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Curso de Geometria Euclidiana Plana

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Um Curso de Geometria Euclidiana Plana

 

 

 

 

 

 

Sum´ario

Um Curso de Geometria Euclidiana Plana                                                                  3

Aˆngulos ……………………………………………………………………………………………….. 10

Apˆendice                                                                                                                            83

Referˆencias                                                                                                                         87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Antes  de  come¸carmos…

 

O enfoque:

Este ´e  um  texto  curto  de  Geometria  Euclidiana  Plana  acess´ıvel  a  leitores  que  cursaram o Ensino M´edio.  Trata-se de um curso b´asico de Geometria  Sint´etica, ou seja, um curso no qual n˜ao se faz uso de sistemas de coordenadas no plano e, portanto, n˜ao se faz uso das ferramentas da Geometria Anal´ıtica ou Diferencial.  Outro aspecto deste texto ´e que se trata de  um  texto  axiom´atico,  ou  seja,  os  diversos  teoremas  que  enunciamos  e  demonstramos

s˜ao  deduzidos,  em  u´ltima  instˆancia,  diretamente  de  um  sistema  axiom´atico  previamente

concebido.   Sendo  assim,  nossa  maior  preocupa¸c˜ao  ´e  com  o  encadeamento  l´ogico-dedutivo dos resultados `a medida em que avanc¸amos na constru¸c˜ao da teoria.

A originalidade:

E´  importante ressaltar  que  nossa  primeira  motiva¸c˜ao ao  escrever essas  notas  foi o  curso

de  Licenciatura  em  Matem´atica  `a  Distˆancia  da  Universidade  Federal  de  Uberlˆandia.   Por essa  raz˜ao,  apesar  de  ser  um  texto  curto,  durante  sua  escrita  tivemos  a  preocupa¸c˜ao  de redigi-lo  da  forma  mais  original  poss´ıvel,  inserindo  inclusive  notas  hist´oricas  para  torn´a-lo

 

mais atraente.

E´  fato  que  h´a  excelentes  textos  de  Geometria  Euclidiana  Plana  em  l´ıngua

 

portuguesa  com  a  proposta  descrita  acima,  como  o  livro  do  professor  Jo˜ao  Lucas  [2],  e  das professoras Eliane e Maria Lu´cia [13].  Portanto, n˜ao faria o menor sentido replic´a-los nessas notas.

Os exerc´ıcios:

O leitor logo perceber´a que n˜ao colocamos exerc´ıcios do tipo “aplica¸c˜ao de f´ormulas” neste texto  (que  s˜ao  abundantes  em  livros  de  Ensino  M´edio).  Mesmo  os  exerc´ıcios  “conceituais” s˜ao  escassos  e  aparecem  `a  medida  em  que  se  fazem  necess´arios  para  complementar  algum resultado  exposto.   Isso  n˜ao  significa  que  exerc´ıcios  n˜ao  sejam  importantes:   eles  o  s˜ao  e devem  ser  feitos  durante  o  estudo  e  ser˜ao  propostos  no  ambiente  de  aprendizagem  pr´oprio do  curso  `a  distˆancia.   Naturalmente,  h´a  inu´meros  ´otimos  exerc´ıcios  em  textos  consagrados de  geometria,  como  os  j´a  citados  [2]  e  [13].  N˜ao vamos replic´a-los nessas  notas.  Ali´as,  uma sugest˜ao  valiosa  em  termos  de  exerc´ıcios  para  a  consolida¸c˜ao  do  aprendizado  de  Geometria Euclidiana s˜ao as quest˜oes dos inu´meros vestibulares das universidades pu´blicas brasileiras. Em plena era da inform´atica ´e muito f´acil encontrar e compilar um banco de quest˜oes muito boas (e originais!)  acerca desse assunto.  Encorajamos os leitores que fa¸cam essa busca.

As constru¸coes geom´etricas:

Outro aspecto que gostar´ıamos de destacar ´e que as constru¸c˜oes geom´etricas “com r´egua e  compasso”  s˜ao  extremamente  importantes  para  a  consolida¸c˜ao  do  aprendizado  em  ge- ometria  (e  fazem  parte  da  ementa  da  disciplina  Geometria  Euclidiana  Plana  do  curso  `a distˆancia).  Neste  texto  n˜ao  as  colocamos,  mas  elas  ser˜ao  trabalhadas  por  meio  do  software livre de geometria dinˆamica GeoGebra, sendo que todo o material de acompanhamento ser´a disponibilizado on  line, pela Internet, em site pr´oprio divulgado posteriormente.

 

 

O conteu´do:

O  curso  est´a  dividido  em  quatro  m´odulos,  sendo  dois  de  Geometria  Absoluta  (Cap´ıtulo 1) e dois de Geometria Euclidiana (Cap´ıtulo 2):

 

Cap´ıtulo  1:  Geometria  Absoluta

(M´odulos 1 e 2)

M´odulo  1

 

Conceitos Primitivos e Axiomas.

  • Trˆes Personagens Importantes na Hist´oria da
  • O Modelo Padr˜ao para a Geometria

Retas,  Segmentos,  Semirretas,  Semiplanos  e  Aˆngulos.

  • Retas e Distˆancia entre Pon
  • Segmentos e

 

M´odulo  2

 

Congruˆencia.

  • Pol´ıgonos.
  • Triˆ

Desigualdades.

  • O Teorema do Aˆngulo Externo e Consequˆ
  • Desigualdade

 

Cap´ıtulo  2:  Geometria  Euclidiana

(M´odulos 3 e 4)

 

M´odulo  3

 

O Problema das Paralelas.

  • Alguns Coment´arios sobre a Hist´oria do “Problema das Paralelas”.

O Axioma Euclidiano das Paralelas.

  • A Existˆencia e Unicidade da P
  • Quadril´

O  Conceito  de  Semelhan¸ca.

  • Triˆangulos Semelhan
  • Triˆangulos Retˆ
  • Ampliando o Conceito de Semelhan¸
  • O Teorema Fundamental da

 

 

M´odulo  4

 

Circunferˆencias  e  Discos.

  • Defini¸c˜oes e Primeiros
  • Pontos Not´aveis de um Triˆ
  • A Reta de Euler e a Circunferˆencia dos Nove Pon
  • Inscri¸c˜ao e Circunscri¸c˜ao de Pol´ıgonos Regulares em Circunferˆ
  • Comprimentos de Circunferˆencias e de Arcos de Circunferˆ

O  Conceito  de  A´rea.

  • O Retˆ
  • A´rea de Retˆ
  • O Conceito Geral de A´
  • A´reas de Figuras P
  • A´rea de Disco e Setor
  • Semelhan¸ca e A´

 

Al´em  dos  m´odulos  acima,  acrescentamos  um  interessante  Apˆendice  sobre  proposi¸c˜oes equivalentes ao Quinto Postulado de Euclides, al´em, ´e claro, das Referˆencias.

 

Apˆendice.

  • Equivalentes ao Quinto Postulado de

 

Referˆencias.

 

Bons estudos! Os autores.

 

Uberlˆandia, agosto de 2013.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cap´ıtulo  1 Geometria Absoluta

A Geometria  Absoluta  ´e a parte da Geometria desenvolvida sem o uso do chamado Axioma das Paralelas. Optamos por destacar a Geometria Absoluta em um cap´ıtulo separado devido ao fato de que todos os teoremas cujas demonstra¸c˜oes n˜ao fa¸cam uso do referido axioma s˜ao teoremas  v´alidos  na  chamada  Geometria  Hiperbolica,  que  ´e  uma  geometria  n˜ao  euclidiana bastante importante do ponto de vista hist´orico.

 

  • Conceitos Primitivos e Axiomas

Trˆes Personagens Importantes na Hist´oria da Geometria

 

Euclides, de Alexandria.

Euclides  foi  o  matem´atico  grego  respons´avel  pela  compila¸c˜ao  de  praticamente  toda  a matem´atica desenvolvida at´e sua ´epoca em uma monumental obra de  13 volumes chamada Os Elementos, confeccionada por volta do ano 300 a.C.

Figura  1:  Ilustra¸c˜ao  de  Euclides,  de  Alexandria.

 

Seu m´erito n˜ao se restringe apenas `a compila¸c˜ao, como tamb´em `a introdu¸c˜ao do m´etodo l´ogico-dedutivo  no  desenvolvimento  de  uma  teoria,  isto  ´e,  do  m´etodo  axiom´atico,  t˜ao  co- nhecido  da  matem´atica  dos  dias  atuais.   Na  obra  de  Euclides  temos  10  axiomas  (1),  sendo 5  “no¸c˜oes  comuns”,  que  Euclides  acreditava  serem  verdades  aceitas  sem  contesta¸c˜oes  em qualquer  ciˆencia,  e  5  “postulados”  que  pretendiam  ser  proposi¸c˜oes  espec´ıficas  da  geometria e  que  tamb´em  deveriam  ser  aceitas  sem  contesta¸c˜oes.   A  partir  desses  axiomas,  Euclides deduziu  465  proposi¸c˜oes,  dentre  as  quais  figuram  tamb´em  resultados  de  geometria  espacial

1Proposi¸c˜oes  admitidas  sem  demonstrac˜oes.

 

 

e  teoria  dos  nu´meros  (do  ponto  de  vista  geom´etrico).    Os  livros  did´aticos  de  geometria, confeccionados ao longo do tempo, possuem, at´e hoje, Os Elementos  de Euclides como base. Trata-se da segunda obra mais editada no mundo (a primeira ´e a B´ıblia).

Sabe-se que Euclides nasceu por volta do ano 325 a.C. e morreu por volta de 265 a.C. Sabe-se tamb´em que ele viveu boa parte de sua vida na cidade de Alexandria, no Egito, onde trabalhou na famosa biblioteca de Alexandria, fundada por Alexandre, o Grande.

 

David Hilbert.

Hilbert foi um importante matem´atico e l´ogico alem˜ao que nasceu em 1862 em K¨onigsberg na Pru´ssia (atualmente K¨onigsberg ´e uma cidade russa) e morreu em 1943 em G¨ottingen na Alemanha.

No final do s´eculo XIX Os  Elementos  de Euclides n˜ao estavam resistindo ao rigor que a l´ogica  exigia  para  os  fundamentos  da  geometria.  Muitas  proposi¸c˜oes  de  Geometria  Euclid- iana  faziam  uso  de  resultados  que  n˜ao  haviam  sido  demonstrados  anteriormente  e  que  n˜ao constavam  do  rol  de  axiomas  (2),  ou  seja,  era  necess´aria  uma  reformula¸c˜ao  dos  axiomas  de Euclides.  Uma proposta, ainda no s´eculo XIX, bem aceita pela comunidade matem´atica foi a de Hilbert (3), publicada em seu c´elebre trabalho Grundlagen der Geometrie  (Fundamentos de  Geometria),  de  1899,  em  que  Hilbert  coloca  a  Geometria  Euclidiana  sobre  bases  s´olidas por  meio  da  substitui¸c˜ao  dos  5  Postulados  de  Euclides  por  5  grupos  de  axiomas,  os  quais chamou de Axiomas de Incidˆencia (7 axiomas), Axiomas de Ordem (4 axiomas), Axiomas de Congruˆencia (6 axiomas), Axiomas de Continuidade (2 axiomas) e o Axioma das Paralelas.

Figura 2: Foto de David Hilbert.

Na obra original de Hilbert h´a 21 axiomas, mas o 21o axioma ´e, na verdade, consequˆencia dos demais axiomas.

Al´em de propor um novo sistema de axiomas, ao contr´ario de Euclides, Hilbert considerou que  ponto,  reta,  plano  e  espac¸o  s˜ao  conceitos  primitivos  (ou  no¸c˜oes  primitivas), objetos  n˜ao  pass´ıveis  de  serem  definidos.   Junto  aos  conceitos  primitivos,  Hilbert  tamb´em considerou trˆes rela¸c˜oes primitivas (igualmente n˜ao pass´ıveis de defini¸c˜ao) que s˜ao as rela¸c˜oes “estar em”, “estar entre” e “ser congruente a”.

2Um  sistema  axiom´atico  para  uma  teoria  deve  ter  necessariamente  duas  caracter´ısticas:   ser  coerente e  ser  suficiente.    Coerente  significa  que  n˜ao  se  pode  provar  uma  proposi¸c˜ao  e  sua  nega¸c˜ao  a  partir  do sistema  de  axiomas  adotado.   Suficiente  significa  que  deve  ser  poss´ıvel  decidir  sobre  a  veracidade  ou  n˜ao de  uma  proposi¸c˜ao  da  teoria  a  partir  de  seu  sistema  de  axiomas.  Ainda  h´a  um  aspecto  desej´avel  (mas  n˜ao obrigat´orio)  em  um  sistema  axiom´atico:  que  um  axioma  n˜ao  seja  consequˆencia  dos  demais,  ou  seja,  que  ele seja  o  mais  enxuto  poss´ıvel.

3H´a outros sistemas axiom´aticos, at´e mais concisos que o de Hilbert, para a Geometria Euclidiana, como,

por exemplo, o de Alfred Tarski e o de George Birkhoff. Entretanto, o sistema de Hilbert parece ter a virtude de ser mais sincronizado com Os Elementos.

 

 

George David Birkhoff.

Birkhoff  (1884-1944)  foi  um  matem´atico  americano  que  tamb´em  propˆos  um  sistema  a- xiom´atico para a Geometria Euclidiana.  Seu trabalho, intitulado A set of postulates for plane geometry,  based  on  scale  and  protractor  foi  publicado  no  conceituado  peri´odico  Annals  of Mathematics, em 1932, e consiste de um sistema com apenas quatro axiomas.  Tal concis˜ao s´o foi poss´ıvel devido `a associa¸c˜ao que Birkhoff faz de seus axiomas com a estrutura de corpo ordenado  completo  dos  nu´meros  reais.   A  constru¸c˜ao  axiom´atica  do  conjunto  dos  nu´meros reais j´a era algo muito bem estabelecido no campo da An´alise `a sua ´epoca.

Figura 3: Foto de George David Birkhoff.

Essa concis˜ao que os axiomas de Birkhoff trouxe para a geometria foi extremamente bem- vinda do ponto de vista did´atico, uma vez que a manipula¸c˜ao das propriedades dos nu´meros reais  ´e,  geralmente,  bem  compreendida  pelos  estudantes.    Atualmente,  a  grande  maioria dos  textos  did´aticos  de  geometria  selecionam  “seus  axiomas”  a  partir  de  uma  mistura  dos axiomas de Hilbert e de Birkhoff, com pequenas altera¸c˜oes em seus enunciados.  Neste texto tamb´em seguiremos por esse caminho.

 

O Modelo Padr˜ao para a Geometria Euclidiana

 

Na referˆencia [2] o prof.  Jo˜ao Lucas M. Barbosa estabelece um interessante paralelo entre conceitos primitivos, axiomas e um jogo de damas. Embora seja algo que cause um certo incˆomodo  em  um  primeiro  estudo,  n˜ao ´e  poss´ıvel  defirmos  tudo  em  uma  teoria  axiom´atica. Se quis´essemos definir rigorosamente reta, por exemplo, far´ıamos uso de termos que, por sua vez, precisariam ser definidos.  Na defini¸c˜ao desses termos, novos termos surgiriam e estes, por sua  vez,  precisariam  tamb´em  ser  definidos.   Cair´ıamos,  fatalmente,  em  uma  cadeia  infinita de defini¸c˜oes ou, ent˜ao, em um ciclo vicioso (4).  Os conceitos primitivos s˜ao como as pedras de  um  jogo  de  damas.  Ningu´em  as  define  rigorosamente,  at´e  porque  uma  pedra  no  jogo  de damas pode ter formatos variados, al´em de ser totalmente inu´til para o jogo tal tentativa de defini¸c˜ao.  O  que  importa  s˜ao  as  regras  do  jogo  e  n˜ao  como  a  pedra  ´e  representada.  Essas regras s˜ao os axiomas.  A partir delas deve-se deduzir o que se pode fazer (os teoremas!)  e o que n˜ao se pode fazer durante o jogo.

Outro aspecto importante que devemos ressaltar ´e o modelo que utilizamos para represen- tar os conceitos primitivos da geometria. Obviamente estamos extremamente familiarizados em  representar  uma  reta  como  uma  “linha  esticada”  e  um  plano  como  uma  “superf´ıcie  es- ticada”.  Mas  uma  reta  n˜ao  precisa  ter  necessariamente  esse  formato.  De  fato,  em  estudos

4Por  exemplo,  Euclides  “definiu”  reta  como  sendo  comprimento  sem  largura.   Mas  o  que  s˜ao  os  termos comprimento  e  largura?  Euclides  tamb´em  “definiu”  ponto  como  sendo  aquilo  que n˜ao  tem  partes.  Possivel- mente ele foi  influenciado  pelo  conceito (errˆoneo) de  ´atomo de  sua ´epoca,  segundo  o  qual  acreditavam ser  a por¸c˜ao  indivis´ıvel  da  mat´eria.  Mas,  e  o  que  significa n˜ao  ter  partes?

 

 

mais avancados podemos provar que qualquer superf´ıcie que possa ser “planificada sem dis- tor¸c˜oes”  (5)  serve  como  modelo  de  “plano”  para  a  Geometria  Euclidiana.   Naturalmente  o formato  das  “retas”  em  tais  superf´ıcies  pode  ser  extremamente  variado.  O  que  faz  os  mod- elos  usuais  de  pontos,  retas  e  planos  da  Geometria  Euclidiana  serem  t˜ao  utilizados ´e  a  sua conveniˆencia em rela¸c˜ao `as observac˜oes f´ısicas que fazemos ao nosso redor.

Nesse  sentido,  o  estudo  de  geometrias  n˜ao  euclidianas  pode  ser  muito  interessante.   E- xistem muitos modelos diferentes para tais geometrias e seu estudo liberta nossa mente do v´ıcio de achar que tudo ao nosso redor se adequa necessariamente aos modelos usuais da Geometria Euclidiana.

 

Sugest˜ao  de  trabalho:   Fa¸ca uma pesquisa nas referˆencias bibliogr´aficas deste texto e na Internet sobre o enunciado dos axiomas (originais) de Euclides, Hilbert e Birkhoff.

 

 

  • Retas, Segmentos, Semirretas, Semiplanos e Aˆngulos

Retas e Distˆancia entre Pontos

 

Toda  a  teoria  deste  texto  est´a  desenvolvida  sobre  um  conjunto  chamado  plano  (que

´e  um  conceito  primitivo).   Os  elementos  desse  conjunto  s˜ao  os  pontos  (tamb´em  conceito primitivo).   Qualquer  subconjunto  de  pontos  do  plano  ´e  chamado  de  figura.   Um  tipo  de figura importante do plano ´e composto por retas  (outro conceito primitivo).

Conforme j´a discutido na se¸c˜ao anterior, podemos adotar como modelo  de  plano  uma “superf´ıcie  esticada”  n˜ao  limitada  em  todas  as  dire¸c˜oes.   Estamos  extremamente  familia- rizados com este tipo de modelo de plano, uma vez que uma folha de papel sobre uma mesa fornece  o  “material  concreto”  para  esbo¸carmos  figuras  em  pelo  menos  uma  parte  limitada do plano.

