  tomemos  P  σ  .  Seja  γ  o  plano  passando  por  P  e  perpendicular  `a  reta  l,  na  qual  se1

Primeiro  provemos  que  se  P  σ1σ2  ent˜ao  dist(P, α) = dist(P, β).  Sem  perda  de  generali-

a = γ α, b = γ β, s1 = γ σ1 e s2 = γ σ2.                                     ←→

←—→      ∈            ∈                           ⊥            ⊥                                 ⊥         ⊥                    ⊂

Sejam G    a e H     b tais que PG      a e PH     b.  Temos que, como γ       α e γ     β, ent˜ao PG                 γ

e PH     γ.  Reduzimos assim o problema ao caso de um ˆangulo plano.  A situa¸c˜ao ´e ilustrada na figura 6.7, onde representamos o plano γ e os elementos acima descritos. Observe que s1

(      ) =                  (      ) =

´e a bissetriz de um dos ˆangulos determinados por a e b, e que

 

=

dist P, α       PG,  dist  P, β        PH,

 

(      ) =        (      )

donde, pelo resultado j´a conhecido num plano, PG         PH, ou seja,

 

dist P, α       dist P, β .

 

∈      ∪

Passemos  `a  rec´ıproca,  isto  ´e,  provemos  que  se  P  ´e  um  ponto  equidistante  de  α  e  β,  ent˜ao P     σ1    σ2.   Primeiro  observe  que  P  deve  pertencer  a  alguma  das  quatro  regi˜oes  diedrais determinadas  por  α  β  (em  outras  palavras,  P   n˜ao  pode  pertencer  a  nenhum  dos  dois planos  –  justifique  esta  afirmac¸˜ao).  Tome  ent˜ao  o  plano  γ  passando  por  P  e  perpendicular

 

 

 

74     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

a  l,  e  sejam  G α,  H  ∈←—β→tais←q→ue  P←→G α  e  P←—H→ ⊥ β.  Pelo  mesmo  argumento  apresentado

=        (      ) =        (      ) =

mais acima temos que PH  e PG est˜ao contidas em γ.  Ent˜ao

 

=        (     )           =        (     )

PG    dist P, α       dist P, β       PH.

 

seja, Pσσ .1                             2
∈      ∪

Mas  PG      dist  P, a    e  PH      dist  P, b    donde,  pelos  fatos  j´a  demonstrados  para  o  plano, vemos que P  pertence a alguma das duas bissetrizes dos ˆangulos determinados por a e b no plano γ  (vocˆe pode visualizar a situac¸˜ao na figura 6.7).  Em outras palavras, P     s1    s2, ou

 

O pr´oximo lugar geom´etrico que apresentaremos ´e o an´alogo a` mediatriz de um segmento.

Problema  6.7.  Mostre  que  o  lugar  geom´etrico  dos  pontos  equidistantes  de  pois  pontos  P  e

Q  dados ´e  o  plano  µ  perpendicular  a  P Q,  passando  pelo  ponto  m´edio  M  deste  segmento.

 

∈                                                                                   △             △

Soluc¸a˜o.  Primeiro  vamos  mostrar  que  os  pontos  de  µ  s˜ao  equidistantes  de  P  e  Q.  Tome N     µ  distinto  de  M .   Observe  que  os  triˆangulos     NMP  e     NMQ  s˜ao  congruentes  pelo crit´erio LAL, pois (veja a figura 6.8):

  • PM QM , j´a que M  ´e ponto m´edio de P Q;
  • s˜ao retˆangulos em M , j´a que µ P Q; e
  • MN ´e um lado com

Ent˜ao NP     NQ, ou seja, N  ´e equidistante de P  e Q.

rec´ıproca  da  afirma¸c˜ao  anterior).   Se  X  = M  ent˜ao  X  µ  por  defini¸c˜ao.   Suponhamos  que

Seja  agora  X  um  ponto  equidistante  de  P   e  Q.    Queremos  provar  que  X  ∈  µ  (esta  ´e  a

X  ≠  M .   Neste  caso  os  triˆangulos  △XMP   e  △XMQ  s˜ao  congruentes  pelo  crit´erio  LLL

&XMP  ≡ &XMQ,

ou seja, &XMP  ´e reto.  Logo X µ (por quˆe?).

 

 

Figura 6.8

 

 

Defini¸c˜ao 6.8.  O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto m´edio ´e chamado de plano mediador do segmento.

 

 

 

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               75

 

 

 

 

Vejamos mais um lugar geom´etrico interessante

 

Problema  6.8.  Sejam A, B  e C  trˆes pontos n˜ao colineares.  Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de A, B  e C  ´e a reta perpendicular ao plano determinado por estes pontos  passando  pelo  circuncentro  do  triˆangulo     ABC  (veja  a  figura  6.9).

 

 

 

Soluc¸a˜o.  Sejam α o plano determinado por A, B e C, e O o circuncentro de △ABC.  Seja t

Figura 6.9

 

 

 

△         ≡ △        ≡ △
             XOA        XOB        XOC
de  A,  B  e  C.  De  fato,  pela  defini¸c˜ao  de  circuncentro  sabemos  que  OA = OB  = OC.  Al´em

a reta passando por O e perpendicular a α.  Vamos provar que se X t, ent˜ao X ´e equidistante disso, como t α, temos que os ˆangulos &XOA, &XOB  e &XOC  s˜ao retos.  Logo

=         =

pelo  crit´erio  LAL,  j´a  que  OX  ´e  um  lado  comum  aos  trˆes  triˆangulos  listados.   Assim  con- clu´ımos que

XA     XB     XC

como  quer´ıamos.  Em  particular  observe  que  se  µ ´e  o  plano  mediador  de  AC  e  ν  ´e  o  plano mediador de AB, ent˜ao

 

 

(por quˆe?).

t = µ ν.                                                                       (∗)

 

∈    ∩                                                ∈

Para  verificar  a  rec´ıproca  tome  X  um  ponto  qualquer  equidistante  de  A,  B  e  C.   Ent˜ao X  pertence  ao  plano  µ  mediador  de  AC  e  ao  plano  ν  mediador  de  AB  por  defini¸c˜ao,  logo X    µ    ν.  Mas ent˜ao, por (*) acima, X    t, como quer´ıamos verificar.

 

Problema  6.9.  Justifique  todos  os  “por  quˆes”  da  solu¸c˜ao  acima.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

  • Poliedros

Na  aula  anterior  estudamos  um  pouco  sobre  diedros,  objeto  an´alogo  aos  ˆangulos  planos. Nesta  sec¸˜ao  introduziremos  os  “primos”  dos  pol´ıgonos,  os  poliedros1.   Vocˆes  j´a  conhecem v´arios deles:  cubos, paralelogramos, prismas e pirˆamides s˜ao os mais conhecidos e estudados. Vamos estudar algumas propriedades destes e tamb´em conhecer alguns outros.  Nesta sec¸˜ao apresentaremos apenas as defini¸c˜oes destes objetos, que tamb´em chamamos de corpos s´olidos ou simplesmente s´olidos.

 

Figura 6.10

 

O  primeiro  objeto  deste  tipo  do  qual  falaremos  ´e  o  triedro,  que  tem  trˆes  faces:   tome  trˆes

 

formada pelas regi˜oes angulares dos ˆangulos &( r ,  s ), &( r ,  t ) e—→&(—→s ,  t—→).  Nas nota¸c˜oes
&(        ) &(        )  &(        )
planos  passando  por  um  ponto,  como  represe—n→ta—d→o  na  fi—→gu—r→a  6.10, —→e  c—→onsidere  a  figura

da figura 6.10 dizemos que A ´e o v´ertice do triedro, —→as s—→emirret—as→—→r ,   s   e —→t   s—u→as arestas, e

as regi˜oes angulares correspondentes aos ˆangulos           r ,  s   ,        r ,  t    e        s ,  t                                                                                               suas faces.

O  triedro ´e  um  poliedro  aberto,  como  se  fosse  uma  esp´ecie  de  copo  infinito,  e  n˜ao  lhe  cabe bem a designa¸c˜ao de s´olido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito.

 

Figura 6.11

 

△          △          △            △

Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida:  uma pirˆamide, no caso de base triangular, como representado na figura 6.11.  Esta pirˆamide tamb´em recebe o  nome  de  tetraedro,  pois  tem  quatro  (tetra,  em  grego,  significa  quatro)  faces,  que  s˜ao  as regi˜oes planas triangulares delimitadas pelos triˆangulos     ABC,     ABD,     BCD  e     ADC. Seguindo  as  nota¸c˜oes  da  figura,  chamamos  os  pontos  A,  B,  C  e  D  de  v´ertices  da  pirˆamide, e os segmentos AB, AC, AD, BC, BD e CD de arestas.

Em geral, um poliedro ´e a regi˜ao do espa¸co delimitada pela interse¸c˜ao de um nu´mero finito de regi˜oes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que n˜ao veremos aqui, pois

 

1A  palavra  vem  do  grego:  poli-  =  muitos,  v´arios;  e  -edro  que  significa,  como  j´a  vimos,  faces.

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               77

 

 

 

 

o que nos interessa neste curso s˜ao exemplos particulares de poliedros.  O leitor interessado pode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia.

Passemos agora a uma descric¸˜ao mais formal de alguns poliedros.

 

 

 

  • Prismas

 

 

Figura 6.12

 

 

Um prisma ´e o poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13):

 

R
  • Tome dois planos α e β paralelos entre si;

 

R
  • em um dos planos, por exemplo α, tome uma regi˜ao poligonal ;

 

∈ R           ′
  • tome uma reta l secante aos planos que n˜ao passe pelos pontos de ;

 

  • para cada  ponto  P       tome  a  reta  lP  que  passa  pelo  ponto  e ´e  paralela  a  l;  cada  reta

lP encontra β em um ponto P .

 

  • Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos PP ′ ´e chamada de prisma.

 

 

Figura 6.13

 

 

 

 

78     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

R    R
Observe que o conjunto dos pontos P em β  comp˜oem uma regi˜ao poligonal R′  congruente2

a R.                                                                                                                      ′

R    R

Os v´ertices de um prisma s˜ao os v´ertices das regi˜oes poligonais      e      .  As suas arestas s˜ao:

R    R
  • os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos v´ertices de e     ; e
  • os lados das regi˜oes e     .
R          ′R
R

As  suas  faces  s˜ao  as  regi˜oes  poligonais  determinadas  pelos  seus  v´ertices  consecutivos.   Ge- ralmente  as  faces       e         s˜ao  chamadas  de  bases  do  prisma,  e  as  outras  de  faces  laterais. As  bases  s˜ao  categorizadas  muitas  vezes  como  base  inferior,  ou  simplesmente  base, e  base

superior, designa¸c′˜ao que depende do nosso ponto de vista.  No nosso exemplo            ´e a base, ou

base inferior, e R  a base superior do prisma.  As arestas das faces que n˜ao s˜ao comuns com

as  bases  s˜ao  chamadas  de  arestas  laterais.  A  reta  l  ´e  comumente  denominada  reta-diretriz

do prisma.