Um  modelo  de  reta  pode  ser  adotado  como  sendo  uma  “linha  esticada”  n˜ao  limitada em ambos os sentidos no plano.  Do ponto de vista concreto tamb´em estamos absolutamente familiarizados com esse modelo, pois parte de tal linha pode ser tra¸cada sobre uma folha de papel com o aux´ılio de uma r´egua.

Por fim, um modelo de ponto pode ser adotado como sendo uma “part´ıcula” no plano. Tamb´em  do  ponto  de  vista  concreto  temos  muita  familiaridade  com  pontos,  uma  vez  que eles podem ser produzidos sobre uma folha de papel com o aux´ılio da ponta de um l´apis ou caneta.

 

Nota¸c˜ao  para  pontos  neste  texto:  letras latinas maiu´sculas (A, B, C, . . .).

Nota¸c˜ao  para  retas  neste  texto:   letras  latinas  minu´sculas  (r, s, t, . . .).   Tamb´em  uti- lizamos a nota¸c˜ao A←→B para designar a reta que cont´em os pontos distintos A e B.

Axioma A1. Em uma reta existem pelo menos dois pontos distintos. Dada uma reta, existe um ponto que n˜ao pertence a essa reta.

5Superf´ıcies  isom´etricas  ao  plano  usual.   Como  exemplos  cl´assicos  de  superf´ıcies  que  podem  ser  planifi-

cadas  isometricamente  no  plano  usual  temos  os  cilindros  e  os  cones  de  revolu¸c˜ao.  Notemos  que  as  referidas planifica¸c˜oes  de  cilindros  e  cones  n˜ao  cobrem  todo  o  plano  usual.

 

r

Figura  4:  A ∈ r; B ∈/ r.

 

Axioma  A2.  Dois pontos distintos determinam (6) uma u´nica reta.

r

Figura  5:  r = ←A→B. Pontos sobre uma reta s˜ao ditos pontos  colineares.

 

O estudo de posi¸c˜oes relativas entre retas no plano faz uso do princ´ıpio l´ogico do “terceiro exclu´ıdo”, ou seja, que uma afirmac˜ao ou ´e verdadeira ou ´e falsa, n˜ao havendo terceira pos- sibilidade.  Equivalentemente, ou “x ´e y” ou “x n˜ao ´e y”, n˜ao havendo terceira possibilidade. Sendo assim, h´a apenas duas posi¸c˜oes relativas para duas retas r e s distintas no plano:

  • r e s possuem pontos em comum;
  • r e s n˜ao possuem pontos em com

 

Devido  ao  Axioma  A2,  no  caso  (1)  n˜ao  pode  haver  mais  do  que  um intersec¸c˜ao entre as retas r e s.

No caso (1) chamamos as retas r e s de retas concorrentes. No caso (2) chamamos as retas r e s de retas paralelas.

u´nico  ponto  de

 

 

Observac¸˜ao:  os Axiomas A1 e A2 garantem a existˆencia de retas concorrentes (verifique!), enquanto  a  prova  da  existˆencia  de  retas  paralelas  ainda  depende  de  outros  axiomas  que enunciaremos adiante.

 

Sintetizemos as duas defini¸c˜oes acima:

Duas  retas  distintas  s˜ao  ditas  concorrentes  ou  secantes  quando  possuem  um  u´nico ponto em comum.

Duas retas distintas s˜ao ditas paralelas  quando n˜ao possuem pontos em comum.

s

A      r

s

 

concorrentes           paralelas

 

Figura  6:  A`

esquerda r ∩ s = {A}.  A`

direita r ∩ s = ∅.

 

 

Para os pr´oximos axiomas vamos admitir conhecidas as propriedades do conjunto R dos nu´meros reais, bem como o fato de R, munido das opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao,

 

ser um corpo  ordenado  completo  (referˆencia [7]). garantir´a a “continuidade” da reta.

6Nesses axiomas determinar tem o sentido de existir.

E´  justamente essa caracteristica de R  que

 

 

Axioma A3.  A cada par de pontos ´e poss´ıvel fazer corresponder um u´nico nu´mero real n˜ao negativo.  Este nu´mero ´e zero apenas quando os dois pontos s˜ao coincidentes.

 

O  nu´mero  referido  pelo  axioma  acima ´e  chamado  de  distˆancia  entre  os  pontos.  Deno- tando a distˆancia entre os pontos A e B por d (A, B), o axioma acima afirma que:

d (A, B)      0;

d (A, B) = 0 se, e somente se, A = B. d (A, B) = d (B, A). (simetria)

 

/

O leitor familiarizado com o conceito de espa¸cos m´etricos  perceber´a que axioma acima ´e quase a defini¸c˜ao de m´etrica, exceto pelo fato de que falta a chamada desigualdade triangular. No nosso caso, tal desigualdade n˜ao ´e axioma, mas sim teorema, e ser´a demonstrado adiante. Notemos  tamb´em  que  o  axioma  acima  ´e  muito  geral  do  ponto  de  vista  pr´atico.    Por exemplo,  poder´ıamos definir que  d (A, B) = 1 quando  A = B  e  d (A, B) = 0 quando  A = B (essa  ´e  a  conhecida  m´etrica  zero-um).   Como  o  leitor  pode  perceber,  n˜ao  ´e  uma  m´etrica

muito u´til.

Vamos  melhorar  essa  situa¸c˜ao  estabelecendo  uma  m´etrica  melhor  na  reta  por  meio  do axioma abaixo.

 

 

Axioma  A4.  Dada uma reta r, existe uma bije¸c˜ao ϕ : r d (A, B) = |ϕ (A) − ϕ (B)|.

R tal que para A, B ∈ r tem-se

 

 

O axioma acima possui inu´meras implica¸c˜oes.  Primeiramente observemos que a distˆancia definida no Axioma A4 para retas cumpre o Axioma A3.  Ele garante, tamb´em, que em uma reta  h´a  infinitos  pontos,  mais  que  isso,  que  a  cardinalidade  de  uma  reta  r ´e  a  mesma  de  R (isto ´e, n˜ao enumer´avel).

Outra observac˜ao ´e que o fato de sempre podermos tra¸car uma reta por dois pontos A e B quaisquer (Axioma A2), permite que “estendamos” a distˆancia definida no Axioma A4 para todo  o  plano.  Al´em  disso,  uma  bije¸c˜ao  ϕ  como  a  apresentada  no  axioma  acima  estabelece naturalmente uma unidade de medida. Por exemplo, os pontos O e P de r tais que ϕ (O) = 0 e ϕ (P) = 1 (ou −1) est˜ao `a distˆancia 1 um do outro.

Uma  bije¸c˜ao  ϕ  como  a  do  axioma  acima  (que  n˜ao ´e  u´nica) ´e  chamada  de  sistema  de coordenadas para a reta r, sendo ϕ (A) chamado de coordenada  de A e o ponto O  r tal que ϕ (O) = 0 a origem do sistema. Uma reta r munida de um sistema de coordenadas

´e chamada de reta  real .

O                           P             r

j(O) = 0              j(P) = 1

Figura 7: Reta real. Estabelecendo a unidade de medida.

Observemos  que  a  ordem  dos  nu´meros  reais  pode  ser  transportada  para  uma  reta  via uma  bije¸c˜ao  ϕ  como  a  do  Axioma  A4  acima.   Com  isso,  temos  respaldo  matem´atico  para orientar  uma reta.  Uma reta orientada ´e comumente chamada de eixo.  Isso significa que o axioma acima ´e (tamb´em) o ponto de partida para a introdu¸c˜ao de uma Geometria Anal´ıtica no plano.

Outra consequˆencia importante do Axioma A4 ´e que intervalos de nu´meros reais podem ser transportados para uma reta r, via um sistema de coordenadas ϕ, dando origem a importantes  conjuntos  de  pontos  da  reta,  que  s˜ao  os  segmentos  e  as  semirretas.   Antes  de introduzi-los formalmente, propomos o seguinte exerc´ıcio (resolvido).

 

 

Exerc´ıcio.  Mostre que dados dois pontos distintos A e B em uma reta r, existe um sistema de coordenadas ϕ para r tal que ϕ (A) < ϕ (B).

Resolu¸c˜ao.

 

O  Axioma  A4  garante  a  existˆencia  de  uma  bije¸c˜ao  ϕ1  :  r

  1. R. Se ϕ1 (A) < ϕ1 (B),

 

basta tomar ϕ = ϕ1.  Caso contr´ario, ou seja, se ϕ1 (A) > ϕ1 (B), definamos ϕ = −ϕ1.

A aplica¸c˜ao ϕ ´e injetiva.  De fato, para P /= Q em r temos

 

ϕ1 (P) /= ϕ1 (Q) ⇒ −ϕ1 (P)     −ϕ1 (Q)        ϕ (P) /= ϕ (Q) .

 

A aplica¸c˜ao ϕ ´e sobrejetiva.  De fato, seja k ∈ R.  Como −k ∈ R, existe P ∈ r tal que

 

ϕ1 (P) = −k        −ϕ1 (P) = k         ϕ (P) = k.

 

Portanto, ϕ ´e bije¸c˜ao de r em R.

Finalmente, ϕ (A) = −ϕ1 (A) < −ϕ2 (B) = ϕ (B), como quer´ıamos.                                                                                                                                         Q

Segmentos e Semirretas

 

Sejam r uma reta, A e B pontos distintos de r e ϕ um sistema de coordenadas para r tal que ϕ (A) < ϕ (B). O conjunto

 

AB = {X ∈ r : ϕ (A) ≤ ϕ (X) ≤ ϕ (B)}

´e chamado de segmento  de extremos (ou extremidades) A e B (tamb´em denotado por BA), enquanto o conjunto

−AB = {X ∈ r : ϕ (A) ≤ ϕ (X)}

´e chamado de semirreta  de origem A passando por B (note que B est´a em −AB).

De modo an´alogo, o conjunto

B−A = {X ∈ r : ϕ (X) ≤ ϕ (B)}

´e chamado de semirreta  de origem B passando por A (note que A est´a em −BA).

−→                                             →      →                                              → ∪ →

Observemos  que  as  semirretas  −AB  e  −BA  n˜ao  s˜ao  coincidentes.   Temos  −AB                                                                                                                                     B−A  =  r  e

AB ∩ −BA = AB.

Tamb´em ´e conveniente notar que dado um ponto O em uma reta r, este ponto determina duas  semirretas  de  mesma  origem  O  cuja  reuni˜ao  ´e  r  e  a  intersec¸c˜ao  ´e  apenas  o  conjunto unit´ario formado pelo ponto O.  Tais semirretas s˜ao chamadas de semirretas  opostas.

A                B

 

A                B

 

A                 B

 

O

Figura 8: Segmento e semirretas.

 

 

O comprimento  do  segmento  AB ´e definido como sendo a distˆancia entre A e B, ou

seja,  d (A, B)  =  |ϕ (A) − ϕ (B)|.  Observe  que  essa  defini¸c˜ao  justifica  a  nota¸c˜ao  AB  =  BA, j´a que |ϕ (A) − ϕ (B)| = |ϕ (B) − ϕ (A)|.

∈                 /           /

Ainda  resgatando  a  nota¸c˜ao  de  segmento  acima,  quando  X        AB  com  X = A  e  X = B, dizemos que X est´a  entre  A e B.

 

Dois segmentos s˜ao ditos congruentes  quando possuem o mesmo comprimento.

A            |b-a|           B

j(A) = a                             j(B) = b

 

C            |d-c|           D

j(C) = c                              j(D) = d

Figura  9:  Quando  |b − a| = |d − c| os  segmentos  AB  e  CD  s˜ao  congruentes.

 

Observa¸c˜oes  importantes  sobre  a  nota¸c˜ao  estabelecida:

  • Quando n˜ao houver perigo de confus˜ao, denotamos “AB” (sem a barra em cima) tanto para  o  segmento  com  extremos  A  e  B  (que ´e  um  conjunto  de  pontos),  quanto  para  o  com- primento  do  segmento  com extremos A e B (que ´e um nu´mero real).

 

comum  utilizar  letras  latinas  minu´sculas  para  designar  comprimentos  (a, b, c, . . .).

 

Alguns textos tamb´em trazem a nota¸c˜ao |AB| para o comprimento do segmento AB.

  • N˜ao h´a unanimidade com rela¸c˜ao `as nota¸c˜oes nos textos de geometria. Por exemplo, ao contr´ario do que estabelecemos acima, h´a textos que consideram AB (com a barra em cima) com sendo o comprimento do segmento
  • Deve-se tomar  cuidado  com  a  nota¸c˜ao  −AB  para  semirretas  e  n˜ao  confundi-la  com  a

nota¸c˜ao de vetores.  Quando houver tal perigo, preferimos escrever “semirreta  AB”.  Alguns textos tamb´em utillizam a nota¸c˜ao SAB para semirreta de origem A passando por B.

Um ponto M      AB ´e dito ponto  m´edio  do segmento AB quando AM e MB possuem o mesmo comprimento.

Teorema  1.1  Dado  um  segmento  AB,  existe  apenas  um  u´nico  ponto  m´edio  em  AB. Demonstra¸c˜ao.

Seja ϕ um sistema de coordenadas tal que ϕ(A) < ϕ(B). Seja M a imagem inversa por

2

ϕ do nu´mero  ϕ(A)(B).  Observemos que M existe pelo fato de ϕ ser bije¸c˜ao.

Mostremos que M ´e ponto m´edio de AB.

2
2

Como ϕ−1     ϕ(A)(B)   = M, entao  ϕ(A)(B) = ϕ(M).  Logo, como ϕ(A) < ϕ(B), ent˜ao

 

 

 

ϕ(A) =

ϕ(A) + ϕ(A)

<

2

ϕ(A) + ϕ(B)

<

2

ϕ (B) + ϕ (B) 2

= ϕ(B).

 

Da´ı, ϕ(A) < ϕ(M) < ϕ(B), ou seja, M       AB.

Agora, utilizando o fato de que ϕ (A) = 2ϕ (M) − ϕ (B), temos

 

AM = |ϕ (M) − ϕ (A)| = ϕ (M) − ϕ (A) = ϕ (M) − (2ϕ (M) − ϕ (B)) =

= ϕ (B) − ϕ (M) = |ϕ (B) − ϕ (M)| = MB.

 

 

Portanto, M ´e ponto m´edio de AB.

Mostremos  agora  a  unicidade  do  ponto  m´edio.  Consideremos  novamente  ϕ  um  sistema de coordenadas tal que ϕ(A) < ϕ(B).

Suponhamos  que  M  e  N  s˜ao  pontos  m´edios  de  AB.   Da´ı,  pelo  fato  de  M                                                                                                                                    AB,  temos

≤           ≤

ϕ (A)      ϕ (M)      ϕ (B).

≤    ≤                                                   ≥                           ≥

Logo, ϕ (A)−ϕ (M)        0     ϕ (B)−ϕ (M). Da´ı ϕ (M)−ϕ (A)        0 e ϕ (B)−ϕ (M)                                  0.

≥                           ≥

Analogamente, ϕ (N) − ϕ (A)        0 e ϕ (B) − ϕ (N)        0. Utilizando novamente o fato de

M e N serem pontos m´edios temos, AM = MB, ou seja,

 

                        ⇒

|ϕ (A) − ϕ (M)| = |ϕ (B) − ϕ (M)| =          ϕ (M) − ϕ (A) = ϕ (B) − ϕ (M)

 =     ϕ (M) = ϕ (A) + ϕ (B).

2

2

Analogamente,  ϕ (N)  =  ϕ(A)(B).   Logo,  ϕ (M)  =  ϕ (N).   Como  ϕ  ´e  bije¸c˜ao,  temos  que

M = N.  Portanto, o ponto m´edio ´e u´nico.                                                                                                                                                Q

Semiplanos

 

Um  conjunto  C  no  plano  ´e  dito  convexo  quando  para  quaisquer  pontos  A, B  ∈  C  o segmento AB est´a contido em C.

convexo                                       não convexo

Figura  10:  Conjuntos  convexo  e  n˜ao  convexo  no  plano.

 

Axioma A5. Uma reta r contida em um plano determina dois conjuntos nesse plano de tal modo que:

  • A intersecc¸˜ao dos dois conjuntos ´e a reta r;
  • Cada conjunto ´e conv
  • Se o ponto  A  pertence  a  um  dos  conjuntos  e  o  ponto  B  pertence  ao  outro,  ent˜ao  a intersec¸c˜ao do segmento AB com r ´e n˜ao v

Figura 11: AB ∩ r /= ∅.

Cada um dos conjuntos do Axioma A5 ´e chamado de semiplano  gerado por r (ou com origem em r).

 

Para  o  pr´oximo  teorema,  adiantamos  a  defini¸c˜ao  de  triˆangulo  (que ´e  caso  particular  de

pol´ıgono  e ser´a visto na pr´oxima se¸c˜ao).

Dados  trˆes  pontos  A,  B  e  C  n˜ao  colineares,  o  triˆangulo  ABC ´e  definido  como  sendo  a reuni˜ao  dos  segmentos  AB,  BC  e  CA.   Os  pontos  A,  B  e  C  s˜ao  os  v´ertices  do  triˆangulo, enquanto que os segmentos AB, BC e CA s˜ao os lados  do triˆangulo.

 

 

Teorema  1.2  (Pasch)  Se  uma  reta  intersecta  um  dos  lados  de  um  triˆangulo  e  n˜ao  passa por nenhum de seus v´ertices, ent˜ao essa reta tamb´em intersecta um dos outros dois lados do triˆangulo.

 

Demonstra¸c˜ao.

Sejam ABC o triˆangulo e r a reta.  Sem perda de generalidade, suponhamos que r intesecta

AB, conforme figura abaixo.

A

r

 

 

 

B                               C

Figura 12: Figura auxiliar.

Como  r  n˜ao  intersecta  nenhum  v´ertice,  ent˜ao  r  divide  o  plano  em  dois  semiplanos  de tal  forma  que  A  est´a  em  um  dos  semiplanos  e  B  est´a  no  outro  semiplano  (pois  se  A  e  B estivessem no mesmo semiplano entao AB n˜ao intersectaria r pelo Axioma A5).

Agora,  como  r  n˜ao  intersecta  C,  ent˜ao  C  est´a  no  mesmo  semiplano  que  A  ou  C  est´a  no mesmo semiplano que B. Pelo Axioma A5, no primeiro caso, r∩BC /= ∅ e, no segundo caso,

r ∩ CA      ∅.

Portanto, r intersecta um dos outros dois lados do triˆangulo.                                                                                                                                              Q

Observa¸c˜ao.   Em  alguns  textos  de  geometria  o  Teorema  de  Pasch  ´e  tomado  no  lugar  do Axioma A5 que enunciamos acima.

 

Aˆngulos

 

→     →                                                                                               ^

Um  ˆangulo  ´e  a  reuni˜ao  de  duas  semirretas  com  mesma  origem.       Cada  semirreta  ´e chamada de lado  do ˆangulo e a origem comum ´e chamada de v´ertice  do ˆangulo.

^                  ^

Quando A−B e −AC s˜ao lados de um ˆangulo de v´ertice A, denotamos tal ˆangulo por BAC

ou  CAB,  ou  ainda  A,  quando  n˜ao  houver  perigo  de  confus˜ao  (com  outro  ˆangulo  de  mesmo v´ertice).

 

 

 

A

Figura  13:  Aˆngulo  BA^ C.

→     →
→      →                                                            ^

H´a duas situa¸c˜oes especiais de ˆangulos que merecem destaque:  quando os lados A−B e −AC

^

formam uma reta ou quando −AB = −AC.  No primeiro caso dizemos que o ˆangulo A ´e raso,

enquanto que no segundo caso dizemos que o ˆangulo A ´e nulo.

 

Observa¸c˜oes.

  • Em alguns contextos, como na trigonometria, por exemplo, ´e importante estendermos o conceito de  ˆangulo  para  ˆangulo  orientado.  Tal  extens˜ao  consiste  simplesmente  em  ordenar os  lados,  ou  seja,  h´a  um  lado  escolhido  como  lado  inicial  e  outro  escolhido  como  lado  final do ˆ

 

 

  • Assim como  ocorre  com  a  nota¸c˜ao  de  segmento,  n˜ao  h´a  unanimidade  quanto  `a  nota¸c˜ao

de  ˆangulo.    Al´em  de  ˆangulo  BA^ C  ou  CA^ B,  ou  ainda  A^ ,  conforme  estabelecemos  acima,

^                                                               ←→          ←→

alguns  autores  utilizam  a  nota¸c˜ao  ∠BAC  ou  ]BAC  ou  ainda  qBAC.   Por  fim,  h´a  autores que sempre grafam “ˆangulo BAC” (sem o acento circunflexo no A).

 

→S       SC                       B
→                                            ^

Consideremos  um  ˆangulo  BAC  n˜ao  nulo  e  n˜ao  raso.  Sejam  as  retas  r = AB  e  s = AC. Sejam                                                                                                o semiplano gerado por r que cont´em a semirreta −AC e                                                  o semiplano gerado por

^ˆangulo BAC.

s que cont´em a semirreta AB.  O conjunto I = SC ∩ SB − BAC ´e chamado de interior  do

A reuni˜ao de um ˆangulo com seu interior recebe o nome de setor  angular .

 

 

 

 

A

Figura 14: Setor angular BAC.

 

Axioma A6.  A cada ˆangulo ´e poss´ıvel fazer corresponder um u´nico nu´mero real no intervalo [0, 180].  Este  nu´mero  ´e  0  apenas  quando  o  ˆangulo  ´e  nulo  e  180  apenas  quando  o  ˆangulo  ´e raso.

 

O leitor n˜ao ter´a dificuldades em perceber que o axioma acima prepara o caminho para que  possamos  medir  ˆangulos.   A  escala  de  0  a  180  est´a  associada  `a  medida  em  graus  e  ´e comum indicar um nu´mero dessa escala junto ao s´ımbolo (exemplo:  30 graus ´e escrito 30). Naturalmente, o intervalo [0, 180] n˜ao tem nada de especial (a n˜ao ser o bonito fundamento hist´orico que data da ´epoca dos babilˆonios) e poder´ıamos troc´a-lo, por exemplo, por [0, π] e trabalhar com outra escala (radianos, conforme veremos adiante).

 

 

Dado um ˆangulo BA^ C, o nu´mero referido pelo Axioma A6 a ele associado ´e chamado de

medida  de BA^ C e indicado por mBA^ C.                                                              ^                                                                                                          ^

Quando  n˜ao houver perigo  de  confus˜ao e for  conveniente,  utilizamos BAC  (ou A) tanto

para indicar ˆangulo (reuni˜ao de semirretas) quanto para indicar medida de ˆangulo (nu´mero real).    Tamb´em  ´e  comum  indicarmos  medidas  de  ˆangulos  por  letras  gregas  minu´sculas (α, β, γ, . . .).  Assim,  por  exemplo,  a  medida  de  um  ˆangulo  com  v´ertice  em  A ´e  geralmente denotada por α.

←→

O pr´oximo axioma ´e uma esp´ecie de rec´ıproca do axioma anterior.

 

Axioma A7. Seja S um dos dois semiplanos gerados por uma reta AB de um plano. A cada nu´mero α ∈ [0, 180] corresponde um u´nico ˆangulo BA^ C contido em S tal que mBA^ C = α.

 

a

A                 B

Figura  15:  Correspondendo  medida  a  ˆangulo.

 

Axioma  A8.  Seja o ˆangulo BA^ C n˜ao nulo.

 

 

Se  BA^ C  n˜ao for raso  e  D  for ponto no  interior desse ˆangulo,  ent˜ao  mDA^ B + mDA^ C =

mBA^ C. ^                                                                                       ^                                                                                                    ^

Se  BAC  for  raso  e  D  for  ponto  n˜ao  pertencente  aos  lados  de  BAC,  ent˜ao  mDAB +

mDA^ C = 180.

 

 

 

 

A                 B

Figura 16: α = θ + ρ.

 

Dois ˆangulos de mesma medida s˜ao chamados de ˆangulos congruentes.

Dois ˆangulos cuja soma de suas medidas ´e a medida de um ˆangulo raso s˜ao chamados de ˆangulos suplementares.

Dois ˆangulos congruentes e suplementares s˜ao chamados de ˆangulos retos.

Dois ˆangulos cuja soma de suas medidas ´e a medida de um ˆangulo reto s˜ao chamados de ˆangulos complementares.

Um ˆangulo cuja medida ´e menor do que a medida de um ˆangulo reto ´e chamado de ˆangulo

agudo.

Um ˆangulo cuja medida ´e maior do que a medida de um ˆangulo reto ´e chamado de ˆangulo

obtuso.

^                   ^         ^

Dois ˆangulos, n˜ao nulos e n˜ao rasos, que compartilham um mesmo lado e cuja intersec¸c˜ao de seus interiores ´e vazia s˜ao chamados de ˆangulos adjacentes.

Quando D ´e ponto no interior do ˆangulo n˜ao nulo e n˜ao raso BAC e tal que BAD e DAC

^BAC.

s˜ao  ˆangulos  adjacentes  congruentes,  dizemos  que  a  semirreta  −A−→D  ´e  bissetriz   do  ˆangulo

Observemos que, como consequˆencia das definic¸˜oes e axiomas acima, um ˆangulo reto tem medida 90 graus.

Observemos tamb´em que o Axioma A7 garante a existˆencia de ˆangulos retos.

 

Teorema  1.3  A  bissetriz  de  um  ˆangulo  existe  e ´e  u´nica.

 

Demonstra¸c˜ao.

1     ^α =   BAC.
Pelo  Axioma  A7,  existe  e ´e  u´nico  BA^ D ∈ S tal  que  BA^ D = α.  Mostremos  que  A−−→D ´e  a

Seja  BA^ C  um  ˆangulo,  r = ←A→B  e  S o  semiplano  determinado  por  r  que  cont´em  C.  Seja

 

bissetriz de BA^ C.                                                         ^

^          ^         ^     ⇒    ^               ^

Suponhamos que D n˜ao esteja no interior de BAC.  Como D ∈ S, ent˜ao C est´a no interior de BA^ D.  Da´ı, BA^ D = CA^ D + BA^ C, ou seja,

 

 

2 BAC = CAD + BAC =       CAD = −2 BAC,

^

o que ´e absurdo.  Logo, D est´a no interior de BAC.

CA^ D =  1BA^ C.

Por contru¸c˜ao, BA^ D e CA^ D s˜ao adjacentes.  Al´em disso, BA^ C = CA^ D + BA^ D, ou seja,

2

Logo, BA^ D e CA^ D s˜ao congruentes.

 

 

 

^

Portanto, a bissetriz de BAC existe. Mostremos a unicidade. Suponhamos que

^         ^          ^         ^         ^         ^              ^          ^

BA^ D = CA^ D e BA^ E = EA^ C.

−A−→D  e

−A→E  sejam  bissetrizes  de  BA^ C.   Da´ı,

 

→      →

Al´em disso, BAC = BAD + CAD e BAC = BAE + EAC. Da´ı, BAD = BAE.

Pelo Axioma A7, os ˆangulos s˜ao coincidentes.  Portanto, A−−D = −AE, ou seja, a bissetriz ´e

u´nica.                                                                                                                                               Q

^

Teorema  1.4  (Crossbar)  Se  D  ´e  um  ponto  no  interior  do  ˆangulo  BAC,  ent˜ao  a  semirreta

−A−D  intersecta  o  segmento  BC.

←→

Demonstra¸c˜ao.

^
^

A  reta  r  =  AD  divide  o  plano  em  dois  semiplanos.   Um  dos  semiplanos  cont´em  C  e  o outro  semiplano  cont´em  D,  pois,  caso  contr´ario,  D  n˜ao  seria  ponto  interior  de  BAC.  Pelo Axioma  A5,  r  intersecta  BC.   Como  o  interior  do  ˆangulo  BAC  ´e  convexo,  conclu´ımos  que

BC intersecta a semirreta A−−D, como quer´ıamos demonstrar.                                                                                                                                               Q

Ortogonalidade

Duas  retas  r  e  s  concorrentes  no  ponto  A  determinam  quatro  ˆangulos,  tendo  A  como v´ertice comum.  Quando esses quatro ˆangulos s˜ao congruentes dizemos que as retas r e s s˜ao perpendiculares ou ortogonais (7).

Observemos que, como consequˆencia da defini¸c˜ao acima, os quatro ˆangulos determinados por duas retas perpendiculares s˜ao ˆangulos retos.

Figura 17: Retas perpendiculares.

Podemos estender o conceito de ortogonalidade para segmentos e semirretas. Dizemos que  dois  segmentos  ou  duas  semirretas  s˜ao  ortogonais  quando  as  retas  que  os  (as)  contˆem assim  o  forem.   O  leitor  n˜ao  ter´a  dificuldades  em  generalizar  o  conceito  de  ortogonalidade envolvendo segmento e semirreta, segmento e reta ou, ainda, reta e semirreta.

Dois ˆangulos s˜ao ditos opostos  pelo  v´ertice  quando os lados de um dos ˆangulos forem as semirretas opostas dos lados de outro ˆangulo.

s

 

 

 

 

Figura  18:  Dois  pares  de  ˆangulos  opostos  pelo  v´ertice.

7A palavra ortogonal  ´e mais abrangente do que a palavra perpendicular.  Na geometria plana n˜ao h´a muita raz˜ao  para  distingui-las,  mas  na  geometria  espacial  h´a  bons  motivos  para  tal,  como,  por  exemplo,  no  caso de  retas  reversas  (retas  n˜ao  coplanares).  N˜ao ´e  comum  utilizar  a  palavra  perpendicular  em  um  contexto  de retas  reversas,  pois  estas  possuem  intersecc¸˜ao  vazia.  Neste  caso,  a  palavra  ortogonal  ´e  mais  adequada.  De um  modo  geral,  a  palavra  perpendicular  utilizada  no  contexto  de  dois  objetos  pressup˜oe  que  a  intersecc¸˜ao entre  esses  objetos  n˜ao  seja  vazia.

 

 

Como  consequˆencia  da  defini¸c˜ao  acima,  ˆangulos  opostos  pelo  v´ertice  possuem  o  v´ertice em comum e, ainda, que duas retas concorrentes determinam dois pares de ˆangulos opostos pelo v´ertice.

 

Teorema 1.5

Aˆngulos  opostos  pelo  v´ertice  s˜ao  congruentes.

 

 

^         ^                                                                    →           →−         −

Demonstra¸c˜ao.

Sejam BAC e DAE ˆangulos opostos pelo v´ertice de tal forma que A−B e A−−D s˜ao semirretas opostas assim como A→C e A→E, conforme a figura abaixo.

Figura 19: Figura auxiliar.

^                                                         ^                           ^        ^
^                  ^         ^

Logo, BAD ´e raso e E n˜ao pertence aos lados de BAD.  Dessa forma, BAE+EAD = 180o. Analogamente, EAC ´e raso e BAE + BAC = 180o.

Portanto,  BA^ E + EA^ D  =  BA^ E + BA^ C,  ou  seja,  EA^ D  =  BA^ C.  Logo,  EA^ D  e  BA^ C  s˜ao

Observa¸c˜ao.   A  argumentac¸˜ao  da  demonstra¸c˜ao  acima  pode  ser  simplesmente  sintetizada na seguinte frase:  “Aˆngulos opostos pelo v´ertice s˜ao congruentes porque possuem um mesmo ˆangulo suplementar em comum.”

Teorema  1.6  (da  perpendicular  I)  Por  qualquer  ponto  de  uma  reta  r  pode-se  tra¸car  uma u´nica  reta  perpendicular  a  r.

Demonstra¸c˜ao.

^                                      ^S
S

Seja A um ponto qualquer da reta r e B um outro ponto qualquer, diferente de A, da reta r. Seja      um dos semiplanos gerados por r.

←→

Pelo Axioma A7 existe um u´nico ˆangulo BAC contido em              tal que BAC = 90o. Consideremos a reta s = AC.  Ent˜ao, por constru¸c˜ao, s ´e perpendicular a r.

Mostremos que s ´e u´nica.

Suponhamos  que  t  seja  outra  reta  perpendicular  a  r  e  A  ∈ t.   Seja  D  ∈ t ∩ S  ent˜ao

BA^ D = 90o, como na figura abaixo.

Figura 20: Figura auxiliar.

^          ^                                       →      →

Da´ı,  pelo  Axioma  A7,  BAD = BAC,  ou  seja,  as  semirretas  −A−D  e  −AC  s˜ao  coincidentes. Logo, C ∈ t e s = t.                                                                                                                                           Q

Dado  um  segmento  AB  e  seu  ponto  m´edio  M,  a  reta  perpendicular  a  AB  passando  por

M ´e chamada de mediatriz  do segmento AB.

 

 

 

A                                 B

 

 

Figura 21: Mediatriz do segmento AB.

 

 

Pelo teorema acima, a mediatriz de um segmento existe e ´e u´nica.  Veremos na pr´oxima se¸c˜ao  que  os  pontos  da  mediatriz  de  um  segmento  AB  equidistam  dos  extremos  A  e  B  do segmento.

 

 

 

  • Congruˆencia

 

Pol´ıgonos

 

 

 

Sejam A1, . . . , An com n ≥ 3 pontos distintos de um plano tais que os segmentos A1A2, A2A3, . . . , An−1An, AnA1 cumprem as seguintes propriedades:

  • Nenhum par de segmentos se autointersecciona, a n˜ao ser em um
  • Nenhum par de segmentos com extremo comum ´e

A reuni˜ao dos segmentos acima ´e chamada de pol´ıgono  de v´ertices  A1, . . . , An e lados

A1A2, A2A3, . . . , An−1An, AnA1 e indicamos por A1A2 . . . An.

 

 

Observemos que, como consequˆencia da defini¸c˜ao acima, um pol´ıgono ´e uma linha  poli- gonal fechada  e, portanto, determina no plano duas regi˜oes:  uma limitada (8), chamada de interior  do pol´ıgono e cuja fronteira ´e o pr´oprio pol´ıgono, e outra n˜ao limitada.  Quando o interior de um pol´ıgono ´e uma regi˜ao convexa do plano, dizemos que o pol´ıgono ´e convexo.

A  soma  dos  comprimentos  dos  lados  de  um  pol´ıgono  ´e  chamada  de  per´ımetro   do pol´ıgono.

 

 

E´  comum nos textos de geometria confundir a reuni˜ao de um pol´ıgono e seu interior (que

 

´e  uma  superf´ıcie  plana  poligonal )  com  o  pr´oprio  pol´ıgono.

E´  isso  que  permite  que  se  fale,

 

por exemplo, em ´area  de um pol´ıgono.  Al´em disso, o contexto sempre estar´a claro.

 

8Dizemos que uma figura         ´e limitada  no plano quando existir um nu´mero real d > 0 tal que d (P, Q) < d

∈ F
F

para  quaisquer  P, Q            .   Equivalentemente,  uma  figura  ´e  limitada  no  plano  quando  for  poss´ıvel  coloc´a-la no  interior  de  um  disco  de  diˆametro  d (definiremos  disco  mais  adiante).

 

 

A  nomenclatura  de  um  pol´ıgono  varia  de  acordo  com  a  quantidade  de  lados.   Alguns exemplos:

Nu´mero  de  lados Nome  do  pol´ıgono
3 triˆangulo (∗)
4 quadril´atero
5 pent´agono
6 hex´agono
7 hept´agono
8 oct´ogono
9 ene´agono
10 dec´agono
11 undec´agono
12 dodec´agono
20 icos´agono

3               4              5              6

7               8              9              10

Figura 22: Alguns exemplos de pol´ıgonos convexos (regulares).

(  )  Observemos  que  a  defini¸c˜ao  de  triˆangulo  que  demos  na  se¸c˜ao  anterior ´e  caso  particular da defini¸c˜ao geral de pol´ıgonos que demos acima.

^            ^                     ^
^

Em um pol´ıgono convexo P = A1 . . . An os ˆangulos A1A2A3, A2A3A4, . . ., An−1AnA1 e

^
P

AnA1A2 s˜ao chamados de ˆangulos  internos  de     .

^
P

Dado um ˆangulo interno BAC de um pol´ıgono convexo    , ´e poss´ıvel construir dois ˆangulos de  v´ertice  A  suplementares  e  adjacentes  a  BAC  de  tal  modo  que  seus  interiores  n˜ao  se intersectam.  Cada um desses ˆangulos ´e chamado de  ˆangulo  externo  ao pol´ıgono convexo P no v´ertice A.

Figura  23:  Um  ˆangulo  interno  e  um  ˆangulo  externo  em  um  pent´agono  convexo.

Um  pol´ıgono  convexo ´e  dito  regular  quando  possuir  todos  os  seus  lados  congruentes  e todos os seus ˆangulos internos congruentes.

 

Triˆangulos

 

Vimos acima que um triˆangulo ´e um pol´ıgono com trˆes lados.  Entretanto, devido ao fato de  o  triˆangulo  ser  a  figura  b´asica  no  desenvolvimento  da  geometria  plana,  ele  recebe  v´arios subdenomina¸c˜oes conforme abaixo:

 

 

Triaˆngulo  equil´atero:  possui os trˆes lados com mesmo comprimento.

Triaˆngulo  is´osceles:   possui  dois  lados  com  mesmo  comprimento,  chamados  de  la- terais, enquanto que o terceiro lado ´e chamado de base.

Triaˆngulo  escaleno:  todos os lados possuem medidas diferentes.

Triaˆngulo   retˆangulo:    possui  um  ˆangulo  interno  reto.     Os  lados  que  comp˜oem  o ˆangulo  interno  reto  s˜ao  chamados  de  catetos,  enquanto  que  o  terceiro  lado  ´e  chamado de hipotenusa.

Triaˆngulo  acutˆangulo:  possui os trˆes ˆangulos internos agudos.

Triaˆngulo  obtusˆangulo:  possui um ˆangulo interno obtuso.

Triaˆngulo  equiˆangulo:  possui os trˆes ˆangulos internos congruentes.

(1)             (2)             (3)

(4)             (5)

Figura  24:  A  partir  do  canto  superior  esquerdo:  (1)  triˆangulo  equil´atero,  equiˆangulo  e acutˆangulo;  (2)  triˆangulo  is´osceles;  (3)  triˆangulo  escaleno;  (4)  triˆangulo  retˆangulo  e  (5) triˆangulo  obtusˆangulo.