Problema  6.10.   Liste  os  v´ertices,  as  arestas,  as  arestas  laterais  e  as  faces  do  prisma ilustrado na figura 6.13.

 

 

 

Figura 6.14

 

Se a reta-diretriz l  for perpendicular a α, dizemos que o prisma ´e reto (figura 6.14).

Os prismas (e os poliedros em geral) possuem v´arios tipos de estruturas similares a ˆangulos. Os principais j´a conhecemos:

  • ˆangulos planos, que s˜ao os ˆangulos de suas faces;
  • ˆangulos diedros, que s˜ao os diedros determinados por cada par de faces com uma aresta em
Por  exemplo,  no  prisma  ilustrado  na  figura  6.13′ temos  os  ˆangulos  &ABC,  &BCD,  etc,′

H´a  eventualmente  outras  estruturas,  como  triedros,  mas  n˜ao  nos  preocuparemos  com  isto agora.

 

 

 

′        ′           ′
que pertencem `a sua base inferior; os ˆangulos &B BA, &CC  D′ , etc, ′que pertencem a faces

laterais.   Temos  tamb´em  os  diedros  determinados  pela  face  A ABB

e pela base R, pelas

 

faces B BCC

e C CDD

(que compartilham a aresta CC′, etc.

 

 

 

 

 

2Dizemos  que  duas  regi˜oes  poligonais  s˜ao  congruentes  se  os  pol´ıgonos  que  as  determinam  s˜ao  congruentes; e  dois  pol´ıgonos  s˜ao  congruentes  se  os  seus  lados  e  respectivos  ˆangulos  s˜ao  congruentes  entre  si.

 

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               79

 

 

 

 

 

Problema  6.11.  Liste  todos  os  ˆangulos  e  diedros  do  prisma  ilustrado  na  figura  6.13.

Problema 6.12. Mostre que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma reto s˜ao  retos.

 

 

 

  • Paralelep´ıpedos e  cubos

 

 

  • (b)

 

Figura 6.15

 

Um importante exemplo particular de prismas s˜ao os paralelep´ıpedos, os poliedros an´alogos aos paralelogramos.  Um prisma ´e um paralelep´ıpedo se sua base ´e um paralelogramo.  Neste caso ´e  f´acil  de  verificar  que  todas  as  faces  tamb´em  s˜ao  paralelogramos.  Um  paralelogramo

´e  chamado  de  reto  quando  as  mesmas  condi¸c˜oes  de  um  prisma  reto  forem  satisfeita,  isto ´e, quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base.

Uma situa¸c˜ao mais particular ainda surge quando a base de um paralelep´ıpedo ´e um retˆangulo e ele ´e um prisma reto.  Nestas condic¸˜oes o chamamos de paralelep´ıpedo  retˆangulo.

Na  figura  6.15a  representamos  um  paralelep´ıpedo  gen´erico,  enquanto  que  na  figura  6.15b representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo.

 

Figura 6.16

 

Finalmente, se as faces e as bases de um paralelep´ıpedo forem quadrados, ele recebe o nome de cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo.

Problema  6.13.  Mostre  que  todas  as  arestas  de  um  cubo  s˜ao  congruentes.   Mostre  ainda que  todos  os  ˆangulos  e  diedros  de  um  cubo  s˜ao  retos.

 

 

 

  • Pirˆamides
R                                                             R

Uma pirˆamide ´e um poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17):

⊂ R
  • Tome uma regi˜ao poligonal plana e um ponto V qualquer fora do plano de                                                               ;
  • por cada ponto Q trace o segmento QV .  Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos QV

´e chamada de pirˆamide.

 

 

 

80     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

Figura 6.17

 

 

com  o  v´ertice  comum  V   s˜ao  as  faces  laterais  da  pirˆamide.   Os  v´ertices  de  R s˜ao  tamb´em
R

O ponto V  ´e chamado de v´ertice ou cume da pirˆamide, e a regi˜ao      de sua base.  Os triˆangulos

 

chamados de v´ertices da pirˆamide, e para n˜ao confundir com o v´ertice V , costumamos cham´a- los  de  v´ertices  da  base.   As  definic¸˜oes  de  arestas  laterais  e  arestas  da  base  s˜ao  an´alogas,  e deixamos ao leitor o trabalho de escrevˆe-las.

E´  comum  denominarmos  as  pirˆamides  em  func¸˜ao  do  pol´ıgono  que  constitui  sua  base.   Por exemplo, na figura 6.17 a base ´e um pol´ıgono de cinco lados, e esta pirˆamide recebe o nome de pirˆamide pentagonal.  Se a base da pirˆamide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular; se  tem  seis  lados,  de  hexagonal,  etc.    No  caso  especial  em  que  a  base  ´e  um  triˆangulo  a pirˆamide pode receber o nome de triangular, mas tamb´em ´e chamada de tetraedro, como j´a citamos mais acima (veja a figura 6.11).

 

 

Figura 6.18

 

 

 

  • Outros poliedros

Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18.

Uma classe importante s˜ao os poliedros regulares, isto ´e, tais que todas as faces s˜ao pol´ıgonos regulares congruentes entre si, e todos os diedros tamb´em s˜ao congruentes entre si.  Podemos provar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, o icosaedro  e  o  dodecaedro.  Estes  poliedros  s˜ao  tamb´em  conhecidos  como  s´olidos  de  Plat˜ao, o  fil´osofo  grego  do  s´eculo  IV  antes  de  Cristo,  e  tˆem  uma  grande  importˆancia  n˜ao  s´o  para a  hist´oria  da  matem´atica,  como  para  a  hist´oria  da  filosofia  e  da  compreens˜ao  do  Cosmos. Vamos agora apresentar estes nobres senhores.

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 6.19

 

 

O  cubo  todos  j´a  conhecem.   Suas  faces  s˜ao  quadrados  congruentes  entre  si  e  todos  os  seus diedros  s˜ao  retos.   Tamb´em  j´a  falamos  de  tetraedros,  que  s˜ao  pirˆamides  triangulares.   O tetraedro  regular  ´e  uma  pirˆamide  cujas  faces  s˜ao  todas  triˆangulos  equil´ateros  congruentes entre si (veja a figura 6.19a).

O octaedro possui oito faces, como o nome diz.  Suas faces s˜ao tamb´em triaˆngulos equil´ateros, e ele ´e “montado” com duas pirˆamides quadrangulares cujas bases s˜ao um quadrado, como mostramos na figura 6.19b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 6.20

 

O  icosaedro  ´e  formado  por  vinte  faces  (icosa  =  vinte  em  grego)  que,  mais  uma  vez,  s˜ao triˆangulos equil´ateros, como mostramos na figura 6.20a.

O dodecaedro ´e formado por doze faces (dodeca = doze, em grego).  Suas faces s˜ao pent´agonos regulares – veja a figura 6.20b.

Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa u´ltima aula.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

  • Exerc´ıcios

 

∈             ∈
  • Sejam α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, com A α  e  B            β.  Seja  M  o  ponto  m´edio  de  AB.  Mostre  que  o  plano  µ  que  passa  por  M  e  ´e perpendicular  a  AB  ´e  o  lugar  geom´etrico  dos  pontos  equidistantes  de  α  e  β.

 

  • Descreva o  lugar  geom´etrico  dos  pontos  equidistantes  a  duas  retas  paralelas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 6.21: – Exerc´ıcio 6.3

 

 

  • A ´area  total  da  superf´ıcie  de  um  prisma  ´e  a  soma  das  ´areas  de  todas  as  suas  faces (incluindo as bases), e a ´area lateral de um prisma ´e a soma das ´areas de suas faces laterais.

 

  • Calcule a  ´area  lateral  e  a  ´area  total  da  superf´ıcie  de  um  cubo  cuja  aresta  mede  
=
  • Na figura 21  representamos  um  prisma  reto  cujas  bases  s˜ao  trap´ezios  (ele  esta´  visu- almente  “deitado”).    Os  comprimentos  das  arestas  paralelas  da  base  s˜ao  4  e  9,  e  os comprimentos das arestas da base n˜ao paralelas s˜ao 5 e 6.  Al´em disso BF     12.  Calcule a  ´area  lateral  e  a  ´area  total  da  superf´ıcie  deste  prisma.

 

□ ′          ′
  • Seguindo a nota¸c˜ao  da  figura  13,  mostre  que     A ADD   ´e  um  paralelogramo.  Tente generalizar este resultado para todos os tipos de prismas.

 

  • Assim como observamos nos prismas, as piraˆmides tamb´em possuem aˆngulos das faces e diedro  Liste  todos  os  ˆangulos  planos  e  diedros  da  pirˆamide  ilustrada  na  figura  6.17.

 

  • Uma pirˆamide  cuja  base  ´e  um  pol´ıgono  regular  e  cujo  v´ertice  equidista  de  cada  um dos  v´ertices  da  base  ´e  chamada  de  piraˆmide  regular.   Mostre  que  as  faces  laterais  de  uma pirˆamide  regular  s˜ao  triˆangulos  is´osceles  congruentes  entre  si.

 

  • A ´area  lateral  de  uma  pirˆamide  ´e  a  somas  das  ´areas  de  suas  faces  laterais,  e  a  ´area total da superf´ıcie de uma piraˆmide ´e a soma de sua ´area lateral com a ´area da bas  Calcule as  ´areas  total  e  lateral  nos  seguintes  casos:

 

  • de um tetraedro regular cuja aresta mede
  • de uma  pirˆamide  quadrangular  regular  cuja  base ´e  um  quadrado  de  lado  2  e  cuja  aresta lateral mede

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 6: LUGAREs GEoMÉTRICos E PoLIEDRos                               83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Volumes de poliedros

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 84                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:48

 

 

 

 

 

 

AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns s´olidos.  O procedimento ´e an´alogo ao que foi feito para apresentar o conceito de a´rea de figuras planas em [7].  Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espa¸co.  Este “tanto” ´e o que chamaremos de volume1.