 

Observac¸˜ao.   Em  alguns  textos,  um  triˆangulo  de  v´ertices  A,  B  e  C  ´e  indicado  por  pela nota¸c˜ao ∆ABC.

 

Dado um triˆangulo ABC:

←→                                                                                    ←→
  • O segmento que  liga  o  v´ertice  A  ao  ponto  m´edio  M  do  lado  oposto  BC ´e  chamado  de mediana  do  triˆangulo  ABC  relativa  ao  v´ertice  A.   De  modo  an´alogo  temos  as  medianas relativas aos v´ertices B e C.
  • O segmento  que  liga  o  v´ertice  A  a  um  ponto  H  da  reta  BC  tal  que  AH ´e  ortogonal  a BC ´e chamado de altura  do triˆangulo ABC relativa ao v´ertice A.  De modo an´alogo temos as alturas relativas aos v´ertices B e C (veremos adiante – Teorema da Perpendicular II – que a altura relativa ao um v´ertice de um triˆangulo existe e ´e u´nica).
^
  • O segmento que  liga  o  v´ertice  A  a  um  ponto  D  do  lado  BC,  tal  que  AD  est´a  contido na  bissetriz  do  ˆangulo  BAC, ´e  chamado  de  bissetriz  do  triˆangulo  ABC  relativa  ao  v´ertice
  1. A. De modo an´alogo temos as bissetrizes relativas aos v´ertices B e C.

– A mediatriz do lado AB do triˆangulo ´e, tamb´em, chamada de mediatriz  do triˆangulo relativa ao lado AB.  De modo an´alogo temos as mediatrizes relativas aos lado BC e AC.

 

A                             A                          A

 

 

B       M       C

B             H C

B         D      C         B                 C

 

(1)                           (2)                         (3)                           (4)

Figura  25:  Da  esquerda  para  a  direita:  (1)  mediana  relativa  ao  v´ertice  A;  (2)  altura relativa ao v´ertice  A, (3) bissetriz relativa ao v´ertice  A e  (4) mediatriz relativa ao lado  BC.

 

Observa¸c˜ao.

E´  tamb´em  comum  chamar  de  altura  do  triˆangulo  ABC,  relativa  ao  v´ertice

 

A, o comprimento do segmento AH que definimos acima. Assim, a palavra altura pode representar um segmento ou um nu´mero.  O contexto sempre estar´a claro.

 

Dois triˆangulos s˜ao ditos congruentes quando for poss´ıvel estabelecer uma correspondˆen- cia  biun´ıvoca  entre  seus  v´ertices  de  tal  modo  que  lados  correspondentes  tenham  a  mesma medida e ˆangulos correspondentes tamb´em tenham a mesma medida.

Assim, os triˆangulos ABC e DEF s˜ao congruentes quando existir uma bije¸c˜ao

 

ϕ : {A, B, C}

{D, E, F} tal que

 

d (A, B) = d (ϕ (A) , ϕ (B))

d (A, C) = d (ϕ (A) , ϕ (C))

d (B, C) = d (ϕ (B) , ϕ (C))

A^ = ϕ(A^ ) C^ = ϕ(C^)

 

^         ^B = ϕ(B)
e

Se tivermos, por exemplo, que ϕ (A) = D, ϕ (B) = E e ϕ (C) = F, as igualdades acima tornam-se

 

AB = DE AC = DF BC = EF

A^ = D^

^     ^B = E
e

C^ = ^F

 

 

 

N˜ao ´e dif´ıcil o leitor familiarizado com a noc¸˜ao de rela¸c˜ao  de  equivalˆencia  perceber que, da forma como definimos acima, congruˆencia entre triˆangulos  ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto de todos os triˆangulos.  De fato, ´e f´acil provar que a rela¸c˜ao acima ´e:

  • reflexiva (ABC ´e congruente a ABC – basta tomar ϕ = Id).
  • sim´etrica (se ABC ´e congruente a DEF, ent˜ao DEF ´e congruente a ABC – basta tomar

ϕ−1).

  • transitiva (se  ABC  ´e  congruente  a  DEF  e  DEF  ´e  congruente  a  GHI,  ent˜ao  ABC  ´e congruente a GHI – basta fazer a composi¸c˜ao das bije¸c˜oes).

 

Existem 5 casos de congruˆencia envolvendo triˆangulos.  O primeiro deles,  chamado LAL

(lado, ˆangulo e lado), precisa ser estabelecido por axioma.

 

Axioma A9.  (Caso  LAL de congruˆencia) Se ABC e DEF s˜ao triˆangulos tais que AB = DE,

 

A^ = D^

e AC = DF, entao ABC e DEF s˜ao congruentes.

A                          D

 

 

 

B                  C      E                  F

Figura  26:  Caso  LAL de  congruˆencia.

 

Teorema  1.7  (Caso ALA de congruˆencia) Se ABC e DEF s˜ao triˆangulos tais que AB = DE,

A^ = D^  e  B^ = E^,  ent˜ao  ABC  e  DEF  s˜ao  congruentes.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja Fj  um ponto da semirreta D−→F tal que AC = DFj.

 

A                                  D

 

F’

B                      C         E                      F

Figura 27: Figura auxiliar.

 

^         ^

Comparando os triˆangulos ABC e DEFj vemos que, AB = DE, BAC = EDFj e AC = DFj, ent˜ao, pelo caso de congruˆencia LAL, os triˆangulos ABC e DEFj  s˜ao congruentes.

 

Dessa congruˆencia segue que AB^C = DE^Fj.

−→     −→

 

^         ^                ^         ^
←→

E como j´a t´ınhamos, por hip´otese, que DEF = ABC, ent˜ao DEF = DEFj.  Da´ı, EF = EFj.

E, como F e Fj pertencem a DF segue que F = Fj.

Logo, DEF e DEFj s˜ao congruentes.  Como j´a t´ınhamos a congruˆencia entre ABC e DEFj, conclu´ımos, pela transitividade da congruˆencia, que ABC e DEF s˜ao congruentes.                                                                                                                                           Q

 

Teorema  1.8  (triˆangulo  is´osceles)  (1)  Os  ˆangulos  da  base  de  um  triˆangulo  is´osceles  s˜ao congruentes.

  • Um triˆangulo  que  possui  dois  ˆangulos  congruentes ´e  is´osc
  • Seja ABC  triˆangulo  is´osceles  com  base  BC.  Ent˜ao,  a  mediana  relativa  ao  v´ertice  A:
  • ´e altura  e  bissetriz  relativas  ao  v´ertice  A.
(1) Seja ABC um triˆangulo is´osceles de base BC.  Queremos mostrar que B^ = C^.
  • est´a contida na  mediatriz  da  base  BC. Demonstra¸c˜

 

Consideremos, para isso, a bije¸c˜ao ϕ : {A, B, C}

e ϕ (C) = B e consideremos o triˆangulo ACB.

 

A

{A, B, C} tal que ϕ (A) = A, ϕ (B) = C

 

 

A

 

 

j

 

B                   C          C                   B

Figura  28:  Figura  auxiliar  –  replicando  o  triˆangulo  ABC.

 

^     ^

Da´ı,  por  hip´otese,  temos  que  AB  =  AC,  A^  =  A^  e  AC  =  AB.          Logo,  pelo  caso  de

congruˆencia LAL, temos que ABC ´e congruente ao triˆangulo ACB.  Da´ı, B = C. Portanto, os ˆangulos da base de um triˆangulo is´osceles s˜ao congruentes.

 

 

^     ^
  • Seja ABC um  triˆangulo  tal  que  B  =  C.   Consideremos  a  mesma  bije¸c˜ao  ϕ  do  item

(1).

Da´ı,  como  B^ =  C^,  BC  =  BC  e  C^ =  B^,  ent˜ao,  ABC  ´e  congruente  a  ACB  pelo  caso  de

 

 

  • Seja AM a mediana relativa ao v´ertice A. Logo, BM = MC.

 

A

 

 

 

B        M        C

Figura 29: Figura auxiliar.

^     ^

Da hip´otese de ABC ser is´osceles, temos ainda que AB = AC e B = C.

^           ^
^          ^                 ^                   ^

Da´ı,  pelo  caso  de  congruˆencia  LAL,  temos  que  os  triˆangulos  ABM  e  ACM  s˜ao  congru- entes.  Da´ı, BAM = CAM, ou seja, AM ´e a bissetriz relativa ao v´ertice A.

^          ^                               o^BMA + CMA, entao˜    AMC = 90  .

Mais  ainda,  da  congruˆencia  segue  que  AMC  =  AMB.   Como  BMC  ´e  raso  e  BMC  =

 

←→

Logo, AM ´e a altura relativa ao v´ertice A.

←→                           ←→

Podemos concluir tamb´em que A−M ´e a mediatriz relativa ao lado BC j´a que, por hip´otese, passa pelo ponto m´edio M e mostramos que A−M ´e perpendicular a BC.                                                                                                                                           Q

Observemos que, como consequˆencia dos itens (1) e (2) do teorema acima, um triˆangulo

´e equil´atero se, e somente se, ´e equiˆangulo.

Teorema  1.9  (Caso LLL de congruˆencia) Se ABC e DEF s˜ao triˆangulos tais que AB = DE, AC = DF  e  BC = EF,  ent˜ao  ABC  e  DEF  s˜ao  congruentes.

←→−

Demonstra¸c˜ao.

→                                                    ^

No semiplano determinado pela reta BC e que n˜ao cont´em o ponto A, consideremos uma semirreta de origem B e que forma com BC um ˆangulo congruente ao ˆangulo DEF.

Escolhamos sobre ela um ponto Dj de forma que BDj = ED.

A                                D

 

 

B                      C        E                      F

 

 

 

Figura 30: Figura auxiliar – H ∈ BC com H /= B e H /= C.

^           ^

Logo,  como BC = EF,  CBDj = DEF e  BDj = DE,  temos que os  triˆangulos  DjBC e  DEF

s˜ao congruentes pelo caso LAL de congruˆencia.

←→

Mostremos agora que ABC e DjBC s˜ao congruentes.

Seja H o ponto em que ADj corta BC (H existe pelo Axioma A5).

Consideremos, primeiramente, o caso em que H est´a entre B e C, como na figura anterior.

Do fato de DEF e DjBC serem congruentes conclu´ımos que DjC = DF e, como DF = CA

^          ^         ^

por hip´otese, temos que DjC = CA.

CD^jA.

Da´ı, temos que os triˆangulos ABDj e ACDj s˜ao is´osceles.  Logo, BADj = BDjA e CADj =

 

^         ^          ^          ^         ^          ^
^         ^

Assim, BAC = BADj + CADj = BDjA + CDjA = BDjC.

Agora, BDj = DE = AB, BAC = BDjC e DjC = CA, ent˜ao, os triˆangulos ABC e DjBC

s˜ao congruentes pelo caso LAL.

 

 

Portanto, ABC ´e congruente a DEF.

Caso H n˜ao esteja entre B e C, como na figura que se segue, a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga.

A                                     D

 

 

B                                       E

 

 

 

Figura 31: Figura auxiliar – H /∈ BC.

Caso H = B ou H = C, entao A, B e Dj, ou ent˜ao A, C e Dj  s˜ao colineares.

A                                     D

 

 

E                      F

 

 

 

Figura  32:  Figura  auxiliar  –  H ´e  extremo  de  BC.

^     ^                                     ^     ^           ^     ^

Neste  caso,  lembrando  que  DjBC  e  DEF  s˜ao  congruentes  e  por  isso  DjC  =  DF  =  AC, temos que o triˆangulo ABDj  (no caso de A, C e Dj  serem colineares) ´e is´osceles.

Da´ı A = Dj  e como j´a tinhamos que Dj  = D, segue A = D.

Novamente  pelo  caso  LAL  de  congruˆencia  temos  que  ABC  e  DjBC  s˜ao  congruentes  e, portanto, ABC e DEF s˜ao congruentes.                                                                                                                                           Q

 

  • Desigualdades

O Teorema do Aˆngulo Externo e Consequˆencias

No teorema abaixo, um ˆangulo ser maior do que outro significa que sua medida  ´e maior do que a medida do outro.

Teorema  1.10  (do  Aˆngulo  Externo)  Um  ˆangulo  externo  de  um  triˆangulo  ABC ´e  maior  do que  qualquer  um  dos  ˆangulos  internos  n˜ao  adjacentes  a  ele.

^                                             ^

Demonstra¸c˜ao.

Seja DCA um ˆangulo externo ao ˆangulo C.  Seja M o ponto m´edio de AC e P pertencente

`a  semirreta  B−−M  de  tal  forma  que  BM  =  MP  (a  existˆencia  de  P  ´e  garantida  pelo  Axioma

A4).

 

 

 

 

B                     C        D

Figura 33: Figura auxiliar.

 

 

^         ^

Logo, AM = MC (pois M ´e ponto m´edio de AC), AMB = PMC (pois s˜ao opostos pelo v´ertice) e BM = MP.

 

Da´ı,  os  triˆangulos  AMB  e  PMC  s˜ao  congruentes  pelo  caso  LAL.  Logo,  BA^ M = PC^M.

Assim, DC^A = DC^P + PC^A > PC^A = BA^ C.                                                                                                                                                  ^

^

Tomando  agora  o  ponto  m´edio  de  BC,  podemos  concluir  de  forma  an´aloga  que  DCA >

ABC.

Portanto,  um  ˆangulo  externo  de  um  triˆangulo  ´e  maior  do  que  os  ˆangulos  internos  n˜ao adjacentes a ele.                                                                                                                                        Q

Observemos  que,  como  consequˆencia  imediata  do  Teorema  do  Aˆngulo  Externo,  a  soma de dois dos ˆangulos de um triˆangulo qualquer ´e sempre menor do que a medida de um ˆangulo raso.  Tamb´em ´e consequˆencia imediata que os ˆangulos n˜ao retos de um triˆangulo retˆangulo s˜ao agudos.

 

Os  dois  pr´oximos  teoremas  est˜ao  relacionados  `a  ortogonalidade  e,  embora  n˜ao  ligados diretamente a triˆangulos, decorrem de teoremas j´a demonstrados envolvendo triˆangulos.

 

Teorema  1.11  (da perpendicular II) Dada uma reta r e um ponto P  / r, existe e ´e u´nica a reta s passando por P e perpendicular a r.

 

Demonstra¸c˜ao.

←→      ←→

Sejam Q e R dois pontos distintos quaisquer de r.

Se PQ ou  PR  forem perpendiculares a r, ent˜ao existe a reta perpendicular enunciada. Caso contr´ario, consideremos o semiplano S determinado por r que n˜ao cont´em P.

Pelo Axioma A7 existe RQ^ T  em S tal que RQ^ T  = RQ^ P.

 

 

M              r

R               Q

T T ‘

 

 

 

 

 

r

R        Q

Figura 34: Figura auxiliar.

 

Considere  na  semirreta  −Q→T  um  ponto  T j  tal  que  PQ  =  QT j.   Da´ı,  o  triˆangulo  PQT j  ´e

is´osceles e −Q→R ´e a bissetriz de PQ^ T j.                 −→

Seja M o ponto de intersec¸c˜ao de PT j  e QR.

^          ^                                                ^          ^        ^

Logo, o triˆangulo PQM ´e congruente ao triˆangulo T jQM pelo caso LAL pois, T jQ = QP, T jQM = PQM e QM = QM.  Dessa forma, PMQ = QMT  e PMT j ´e raso.

Logo, PM^Q = 90o.  Portanto, P←→T j ´e perpendicular `a reta r (figura acima `a esquerda).

 

Quanto `a unicidade, ela ´e decorrˆencia do Teorema do Aˆngulo Externo, pois, se supormos a  existˆencia  de  duas  perpendiculares  a  r  passando  por  P,  ter´ıamos  um  triˆangulo  PQR  com dois ˆangulos retos, o que ´e barrado pelo referido teorema (figura acima `a direita).                                                                                                                                         Q

Observemos  que  o  teorema  acima  garante  a  existˆencia  e  unicidade  da  altura  de  um triˆangulo relativa a um v´ertice.

∈                                       ∈

Al´em disso, o Teorema da Perpendicular II permite que definamos distˆancia de um ponto P a uma reta r, indicado por d (P, r).  De fato, quando P    r definimos a d (P, r) = 0.  Quando P  /  r consideremos o ponto Q      r, intersecc¸˜ao da reta  s que passa por P  e ´e perpendicular a  r  com  a  reta  r.   Neste  caso,  definimos  d (P, r)  =  PQ.   O  ponto  Q  ´e  chamado  de  p´e  da perpendicular  baixada de P a r ou ent˜ao de proje¸c˜ao ortogonal de P sobre r e ´e denotada por projr P.

P

 

 

r

Q

Figura  35:  Definindo  distˆancia  de  ponto  a  reta.

Veremos adiante que PQ ´e o segmento de menor comprimento ligando P  a um ponto da reta r.

 

Teorema 1.12 (da mediatriz) Os pontos da mediatriz do segmento AB equidistam de A e  de  B.   Reciprocamente,  o  conjunto  dos  pontos  do  plano  que  equidistam  de  A  e  de  B  ´e  a mediatriz do segmento AB.

 

Demonstra¸c˜ao.

Sejam  r  a  mediatriz  de  AB  e  M  o  ponto  de  intersecc¸˜ao  de  r  com  AB.  Seja  P  um  ponto qualquer de r.

Se P = M ent˜ao, ´e claro que P  equidista de A e B (pois M ´e ponto m´edio de AB). Suponhamos ent˜ao que P /= M.

Figura 36: Figura auxiliar.

^         ^

Consideremos ent˜ao os triˆangulos PMA e PMB.  Como PM = PM, PMA = PMB = 90o

e MA = MB ent˜ao os triˆangulos PMA e PMB s˜ao congruentes pelo caso LAL.

Logo, PA = PB.  Como P ´e arbitr´ario segue que os pontos da mediatriz equidistam de A

e B.

Mostremos agora que a reta r, composta pelo conjunto de pontos equidistantes de A e B, ´e a mediatriz de AB. Observemos primeiramente que o ponto m´edio M de AB pertence `a reta r.  Consideremos agora um ponto P  qualquer de r distinto de M. Ent˜ao, PA = PB, por hip´otese,  PM = PM  e  AM = MB.  Logo,  os  triˆangulos  PAM  e  PBM  s˜ao  congruentes  pelo

 

^        ^                                ^                         ^

caso LLL. Da´ı, os ˆangulos PMA e PMB s˜ao congruentes e AMB ´e raso, donde PMA = 90o. Dessa  forma,  r  passa  pelo  ponto  m´edio  de  AB  e  ´e  perpendicular  a  AB.  Portanto,  r  ´e  a mediatriz de AB.                                                                                                                                        Q

^ ^       ^

Sejam r, s e t retas distintas de tal modo que t intersecta r e s em pontos A e B distintos. Em tal disposi¸c˜ao de retas diremos que t ´e reta transversal  a r e a s.  Em torno de A e B temos  oito  ˆangulos  que,  por  facilidade  (e  abuso!)  de  nota¸c˜ao  iremos  indicar  por  1,  2,  . . .,  8 conforme a figura abaixo.

 

Figura 37:

Aˆngulos  definidos  por  uma  transversal.

 

Vamos adotar a seguinte nomenclatura:

 

Aˆngulos Designa¸c˜ao
^1 e ^5

^2 e ^6

^3 e ^7

^4 e ^8

 

 

Correspondentes

^1 e ^8

^2 e ^7

Colaterais externos
^3 e ^6

^4 e ^5

Colaterais internos
^1 e ^7

^2 e ^8

Alternos externos
^3 e ^5

^4 e ^6

Alternos internos

Teorema  1.13  Se  a  reta  t  ´e  transversal  `as  retas  r  e  s  e  os  ˆangulos  correspondentes  s˜ao congruentes,  ent˜ao  r  e  s  s˜ao  retas  paralelas.

Demonstra¸c˜ao.

Suponhamos, por absurdo, que r e s n˜ao sejam paralelas, ou seja, r            s = {P}.

∩                ∩

Sejam  ainda,  {A}  =  t      s,  {B}  =  t     r  e  α  e  β  os  ˆangulos  correspondentes  conforme  a figura.

t

A    a

P  r

B b                    s

 

 

Figura 38: Figura auxiliar.

Pelo  teorema  do  ˆangulo  externo  aplicado  ao  triˆangulo  ABP  ter´ıamos  α  > β  (ou  β >  α dependendo de qual lado do semiplano determinado por t o ponto P estiver), o que contradiz a hip´otese.

Portanto, r e s s˜ao paralelas.                                                                                                                                         Q

Observemos que uma consequˆencia imediata do teorema acima ´e que “duas retas distintas perpendiculares  a  uma  mesma  reta  s˜ao  paralelas”.

No in´ıcio do primeiro cap´ıtulo definimos retas paralelas, mas ficamos devendo sua a existˆencia.  A jun¸c˜ao do “Teorema da Perpendicular” (I ou II) e o teorema acima fornece a e- xistˆencia previamente anunciada (al´em de um procedimento para sua constru¸c˜ao geom´etrica).

 

Teorema  1.14  (1)  Se  em  um  triˆangulo  h´a  dois  lados  n˜ao  congruentes,  ent˜ao  os  ˆangulos opostos  a  esses  lados  n˜ao  s˜ao  congruentes  e  o  maior  ˆangulo ´e  oposto  ao  maior  lado.

  • Se em  um  triˆangulo  h´a  dois  ˆangulos  n˜ao  congruentes,  ent˜ao  os  lados  opostos  a  esses ˆangulos  n˜ao  s˜ao  congruentes  e  o  maior  lado ´e  oposto  ao  maior  ˆ

 

Demonstra¸c˜ao.

  • Seja ABC um triˆangulo qualquer. Suponhamos que AB > AC.

A

 

 

 

 

D

Figura 39: Figura auxiliar.

^            ^−

Queremos mostrar que mACB > mABC.

Seja D o ponto da semirreta AC tal que AD = AB.

Assim, mAB^D = AB^C + CB^D > AB^C.
Como AD = AB > AC, ent˜ao C est´a entre A e D.  Logo, C est´a no interior de ABD.

Ent˜ao o triˆangulo ABD ´e is´osceles.  Da´ı, AB^D = AD^ B.                                                                                                                                         ^

 

 

^          ^Externo segue que ACB > ADB.

O  ˆangulo  AC^B  ´e  externo  ao  triˆangulo  BCD.    Dessa  forma,  pelo  Teorema  do

^     ^    ^     ^≥                                                                 ≥       ≥  ≥

Logo, AC^B > AD^ B = AB^D > AB^C, como quer´ıamos demonstrar.

Aˆngulo

 

Suponhamos agora que A         B e A      C. Queremos mostrar que BC        AC e BC                                                 AB.

^     ^

Suponhamos, por absurdo, que BC < AC ou BC < AB.

^     ^

No primeiro caso, pelo que acabamos de demonstrar, ter´ıamos A < B, o que contraria a hip´otese.

No segundo caso, ter´ıamos A < C, o que tamb´em contraria a hip´otese. Portanto, o maior ˆangulo ´e oposto ao maior lado.

 

^    ^
  • Seja ABC um triˆangulo com C > B. Queremos mostrar que AB > AC.
^

Temos  trˆes  possibilidades  para  as  medidas  de  AB  e  AC:  AB = AC,  AB < AC  e  AB > AC.

 

Caso  AB  =  AC,  ent˜ao  o  triˆangulo  ABC  ´e  is´osceles  de  base  BC.   Logo,  B contradiz a hip´otese.

=  C^,  o  que

 

 

 

^    ^

Caso AB < AC ent˜ao, pelo item (1), C < B, o que contradiz a hip´otese. Logo, devemos ter AB > AC.

Suponhamos agora que AB ≥ BC e AB ≥ AC. Queremos mostrar que C^ ≥ A^

e C^ ≥ B^.

 

Suponhamos,  por  absurdo,  que  C^ <  A^  ou  C^ <  B^.  Da´ı,  pelo  que  acabamos  de  msotrar,

AB < BC ou AB < AC, o que contraria a hip´otese.

Logo, o maior lado ´e oposto ao maior ˆangulo.                                                                                                                                              Q

Temos como consequˆencia do teorema acima que a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo

´e maior do que qualquer um dos catetos.  Desta forma, podemos tamb´em justificar que se P ´e ponto n˜ao pertencente `a reta r e d (P, r) = PQ, ent˜ao PQ ´e o segmento de menor comprimento ligando P a um ponto de r.  Ali´as, essa ´e a ideia por tr´as do conceito de distˆancia entre duas figuras  quaisquer  no  plano:   se  F  e  G s˜ao  figuras  no  plano,  d (F, G)  ´e  definida  com  sendo

o ´ınfimo do conjunto dos comprimentos de todos os segmentos que ligam um ponto de F

a  um  ponto  de  G.   Observemos  que  devemos  utilizar  o ´ınfimo  e  n˜ao  o  m´ınimo,  pois  nem sempre existe um segmento ligando um ponto de F a um ponto de G que tenha o menor comprimento  poss´ıvel.  Por  exemplo:  sejam  F e  G dois  discos  abertos  (isto ´e,  sem  o  bordo) de  raios  1  com  centros  distando  3  (9).   Temos  d (F, G)  =  1,  mas  n˜ao  existe  um  segmento ligando um ponto de F a um ponto de G que tenha comprimento 1.

 

F                                                        G

 

 

 

3

Figura  40:  Distˆancia  entre  figuras.

 

Abaixo seguem os dois u´ltimos casos de congruˆencia de triˆangulos.

 

^    ^    ^    ^

Teorema  1.15  (Caso LAA0 lado, ˆangulo, ˆangulo oposto – de congruˆencia) Se ABC e DEF

s˜ao  triˆangulos  tais  que  AB = DE,  B = E  e  C = F,  ent˜ao  ABC  e  DEF  s˜ao  congruentes.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja H um ponto da semirreta −BC tal que BH = EF.

Temos trˆes hip´oteses para H, quais sejam:

  • H ∈ BC (H diferente de C);
  • H /∈ BC;
  • H =

A                                D

 

 

B               H   C        E                      F

Figura 41: Figura auxiliar.

9Trabalharemos  com  discos  em  cap´ıtulo  posterior.  Por  enquanto,  apenas  a  definic˜ao  de  disco  aberto  de centro C e raio r no plano Π basta: trata-se do conjunto {P ∈ Π : d (P, C) < r}.

 

Consideremos  o  caso  (1):   como  AB  =  DE,  B^  =  E^  e  BH  =  EF  segue,  pelo  caso  de

^          ^                ^

cogruˆencia LAL, que os triˆangulos ABH e DEF s˜ao congruentes.

^          ^          ^                                  ^         ^

Logo,  AHB  =  DFE.   Mas,  AHB  ´e  um  ˆangulo  externo  ao  triˆangulo  AHC.   Logo,  pelo Teorema do Aˆngulo Externo, AHB > ACH = DFE (hip´otese), ou seja,  AHB > DFE, o que

^         ^

´e absurdo.

No caso (2) concluir´ıamos que AHB < DFE, o que ´e novamente absurdo.

Portanto, resta apenas o caso (3), ou seja, H = C.  Da´ı, ABC e DEF s˜ao congruentes.  Q

 

Teorema  1.16  (Caso  cateto-hipotenusa  de  congruˆencia)  Se  ABC  e  DEF  s˜ao  triˆangulos retˆangulos  com  hipotenusas  congruentes  e  um  par  de  catetos  congruentes,  ent˜ao  ABC  e DEF  s˜ao  congruentes.

 

^    ^

Demonstra¸c˜ao.

Suponhamos que B = E = 90o, AC = DF e AB = DE. Tomemos o ponto Q na semirreta oposta a −E→F de modo que EQ = BC.

 

A                             D

 

 

C                   B        F                        Q E

 

 

 

Logo, AB = DE, B LAL.

=  E^

Figura 42: Figura auxiliar.

 

e  BC  =  EQ.   Ent˜ao,  ABC  e  DEQ  s˜ao  congruentes  pelo  caso

 

^
^    ^
^     ^                                                            ^    ^

Da´ı, DQ = AC e, por isso, o triˆangulo DFQ ´e is´osceles, donde F = Q.

^     ^    ^     ^Assim, AB = DE, B = E e C = F.

Mas como j´a t´ınhamos que Q = C da congruˆencia entre ABC e DEQ, ent˜ao F = C. Logo, pelo caso LAA0, os triˆangulos ABC e DEF s˜ao congruentes.                                                                                                                                     Q

Desigualdade Triangular

 

Teorema 1.17 (desigualdade triangular) A soma dos comprimentos de dois lados de um triˆangulo ´e  sempre  maior  do  que  o  comprimento  do  terceiro  lado.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja  ABC  um  triˆangulo  qualquer.  Queremos  mostrar  que  AB + AC > BC.  Seja  D  um ponto na semirreta oposta a −AC tal que AD = AB.

B

 

 

D                                  C

A

Figura 43: Figura auxiliar.

 

 

^          ^
^           ^          ^           ^           ^

Logo,  o  triˆangulo  ADB  ´e  is´osceles.   Da´ı,  ADB  =  ABD.   Como,  por  constru¸c˜ao,  A  est´a entre D e C, segue que DC = AD + AC = AB + AC.

Agora,  DBC  =  DBA + ABC  >  BDA  =  BDC.            Da´ı, pelo Teorema 1.14 temos que

DC > BC. Portanto, DC = AB + AC > BC, como quer´ıamos demonstrar.                                                                                                                                                   Q

O  Teorema  do  Aˆngulo  Externo  e  o  Teorema  da  Desigualdade  Triangular  s˜ao  resultados envolvendo  desigualdades  em  um  triˆangulo.   A  condi¸c˜ao  necess´aria  (    )  do  pr´oximo  resul- tado  ´e  conhecida  como  Teorema  da  Dobradi¸ca  e  refere-se  a  desigualdades  envolvendo  dois triˆangulos distintos.

 

Teorema  1.18  Sejam  ABC  e  DEF  triˆangulos  tais  que  AB  =  DE  e  AC  =  DF.    Temos

A^ > D^  se,  e  somente  se,  BC > EF.

 

^     ^                                          →

Demonstra¸c˜ao.

Suponhamos, primeiramente que A > D.  Consideremos a semirreta −A−Q, com Q e B do mesmo lado de ←A→C tal que QA^ C = D^ .

B  M K                                E

 

 

F

A                      C            D

Figura 44: Figura auxiliar.

→                                                                                            ^          ^

Sobre  −A−Q  tomamos  um  ponto  K  tal  que  AK  =  DE.   Da´ı,  AK  =  DE,  KAC  =  EDF  e

AC = DF.

Logo,  pelo  caso  LAL  temos  que  os  triˆangulos  AKC  e  DEF  s˜ao  congruentes  donde  con- clu´ımos que KC = EF.

^

Se K pertence ao segmento BC, ent˜ao KC < BC e, ent˜ao, EF < BC, como quer´ıamos. Suponhamos ent˜ao que K n˜ao pertence ao segmento BC.

^           ^

Seja M o ponto em que a bissetriz de BAK intersecta BC.

Da´ı, AK = DE = AB, MAB = MAK e AM = AM, ent˜ao, pelo caso LAL temos que os triˆangulos ABM e AKM s˜ao congruentes, donde BM = MK.

Aplicando  a  desigualdade  triangular  ao  triˆangulo  MKC  temos  KC  <  MC + MK  =

MC + BM = BC. Portanto, EF = KC < BC, como quer´ıamos.

 

^     ^
^     ^

Suponhamos agora que BC > EF. Mostremos que A > D.

Se tiv´essemos A < D ent˜ao, pelo que provamos na primeira parte desse teorema ter´ıamos

BC < EF, o que contraria a hip´otese.

Se  tiv´essemos  A^ = D^  ent˜ao  AB = DE,  A^ = D^  e  AC = DF  donde  os  triˆangulos  ABC  e

DEF seriam congruentes pelo caso LAL.

Da´ı, BC = EF, o que contraria a hip´otese.

Portanto, por exclus˜ao, devemos ter A^ > D^ .                                                                                                                                              Q

 

 

 

 

 

 

Cap´ıtulo  2

Geometria Euclidiana

 

  • O Problema das Paralelas

Alguns Coment´arios sobre a Hist´oria do “Problema das Paralelas”

 

O  estudo  sistem´atico  de  geometrias  “n˜ao  euclidianas”  em  espa¸cos  homogˆeneos,  ou  seja, espa¸cos  que  apresentam  a  mesma  curvatura  gaussiana  (1)  em  todos  os  seus  pontos,  teve origem  a  partir  do  final  do  s´eculo  XVIII  e  come¸co  do  s´eculo  XIX,  quando  Gauss  estudou o “Problema das Paralelas”, que consistia em tentar provar que o Quinto Postulado (2) de Euclides era independente dos demais.  Ironicamente, podemos dizer que o pr´oprio Euclides, ao adotar seu Quinto Postulado em sua obra Os Elementos, lan¸cou a semente das geometrias n˜ao  euclidianas,  uma  vez  que  o  questionamento  de  tal  postulado  levou  ao  desenvolvimento da teoria que serviu de base para a fundamenta¸c˜ao da “primeira” geometria n˜ao euclidiana, a Geometria  Hiperb´olica.

 

Na  geometria  hiperb´olica  n˜ao  vale  o  Quinto  Postulado  de  Euclides,  o  qual  ´e  substitu- ido  por  um  outro  contr´ario  a  este.   Todos  os  outros  axiomas  da  Geometria  Euclidiana  s˜ao adotados, exceto o das paralelas. Isso significa que todos os teoremas que enunciamos no cap´ıtulo anterior valem na Geometria Hiperb´olica.  Ali´as, por causa desse fato,  a geometria do primeiro cap´ıtulo recebe o nome de Geometria Absoluta.

 

E´  bastante  curioso  que  o  pr´oprio  Euclides  parece  ter  evitado  ao  m´aximo  o  uso  de  seu

Quinto  Postulado,  uma  vez  que  as  28  primeiras  proposi¸c˜oes  de  sua  obra  Os  Elementos n˜ao  o  utilizam.   Isso  levantou  a  suspeita  em  matem´aticos  posteriores  de  que  tal  postulado fosse,  na  verdade,  uma  proposi¸c˜ao  que  Euclides  n˜ao  conseguiu  demonstrar.   Al´em  disso,  o pr´oprio enunciado do Quinto Postulado destoa dos enunciados dos demais teoremas, por ser demasiadamente longo, refor¸cando ainda mais tal suspeita.

1De  um  modo  bastante  intuitivo  e  informal,  a  curvatura  gaussiana  de  uma  superf´ıcie  regular  S  em  um

ponto P       S ´e uma taxa  de  varia¸c˜ao  que mede “o quanto S afasta-se, em uma vizinhan¸ca de P, de seu plano tangente  em  P”.  Para  a  defini¸c˜ao  formal  de  curvatura  gaussiana  indicamos  as  referˆencias:

Carmo, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies.  Rio de Janeiro:  SBM – Sociedade Brasileira de  Matem´atica.  2005.

Tenenblat, K. Introdu¸c˜ao `a Geometria Diferencial.  Bras´ılia:  Editora da Universidade de Bras´ılia.  1988. 2P5  –  Se  uma  reta  corta  duas  outras  retas  formando  ˆangulos  colaterais  internos  cuja  soma  ´e  menor  do que dois retos, ent˜ao as duas retas, se continuadas infinitamente, encontram-se no lado onde est˜ao os ˆangulos

cuja  soma ´e  menor  do  que  dois  retos.

 

 

Abaixo,  vamos  apresentar  brevemente  alguns  matem´aticos  (al´em  de  Euclides,  Hilbert e  Birkhoff,  j´a  apresentados  no  cap´ıtulo  anterior)  que  se  envolveram  com  o  “Problema  das Paralelas” ou seus desdobramentos.   Conforme veremos, este famoso problema parece ter sido o que permaneceu por mais tempo em aberto na Matem´atica.

Claudius Ptolomeu.

Claudius  Ptolomeu  foi  um  dos  matem´aticos  que  contestaram  o  Quinto  Postulado  de Euclides, propondo uma demonstra¸c˜ao do deste postulado a partir dos quatro primeiros.  A demonstra¸c˜ao proposta por Ptolomeu fazia uso, implicitamente, da vig´esima nona proposi¸c˜ao

(3)  do  primeiro  volume  de  “Os  Elementos”,  que  depende  do  Quinto  Postulado,  isto  ´e,  ele

usou  uma  proposi¸c˜ao  equivalente  ao  pr´oprio  Quinto  Postulado,  fazendo  portanto,  um  ciclo vicioso do ponto de vista l´ogico.

Claudius Ptolomeu nasceu em 85 d.C. no Egito e morreu em 165 d.C. em Alexandria, tamb´em no Egito.  Foi um eminente matem´atico e astrˆonomo que escreveu uma importante obra, intitulada Almagesto, que introduziu a trigonometria como ferramenta no estudo de astronomia.

Figura  45:  Ilustra¸c˜ao  de  Claudius  Ptolomeu.

 

Proclus Diadochus.

Proclus foi um estudioso das obras cl´assicas gregas e muito do que se sabe da hist´oria e da  filosofia  da  Gr´ecia  Antiga  sobreviveu  em  seus  escritos.   Ele  escreveu  um  trabalho  sobre a  obra  de  Euclides  chamado  Coment´arios  sobre  Euclides  em  que,  assim  como  Ptolomeu, tamb´em critica o Quinto Postulado de Euclides, propondo uma demonstra¸c˜ao do postulado a partir dos quatro outros postulados.  Essa demonstra¸c˜ao ´e baseada na aceita¸c˜ao do fato de que retas paralelas s˜ao equidistantes, fato este que ´e equivalente ao pr´oprio Quinto Postulado de Euclides.

Figura 46: Foto de escultura de Proclus Diadochus.

Proclus nasceu em 411 d.C. em Constantinopla (atualmente Istambul, na Turquia) e morreu em 485 d.C. em Atenas, na Gr´ecia.

3“Se  uma  reta  corta  outras  duas  retas  paralelas,  entao  os  ˆangulos  correspondentes  s˜ao  congruentes.”