 

 

Figura 7.1

 

×   ×    =

Vejamos um exemplo.  Na figura 7.1 representamos um paralelep´ıpedo cujas arestas medem 8, 4 e 4.  Cortamos ent˜ao o paralelep´ıpedo com v´arios planos paralelos, formando pequenos cubos  de  aresta  1.    Ent˜ao  o  paralelep´ıpedo  ´e  formado  de  8     4     4       128  destes  cubos. Assim  poder´ıamos  dizer  que  o  “tanto”  (=  volume)  que  o  paralelep´ıpedo  ocupa  no  espa¸co ´e equivalente  a  128  cubos  de  aresta  1.   Se  dissermos  que  o  volume  do  cubo  de  aresta  1  ´e  1, ent˜ao o volume  do paralelep´ıpedo seria 128.

arestas  medissem  3/4,  5/7 e  2/3,  ent˜ao  podemos  dividi-lo  em  3 × 5 × 2 = 30  cubos  de  aresta
/

No exemplo acima apresentamos um paralelep´ıpedo cujas arestas tˆem comprimentos inteiros. E  se  n˜ao  for  assim?    Bem,  se  as  arestas  possu´ıssem  comprimentos  racionais,  ainda  seria poss´ıvel  dividir  o  paralelep´ıpedo  em  cubos  iguais  com  lados  racionais.   Por  exemplo,  se  as

 

volume  de  30  cubos  de  aresta  1/84,  ou  que  o  seu  volume  ´e  30/84 = 5/21.   Se  as  arestas  do

1  84  (verifique!);  e  ent˜ao  poder´ıamos  dizer  que  o  volume  do  paralelep´ıpedo  corresponde  ao

 

paralelep´ıpedo n˜ao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproxima¸c˜oes racionais destas  medidas  e,  atrav´es  de  um  processo  de  limite,  mostrar  que  ´e  razo´avel  afirmar  que  o volume  de um paralelep´ıpedo ´e dado pelo produto das medidas de suas arestas.

 

 

 

 

 

 

Figura 7.2

 

 

de  paralelep´ıpedos,  como  mostramos  na  figura  7.2  e,  atrav´es  de  um  processo  de  limite, aumentando  o  nu´mero  de  paralelep´ıpedos,  calcular  o  volume  da  figura2.   No  entanto  n˜ao utilizaremos  este  procedimento,  mas  um  outro  equivalente,  conhecido  como  Princ´ıpio  de Cavalieri, que introduziremos mais adiante.

Para finalizar esta introduc¸˜ao chamamos a aten¸c˜ao para o seguinte:  poder´ıamos apresentar o conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de ´area de figuras planas, utilizando uma s´erie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalhar de  forma  mais  intuitiva  pois,  caso  contr´ario,  o  assunto  atinge  complicac¸˜oes  que  est˜ao  al´em de um texto introdut´orio como este.

 

 

 

  • Volume de  regi˜oes  poliedrais

 

Como  j´a  dissemos  na  introdu¸c˜ao,  n˜ao  daremos  neste  texto  um  tratamento  completamente formal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta se¸c˜ao, apresentar de maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri- edades  que  o  volume  de  regi˜oes  poliedrais  deve  satisfazer  com  o  t´ıtulo  de  princ´ıpios,  e  n˜ao de axiomas, como seria usual.

 

Figura 7.3

 

A primeira pergunta que surge ´e:  o que ´e, de fato, uma regi˜ao poliedral?  Podemos definir este conceito de maneira inteiramente an´aloga `a defini¸c˜ao usual de regi˜ao poligonal3:  uma regi˜ao poliedral ´e uma uni˜ao finita de tetraedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum, onde os

 

2O  leitor  atento  pode  perceber  que  este  procedimento  nada  mais ´e  do  que  uma  forma  de  calculo  integral.

3Veja  em  [7]  ou  outro  texto  qualquer  de  geometria  plana  como  s˜ao  definidas  regi˜oes  poligonais

 

 

 

86     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

pontos  interiores de um tetraedro s˜ao os pontos do espa¸co que pertencem simultaneamente a todas as seis regi˜oes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro.  De agora para frente utilizaremos o termo poliedro no sentido de regi˜ao poliedral.

Todas as figuras espaciais apresentadas na se¸c˜ao 6.5 da aula anterior, `a exce¸c˜ao dos triedros, podem ser seccionadas em um nu´mero finito de tetraedros.  Na figura 7.3 apresentamos uma divis˜ao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divis˜ao de um octaedro em quatro tetraedros.

 

Figura 7.4

 

 

Nosso primeiro princ´ıpio ´e o da existˆencia:

u´nico nu´mero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R.

Princ´ıpio  da  Existˆencia  do  Volume.  A  cada  regi˜ao  poliedral  R est´a  associado  um

Se um poliedro ´e seccionado em v´arios poliedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum4,

´e  natural  assumir  que  o  volume  do  poliedro  ´e  igual  `a  soma  dos  volumes  dos  poliedros  em que foi seccionado.

Precisamos  agora  dar  uma  “referˆencia”  para  o  c´alculo  de  volumes.    No  caso  de  ´areas  a

referˆencia  utilizada  em  geral  ´e  a  a´rea  de  um  quadrado  (veja,  por  exemplo,  em  [7]).    No espa¸co o natural ´e utilizar paralelep´ıpedos retangulares, como foi discutido na introdu¸c˜ao.

 

 

 

 

Princ´ıpio  da  Unidade  para  Volumes.  O volume de um paralelep´ıpedo retangular ´e o produto dos comprimentos de suas trˆes arestas n˜ao paralelas que se encontram em um mesmo v´ertice.
princ´ıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h.

Na  figura  7.5  representamos  um  paralelep´ıpedo  retˆangulo  cujo  volume  ´e  V  =  a.b.h,  pelo

 

 

4N˜ao definimos formalmente o que s˜ao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que s˜ao pontos interiores de  tetraedros.    Essencialmente,   um  ponto  interior  de  um  poliedro  ´e  um  ponto  interior  de  um  dos tetraedros  que  o  comp˜oe.

 

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.5

 

 

=

Problema 7.1.  Mostre que o volume de um cubo de aresta l ´e V  l3.

 

Precisamos agora de um princ´ıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer, sabendo  como  calcular  volumes  de  paralelep´ıpedos  retˆangulos,  seguindo  a  ideia  que  apre- sentamos na figura 7.2. Para entender o princ´ıpio que enunciaremos mais abaixo, imagine uma pilha de moedas como representada na figura 7.6 `a esquerda.  Se “entortarmos” a pilha, como  representado  na  mesma  figura  `a  direita,  o  volume  do  conjunto  n˜ao  se  modifica,  pois este depende s´o das moedas, e n˜ao da forma da pilha.

 

Figura 7.6

 

Agora  imagine  que  cada  moeda  v´a  sendo  afinada,  de  forma  que  sua  espessura  diminua,  e que  se  v´a  colocando  mais  moedas,  para  que  a  forma  das  pilhas  n˜ao  se  modifique.    Este procedimento mant´em o volume das pilhas.  No limite, teremos como que se¸c˜oes planas nas duas  pilhas  com  mesma  a´rea,  cuja  “soma”  d´a  o  volume  das  pilhas.   Esta  ideia  (que  nada mais  ´e  do  que  uma  forma  de  se  pensar  em  integrac¸˜ao  mu´ltipla)  para  se  calcular  volumes de s´olidos ocorreu a um matem´atico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) e deu origem ao princ´ıpio que enunciamos a seguir.

 

B    B′                                                                       T

Vejamos um exemplo para o Princ´ıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois para-

lelep′ ´ıpedos  cujas  bases  s˜ao  dois  retˆangulos          e        congruentes,  e  cujas  bases  superiores

e T   s˜ao coplanares.  Cada plano paralelo ao plano  α  (plano das bases dos paralelep´ıpedos)

S      ′S

que  intercepta  os  paralelep´ıpedos  neles  determina  duas  se¸c˜oes;  na  figura  representamos  as

se¸c˜oes      e      .  N˜ao ´e  dif´ıcil  de  ver  que  estas  se¸c˜oes  s˜ao  retˆangulos  congruentes  `as  bases  dos respectivos paralelep´ıpedos e, portanto congruentes entre si.  Em particular, temos que

ffi(B) = ffi(B′) = ffi(S) = ffi(S′) = ffi(T ) = ffi(T ′),

 

 

 

88     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Figura 7.7

 

 

(⋅)

onde ffi    ´e a ´area de cada um dos pol´ıgonos.  Logo,  pelo Princ´ıpio de Cavalieri, temos que os dois paralelep´ıpedos tˆem o mesmo volume.  Na se¸c˜ao seguinte voltaremos a este exemplo, formalizando-o de maneira mais clara.

 

 

 

  • Volume de prismas

 

 

 

Figura 7.8

 

Nesta  sec¸˜ao  iremos  calcular  o  volume  de  prismas  utilizando  os  princ´ıpios  apresentados na  se¸c˜ao  anterior,  mas  antes  precisamos  estabelecer  algumas  propriedades  destas  figuras. Come¸camos com algumas definic¸˜oes.

Defini¸c˜ao  7.1.  A  altura  de  um  prisma ´e  a  distˆancia  entre  os  planos  de  suas  bases  inferior e superior.

 

=

Na figura 7.8 indicamos por h   PP a altura do prisma ilustrado.

Problema  7.2.  Mostre  que  a  distˆancia  de  qualquer  dos  v´ertices  de  uma  das  bases  de  um prisma  ao  plano  da  outra  base ´e  igual  `a  sua  altura.

 

Se  cortarmos  o  prisma  por  um  plano  paralelo  aos  planos  das  bases,  obtemos  um  pol´ıgono, como mostramos na figura 7.9.  Este pol´ıgono recebe um nome especial.

Defini¸c˜ao  7.2.  Uma  se¸c˜ao  transversal  de  um  prisma  ´e  a  interse¸c˜ao  do  prisma  com  um plano paralelo aos planos das bases.

 

R R′      S

Examinando  a  figura  7.9  nos  fica  parecendo  que  os  pol´ıgonos     ,        e      s˜ao  “iguais”  (ou, em  termos  mais  t´ecnicos,  congruentes).   De  fato,  isto  ´e  verdade,  mas  mostraremos  apenas que tˆem a mesma ´area, que ´e o fato que nos interessa no momento.

 

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 89

 

 

 

 

 

 

Figura 7.9

 

Figura 7.10

 

 

Teorema  7.3.  Todas  as  se¸c˜oes  transversais  de  um  prisma  triangular  s˜ao  congruentes  com a base.

 

 

Como  □ ACPM  ´e  um  paralelogramo,  j´a  que  AC  MP   (pois  γ  α) e  AM  CP   (pois

Demonstrac¸a˜o.  Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base ´e o triˆangulo ABC  no  plano  α.   Seja  γ  um  plano  paralelo  a  α  cuja  interse¸c˜ao  com  o  prisma  seja  n˜ao vazia.   Ent˜ao  γ  corta  as  arestas  laterais  do  prisma  nos  pontos  M ,  N  e  P ,  como  ilustrado.

 

 

 

≡                                            △
as  arestas  laterais  s˜ao  paralelas  entre  si),  ent˜ao  AC  MP .   Analogamente  AB  MN  e

BC      NP . Logo

ABC

≡ △MNP

 

 

pelo crit´erio LLL.

 

Corol´ario  7.4.  Todas  as  se¸c˜oes  transversais  de  um  prisma  tˆem  a  mesma  ´area.

 

 

Demonstrac¸a˜o.  N˜ao  escreveremos  todos  os  detalhes  da  demonstra¸c˜ao,  mas  daremos  a ideia.  Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada se¸c˜ao trans- versal em regi˜oes triangulares ligando os v´ertices correspondentes.  Dividimos assim o prisma em subprismas triangulares.  Para cada um destes prismas as sec¸˜oes triangulares correspon- dentes  s˜ao  delimitadas  por  triˆangulos  congruentes  entre  si,  e  portanto  tˆem  a  mesma  ´area. A ´area de cada se¸c˜ao transversal ´e a soma das ´areas das regi˜oes triangulares em que ela foi dividida, assim como a ´area da base.  Logo todas as se¸c˜oes transversais de um prisma tˆem a mesma ´area que a base do mesmo.

 

Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer.

 

 

 

 

90     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.11

 

Figura 7.12

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Acompanhe  os  argumentos  a  seguir  na  figura  7.12.  Tome  um  prisma  T

Teorema  7.5.  O  volume  de  um  prisma  qualquer  ´e  o  produto  da  ´area  de  sua  base  pela  sua altura.

 

 

tal que
R                                 R
(a)  sua base seja um retˆangulo      no mesmo plano que       , e tal que

Tqu′alquer de altura h e cuja base seja um pol´ıgono R.  Construa um paralelep´ıpedo retˆangulo

(R) =     (R )

ffi         ffi    ;

  • sua altura seja a mesma que a do prisma;
  • estejam do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano de suas b

 

(S) =     (S )

Cada  plano  paralelo  ao  plano  de  suas  bases  que  corta  o  prisma  corta  o  paralelep´ıpedo.  As se¸c˜oes  que  este  plano  determina  no  prisma  e  no  paralelep´ıpedo  tˆem  a  mesma  ´area  que  as respectivas bases, como vimos no corol´ario 7.4.  Como as ´areas das bases s˜ao iguais, as ´areas das se¸c˜oes tamb´em o s˜ao.  Por exemplo, na figura 7.12,

(T ′) =     (R′)

ffi        ffi    .

Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri o volume dos dois s´olidos s˜ao iguais.  Mas V             ffi        .h

pelo Princ´ıpio da Unidade para Volumes, donde

V(T ) = ffi(R).h.

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 91

 

 

 

 

  • Volume de  pirˆamides

O c´alculo de volumes de pirˆamides ´e um pouco mais complicado que o c´alculo para prismas. Assim  dividiremos  esta  se¸c˜ao  em  duas  subse¸c˜oes,  apresentando  na  primeira  uma  lista  de propriedades  de  pirˆamides  an´alogas  a`s  que  foram  apresentadas  para  prismas,  e  na  segunda o c´alculo do volume de uma pirˆamide.

 

  • Propriedades b´asicas  de  pirˆamides

Come¸camos com algumas definic¸˜oes.

 

 

Figura 7.13

 

Defini¸c˜ao  7.6.  A  altura  de  uma  pirˆamide ´e  a  distˆancia  de  seu  v´ertice  (ou  cume)  ao  plano de sua base.

Na figura 7.13 o comprimento h do segmento VJ  α ´e a altura da pirˆamide representada.

 

Figura 7.14

 

S                      S

Defini¸c˜ao  7.7.  Uma  se¸c˜ao  transversal  de  uma  pirˆamide  ´e  a  interse¸c˜ao  da  piraˆmide  com um plano paralelo ao plano de sua base.

uma “c´opia” da base R, s´o que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesma

Na figura 7.14 o plano β  corta a pirˆamide ilustrada na sec¸˜ao transversal    .  Observe que     ´e

 

proporc¸˜ao.  Esta propriedade ´e o que verificaremos a seguir de maneira formal.  Estudaremos primeiro o caso em que as pirˆamides s˜ao triangulares, e reduziremos em seguida o caso geral a este.

 

 

 

 

 

 

92     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

Teorema  7.8.  Toda  se¸c˜ao  transversal  de  uma  pirˆamide  triangular ´e  uma  regi˜ao  triangular semelhante  `a  sua  base,  e  a  raz˜ao  de  semelhan¸ca  entre  seus  lados ´e

 

=

ρ d , h

onde  d ´e  a  distˆancia  do  v´ertice  da  pirˆamide  ao  plano  da  se¸c˜ao,  e  h ´e  a  altura  da  pirˆamide.

 

 

 

 

Figura 7.15

 

 

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Sejam  T                                                                                      ′    ′    ′a  pirˆamide  triangular  de  base  △ABC  e  v´ertice  V , e  △A B C

uma  se¸c˜ao  transversal  de  T ,  como  representado  na  figura  7.15.    Assumimos  ainda  que,

VP α;
P ´e o ponto do plano β  da s′ec¸˜ao △ABC em que VP  o encontra.  Como α β  temos

VP  = h ´e a altura de T , onde P  ´e o ponto do plano α determinado por △ABC  tal que

 

que VP ′ ⊥ β, donde d = VP   ´e a distˆancia de V  a β.

Com estas nota¸c˜oes o que queremos mostrar ´e que △ABC ∼ △ABC, com

≠                                                    =
AB
AC
BC
h

AB′ = AC′  = BC′  = d = ρ.                                                                                                  (7.1)

 

Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que VP        V A.  Se, caso contr´ario, VP                                                                                                        V A,

ent˜ao a demonstra¸c˜ao segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir.

O primeiro passo ´e mostrar que

 

 

 

De fato, como

 

  • &AVP = &AV P e

V AP ∼ △V AP.                                                           (7.2)

 

  • &VP A ≡ &V PA (pois s˜ao ambos retos),

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 93

 

 

 

 

ent˜ao (7.2) ´e verdadeira pelo crit´erio AA de semelhan¸ca de triˆangulos.  Em particular

 

VA    VP    h

V A′ = VP ′ = d = ρ.                                                        (7.3)

Em seguida verificamos que

temos que

V AB ∼ △V AB,  V BC V BC   e   △ V AC ∼ △V AC.                                                                                                        (7.4) As trˆes rela¸c˜oes seguem do fato que AB′ ∥ AB, AC′ ∥ AC  e BC′ ∥ BC  (verifique!).  Logo

 

VA
VB
AB

V A = V B = AB

 

 

(7.5)

 

V B = V C = BC

 

 

(7.6)

 

V C = V A = CA

(7.7)

 

VC    VA     CA

Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos

h
VA
VB
VC

d = V A = V B = V C

 

(verifique!).  Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da rela¸c˜ao acima conclu´ımos que

AB
AC
BC
h

AB = AC = BC = d = ρ.

 

△           ∼ △

Em particular, pelo crit´erio LLL de semelhan¸ca de triˆangulos, temos que

= /

ABC        ABC,

com raz˜ao de semelhan¸ca ρ      d  h, como quer´ıamos provar.

 

Uma consequˆencia direta deste teorema ´e o corol´ario seguinte, que relaciona as ´areas da base de uma pirˆamide triangular com a ´area de uma se¸c˜ao transversal.

Corol´ario  7.9.  Seguindo  as  nota¸c˜oes  do  teorema  7.8,  temos  que

 

′   ′   ′       d

ffi(△A B C ) = h2 ffi(△ABC).

 

 

 

Figura 7.16

 

 

 

 

 

94     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

△ ′   ′   ′ ∼ △

Demonstrac¸a˜o.  Este  resultado ´e  na  verdade  um  resultado  de  geometria  plana  j´a  conhe- cido.  Se     A B C          ABC  de tal forma que valem as propor¸c˜oes (7.1), ent˜ao ´e f´acil de ver que  suas  alturas  seguem  a  mesma  propor¸c˜ao.   Em  outras  palavras,  usando  as  nota¸c˜oes  da figura 7.16, temos que

AH
h
2

d2

AH = d .

ffi(△ABC)  =      1 (AB).(AH) = 1 ( d AB) . ( d AH) =

 

 

 

 

 

 

como quer´ıamos.

=    h2 ( 2 (AB)(AH)) =

d2
2
h
h

=     h2 ffi(△ABC),

 

 

Problema 7.3.  Mostre o resultado de geometria plana utilizado no corola´rio acima:  a raz˜ao entre  as  alturas  de  dois  triˆangulos  semelhantes ´e  a  mesma  raz˜ao  entre  os  seus  lados.

 

O  corol´ario  7.9  vale  em  geral,  e  n˜ao  s´o  para  pirˆamides  triangulares.   O  teorema  seguinte deixar´a esta afirma¸c˜ao mais clara.

 

/

Teorema  7.10.  Em  toda  pirˆamide  a  raza˜o  da  ´area  de  uma  se¸c˜ao  transversal  pela  a´rea  de sua base ´e d2  h2, onde h ´e a altura da pirˆamide e d ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano da se¸c˜ao  transversal.

 

 

Figura 7.17

 

 

 

 

lares T , T , .. ., T   e aplicar o corol´ario 7.9 para cada uma das pirˆamides formadas.  Como1   2                   n

Demonstrac¸a˜o.  Para provar isto basta decompor a base da pirˆamide em regi˜oes triangu- ilustra¸c˜ao, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n = 2.  Neste exemplo temos que

′       d2                                    ′       d2

ffi(T1 ) =  h2 ffi(T1) e ffi(T2 ) = h2 ffi(T2)

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 95

 

 

 

 

 

 

donde

B′     =  ffi(T ′) +

 

ffi
2
h2
ffi
1
ffi
2

(T ′) = d2 (

(T ) +

(T )) =

 

1

=     h2 B,

 

B        ′B
=

onde  indicamos  por      e        as  ´areas  da  base  de  da  se¸c˜ao  transversal  da  pirˆamide,  respecti- vamente.   A  u´nica  diferenc¸a  desta  conta  para  o  caso  geral  ´e  que  aparecem  n  parcelas  nas somas envolvidas.

Problema 7.4. Ilustre o caso n  3 para o teorema acima.

 

Uma  consequˆencia  importante  do  teorema  7.10,  que  nos  permitir´a  aplicar  o  Princ´ıpio  de Cavalieri para calcular volumes de pirˆamides, ´e o teorema a seguir.