 

 

Nasir al-Din al-Tusi (Nasiredin).

Assim como Ptolomeu, Nasiredin tamb´em estudou astronomia e tentou provar o Quinto Postulado de Euclides.  Para tanto, ele utilizou uma proposi¸c˜ao-axioma, que foi tomada sem demonstra¸c˜ao  devido  ao  seu  car´ater  de  autoevidˆencia  (4).   No  entanto,  essa  proposi¸c˜ao  as- sumida ´e um equivalente do Quinto Postulado de Euclides.  Assim como Ptolomeu, Nasiredin acabou realizando um racioc´ınio c´ıclico em suas dedu¸c˜oes.

Nasiredin era ´arabe e nasceu 1201 em Tus na P´ersia (atualmente Ir˜a) e morreu em 1274

em Kadhimain, Persia (pr´oximo a Bagd´a, atualmente Iraque).

Figura  47:  Ilustra¸c˜ao  de  Nasiredin.

 

John Wallis.

John Wallis foi um eminente matem´atico inglˆes que escreveu algumas obras sobre sec¸c˜oes cˆonicas,  ´algebra  e  aritm´etica.    Uma  delas,  a  saber,  Arithmetica  Infinitorum  (Aritm´etica Infinita) foi utilizada por Isaac Newton em seus estudos.  Em suas pesquisas, Wallis tamb´em tentou demonstrar o Quinto Postulado de Euclides a partir dos quatro primeiros. Para tanto, ele fez uso da existˆencia de triˆangulos semelhantes e n˜ao congruentes, fato este que ´e equivalente ao pr´oprio Quinto Postulado.(5)

Wallis nasceu em 1616 em Ashford na Inglaterra e morreu em 1703 em Oxford, tamb´em na Inglaterra.

Figura 48: Tela de John Wallis.

 

 

 

4“Sejam  r  e  s  duas  retas;  A         r  e  B  o  p´e  da  perpendicular  baixada  de  A  em  s.  Suponha  ainda  que  AB

n˜ao  ´e  perpendicular  a  r.  Ent˜ao,  os  segmentos  perpendiculares  a  s  baixados  de  r  no  lado  do  ˆangulo  agudo entre AB e  r s˜ao  menores  do  que  AB e  os  do  lado  oposto  s˜ao  maiores  do  que  AB.”

5Um  dos  quatro  axiomas  do  sistema  axiom´atico  original  de  Birkhoff  para  a  Geometria  Euclidiana  Plana

´e  justamente  sobre  a  existˆencia  de  semelhan¸ca.

 

 

Giovanni Girolamo Saccheri.

Saccheri foi um padre jesu´ıta e estudioso de teologia, filosofia, ret´orica e matem´atica que viveu nas cidades de Mil˜ao, Turim e P´avia.  Sua obra mais famosa ´e Euclides Ab Omni Naevo Vindicatus  (Euclides Livre de Todas as M´aculas) que ´e considerada uma das primeiras obras de geometria n˜ao euclidiana (embora Saccheri n˜ao tenha concebido esta obra com tal intuito). Em sua obra ele tenta, assim como seus antecessores, provar o Quinto Postulado de Euclides a  partir  dos  quatro  anteriores.   A  novidade  ´e  que,  pela  primeira  vez,  o  m´etodo  de  redu¸c˜ao ao absurdo em demonstra¸c˜oes foi utilizado no “Problema das Paralelas”.  Com isto, Saccheri supˆos a nega¸c˜ao do Quinto Postulado e tentou chegar a uma contradi¸c˜ao fazendo uso de um quadril´atero com dois ˆangulos retos na base e dois lados verticais congruentes.  Como ele sabia que  a  existˆencia  de  retˆangulos  e  o  Quinto  Postulado  s˜ao  equivalentes,  a  nega¸c˜ao  assumida conduziu a dois casos, a saber:  o caso em que os ˆangulos congruentes do topo s˜ao obtusos e o  caso  em  que  s˜ao  agudos.  Esse  quadril´atero  mais  tarde  passou  a  se  chamar  “Quadril´atero de  Saccheri”.   O  caso  em  que  os  ˆangulos  do  topo  de  seu  quadril´atero  s˜ao  obtusos  conduz a  uma  contradic¸˜ao  com  o  Segundo  Postulado  de  Euclides.   O  caso  em  que  os  ˆangulos  s˜ao agudos n˜ao conduz a uma contradic¸˜ao.  No entanto, ap´os ter desenvolvido v´arios resultados, que  hoje  s˜ao  conhecidos  como  teoremas  de  Geometria  Hiperb´olica,  Saccheri  for¸cou  uma contradi¸c˜ao  admitindo  ser  imposs´ıvel  a  existˆencia  de  duas  retas  paralelas  assint´oticas,  ou seja, retas que s˜ao paralelas, mas que v˜ao se aproximando `a medida que s˜ao percorridas em um determinado sentido.  Essas retas podem ser utilizadas para a constru¸c˜ao dos chamados triˆangulos  generalizados  da Geometria Hiperb´olica.

Saccheri  nasceu  em  1667  em  S˜ao  Remo  na  It´alia  e  morreu  em  1733  em  Mil˜ao,  tamb´em

na It´alia.

Figura  49:  P´agina  da  obra  de  Saccheri.

 

Johann Heinrich Lambert.

Assim como Saccheri, Lambert tamb´em tentou provar o Quinto Postulado de Euclides por redu¸c˜ao  ao  absurdo,  em  seu  trabalho  Theorie  der  Parallellinien  de  1766,  via  a  introdu¸c˜ao de  um  quadril´atero  que  possui  trˆes  ˆangulos  retos,  conhecido  hoje  como  “Quadril´atero  de Lambert”.   Como  consequ¨ˆencia,  ele  deduziu  uma  s´erie  de  resultados  que  hoje  s˜ao  conheci- dos  como  teoremas  de  Geometria  Hiperb´olica.  Talvez  seu  mais  importante  resultado  nesse trabalho  tenha  sido  a  dedu¸c˜ao  de  que  a  soma  dos  ˆangulos  internos  de  um  triˆangulo  ´e  in- versamente  proporcional  `a  sua  ´area,  em  uma  geometria  onde  n˜ao  vale  o  Quinto  Postulado. Apesar de suas contribui¸c˜oes no campo da geometria, Lambert ´e mais conhecido no mundo matem´atico pela prova rigorosa que fez da irracionalidade do nu´mero π.

Lambert  nasceu  em  1728  em  Mu¨lhausen  na  Fran¸ca  e  morreu  em  1777  em  Berlim  na Alemanha.

 

 

Figura 50: Tela de Johann Heinrich Lambert.

 

Adrien Marie Legendre.

Legendre escreveu um tratado de geometria intitulado “El´ements de G´eom´etrie” em 1794, que  serviu  de  texto  b´asico  no  ensino  de  geometria  durante  muitas  d´ecadas  na  Europa.  Foi nesse trabalho que Legendre voltou-se para a quest˜ao do “Problema das Paralelas” e, assim como seus antecessores, tentou demonstrar o Quinto Postulado a partir dos quatro primeiros. Em  uma  de  suas  demonstra¸c˜oes  ele  admitiu  que,  a  partir  de  um  ponto  no  inteiror  de  um ˆangulo  n˜ao  degenerado,  cuja  medida  n˜ao  ´e  superior  a  60,  ´e  poss´ıvel  tra¸car  uma  reta  que intersecta os dois lados desse ˆangulo.  Embora pare¸ca evidente, essa proposi¸c˜ao ´e equivalente ao pr´oprio Quinto Postulado de Euclides e, desta forma, do ponto de vista l´ogico-dedutivo, assumi-la significa assumir o Quinto Postulado.  Embora Legendre n˜ao tenha feito progressos no “Problema das Paralelas”, seu trabalho no campo da geometria foi magistral do ponto de vista did´atico e da clareza de racioc´ınio com que demonstrou diversos teoremas da Geometria Euclidiana.

Legendre nasceu em 1752 em Paris, na Fran¸ca, e morreu em 1833 no mesmo local.

Figura 51: Tela de Adrien Marie Legendre.

 

Johann Carl Friedrich Gauss.

Gauss tomou conhecimento logo cedo, por volta dos quinze anos de idade, do “Problema das Paralelas” e, assim como seus antecessores, de in´ıcio tentou demonstrar o Quinto Postu- lado a partir dos quatro primeiros.  No entanto, logo convenceu-se de que tal demonstra¸c˜ao n˜ao  era  poss´ıvel.   Embora  n˜ao  haja  registros,  ´e  poss´ıvel  que  Gauss  tenha  lido  os  trabalhos de Saccheri, Lambert e Legendre sobre o “Problema das Paralelas” e tomado conhecimento dos v´arios teoremas de geometrias n˜ao euclidianas constantes desses trabalhos.  Embora n˜ao tenha  publicado  nada  sobre  esse  assunto  sabe-se,  por  meio  de  numerosas  correspondˆencias que Gauss mantinha com diversos matem´aticos da ´epoca, que ele desenvolveu uma s´erie de

 

 

resultados de Geometria Hiperb´olica e, certamente, foi o primeiro matem´atico a reconhecer a existˆencia de uma geometria consistente diferente da euclidiana.  Talvez a n˜ao publica¸c˜ao de tais resultados tenha sido motivada pelo receio da n˜ao aceita¸c˜ao de uma geometria diferente da cl´assica e da contesta¸c˜ao da filosofia de Kant, adotada pela igreja, que coloca o universo como euclidiano.

O termo “n˜ao euclidiana” ´e de Gauss.  Em 1824, em carta a F. A. Taurinus, declara que “se  supusermos  que  a  soma  das  medidas  dos  ˆangulos  internos  de  um  triˆangulo ´e  menor  do que  180o  (o  que  equivale  a  considerar  uma  das  nega¸c˜oes  do  Quinto  Postulado),  ´e  poss´ıvel desenvolver uma longa s´erie de resultados n˜ao contraditorios que constituem uma geometria n˜ao euclidiana”.

Gauss foi um dos maiores matem´aticos que j´a existiram e possui contribui¸c˜oes em diversas

´areas  dessa  ciˆencia.   Nasceu  em  1777  em  Brunswick  na  Alemanha  e  morreu  em  1855  em G¨ottingen, tamb´em na Alemanha.

Figura 52: Tela de Johann Carl Friedrich Gauss.

 

J´anos  Bolyai.

O  hu´ngaro  J´anos  Bolyai  ´e  filho  de  um  amigo  de  Gauss,  chamado  Farkas  Bolyai  (1775- 1856), que tentou demonstrar o Quinto Postulado de Euclides a partir dos quatro primeiros. Talvez, por isso, J´anos tenha tentado logo cedo resolver o “Problema das Paralelas”.  Assim como  Gauss,  o  jovem  J´anos  logo  se  convenceu  da  impossibilidade  de  tal  demonstra¸c˜ao  e passou a admitir e a desenvolver diversos resultados de Geometria Hiperb´olica.

Figura  53:  Tela  de  J´anos  Bolyai.

J´anos publicou, em latim, o fruto de seu trabalho sob o t´ıtulo Ciˆencia do Espa¸co Absoluto

(6), em 1832, como um apˆendice de um livro did´atico escrito por seu pai, intitulado Tentamen.

6Uma tradu¸c˜ao para o inglˆes do trabalho “Ciˆencia do Espaco Absoluto” de J´anos Bolyai pode ser encon- trada  no  final  da  referˆencia:

 

 

Um  fato  curioso  na  hist´oria  de  J´anos  se  deu  quando  seu  pai  Farkas  enviou  uma  c´opia do Tentamen para que seu amigo Gauss avaliasse o brilhante trabalho de seu filho. No entanto, ao contr´ario do esperado elogio do eminente matem´atico, Farkas recebeu uma carta de  Gauss  na  qual  este  diz  que  elogiar  o  trabalho  de  J´anos  seria  o  mesmo  que  elogiar  a si  pr´oprio,  uma  vez  que  a  maioria  dos  resultados  descobertos  por  J´anos  j´a  haviam  sido descobertos por ele mesmo anos antes. Entretanto, Gauss escreveu que estava feliz e surpreso pelo  fato  de  esses  resultados  de  Geometria  Hiperb´olica  terem  sido  descobertos  de  modo independente pelo prodigioso filho de um ilustre amigo. Naturalmente, a carta de Gauss provocou  profundo  descontentamento  em  J´anos,  que  passou  a  cultivar  profunda  avers˜ao  ao “Pr´ıncipe dos Matem´aticos”.

J´anos nasceu 1802 em Kolozsv´ar na Hungria (hoje ´e uma cidade da Romˆenia) e morreu em 1860 in Marosv´as´arhely na Hungria (hoje, tamb´em Romˆenia).

 

 

 

Nikolai Ivanovich Lobachewsky.

Assim como seus antecessores, Lobachewsky tentou demonstrar o Quinto Postulado de Euclides a partir dos quatro primeiros e logo se convenceu da impossibilidade desse feito. A partir  de  ent˜ao,  passou  a  reconhecer  a  existˆencia  e  a  desenvolver,  de  forma  independente, resultados  de  uma  nova  geometria,  a  Hiperb´olica,  diferente  da  Euclidiana,  denominada  por ele  de  pangeometria   ou  geometria  imagin´aria.   Em  1826  chegou  a  proferir  palestra  sobre a  existˆencia  de  geometrias  n˜ao  euclidianas  na  Universidade  de  Kazan  onde  foi  professor  e reitor. Em 1829, Lobachewsky publicou um trabalho, em russo, sobre suas descobertas mas quase que completamente ignorado pela comunidade cient´ıfica russa e completamente ignorado no restante do mundo. Entretanto, cronologicamente, trata-se da primeira pu- blica¸c˜ao de uma geometria cujo autor admite ser n˜ao euclidiana.  Posteriormente, em busca do reconhecimento de seu trabalho, Lobachewsky publicou uma vers˜ao em alem˜ao em 1840, intitulada  Pesquisas  Geom´etricas  Sobre  a  Teoria  das  Paralelas  (7),  chegando  `as  m˜aos  de Gauss, que ficou mais uma vez surpreso com o fato de Lobachewsky ter descoberto os mesmos resultados  de  forma  independente.    Al´em  disso,  Gauss  tamb´em  se  superpreendeu  com  a forma  como  os  teoremas  da  Geometria  Hiperb´olica  foram  demonstrados  por  Lobachewsky, de  modo  totalmente  diferente  dos  seus,  chegando  a  afirmar  em  correspondˆencia  para  um amigo astrˆonomo, de nome Schumacher, que o livro de Lobachewsky continha uma exposi¸c˜ao admir´avel  de  toda  a  teoria  de  Geometria  Hiperb´olica.  Em  1866,  dez  anos  ap´os  sua  morte, uma vers˜ao em francˆes de seu trabalho foi publicada.

Lobachewsky nasceu em 1792 em Nizhny na Ru´ssia e morreu em 1856 em Kazan, tamb´em na Russia.

 

 

 

 

Bonola,

  1. Non-Euclidean Geometry: a critical and historical study of its development. New York.

 

Dover Publications, Inc. 1955.

7Uma  tradu¸c˜ao  para  o  inglˆes  do  trabalho  “Pesquisas  Geom´etricas  Sobre  a  Teoria  das  Paralelas”,  de Lobachewsky,  pode  ser  encontrada  no  final  da  referˆencia:

 

Bonola,

  1. Non-Euclidean Geometry: a critical and historical study of its development. New York.

 

Dover Publications, Inc. 1955.

 

 

Figura 54: Tela de Nikolai Ivanovich Lobachewsky.

 

Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Riemann generalizou as geometrias n˜ao euclidianas por meio do conceito de curvatura e fundamentou  a  Geometria  El´ıptica,  que  pode  ser  obtida,  do  ponto  de  vista  axiom´atico,  da nega¸c˜ao  do  Quinto  Postulado  de  Euclides,  que  conduz  `a  n˜ao  existˆencia  de  retas  paralelas, e  `a  substitui¸c˜ao  do  Segundo  Postulado  de  Euclides  por  postulados  que  permitem  que  uma reta  seja  finita  (Axiomas  de  Separa¸c˜ao).  Com  isso,  a  geometria  sobre  uma  esfera,  que  sob certas  restri¸c˜oes  serve  de  modelo  para  a  Geometria  El´ıptica,  desvinculou-se  como  parte  da Geometria Euclidiana Espacial e passou a ter vida pr´opria.

O  trabalho  de  Riemann  sobre  geometria  est´a  muito  al´em  da  simples  generaliza¸c˜ao  das trˆes geometrias de espa¸co homogˆeneo (curvatura gaussiana constante (8)).  Ele introduziu as hoje  chamadas  Geometrias  Riemannianas  que  podem,  inclusive,  n˜ao  ser  homogˆeneas  e  que foram, posteriormente, utilizadas na Teoria da Relatividade de Albert Einstein em 1906.

Riemann nasceu em 1826 em Breselenz na Alemanha e morreu em 1866 em Selasca na It´alia, v´ıtima de tuberculose.

Figura 55: Foto de Georg Friedrich Bernhard Riemann.

 

 

8A defini¸c˜ao rigorosa de curvatura gaussiana de uma superf´ıcie requer a introduc˜ao de defini¸c˜oes e resul-

tados  de  geometria  diferencial  e  pode  ser  encontrada  nas  p´aginas  de  164  a  167  da  referˆencia:

Tenenblat, K. Introdu¸c˜ao `a Geometria Diferencial.  Bras´ılia:  Editora da Universidade de Bras´ılia.  1988. Geometricamente, a curvatura gaussiana em um ponto de uma superf´ıcie suave indica, de um certo modo,

o  quanto  essa  superf´ıcie  afasta-se  de  seu  plano  tangente  em  uma  vizinhan¸ca  desse  ponto.   Uma  superf´ıcie que possui curvatura gaussiana constante em qualquer um de seus pontos possui a propriedade de ser homogˆenea,  ou  seja,  intrisecamente  n˜ao  h´a  pontos  “especiais”,  qualquer  um  de  seus  pontos  possuem  as mesmas  propriedades  e  s˜ao  indistingu´ıveis.   Exemplos  de  superf´ıcies  com  curvatura  gaussiana  constante  e positiva  s˜ao  as  esferas  euclidianas  e,  com  curvatura  gaussiana  nula, ´e  o  plano  euclidiano.

 

 

Eugenio Beltrami.

Embora  a  grande  maioria  dos  teoremas  de  Geometria  Hiperb´olica  j´a  estivesse  estabele- cida  na  segunda  metade  do  s´eculo  XIX,  o  problema  da  consistˆencia  de  tal  geometria  ainda n˜ao havia sido resolvido.  Havia a preocupa¸c˜ao sobre a garantia da impossibilidade de se en- contrar,  no  futuro,  durante  o  desenvolvimento  da  Geometria  Hiperb´olica,  uma  contradi¸c˜ao l´ogica na teoria, ou seja, um resultado verdadeiro cuja nega¸c˜ao tamb´em pudesse ser provada verdadeira.  O  problema  foi  resolvido  mediante  a  introdu¸c˜ao  de  modelos  euclidianos  para  a Geometria  Hiperb´olica,  isto  ´e,  superf´ıcies  nas  quais  as  retas  s˜ao  definidas  de  modo  que  os axiomas  da  Geometria  Hiperb´olica  passam  a  ser  interpretados  e  aceitos  como  verdadeiros. Desta forma, uma contradi¸c˜ao na Geometria Hiperb´olica seria automaticamente transferida para a Geometria Euclidiana, que ´e considerada consistente.