Teorema  7.11.  Se  duas  piraˆmides  tˆem  a  mesma  altura  e  a  ´area  de  suas  bases  tamb´em ´e  a mesma,  ent˜ao  as  se¸c˜oes  determinadas  por  um  mesmo  plano  tˆem  as  mesmas  ´areas.

 

 

 

 

Figura 7.18

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Na  figura  7.18  representamos  duas  pirˆamides  nas  condi¸c˜oes  enunciadas no teorema.  Seguindo as nota¸c˜oes da figura, pelo teorema anterior temos que

d                            ′       d2             ′

ffi(S) = h2 ffi(R) e ffi(S ) = h2 ffi(R ).

Como ffi(R) = ffi(R′), ent˜ao deduzimos que

ffi(S) = ffi(S′)

como desejado.

Corol´ario  7.12.  Se  duas  pirˆamides  tˆem  a  mesma  altura  e  se  suas  bases  s˜ao  coplanares  e tˆem  a  mesma  ´area,  ent˜ao  o  volume  das  duas  pirˆamides ´e  o  mesmo

 

Demonstrac¸a˜o.  Observe  que  mostramos  no  teorema  anterior  que  todas  as  se¸c˜oes  trans- versais  de  duas  pirˆamides  nestas  condic¸˜oes  tˆem  a  mesma  ´area.   Assim,  pelo  Princ´ıpio  de Cavalieri, ambas possuem o mesmo volume.

 

 

 

 

 

96     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

  • C´alculo do  volume  de  uma  pirˆamide

Na subse¸c˜ao anterior apresentamos todo o material necess´ario para se calcular o volume de uma pirˆamide.  Agora, vamos ao c´alculo efetivo.

B

Teorema  7.13.  O  volume  de  uma  pirˆamide  qualquer  ´e  um  ter¸co  do  volume  do  prisma  de mesma  base  e  mesma  altura.  Ou,  dito  de  outra  forma,  se      ´e  a  base  da  pirˆamide,  e  h  sua altura  ent˜ao  seu  volume ´e

3

V = 1 ffi(B).h.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.19

 

 

Demonstrac¸a˜o.  Observamos  primeiro  que  basta  fazer  o  caso  em  que  a  pirˆamide  ´e  tri- angular  (um  tetraedro).    De  fato,  dada  uma  pirˆamide  qualquer,  construa  uma  outra  de mesma  altura e  cuja  base  seja  um triˆangulo  de  mesma  ´area da  pirˆamide  dada.  Assim,  pelo corol´ario 7.12 estas duas pirˆamides possuem o mesmo volume.

Uma  outra  simplifica¸c˜ao  ´e  a  seguinte:   podemos  assumir  que  uma  das  arestas  laterais  da pirˆamide  ´e  perpendicular  ao  plano  da  base  pois,  repetimos,  o  volume  de  uma  pirˆamide depende apenas da ´area de sua base e de sua altura.

Resumindo:  assumimos que a pirˆamide ´e triangular com uma de suas arestas laterais perpen- dicular ao plano da base, sem perda de generalidade.  Agora constru´ımos sobre esta pirˆamide um prisma triangular reto, como apresentado na figura 7.19 (na figura 7.19a representamos a pirˆamide original, e na figura 7.19b o prisma).

Em seguida desmembramos o prisma em trˆes pirˆamides, como mostramos nas figuras 7.19b e  7.20.  As  trˆes  pirˆamides  s˜ao5  ADEV ,  ABEV   e  ABCV   (que ´e  a  pirˆamide  original).  Mos- traremos agora que estas trˆes pirˆamides possuem o mesmo volume.

 

Consideremos  △ADE  e  △AEB  como  bases,  respectivamente,  destas  duas  pirˆamides.
  • As pirˆamides ADEV   e  ABEV   possuem  o  mesmo  volume:

 

Com  esta  escolha  a  distˆancia  h  de  V   ao  plano  determinado  pelos  triˆangulos  △ADE  e

 

5Utilizamos  os  v´ertices  para  indicar  as  pirˆamides,  escritos  em  ordem  qualquer.

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 97

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.20

 

 

(           ) =   (           )
Para finalizar, observe que △ADE ≡ △AEB (verifique!), donde ffi(△ADE) = ffi(△AEB).

AEB  (preste  aten¸c˜ao:  os  triˆangulos  s˜ao  coplanares!)  ´e  a  altura  das  duas  pirˆamides. Logo as duas pirˆamides possuem bases de mesma ´area e a mesma altura, e portanto

V ADEV        V ABEV  .

 

△           △
  • As pirˆamides ADEV   e  ABCV   possuem  o  mesmo  volume:
△estes  triˆangulos  s˜ao  as  bases  do  prisma  reto  que  constru´ımos,  ´e  claro  que  △DEV   

Consideremos       DEV  e     ABC como bases, respectivamente, das duas pirˆamides.  Como

 

ABC.   Al´em  disso  a  altura  destas  duas  pirˆamides  relativa  `as  bases  escolhidas  ´e  exa- tamente  a  distˆancia  entre  os  planos  das  bases,  donde  ´e  a  mesma  altura.    Assim  s˜ao pirˆamides com mesma ´area da base e mesma altura, donde

V(ADEV ) = V(ABCV ).

 

  • Conclu´ımos ent˜ao que

V(ADEV ) = V(ABEV ) = V(ABCV ).

 

(                ) =     (B)

Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que constru´ımos ´e

 

B = △                                             =

V ABCV DE         ffi     .h,

 

onde              ABC  ´e  a  base  do  prisma;  e  h      VC  ´e  a  altura  do  prisma  relativa  a  esta  base. Mas temos ainda que

 

 

 

 

 

donde

V(ABCV DE)

(           ) + (          ) + (          ) =

V ADEV        V ABEV        V ABCV

=  3.V(ABCV ),

 

3

V = V(ABCD) =  1 ffi(B).h

 

 

 

 

98     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

  • Aplica¸c˜oes

Nesta sec¸˜ao vamos calcular volumes de alguns s´olidos, a t´ıtulo de exemplo.

Problema 7.5. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.21: – Problema 7.5

 

 

Soluc¸a˜o.  Lembramos  que  um  tetraedro  regular  ´e  uma  pirˆamide  triangular  cujas  faces (e  base)  s˜ao  triˆangulos  equil´ateros  congruentes.    Para  calcular  o  seu  volume  precisamos encontrar a ´area de sua base e a sua altura.  Na figura 7.21 a base do tetraedro ´e o triˆangulo equil´atero     ABC, cujos lados medem todos l.  Assim sua altura ´e

2

AM = l√3 .                                                                                  (7.8)

 

 

Logo sua ´area ´e

ffi = 1 l.(AM ) =

2

l      3 .

4

 

2

Observe  agora  na  figura  7.21  que  a  altura  do  tetraedro  ilustrado  ´e  o  comprimento  h  do segmento  V O.   Como  V   ´e  equidistante  dos  v´ertices  da  base                           ABC  do  tetraedro,  e  VO  ´e perpendicular  ao  plano  da  base,  ent˜ao  pelo  problema  6.8  sabemos  que  O  ´e  o  circuncentro do triˆangulo                           ABC  (justifique!).  Ora, O  tamb´em ´e o baricentro do triˆangulo, donde

3
Para calcular h aplicamos o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo △V OA:

OA = l√3 .                                                                                 (7.9)

 

 

3

h2 + (OA)2 = l2  ⇒ h = l√6

 

 

(7.10)

 

 

 

Ent˜ao o volume V do tetraedro ´e

1

1   l2√3

 

l√6

 

l3√2

 

V = 3 ffi ⋅ h = 3 ⋅

4     ⋅ 3    =   12 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos 99

 

 

 

 

 

Problema  7.6.  Mostre  que  as  igualdades  (7.8)  e  (7.9)  est˜ao  corretas.

Problema 7.7. Calcule o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22).

 

 

 

 

Figura 7.22: – Problema 7.7

 

 

Soluc¸a˜o.  Lembramos que um octaedro regular, representado na figura 7.22 ´e um poliedro cujas oito faces s˜ao triˆangulos equil´ateros.  O octaedro da figura pode ser seccionado em duas pirˆamides quadrangulares V ABCD  e WABCD  cuja base comum ´e o quadrado     ABCD  e cujas alturas s˜ao iguais.  Ent˜ao o volume V do octaedro pode ser escrito assim:

V = V(V ABCD) + V(WABCD) = 2 ⋅ V(V ABCD).

´e a ´area do quadrado □ ABCD, ou seja,

Logo  basta  calcular  o  volume  V = V(V ABCD).  Vamos  l´a.  A  ´area  ffi da  base  da  pirˆamide

 

=

ffi   l2.

 

=
a△ltura da pirˆamide ´e h      V O.  Calculamos h aplicando o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo

Para  calcular  a  altura  da  pirˆamide  observe  que  se  O  ´e  o  centro  de                                                                                            ABCD  (isto  ´e,  o encontro  de  suas  diagonais),  ent˜ao  VO  ´e  perpendicular  ao  plano  do  quadrado,  donde  a

 

 

)

V OA:

    2

   

 

Ent˜ao

h2 + (OA)2 = l2  ⇒ h2 = l2 − (OA)2 = l2 − ( l   2

V = 1 ffi ⋅ h = l
2

.

3

 

 

 

 

h = l   2 .

 

Logo o volume do octaedro ´e

     

 

V = 2 ⋅ V =

l3  2

.

3

 

 

 

Problema  7.8.  Mostre  que,  nas  nota¸c˜oes  da  figura  7.22,

  • OA = l√2/2. (Sugest˜ao:  observe  que  AC  ´e  a  diagonal  do  quadrado  ABCD)

 

 

 

100     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

circuncentro  dos  triˆangulos  ABD  e  BCD  e  aplique  o  problema  6.8.)
  • VO ´e perpendicular  ao  plano  do  quadrado  ABCD.    (Sugest˜ao:   Mostre  que  O  ´e  o
  • Mostre que  V ,  O  e  W  s˜ao  pontos  alinhados.

 

 

Figura 7.23:  – Tronco de pirˆamide

 

B                                                   B′

Ao  se  seccionar  uma  pirˆamide  por  um  plano  paralelo  `a  sua  base  separamos  a  pirˆamide  em dois poliedros:  um que cont´em o v´ertice da pirˆamide, que ´e uma nova pirˆamide; e outro que cont´em a base da pirˆamide, que denominamos tronco  de  pirˆamide.  Na figura 7.23 represen- tamos uma pirˆamide seccionada por um plano.  A parte da figura desenhada em linhas mais

B    B
grossas ´e  seu  tronco.  Dizemos  ainda  que  a  base           da  pi′rˆamide  e  a  se¸c˜ao  transversal          s˜ao

bases do tronco.  A distˆancia h entre os planos de B e B  ´e a altura do tronco.