Beltrami foi o primeiro a introduzir um tal modelo parcial para a Geometria Hiperb´olica, em 1868, em um artigo intitulado “Essay on an Interpretation of Non-euclidean Geometry”. Tal modelo faz uso da pseudoesfera, superf´ıcie de revoluc¸˜ao da curva denominada tratriz  em torno de sua ass´ıntota.

Beltrami nasceu em 1835 em Cremona no Imp´erio Austr´ıaco (atualmente, It´alia) e morreu em 1900 em Roma, na It´alia.

Figura 56: Foto de Eugenio Beltrami.

 

Felix Christian Klein.

O  modelo  de  Beltrami  da  pseudoesfera  para  a  Geometria  Hiperb´olica  n˜ao  era  total- mente adequado devido ao fato de ser parcial, ou seja, representava apenas parte do plano hiperb´olico,  impedindo  que  as  retas  hiperb´olicas  fossem  convenientemente  estendidas  ao infinito, como reza o Segundo Postulado de Euclides. Deste modo, a busca por modelos completos para a Geometria Hiperb´olica passou a ser um preocupa¸c˜ao dentre os geˆometras no final do s´eculo XIX.

Felix Klein foi um eminente geˆometra que publicou em 1871 dois artigos sobre geometrias n˜ao euclidianas, nas quais introduziu um modelo completo (9) para a Geometria Hiperb´olica (Modelo do Disco de Klein) e dois modelos para a Geometria El´ıptica (Modelo do Disco

9Os modelos completos para a Geometria Hiperb´olica imersos no Espa¸co Euclidiano n˜ao possuem m´etrica induzida da Geometria Euclidiana  (geometricamente,  uma  superf´ıcie  possui  m´etrica  induzida  da  m´etrica  do espa¸co no qual ela est´a inserida quando o comprimento de qualquer curva dessa superf´ıcie ´e computado como sendo o comprimento dessa curva quando vista como curva do espa¸co.  Assim, se uma esfera de raio  r possui m´etrica  induzida  da  m´etrica  usual  do  espa¸co  euclidiano,  ent˜ao  um  arco  de  circunferˆencia  ligando  pontos ant´ıpodas da esfera ter´a comprimento  πr).  Neste caso, a no¸c˜ao de medida ´e diferente da euclidiana e faz com que  as  retas  hiperb´olicas,  ao  contr´ario  do  modelo  da  pseudoesfera,  n˜ao  sejam  geod´esicas  euclidianas  (curva de  menor  comprimento  euclidiano  que  une  dois  pontos,  descrita  sobre  uma  superf´ıcie)  sobre  a  superf´ıcie  do modelo.

 

 

Fechado e Modelo Duplo da Esfera). Talvez o trabalho mais conhecido de Klein seja o es- tudo das propriedades do espa¸co que s˜ao invariantes por um dado grupo de transforma¸c˜oes, trabalho este conhecido como “Erlanger Programm”, de 1872, e que influenciou profunda- mente o desenvolvimento da geometria no s´eculo XX.  Por fim, cabe ressaltar que os termos “hiperb´olica” e “el´ıptica” para as duas geometrias n˜ao euclidianas homogˆeneas foram intro- duzidos por Klein.

Figura 57: Foto de Felix Christian Klein.

Klein nasceu em 1849 em Du¨sseldorf na Pru´ssia (hoje, Alemanha) e morreu em 1925 em G¨ottingen na Alemanha.

Jules  Henri  Poincar´e.

Poincar´e ´e um dos maiores matem´aticos de todos os tempos e ´e considerado o u´ltimo uni- versalista em matem´atica, ou seja, uma pessoa que detinha conhecimento profundo de todas as ´areas da matem´atica.  Possui contribui¸c˜oes significativas em diversas ´areas da matem´atica e,  dentre  elas,  a  geometria.   No  final  do  s´eculo  XIX,  ap´os  estudo  de  trabalhos  de  Lazarus Fuchs, Poincar´e introduziu dois modelos euclidianos para a Geometria Hiperb´olica enquanto pesquisava grupos de transforma¸c˜oes automorfas do plano no plano que s˜ao raz˜oes de trans- forma¸c˜oes  afins  de  uma  vari´avel  complexa.   Tais  grupos  s˜ao  conhecidos  atualmente  como grupos  fuchsianos.   Os  modelos  completos  introduzidos  por  Poincar´e  s˜ao  amplamente  uti- lizados  no  estudo  e  no  ensino  de  Geometria  Hiperb´olica  e  s˜ao  conhecidos  como  Modelo  do Semiplano Superior e Modelo do Disco de Poincar´e.

Poincar´e nasceu em  1854 em Nancy na Franca e morreu em 1912 em Paris, tamb´em na Fran¸ca.

Figura  58:  Foto  de  Jules  Henri  Poincar´e.

 

Com o trabalho de David Hilbert (que apresentamos no primeiro cap´ıtulo) encerra-se talvez  o  mais  longo  problema  em  aberto  na  Matem´atica,  o  “Problema  das  Paralelas”  que, conforme  vimos,  ironicamente,  foi  introduzido  pelo  pr´oprio  Euclides  e  resistiu  por  cerca  de 2200 anos!

 

  • O Axioma Euclidiano das Paralelas

A Existˆencia e Unicidade da Paralela

 

Axioma  A10.   (das  Paralelas)  Em  um  plano,  por  um  ponto  P  n˜ao  pertencente  a  uma reta r, pode-se tra¸car uma u´nica reta paralela a r passando por P.

Figura  59:  A  reta  s ´e  u´nica.

Vamos indicar duas retas r e s paralelas por r//s.

Observemos  que  a  importˆancia  do  axioma  acima  reside  na  unicidade  da  paralela  e  n˜ao em sua existˆencia.  De fato,  vimos no cap´ıtulo anterior que a existˆencia de retas paralelas ´e garantida sem o aux´ılio do axioma da paralelas.

 

Teorema 2.1 (transitividade do paralelismo) Duas retas distintas paralelas a uma mesma reta  s˜ao  paralelas.

 

Demonstra¸c˜ao.

Suponha  que  r  e  s  s˜ao  as  retas  distintas  paralelas  `a  reta  t.  Suponhamos,  por  absurdo, que r e s n˜ao sejam paralelas.

Seja  P  o  ponto  de  interse¸c˜ao  de  r  e  s.  Da´ı,  P  ∈/  t,  r  ´e  paralela  a  t  passando  por  P  e  s

´e  paralela  a  t  passando  por  P,  o  que  contradiz  a  unicidade  determinada  pelo  Axioma  das

Paralelas.

Portanto, r e s s˜ao paralelas.                                                                                                                                         Q

Observemos  a  consequˆencia  imediata  da  transitividade  do  paralelismo:   se  uma  reta  t

intersecta uma de duas paralelas, ent˜ao t intersecta a outra.

 

Teorema  2.2  Se uma reta transversal intersecta duas retas paralelas, ent˜ao os ˆangulos cor- respondentes  s˜ao  congruentes.

 

Demonstra¸c˜ao.

Sejam  α  e  β  medidas  de  ˆangulos  correspondentes  e  t  reta  transversal  `as  retas  paralelas

s e r conforme figura.

 

s m r

 

 

Figura 60: Figura auxiliar.

^                 ^

Suponhamos, por absurdo, que α e β sejam diferentes. Sejam {P} = s ∩ t e {Q} = r ∩ t.

Ent˜ao, pelo Axioma A7, existe um ˆangulo QPR tal que QPR = β.  Consideremos a reta

m = ←P→R  que ´e, portanto, distinta de s.

 

 

Pelo Teorema 1.13 m ´e paralela a r.  Logo, m e s s˜ao paralelas a r passando por P, o que contradiz a unicidade do Axioma das Paralelas.

Portanto, os ˆangulos correspondentes de medidas α e β s˜ao congruentes.                                                                                                                                              Q

Consequˆencia  dos  dois  teoremas  acima  ´e  que  se  uma  reta  t  intersecta  uma  de  duas paralelas ortogonalmente, entao t intersecta a outra tamb´em ortogonalmente.

 

O  teorema  abaixo  ´e  central  na  Geometria  Euclidiana.   A  caracteriza¸c˜ao  da  soma  dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e um dos resultados mais lembrados pelos estudantes.  Na verdade, este teorema ´e equivalente ao pr´oprio axioma das paralelas.

 

Teorema  2.3  A soma das medidas dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e a medida de um ˆangulo  raso.

 

←→

Demonstra¸c˜ao.

Sejam  ABC  um  triˆangulo  e  r  a  reta  paralela  `a  reta  BC  passando  por  A.  Consideremos

α, β e γ a medidas dos ˆangulos A^ , B^ e C^, respectivamente, como na figura abaixo.

A      E      r

D            g

b a

 

b         g     C

B

Figura 61: Figura auxiliar.

^               ^

Pelo teorema acima DAB = β e EAC = γ.  Logo, α + β + γ = 180o, como quer´ıamos.Q

Como  consequˆencia  imediata  do  teorema  acima  temos  que  os  ˆangulos  agudos  de  um triˆangulo retˆangulo s˜ao complementares.  Tamb´em ´e consequˆencia que a medida de um ˆangulo externo  de  um  triˆangulo ´e  igual  `a  soma  das  medidas  dos  ˆangulos  internos  n˜ao  adjacentes  a ele.

 

Quadril´ateros

 

Vimos que um pol´ıgono de quatro lados recebe o nome de quadril´atero.

Um  segmento  ligando  dois  v´ertices  de  um  quadril´atero  que  n˜ao  s˜ao  extremos  de  um mesmo  lado  ´e  chamado  de  diagonal  do  quadril´atero.   Observemos  que  um  quadril´atero possui duas diagonais.

Como  todo  quadril´atero  pode  ser  dividido  em  dois  triˆangulos  por  meio  de  uma  de  suas diagonais,  temos  como  consequˆencia  do  teorema  acima  que  a  soma  dos  ˆangulos  internos  de um quadril´atero ´e a soma de dois ˆangulos rasos.

Dois lados de um quadril´atero que n˜ao possuem v´ertice comum s˜ao chamados de  lados opostos do quadril´atero.  Caso contrario, lados consecutivos.  Analogamente, ˆangulos que n˜ao compartilham um mesmo lado de um quadril´atero s˜ao chamados de ˆangulos  opostos do quadril´atero.  Caso contr´ario, ˆangulos  consecutivos.

Um  quadril´atero  com  um  par  de  lados  opostos  paralelos  ´e  chamado  de  trap´ezio.   Se os  outros  dois  lados  forem  congruentes  e  n˜ao  paralelos,  o  trap´ezio ´e  chamado  de  trap´ezio is´osceles.

 

 

Um  quadril´atero  com  os  dois  pares  de  lados  opostos  paralelos ´e  chamado  de  paralelo- gramo.

Um quadril´atero com os quatro lados congruentes ´e chamado de losango  ou rombo.

Um quadril´atero com os quatro ˆangulos internos congruentes (portanto, retos) ´e chamado de retˆangulo.

Um quadril´atero com os quatro lados e os quatro ˆangulos internos congruentes (portanto, losango e retˆangulo) ´e chamado de quadrado.

 

 

 

(1)

(2)

(3)

 

 

 

 

 

(4)

(5)

(6)

 

Figura  62:  A  partir  do  canto  superior  esquerdo:  (1)  trap´ezio  (n˜ao  is´osceles);  (2)  trap´ezio is´osceles;  (3)  paralelogramo;  (4)  losango;  (5)  retˆangulo  e  (6)  quadrado.

E´  f´acil provar com os teoremas que temos at´e aqui o seguinte diagrama:

 

E´  um  exerc´ıcio  f´acil  provar,  utilizando  os  teoremas  acima,  que  lados  opostos  de  um  pa-

ralelogramo  s˜ao  congruentes.  Com  esse  resultado  aplicado  aos  retˆangulos,  ´e  muito  simples

provar  que  se  r  e  s  s˜ao  retas  paralelas  e  P, Q  ∈ r,  ent˜ao  d (P, s)  =  d (Q, s)  (fa¸ca!).   E´  jus-

tamente essa conclus˜ao que  permite que consideremos retas  paralelas como sendo “equidis-

tantes”.

Portanto, podemos definir de modo preciso a distˆancia  entre duas retas r e s paralelas como  sendo  a  distˆancia  de  qualquer  ponto  de  uma  reta  at´e  a  outra  reta,  ou  seja,  d (r, s) = d (P, s) sendo P ∈ r ponto qualquer de r.

r s

 

Figura  63:  Distˆancia  entre  retas  paralelas.

 

Teorema  2.4  O  segmento  com  extremos  nos  pontos  m´edios  de  dois  lados  de  um  triˆangulo

´e  paralelo  ao  terceiro  lado  e  possui  a  metade  de  seu  comprimento.

 

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABC um triˆangulo com D e E os pontos m´edios de AB e AC, respectivamente.

 

 

 

 

 

 

B

Figura 64: Figura auxiliar.

 

2
^         ^

Vamos mostrar que DE ´e paralelo a BC e que DE =  1BC. Seja F o ponto da semirreta oposta a −ED tal que DE = EF.

^         ^

Temos que AED = FEC, pois s˜ao ˆangulos opostos pelo v´ertice.

^        ^

Logo,  DE = EF,  AED = FEC  e  AE = EC,  donde  os  triˆangulos  ADE  e  CFE  s˜ao  congru- entes pelo caso LAL. Da´ı, FC = AD = DB.

Al´em disso, ADE = EFC.  Logo, pelo Teorema 1.13, AD ´e paralelo a FC.

^             ^

O  triˆangulo  DFC  ´e  congruente  ao  triˆangulo  CBD  pelo  caso  LAL  pois,  pelo  Teorema

  • tem-se que  mCDF  =  mDCB.   Desta  congruˆencia  segue  que  DF  =  BC,  o  que  implica
2

DE = 1BC.

Novamente pelo Teorema 1.13 conclu´ımos que DF ´e paralelo a BC, ou seja, DE ´e paralelo a BC.                                                                                                                                        Q

Tales

 

Para  o  pr´oximo  teorema  dizemos  que  duas  retas  r  e  s  determinam  um  segmento  sobre uma  reta  t  quando  t  ´e  transversal  a  r  e  a  s,  e  os  extremos  do  segmento  s˜ao  os  pontos  de intersec¸c˜ao de t com r e s.

 

Teorema  2.5  Se  trˆes  ou  mais  retas  paralelas  determinam  segmentos  congruentes  em  uma transversal,  ent˜ao  elas  determinam  segmentos  congruentes  em  qualquer  outra  transversal.

 

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos uma transversal m intersectando as retas paralelas r, s e t nos ponto A, B e C, respectivamente, com AB = BC.

Seja n uma outra transversal intersectando estas retas nos ponto D, E e F, respectiva- mente. Mostremos que DE = EF.

Consideremos, primeiramente, o caso em que m e n n˜ao s˜ao paralelas.

 

A                           D              r

 

B           G                            E         s

 

C          I        H                            F   t

 

n
n
m
n

2              1

Figura 65: Figura auxiliar.

 

 

Seja  n1  a  reta  paralela  a  n  que  passa  por  A  e  sejam  G  e  H  os  pontos  de  interse¸c˜ao  de n1 com s e t, respectivamente. E, seja n2 a reta paralela a n passando por B e I o ponto de interse¸c˜ao de n2 com t.

Assim, temos os paralelogramos ADGE e BIFE. Como os lados opostos dos paralelo- gramos s˜ao congruentes temos que AG = DE e BI = FE.

 

^          ^
Pelo Teorema 2.2 temos que AB^G = BC^I pois s e t s˜ao paralelas cortadas pela transversal

m.

Analogamente, BAG = CBI pois n1 e n2 s˜ao paralelas cortadas pela transversal m.

Juntamente  com  AB  =  BC  temos,  pelo  caso  ALA,  que  os  triˆangulos  ABG  e  BCI  s˜ao

congruentes. Logo, AG = BI.

Como j´a t´ınhamos que AG = DE e BI = FE ent˜ao DE = FE.

Consideremos agora o caso em que as transversais se intersectam em um ponto A da reta

r.

Seja n1 a reta que passa por B, paralela a n e que intersecta t em I (veja figura abaixo

`a esquerda).

Analogamente ao caso anterior temos que os triˆangulos ABE e BCI s˜ao congruentes por ALA  e,  portanto,  AE  =  BI.  Como  BIFE  ´e  um  paralelogramo  temos  BI  =  FE.  Portanto, AE = EF, isto ´e, DE = EF.

No caso em que m e n s˜ao paralelas, como na figura abaixo a direita, o resultado decorre imediatamente do fato dos lados opostos de paralelogramos serem congruentes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m                   n

Figura 66: Figura auxiliar.

 

Com isso, a demonstra¸c˜ao se encerra.                                                                                                                                         Q

 

Como  consequˆencia  do  teorema  acima  e  do  Axioma  A4  temos  que  o  encontro  das  me- dianas  de  um  triˆangulo  ocorre  em  um  u´nico  ponto  que  as  divide  na  raz˜ao  2  para  1.   Mais precisamente:

 

 

3

Teorema  2.6  As medianas de um triˆangulo intersectam-se em um u´nico ponto.  Este ponto dista  de  cada  v´ertice  2  do  comprimento  da  medina  relativa  a  esse  v´ertice.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja  ABC  um  triˆangulo  qualquer  e  AM1,  BM2,  CM3  as  medianas.   Seja  X  o  ponto  de interse¸c˜ao entre BM2 e CM3. Consideremos os pontos m´edios D e E de BX e CX, respecti- vamente.

 

A

 

 

 

M
M

3

2

 

X

D                           E

M

B                                                               C

1

Figura 67: Figura auxiliar.

 

2

Como AM3 = BM3 e AM2 = CM2 ent˜ao, pelo Teorema 2.4, M2M3ǁBC e M2M3 =  1BC.

2

Analogamente, XD = BD e XE = CE entao DEǁBC e DE = 1BC. Da´ı, M2M3ǁDE e

ˆ               ^           ^            ^

M2M3 = DE.

Pelo Teorema 2.2 DM2M3 = M2DE e M2XM3 = DXE, pois s˜ao opostos pelo v´ertice. Da´ı, os triˆangulos DEX e M2M3X s˜ao congruentes pelo caso LAA0 donde DX = XM2 e

3

M3X = XE. Ent˜ao BM2 = 3DX e portanto, BX =  2BM2.

3

Analogamente, CX = 2BM3. Logo, a mediana BM2 intercepta a mediana CM3 num ponto X tal que BX = 2XM2.

Tomando as medianas AM1 e BM2 e sendo Y  o ponto de interse¸c˜ao entre AM1 e BM2,

de modo an´alogo conclu´ımos que BY =  2BM2 e AY =  2AM1.

3                                        3

Seja ϕ um sistema de coordenadas tal que ϕ (B) < ϕ (M ) . Da´ı, BX = 2BM = BY =

2                                        3            2                                          ⇒

 

ϕ (X) − ϕ (B) = ϕ (Y) − ϕ (B) . Da injetividade de ϕ conclu´ımos que X = Y.