Problema  7.9.  Calcule  o  volume  de  um  tronco  de  pirˆamide  de  bases      e      e  altura  h.

=        −

Soluc¸a˜o.  Vamos seguir aqui as nota¸c˜oes da figura 7.23.  Sejam VT  o volume do tronco da pirˆamide, VP  o volume da pirˆamide maior, e V  o volume da pirˆamide menor.  Temos ent˜ao que

VT    VP    V.          (7.11)

Vamos calcular V e VP . Para isto denotaremos

B = ffi(B) e B = ffi(B′).

 

Com esta nota¸c˜ao obtemos:

3
P
3

V = 1 Bh e V = 1 B ⋅ (h + h).

=     ( ′)       ⋅

Para eliminarmos h das express˜oes acima aplicamos o teorema 7.10:

h 2

B    (h + h′)2    B.         (7.12)

 

 

Ap´os algumas manipulac¸˜oes alg´ebricas obtemos:

B −
B

h =  √ h√B√′

 

(7.13)

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos

101

 

Ent˜ao, de (7.11),

 

3                                                                                      √  ′
T

V    =     1 (B ⋅ (h + h) − Bh) =

=     1 (B ⋅ h + (B − B) ⋅ h) = 1 (B ⋅ h + (B − B) ⋅ √ h   B√

 

 

) =

 

√              √        √

B −   B

 

=     1 (B ⋅ h + (B − B) ⋅ √ h

B√′

′ ⋅ (√B + √B′)) =

 

3                                     √B −  √B

(√ B +

B′)

 

=     1 (B ⋅ h + (B − B) ⋅ h

B′(

B +′

B′))  =

 

3

3

=     1 h(B + B +

√BB′).

B − B

 

 

Problema 7.10. Mostre:

 

  • Como se  obt´em  (12)  aplicando  o  teorema  7.10.
  • Como se  obt´em  (13)  a  partir  de  (7.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

  • Exerc´ıcios

 

  • A altura  de  uma  pirˆamide  de  base  quadrada  ´e  10,  e  o  comprimento  de  um  dos  lados da  base  ´e     Determine  a  ´area  de  uma  se¸c˜ao  transversal  da  pirˆamide  cuja  distˆancia6  ao v´ertice ´e  6.

 

 

  • Uma pirˆamide ´e  chamada  de  regular  se  a  sua  base ´e  um  pol´ıgono  regular  e  seu  v´ertice

´e  equidistante  de  cada  v´ertice  da  base.  Mostre  que  as  faces  de  qualquer  pirˆamide  triangular s˜ao  triˆangulos  is´osceles  congruentes  entre  si.

 

 

  • A altura  de  um  paralelep´ıpedo  retangular  ´e  7,  e  os  lados  de  sua  base  medem  4  e   Calcule  o  volume  do  paralelep´ıpedo.

 

 

  • Ao se  introduzir  um  peda¸co  de  metal  em  um  tanque  retangular  cheio  de  a´gua,  de

dimens˜oes  50  cm  de  frente  por  37  cm  de  profundidade,  o  n´ıvel  da  ´agua  subiu  1  cm.  Qual ´e o  volume  do  peda¸co  de  metal?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 7.24: – Exerc´ıcio 7.4

 

 

  • Volte ao  exerc´ıcio  3  e  calcule  o  volume  do  prisma  representado  na  figura  6.21.

 

 

  • Um prisma retangular  reto tem  uma altura de 18 cm  e uma base que mede 6 cm  por 8  cm.  O  plano  determinado  por  uma  diagonal  da  base  e  um  v´ertice  da  base  superior  forma uma  pirˆamide  com  as  faces  do  prism  Determine  o  volume  da  pirˆamide.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6A  distˆancia  de  uma  se¸c˜ao  transversal  de  uma  pirˆamide  a  seu  v´ertice  ´e  a  distˆancia  do  plano  da  sec¸˜ao  ao v´ertice.

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 7 : VoLUMEs DE PoLIEDRos

103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Cilindros, cones

e esferas

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 104                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:09:55

 

 

 

 

 

 

AULA8: CILINDROS, CONES E ESFERAS

 

 

 

 

  • Introdu¸c˜ao

 

Nesta  aula  daremos  uma  breve  introdu¸c˜ao  ao  estudos  dos  “corpos  redondos”:   cilindros, cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, mais informais  ainda  do  que  at´e  agora,  pois  esperamos  que,  a  esta  altura,  vocˆes  j´a  estejam  mais familiarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuais lacunas por conta pr´opria.

 

 

  • Cilindros

 

Figura 8.1

 

 

na se¸c˜ao 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “s´olido” e frase “regi˜ao poligonal R”

Um  cilindro  circular,  denominado  simplesmente  cilindro1  neste  texto,  ´e  um  corpo  s´olido an´alogo a um prisma, mas cuja base2 ´e uma regi˜ao circular, e n˜ao uma regi˜ao poligonal.  A forma  de  defini-lo  construtivamente  ´e  inteiramente  an´aloga  `a  forma  que  definimos  prismas

 

por “regi˜ao circularR” na descric¸˜ao apresentada no in´ıcio da se¸c˜ao, e teremos um cilindro.

 

 

 

 

 

C

Problema  8.1.  Na  figura  8.1  representamos  um  cilindro  cuja  base  ´e  a  regi˜ao  circular  do plano α delimitada pela circunferˆencia    , e cuja reta diretriz ´e a reta l secante aos planos α e β. Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro, acompanhando  a  defini¸c˜ao  de  prisma  dada  na  se¸c˜ao  6.5.1.

 

Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro ´e a distˆancia dos planos paralelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado ´e a distˆancia h dos planos α e β.

 

 

 

 

 

 

 

Figura 8.2

 

Dizemos que um cilindro ´e reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimi- tam  o  cilindro,  como  representado  na  figura  8.2.  Quando  isto  n˜ao  acontece  dizemos  que  o cilindro ´e obl´ıquo, como representado na figura 8.1.

Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro.  O “truque” ´e comparar um cilindro com uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princ´ıpio de  Cavalieri  que  vimos  na  aula  anterior.   A  escolha  natural  ´e  usar  um  prisma  (que  nada mais  ´e  que  um  tipo  de  cilindro,  como  j´a  observamos)  para  realizar  a  compara¸c˜ao.   Para isto  precisamos  do  conceito  de  se¸c˜ao  transversal  de  um  cilindro,  que ´e  an´alogo  ao  de  se¸c˜ao transversal de um prisma:

 

 

Figura 8.3

 

Defini¸c˜ao 8.1.  A interse¸c˜ao de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas bases

S

´e  uma  se¸c˜ao  transversal  do  mesmo.

Na figura 8.3 a regi˜ao      ´e uma sec¸˜ao transversal do cilindro.

Uma propriedade fundamental das sec¸˜oes de um cilindro, que nos permite aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular o seu volume ´e que a ´area de cada uma ´e igual `a ´area da base do cilindro, como foi demonstrado para prismas no corol´ario 7.4:

 

 

 

106     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

Teorema  8.2.  Dado  um  cilindro,  a  ´area  de  cada  uma  de  suas  se¸c˜oes  transversais ´e  igual  `a

´area  de  sua  base.

 

Para demonstrar este teorema siga os passos do pr´oximo problema.

S

Problema 8.2.  Para provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada se¸c˜ao transversal ´e um c´ırculo com o mesmo raio da base do cilindro.  Para fazer isto vamos usar neste problema as  nota¸c˜oes  da  figura  8.3.

←—→
′                                              ←→  ←—→

Seja  r  o  raio  da  base  do  cilindro.  Chamemos  de  γ  o  plano  que  corta  o  cilindro  na  se¸c˜ao     . Sejam  I  ponto  de  γ  em  comum  com  a  superf´ıcie  lateral  do  cilindro,  O  o  centro  da  base  do cilindro,  e  L  o  ponto  em  que  a  reta  OO ,  paralela  `a  reta-diretriz  do  cilindro,  corta  γ.  Seja

tamb´em  C  o  ponto  da  circunferˆencia  da  base  do  cilindro  tal  que  IC  OO.   Ent˜ao  mostre

(b) OC = LI = r.
  • o quadril´atero OCIL ´e  um  paralelogramo;

Conclua  que  todos  os  pontos  em  que  a  superf´ıcie  do  cilindro  corta  γ  est˜ao  em  uma  circun- ferˆencia  de  raio  r  contida  em  γ,  donde  as  ´areas  das  se¸c˜oes  transversais  s˜ao  todas  iguais  `a

´area  da  base  do  cilindro.

 

Deste teorema deduzimos o seguinte:

Teorema  8.3.  O  volume  de  um  cilindro  qualquer ´e  o  produto  da  ´area  de  sua  base  pela  sua altura.

 

Demonstrac¸a˜o.  Sejam  r  o  raio  da  base  do  cilindro  e  h  sua  altura.   Ent˜ao  a  ´area  de√sua

base ´e  B = πr2.  Construa  um  prisma  de  altura  h  e  base  quadrada  cujo  lado  mec¸a  l = r    π.

Pelo  Princ´ıpio  de  Cavalieri  sabemos  que  o  volume  deste  prisma  e  o  volume  do  cilindro  s˜ao

iguais (por quˆe?), donde o volume do cilindro ´e

V = Bh = πr2h.

Problema  8.3.  Justifique  por  que  o  cilindro  e  o  prisma  constru´ıdo  na  demonstra¸c˜ao  do teorema acima possuem o mesmo volume.

 

 

 

  • Cones

 

Assim  como  cilindros  s˜ao  an´alogos  a  prismas,  cones  s˜ao  an´alogos  a  pirˆamides,  e  a  sua  de- fini¸c˜ao  ´e  inteiramente  an´aloga  `a  de  pirˆamide,  apresentada  na  se¸c˜ao  6.5.3,  trocando-se  a palavra  “poliedro”  por  “s´olido”  e  a  frase  “regi˜ao  poligonal  plana”  por  “regi˜ao  circular”3.

 

3Assim  como  observamos  quando  definimos  um  cilindro,  no  caso  do  cone  tamb´em  podemos  escolher  uma regi˜ao  qualquer  de  um  plano  para  construir  um  cone.  Por  exemplo,  se  escolhemos  uma  regia˜o  limitada por  uma  elipse,  teremos  o  que  costumamos  chamar  de  cone  el´ıptico.  Ent˜ao,  com  esta  vis˜ao  mais  geral, podemos  dizer  que  uma  pirˆamide ´e,  em  particular,  um  cone.

 

 

 

 

 

 

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

107

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 8.4

 

 

Neste texto s´o trataremos de cones circulares, isto ´e, cuja base ´e uma regi˜ao circular, como ilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designar´a este tipo de s´olido.

C

Problema 8.4.  Na figura 8.4 representamos um cone cuja base ´e a regi˜ao circular do plano α  delimitada  pela  circunferˆencia      de  centro  O,  e  cujo  v´ertice  ´e  o  ponto  V ,  externo  a  α. Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando a defini¸c˜ao  de  pirˆamide  apresentada  na  se¸c˜ao  6.5.3.

 

Como  definimos  para  pirˆamides,  a  altura  de  um  cone ´e  a  distˆancia  de  seu  v´ertice  ao  plano de sua base.  No cone representado na figura 8.4, a sua altura ´e o comprimento do segmento V J, denotada por h.

 

 

Figura 8.5

 

Dizemos  que  um  cone  ´e  reto  se  o  segmento  que  liga  seu  v´ertice  ao  centro  de  sua  base  for perpendicular  ao plano  da base,  caso contr´ario  dizemos que  o cone ´e obl´ıquo.  Na figura  8.4 representamos um cone obl´ıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto.

Para  calcular  o  volume  de  um  cone  aplicaremos  a  mesma  t´ecnica  utilizada  para  calcular  o volume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido e para a qual se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri.  A escolha natural aqui ´e comparar um cone  com  uma  pirˆamide.   Neste  caso  precisamos  de  um  resultado  an´alogo  ao  teorema  7.10 para  pirˆamides,  que  enunciamos  a  seguir.   Observe  que,  neste  enunciado,  usamos  o  termo “se¸c˜ao transversal de um cone”, cuja definic¸˜ao formal deixamos ao leitor como exerc´ıcio.

/

Teorema  8.4.  Em  todo  cone  a  raz˜ao  da  ´area  de  uma  se¸c˜ao  transversal  pela  ´area  de  sua base  ´e  d2  h2,  onde  h  ´e  a  altura  do  cone  e  d  ´e  a  distˆancia  de  seu  v´ertice  ao  plano  da  se¸c˜ao transversal.

 

 

 

 

108     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Figura 8.6

 

 

Seguiremos  as  nota¸c˜o′es  da  figura  8.6.   Se  S ´e  uma  se¸c˜ao  do  cone  correspondente  `a  circun-

Demonstrac¸a˜o.  Demonstraremos  o  teorema,  por  simplicidade,  no  caso  em  que  o  cone  ´e reto.  A demonstra¸c˜ao do caso geral ser´a deixada como exerc´ıcio.

 

 

 

ferˆencia  de  centro  O

mostrar que

e  raio  r,  e  sua  base  ´e  o  c´ırculo  B de  centro  O  e  raio  R,  queremos

ffi(S) = d2

 

 

ffi(B)      h2 .

△                        ′   ′△

Para  ver  isto  observe  os  triˆangulos      V OD  e      V O D    representados  na  figura,  obtidos

cortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seu v´ertice.  Estes triˆangulos s˜ao semelhantes, donde

 

VO     OD         h     R

V O = ODd =  r .

Logo

 

r   2          2          2d                                                                                                  d

ffi(S) = πr2

= (    )  = (   )  =

 

 

como quer´ıamos.

ffi(B)

πR2          R

h          h2 ,

 

Problema  8.5.  Escreva  uma  defini¸c˜ao  de  se¸c˜ao  transversal  de  um  cone.

VO D
s˜ao  semelhantes.  Verifique  isto  com  detalhes.

Problem′  a  8.6.  Na  demonstra¸c˜ao  do  teorema  8.4  afirmamos  que  os  triˆangulos  V OD  e

 

Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri.

Teorema  8.5.  O  volume  V de  um  cone  de  altura  h  e  cujo  raio  da  base ´e  r  ´e  dado  por

 

=

V    1 πr2h, 3

ou  seja,  corresponde  a  um  ter¸co  do  volume  de  um  cilindro  de  mesma  base  e  mesma  altura.

 

D√emonstr′ac¸a˜o.  Seja  T  uma  piraˆmide  de  altura  h  e  cuja  base  seja  um  quadrado  de  lado

r    π.  Se  Sd ´e  uma  se¸c˜ao  transversal  de  T  cuja  distˆancia  ao  v´ertice  da  pirˆamide ´e  d  ent˜ao,

 

 

 

 

 

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

109

 

 

 

 

 

pelo teorema 7.10, sabemos que

ffi(Sd′ ) =  d2

 

 

S
πr2
h.

Analogamente, se    d ´e uma se¸c˜ao do cone que dista de seu v´ertice de d ent˜ao, pelo teorema 8.4 temos que

πr2
h.

ffi(Sd) =  d2

=
V    1     2πr  h,

Logo ffi(Sd′ ) = ffi(Sd) donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, obtemos V(T ) = V, ou seja,

3

como quer´ıamos.

 

 

 

 

  • Esferas

 

As esferas s˜ao os objetos espaciais an´alogos aos c´ırculos no plano.  Uma definic¸˜ao formal ´e a seguinte:

 

Figura 8.7

 

 

<                                         >

Defini¸c˜ao  8.6.  Dado  um  ponto  O  e  um  nu´mero  real  positivo  r,  o  conjunto  de  todos  os pontos  do  espa¸co  cuja  distˆancia  a  O  ´e  no  m´aximo  r  ´e  chamado  de  esfera.   O  ponto  O  ´e  o centro  da  esfera,  e  o  nu´mero  r  seu  raio.

Dizemos  que  um  ponto  P  ´e  interior  `a  esfera  se  OP     r,  e ´e  exterior  se  OP     r.

Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r. No desenho OM = r, donde M ´e

O conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia a O ´e exatamente r ´e chamado de superf´ıcie esf´erica.

 

 

um ponto da superf´ıcie da esfera, OK < r, donde K  ´e um ponto interior `a esfera, e OL > r,

Nosso  objetivo  agora  ´e  calcular  o  volume  de  uma  esfera,  novamente  aplicando  o  Princ´ıpio de  Cavalieri,  como  fizemos  em  todas  as  se¸coes  desta  aula.  Para  isto  precisamos  analisar  as se¸c˜oes planas de uma esfera.

 

 

 

 

110     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

 

 

Figura 8.8

 

 

 

Sejam Oα o p´e da perpendicular a α por O, e um ponto da circunfe′rˆencia que o plano

Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano α. Intuitivamente podemos perceber que este corte determina um c´ırculo contido no plano e na esfera, fato que n˜ao  demonstraremos  com  rigor  aqui  (o  leitor  interessado  poder´a  encontrar  a  demonstra¸c˜ao em  algumas  das  referˆencias  indicadas).   Vamos  calcular  a  ´area  desta  se¸c˜ao  plana  da  esfera em  func¸a˜o  da  distˆancia  d  do  plano  α  ao  centro  O  da  esfera  e  de  seu  raio  R.  Na  sequˆencia utilizaremos as notac¸˜oes indicadas na figura 8.8.

 

α  determina  na′ super′f´ıcie  da  esfera.   Nestas  condi¸c˜oes  o ′triˆangu′ lo  △OO P  ´e  um  triˆangulo

retˆangulo em O , OO  = d, OP  = R ´e o raio da esfera, e O P  = R   ´e o raio da circunferˆencia.

Assim, pelo Teorema de Pit´agoras,

(OP )2 = (OO)2 + (OP )2  ⇒ R2 = d2 + R2,

 

donde

R =

R2 − d2.

 

Logo a ´area da se¸c˜ao plana que est´a a uma distˆancia d do centro da esfera ´e:

ffid = π(R2d2).                                                                                      (8.1)

S

Para aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um s´olido que:

 

S
  • tenha volume conhecido, e

 

  • as sec¸˜oes planas da esfera e do s´olido obtidas pelo corte com um mesmo plano tenham as mesmas ´ar

 

S

Um s´olido      com estas caracter´ısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9):

 

  • tome um cilindro de altura 2R e raio da base R;
  • tome V o “centro” do cilindro, isto ´e, o ponto m´edio do segmento O1O2, onde O1  e O2

s˜ao os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente;

 

  • retire fora  do  cilindro  dois  cones  com  v´ertices  em  V ,  sendo  a  base  de  um  deles  a  base inferior do cilindro, e a base do outro a base superior do

 

 

 

 

 

 

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 8.9

 

 

△             △

A parte do cilindro que sobra ´e o s´olido que usaremos para calcular o volume de uma esfera de raio R.  Observe que se cortarmos o s´olido por um plano perpendicular aos planos das bases e  passando  pelos  centros  da  mesma  obtemos  dois  triaˆngulos,  representados  na  figura  8.9 como sendo os triˆangulos     MV N  e     PV Q.  E se cortarmos o s´olido com um plano paralelo

`as  bases  do  cilindro  obtemos  uma  sec¸˜ao  que ´e  um  anel  circular.  Na  figura  representamos  a se¸c˜ao obtida com o corte por um plano cuja distˆancia a V  ´e d.

=   (     ) − (     ) =          −      =   (     −   )
pois  V O   = R = O  M .   Os  pontos  O  e  C  s˜ao  os  pontos  em  que  O  O    e  VM  encontram  o2 2                                  1   2
com VO = d = OC.  A ´area da se¸c˜ao representada do s´olido na figura 8.9 ´e dada por

Prestemos  aten¸c˜ao  agora  no  triˆangulo  △V O2M .  Este  triˆangulo ´e  reto  em  O2  e ´e  is´osceles, plano  da  se¸c˜ao,  respectivamente.  N˜ao ´e  dif´ıcil  de  perceber  que  △V OC  tamb´em ´e  is´osceles,

Problema  8.7.  Explique  por  que  (8.2) ´e  a  ´area  do  anel  circular  mostrado  na  figura  8.9.

 

S
S
=         −

Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as ´areas das se¸c˜oes da esfera de raio R e do so´lido     constru´ıdo acima que est˜ao `a mesma distˆancia do centro dos respectivos s´olidos s˜ao iguais donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume.  O volume do s´olido      ´e dado por

 

VS     Vcil       2Vcone

onde  Vcil  ´e  o  volume  do  cilindro  e  Vcone  ´e  o  volume  de  cada  um  dos  cones.   Substituindo pelos nossos dados:

3
3

VS = πR2.(2R) − 2 ( 1 πR2.R) = 4 πR3,

Problema 8.8. Mostre, com detalhes, que VO = OC, na figura 8.9.

 

 

 

 

 

112     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

  • Exerc´ıcios

 

  • A base  de  um  cilindro  ´e  um  c´ırculo  de  diˆametro  8,  e  sua  altura  tamb´em  ´e     Qual  o seu volume?

 

 

  • Qual deve ser o comprimento de um tubo cujo diˆametro interno mede 2 cm, para poder conter 600  cm3 de  ´agua?

 

  • Determine o volume de um cone de altura 12 e base de raio

 

 

  • A altura  de  um  cone  ´e    Um  plano  paralelo  ao  plano  de  sua  base  o  intercepta  a  uma distˆancia  de  5  da  base,  determinando  um  pequeno  cone  na  parte  superior.

 

  • Desenhe uma  figura  que  representa  a  situa¸c˜
  • Qual a  raz˜ao  entre  as  alturas  dos  dois  cones?
  • Qual a  raz˜ao  entre  os  raios  de  suas  bases?
  • Qual a  raz˜ao  entre  as  ´areas  de  suas  bases?
  • Qual a  raz˜ao  entre  os  volumes  dos  dois  cones?

.

  • Reveja o problema resolvido 9 e diga o que ´e um tronco de cone,  usando  como  referˆencia  a  figura  8.10.   Em  seguida, calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raios das bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente. (Sugest˜ao:  usando propor¸c˜oes, calcule a altura integral do cone e subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.)

 

 

  • Calcule o volume de uma esfera de raio

 

 

  • O diˆametro  de  uma  certa  esfera  ´e  igual  ao  raio  de  uma outra Responda:

 

 

  • Qual ´e a  raz˜ao  entre  os  raios  das  esferas?
  • Qual ´e a  raz˜ao  de  seus  volumes?

Figura 8.10: – Exerc´ıcio 8.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUL A 8: CILINDRos, CoNEs E EsFER A s

113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Apêndices

 

 

 

 

 

 

 

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 114                                                                                                                                                                                                                                                      28/01/2013 11:10:00

 

 

 

 

 

 

APEˆNDICE  A:  AXIOMAS  DA  GEOMETRIA  PLANA

Listamos neste apˆendice todos os axiomas e algumas definic¸˜oes b´asicas apresentados em [7], para facilitar a consulta dos leitores.

 

 

 

  • Axiomas: grupo  I,  axiomas  de  incidˆencia

 

Axioma  I.1.  Se  A  e  B  s˜ao  dois  pontos  distintos  do  plano,  ent˜ao  existe  uma  e  uma  u´nica reta l tal que A e B pertencem a l.

Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma  I.3.  O  plano  cont´em  pelo  menos  trˆes  pontos  distintos  que  n˜ao  pertencem  a  uma mesma reta.

 

 

 

  • Axiomas: grupo  II,  parte  1:  m´etrica  e  ordem  na reta

 

Axioma  II.1.  Para  cada  par  de  pontos  A,  B  do  plano  existe  um  u´nico  nu´mero  real  asso- ciado, denotado por AB, satisfazendo as propriedades:

 

  • AB 0;
(c) AB = BA.
  • AB = 0 se e somente se A = B;

Defini¸c˜ao  A.1.  A  distˆancia  entre  dois  pontos  A  e  B  do  plano  ´e  o  nu´mero  AB  postulado no axioma II.1.

←→

Defini¸c˜ao  A.2.  Dados  dois  pontos  A  e  B  diremos  que  um  ponto  C  est´a  entre  A  e  B  se:

 

=        +
  • C AB;
–    −
  • AB AC

 

Esta  rela¸c˜ao  ser´a  denotada  por  A    C       B.

Axioma  II.2.  Se  A,  B  e  C  s˜ao  trˆes  pontos  alinhados,  ent˜ao  um  deles  est´a  entre  os  outros dois.

 

 

 

 

 

por                                    —→

Defini¸c˜ao  A.4.  Dados  dois  pontos  A  e  B  de  uma  reta  l,  o  subconjunto  A—→B  de  l  definido

AB = AB ∪ {pontos P l tais que A B P }                                                                          —→

 

–    −
´e  uma  semirreta  de  l  com  origem  em  A.  Dizemos  tamb´em  que  l  ´e  a  reta  suporte  de  AB.

Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que A

est´a  entre  C  e  B,  ou  seja,  tal  que  C     A    B.

(a)  AB ∪ —→AC = l;
l, com CAB, satisfazem as seguintes propriedades:

Axioma  II.4.  As  semirretas  AB  e  AC  determinadas  pelos  pontos  A,  B  e  C  de  uma  reta

 

—→ ∩ —→ = { }
  • AB AC A ;               
  • dois pontos P, Q l  diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e s´o se A n˜ao pertence  ao  segmento  PQ  (ou,  em  outras  palavras,  se  A  n˜ao  est´a  entre  P  e  Q);
  • dois pontos  P, Q     l  diferentes  de  A  pertencem  a  semirretas  diferentes  se  e  s´o  se  A
Axioma  II.5.   Em  qualquer  semirreta  A—→B  e  para  todo  nu´mero  real  positivo  c  existe  um

pertence  ao  segmento  PQ  (ou,  em  outras  palavras,  se  A  est´a  entre  P  e  Q).

 

ponto  C AB  tal  que  AC = c.                                                                                   ̃

Axioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos Pl e Pl do plano, de-

nominados  semiplanos  em  rela¸c˜ao  a  l,  satisfazendo  as  seguintes  propriedades:

(b)  P ∩ ̃P = l;       l               l

(a)  todos  os  pontos  do  plano  est˜ao  contidos  em  Pl ∪ P̃l;

∩ = ø
  • dois pontos A  e  B  n˜ao  pertencentes  a  l  est˜ao  num  mesmo  semiplano  em  rela¸c˜ao  a  l  se e somente se AB                                   l        ;
∩ ≠ ø
  • dois pontos A  e  B  n˜ao  pertencentes  a  l  est˜ao  em  semiplanos  distintos  se  e  somente  se

AB     l       .

 

 

 

 

  • Axiomas: grupo  III,  medida  de  ˆangulos
≤    (&        ) ≤
tado por m(&BAC), satisfazendo as propriedades:

Axioma  III.1.  Para cada ˆangulo &BAC  do plano existe um nu´mero real associado,  deno-

 

  • m BAC       0  se  e  somente  se     BAC  for  um  ˆangulo  nulo;
(&        ) =     (&        )
(&        ) =                                       &
(&        ) =                                   &
  • m BAC 180  se  e  somente  se     BAC  for  um  ˆangulo  raso;
  • m BAC        m     CAB  .
BAC.

D&efini¸c˜ao  A.5.  O  nu´mero  m(&BAC) postulado  no  axioma  III.1  ´e  a  medida  do  ˆangulo

 

 

 

 

116     FUNDAMENTos DE GEoMETRIA EsPACIAL

 

 

 

 

&

Axioma  III.2.  (a)  Se     BAC  ´e  um  ˆangulo  n˜ao  trivial  e  D  ´e  um  ponto  em  seu  interior, ent˜ao

&
(b)  Se     BAC  ´e  um  ˆangulo  raso  e  D  est´a  em  um  dos  lados  do  plano  determinado  por  BC

ent˜ao

m(&BAC) = m(&BAD) + m(&DAC).                                          ←→

 

(&        ) +    (&        ) =
←→     —→                                            <     <—→

m     BAD        m     DAC        180.

 

Axioma  III.3.  Para  toda  semirreta  AB,  todo  nu´mero  real  a  tal  que  0                                                                                                        a                                                                                                        180,  e  cada semiplano  P  determinado  por  AB,  existe  uma  u´nica  semirreta  AD ⊂ P  tal  que

m(&BAD) = a.

 

  • Axiomas: grupo  IV,  congruˆencia  de  triˆangulos

 

△           △

Axioma IV.  (Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos) Se dois triaˆngulos       ABC  e     DEF

forem tais que

 

 

 

ent˜ao

AB DE, AC DF e &BAC ≡ &EDF

ABC ≡ △DEF.

 

 

 

 

  • Axiomas: grupo V, axioma das paralelas

 

Axioma  V.  Dada  uma  reta,  por  cada  ponto  que  n˜ao  lhe  pertencente  passa,  no  m´aximo, uma reta paralela a ela.

 

 

 

  • Axiomas: grupo  VI,  axiomas  sobre  ´areas
denotado por ffi(R).

Axioma  VI.1.  A  cada  regi˜ao  poligonal  R est´a  associado  um  u´nico  nu´mero  real  positivo,

(R)                                           R

Defini¸c˜ao  A.6.  O  nu´mero  ffi        do  axioma  VI.1 ´e  a  ´area  de      .

Axioma  VI.3.  Se  uma  regi˜ao  R ´e  a  uni˜ao  de  duas  regi˜oes  R   e  R   tais  que  R   e  R1      2                                                                                                                                 1                                                                                               2

Axioma  VI.2.  Se  dois  triˆangulos  s˜ao  congruentes,  as  regi˜oes  triangulares  determinadas por  eles  tˆem  a  mesma  a´rea.

 

ffi(R ) + ffi(R ).1    2

se  interceptam  em  no  m´aximo  um  nu´mero  finito  de  segmentos  e  pontos,  ent˜ao  ffi(R) =

Axioma  VI.4.  A  ´area  de  um  quadrado ´e  o  produto  do  comprimento  de  seus  lados.

 

 

 

 

 

 

 

 

APÊNDICEs: A XIOMAs DA GEOMETRIA PL ANA

117

 

 

 

 

 

 

 

Referˆencias

 

  • L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Rio de Janeiro, 1985.
  • P.  P.  Carvalho,  Introdu¸c˜ao  `a  Geometria  Espacial,  4a ed.,  SBM,  Rio  de  Janeiro, 2005.
  • O. Dolce  &    N.  Pompeo, Fundamentos  de  Matem´atica  Elementar,  vol  9:  Geome- tria  Plana, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 1990.
  • O. Dolce  &    N.  Pompeo,  Fundamentos  de  Matem´atica  Elementar,  vol  10:  Geo- metria  Espacial,  posi¸c˜ao  e  m´etrica, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 2005.
  • L. Downs, Jr. & E. E. Moise, Geometria Moderna, 2 volumes, Ed. Edgar Blucher, S˜ao Paulo, 1971.
  • M .C.  de  Farias.  Resolu¸c˜ao  de  Problemas  Geom´etricos,    UFMG,  Belo  Horizonte, 2009.
  • A. F. Machado. Fundamentos de Geometria Plana, preprint, 2010.
  • V.  Pogorelov,  Geometr´ıa  elemental,  trad.  para  o  espanhol  por  Carlos  Vega,  Ed. Mir, Moscou, 1974.
  • L. B. de Queiroz & E. Q. F. Rezende, Geometria Euclidiana Plana e Cons- tru¸c˜oes Geom´etricas, 2a ed., Ed. da Unicamp, Campinas, 2008.

 

 

Deixe um comentário

Esse site utiliza o Akismet para reduzir spam. Aprenda como seus dados de comentários são processados.