Portanto AM1 ∩ BM2 ∩ CM3 = {X} e AX =  2AM1, BX =  2BM2, CX =  2BM3, como

quer´ıamos demonstrar.                                                                                                                                                   Q

O  ponto  que  ´e  encontro  das  medianas  de  um  triˆangulo  ´e  chamado  de  baricentro  ou centroide  do triˆangulo.  Em estudos mais avan¸cados prova-se que o baricentro ´e o “centro de massa” ou “ponto de equil´ıbrio” do triˆangulo.

CD
=
m

Lema  2.1  Dados  dois  segmentos  AB  e  CD,  temos   AB            n   onde  n  e  m  s˜ao  nu´meros

inteiros positivos se, e somente se, existe um segmento de comprimento c tal que AB = nc

e CD = mc.

 

Demonstra¸c˜ao.

Sejam dados dois segmentos AB e CD e os nu´meros positivos n e m tais que  AB  =   n .

CD          m

Sejam, P0 = A, P1, …, Pn = B n pontos em AB tais que P0P1 = P1P2 = … = Pn−1Pn (ou

seja, estamos dividindo o segmento AB em n partes iguais). Seja c o comprimento de tais segmentos.

Ent˜ao,  AB  =   n  =   nc .

CD          m         mc

Como, por constru¸c˜ao, AB = nc ent˜ao CD = mc.

A rec´ıproca ´e imediata.                                                                                                                                              Q

Teorema  2.7  (Tales) Se duas retas r e s s˜ao transversais a um feixe de retas paralelas (10), ent˜ao  a  raz˜ao  entre  os  comprimentos  de  dois  segmentos  quaisquer  determinados  pelo  feixe sobre  r ´e  igual  a  raz˜ao  entre  os  comprimentos  dos  segmentos  correspondentes  determinados pelo feixe sobre s.

10Feixe de retas neste enunciado tem o mesmo sentido de conjunto de retas.

 

 

 

 

t
t

1

 

t

2        A1 A2

3           B1 B2

 

t

n

= A2 A3

B2 B3

 

= ⋯ =

 

An–1 An

Bn–1 Bn

 

 

Figura 68: Teorema de Tales.

Demonstra¸c˜ao.

Sejam AB e CD dois segmentos de r e AjBj e CjDj os respectivos segmentos correspon- dentes em s.

Queremos mostrar que AB = AjBj .

CD          CjDj                                         AB

 

Consideremos, primeiramente, o caso em que

inteiros positivos tais que AB =  n .

CD   ´e  racional,  ou  seja,  existem  m  e  n

 

CD          m

Da´ı, pelo Lema anterior, existe um segmento de comprimento c tal que AB = nc e

CD = mc.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 69: Figura auxiliar.

Pelo Teorema 2.5, existe d inteiro positivo tal que AjBj = nd e CjDj = md.

 

Logo, AB = nc

= n = nd

= AjBj .

 

CD          mc

  • md

CjDj           AB

 

Consideremos, agora, o caso em que

Seja n um inteiro qualquer.

CD  ´e um nu´mero irracional.

 

Entao, existe um segmento de comprimento c tal que CD = nc (ou seja, estamos di- vidindo CD em n partes iguais e chamando o comprimento de cada parte de c).

 

CD

Por AB

ser  irracional,  ou  seja,  n˜ao  existir  um  segmento  submu´ltiplo  comum  de  AB  e

 

CD,  ent˜ao,  marcando  sucessivamente  c  em  AB  um  certo  nu´mero  inteiro  m  de  vezes  temos

mc < AB < (m + 1) c. Assim, m < AB < m+1.

n          CD             n

m + 1 {            1

n                                                   n

Figura 70: Figura auxiliar.

 

n

Pelo Teorema 2.5 temos que CjDj = nd e md < AjBj < (m + 1) d. Da´ı, m

AjBj CjDj

 

<
<

(m+1), ou seja, −(m+1) < −AjBj   < −m.

 

  • n
.

Assim, m(m+1)

CjDj

< AB − AjBj

n

<  m+1 −  m,  isto  ´e,  − 1

< AB − AjBj

< 1 e, portanto,

 

AB

AjBj .n       1      n

 

CD          CjDj               n              n

 

 

 

n           CD

 

 

 

CjDj            n

 

CD − CjDj   = n.                            

CD
CjDj
CD
CjDj

Como  n  ´e  um  inteiro  positivo  qualquer  (ent˜ao  podemos  tom´a-lo  t˜ao  “grande”  quanto quisermos) segue que . AB − AjBj . = 0. Portanto, AB = AjBj .                                                                                                                                           Q

  • O Conceito  de  Semelhan¸ca

Triˆangulos Semelhantes

 

Intuitivamente,  dois  objetos  s˜ao  semelhantes  quando  s˜ao  “iguais  a  menos  de  escala”. Exemplos cotidianos bem simples podem ser encontrados em brinquedos, em que miniaturas de carros, casas e pessoas (bonecos) s˜ao semelhantes aos originais.

Nesta se¸c˜ao vamos trabalhar com o conceito de semelhan¸ca envolvendo triˆangulos.  Trata- se de um caso particular da defini¸c˜ao geral de semelhan¸ca que comentaremos no final desta se¸c˜ao.

 

Dois triˆangulos s˜ao ditos semelhantes quando for poss´ıvel estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca  entre  seus  v´ertices  de  tal  modo  que  lados  correspondentes  tenham  medidas  pro- porcionais e ˆangulos correspondentes tenham a mesma medida.

 

Assim, os triˆangulos ABC e DEF s˜ao semelhantes quando existir uma bije¸c˜ao ϕ : {A, B, C}

{D, E, F} tal que

 

 

d (A, B) = k.d (ϕ (A) , ϕ (B))

d (A, C) = k.d (ϕ (A) , ϕ (C))

d (B, C) = k.d (ϕ (B) , ϕ (C))

A^ = ϕ(A^ ) C^ = ϕ(C^)

 

^         ^B = ϕ(B)
e

sendo k > 0 a constante de proporcionalidade das medidas dos lados, chamada de raz˜ao  de semelhan¸ca  do triˆangulo ABC para o triˆangulo DEF.

Se tivermos, por exemplo, que ϕ (A) = D, ϕ (B) = E e ϕ (C) = F, as igualdades acima tornam-se

 

AB = k.DE AC = k.DF BC = k.EF

 

A^ = D^

^     ^B = E
f´acil  verificar  que  se  k ´e  a  raz˜ao  de  semelhan¸ca  de  ABC  para  DEF,  ent˜ao  1  ´e  a  raz˜ao
e

C^ = ^F

 

de semelhan¸ca de DEF para ABC.

D

 

 

 

 

B                      C      E

ka                 F

 

Figura 71: Triangulos semelhantes.

 

 

 

Quando  k = 1  temos  exatamente  a  defini¸c˜ao  de  congruˆencia  entre  os  triˆangulos  ABC  e

DEF.

 

H´a alguns “casos de semelhan¸ca” que auxiliam na verifica¸c˜ao da defini¸c˜ao acima.

 

 

^    ^

Teorema  2.8  (caso  AAA)  Se  dois  triˆangulos  ABC  e  DEF  s˜ao  tais  que  A C = F,  ent˜ao  ABC ´e  semelhante  a  DEF.

 

^

Demonstra¸c˜ao.

=  D^ ,  B^

=  E^ e

 

→      →

Consideremos  Ej  e  Fj  pontos  de  −AB  e  −AC,  respectivamente,  tais  que  AEj = DE  e  AFj =

DF, conforme a figura abaixo.

A

D

 

 

 

E                           F

B                                           C

Figura 72: Figura auxiliar.

 

^          ^      ^

Como j´a t´ınhamos A^ = D^ ent˜ao,  pelo caso LAL, os triˆangulos  AEjFj  e DEF s˜ao congru-

←→  ←→        ←→     ←→ǁ

entes. Logo, AEjFj = DEF = B.

Da´ı,  pelo  Teorema  1.13  EjFj  BC.  Se  EjFj  =  BC  ent˜ao  EjFj  =  BC  e  da´ı  ABC  e  DEF  s˜ao congruentes, e, portanto, semelhantes.

Da congruˆencia entre AEjFj
AEj
AFj
e AFj = DF. Da´ı, AB = AC.
e DEF temos que AEj = DE

Se ←E→jFj      ←B→C ent˜ao pelo Teorema de Tales  AB  =  AC.                                                                    

Analogamente mostramos que AC = BC. Assim, AB = AC = BC = k. Logo, AB = k.DE,

DF           EF                          DE           DF          EF

AC = k.DF e BC = k.EF. Portanto, ABC e DEF s˜ao semelhantes.                                                                                                                                               Q

Na verdade, o caso acima pode ser chamado de caso “AA” pois conhecendo-se dois dos ˆangulos de um triˆangulo, o terceiro fica univocamente determinado.

 

Exerc´ıcio:  Se uma reta corta dois lados de um triˆangulo dividindo-os na mesma raz˜ao, ent˜ao ela ´e paralela ao terceiro lado.

Resolu¸c˜ao.

AE

Seja ABC um triˆangulo qualquer.  Consideremos a reta ←D→E onde D ´e um ponto entre A

e B, e E um ponto entre A e C com AB          AC

A

Figura 73: Figura auxiliar.

 

 

AD
AB
←→

Seja ←D→Ej a reta passando por D, paralela `a ←B→C e intersectando A←→C em Ej. Pelo Teorema

Mas, por hip´otese temos AE = ACAD. Portanto, AE = AEj. Logo, E = Ej e DE ´e paralela

AB
←→

`a BC.                                                                                                                                                   Q

^     ^

Teorema  2.9  (caso  LAL)  Se  dois  triˆangulos  ABC  e  DEF  s˜ao  tais  que  AB = k.DE,  A = D

e  AC = k.DF,  sendo  k  constante  real  positiva,  ent˜ao  ABC ´e  semelhante  a  DEF.

 

→               →

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos  Ej  em  −AB  e  Fj  em  −AC  tais  que  AEj  =  DE  e  AFj  =  DF  ent˜ao,  pelo  caso

LAL, os triˆangulos AEjFj  e DEF s˜ao congruentes, conforme figura abaixo.

A

D

 

 

 

E                           F

B                                            C

Figura 74: Figura auxiliar.

 

jAE
jAF
←→  ←→            ^        ^        ^ǁ

Logo,  AE^jF  =  E^,  AEj  =  DE  e  AFj  =  DF.  Logo,   AB  =  AC.  Da´ı,  pelo  exerc´ıcio  anterior

EjFj BC donde B = AEjFj = E.

Portanto, pelo caso AAA, os triˆangulos ABC e DEF s˜ao semelhantes.                                                                                                                                              Q

Teorema  2.10  (caso  LLL)  Se  dois  triˆangulos  ABC  e  DEF  s˜ao  tais  que  AB = k.DE,  AC =

k.DF  e  BC = k.EF,  sendo  k  constante  real  positiva,  ent˜ao  ABC ´e  semelhante  a  DEF.

 

→              →

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos  Ej  em  −AB  e  Fj  em  −AC  tais  que  AEj = DE  e  AFj = DF,  conforme  a  figura

abaixo.

A

D

 

 

E                           F

B                                            C

Figura 75: Figura auxiliar.

 

^       ^       ^       ^
DE
DF
AEj
AFj

Da hip´otese, temos  AB  =  AC. Logo,   AB  =  AC. Da´ı, pelo exerc´ıcio anterior, E←→jFj e ←B→C s˜ao

      Ent˜ao, pelo Teorema 2.2, B = AEjFj  e C = AFjEj.

Logo,  pelo  caso  de  semelhan¸ca  AAA,  temos  que  AEjFj  e  ABC  s˜ao  semelhantes  e,  da´ı,

 

EjFj

= AEj , ou seja, EjFj = BCAEj

= BCDE = EF.

 

BC           AB                                                           AB                   AB

 

Assim,  EjFj  = EF,  AEj  = DE  e  AFj  = DF,  o  que  implica,  pelo  caso  de  congruˆencia  LLL,

^       ^      ^       ^                                 ^       ^       ^       ^

que os triˆangulos AEjFj  e DEF s˜ao congruentes.

Da´ı, AEjFj = E e AFjEj = F. Mas j´a t´ınhamos que B = AEjFj  e C = AFjEj.

Portanto, B^ = E^ e C^ = ^F. Donde, ABC e DEF s˜ao semelhantes pelo caso AAA.                                                                                                                                         Q

Triˆangulos Retˆangulos

 

Teorema  2.11  A  altura  correspondente  `a  hipotenusa  de  um  triˆangulo  retˆangulo  divide-o em  dois  triˆangulos  que  s˜ao  semelhantes  um  ao  outro  e  semelhantes  ao  triˆangulo  retˆangulo original.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABC um triˆangulo retˆangulo em A e AH a altura relativa `a hipotenusa BC. Mostremos que ABC e HBA s˜ao semelhantes assim como ABC e HAC.

A

 

 

 

 

B                                                          C

Figura 76: Figura auxiliar.

 

^

Considere os ˆangulos α, αj, β, βj, γ e θ conforme figura acima.

Como o ˆangulo BAC ´e um ˆangulo reto, ent˜ao α+βj = 90o. Com γ ´e reto, temos tamb´em que α + β = 90o. Da´ı, β = βj.

Como αj ´e comum aos triˆangulos ABC e AHC, ent˜ao ABC e ACH s˜ao semelhantes pelo caso AAA.

Analogamente, mostramos que ABC e AHB s˜ao semelhantes.                                                                                                                                         Q

Recordemos  que  dados √dois  nu´meros  reais  n˜ao  nulos  a  e  b,  a  m´edia  geom´etrica  entre  a

e b ´e definida como sendo        ab.

Assim, como consequˆencia do teorema acima, temos que:

  • a altura correspondente `a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo ´e a m´edia geom´etrica entre os comprimentos das proje¸c˜oes ortogonais dos catetos sobre a hipoten
  • cada cateto  tem  comprimento  igual  `a  m´edia  geom´etrica  entre  o  comprimento  da hipotenusa e o comprimento da proje¸c˜ao ortogonal de tal cateto sobre a hipoten

A

 

 

c                   b

h

H

B               m                 n       C a

  • h =

b =

(2)                  

c =     a m

 

Figura  77:  M´edias  geom´etricas.

 

 

Teorema  2.12  (1) (Pit´agoras) Em um triˆangulo retˆangulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa ´e  igual  `a  soma  dos  quadrados  dos  comprimentos  dos  catetos.

  • (Rec´ıproca do  Teorema  de  Pit´agoras).   Se  a,  b  e  c  s˜ao  nu´meros  reais  positivos  tais que  a2 = b2 + c2,  ent˜ao  existe  um  triˆangulo  retˆangulo  com  hipotenusa  medindo  a  e  catetos medindo b e c.

Demonstra¸c˜ao.

(1) Seja ABC um triˆangulo retˆangulo em A.

A

 

 

 

B                                              C

Figura 78: Figura auxiliar.

Chamemos a = BC, b = AC e c = AB. Mostremos que a2 = b2 + c2.

Decorre  da  observac˜ao  anterior  que  c2 =  am  e  b2 =  an.  Ent˜ao  b2 + c2 =  an + am  =

a (m + n) . Como m + n = a ent˜ao temos que b2 + c2 = a2.

(2√) Seja ABC um triˆangulo tal que a2 = b2 +c2 onde a = BC, b = AC e c = AB. Ent˜ao,

a =     b2 + c2.

Seja  DEF  um  triˆangulo  retˆangulo  em  D  com  catetos  DE  =  c  e  DF  =  b.  Chamemos

d = EF.

B                                                   E

 

 

c                                                    c

 

A              b                   C            D               b                  F

Figura 79: Figura auxiliar.

 

Da´ı, pelo teorema de P`ıt´agoras, d2 = b2 + c2, ou seja, d = √b2 + c2. Logo, a = d.

^     ^                 ^

Assim, pelo caso de congruˆencia LLL, os triˆangulos ABC e DEF s˜ao congruentes, donde

A = D. Portanto, A ´e reto.                                                                                                                                             Q

 

Ampliando o Conceito de Semelhan¸ca

Vamos  conceituar  matematicamente  e  de  forma  precisa  a  ideia  de  semelhan¸ca  no  plano euclidiano (tal conceitua¸c˜ao ´e a mesma no espa¸co).

A  defini¸c˜ao  que  demos  acima  para  o  estudo  de  triˆangulos  semelhantes ´e  caso  particular da defini¸c˜ao abaixo.

Duas  figuras  F e  G no  plano  euclidiano  s˜ao  ditas  semelhantes  quando  existirem  uma bije¸c˜ao ϕ : F G e um nu´mero real positivo k tal que para quaisquer P, Q ∈ F tem-se

PjQj = k.PQ

 

sendo Pj = ϕ (P) e Qj = ϕ (Q).  (em outra nota¸c˜ao:  d (ϕ (P) , ϕ (Q)) = k.d (P, Q))

A constante de proporcionalidade k ´e chamada de raz˜ao  de  semelhan¸ca (ou fator  de escala) de F para G.

E´  f´acil  verificar  que  se  k  ´e  a  raz˜ao  de  semelhan¸ca  de  F  para  G,  entao  1  ´e  a  raz˜ao  de

 

k

semelhan¸ca de G para F.

F1

 

G2

G1                                              F2

 

3                                     1                              1                             2

1

2

figuras semelhantes                         quadrados semelhantes

Figura 80: Figuras semelhantes.

Quando k = 1 dizemos que as figuras F e G s˜ao congruentes, e que a bije¸c˜ao ϕ ´e uma

Π

isometria entre F e G.

 

Sejam  O  um  ponto  de  um  plano  Π,  r  um  nu´mero  real  positivo  e  σ

aplica¸c˜ao tal que, quando P ∈ Π, tem-se

OPj = r.OP

O,r

:            Π uma

 

 

sendo  Pj  = σO,r (P).  Nessas  condi¸c˜oes,  dizemos  que  σO,r ´e  uma  homotetia  de  centro  (ou

origem) O e raz˜ao r.

 

 

2                 P’

1       P

G                                                                                 F                                                                                    G2

1                                                                                                                                O                   2

 

figuras homotéticas

quadrados homotéticos

Figura  81:  Figuras  homot´eticas.

 

A  importˆancia  das  homotetias  reside  no  fato  de  elas  serem  “f´abricas”  de  figuras  seme- lhantes, conforme a proposi¸c˜ao abaixo, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada na referˆencia [9].

Proposi¸c˜ao  2.1  Sejam  σO,r : Π        Π  homotetia  de  centro  O  e  raz˜ao  r  e  F  uma  figura  no

plano  Π.   Ent˜ao,  G =  σO,r (F)  e  F  s˜ao  figuras  semelhantes  e  a  raz˜ao  de  semelhan¸ca  de  F

para  G ´e  k = r.  (neste  caso  a  bije¸c˜ao  ϕ ´e  a  restri¸c˜ao  de  σO,r  a  F).

 

 

 

O Teorema Fundamental da Proporcionalidade

 

 

O pr´oximo teorema ´e muito u´til como ferramenta para v´arios resultados que precisaremos adiante.  Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada na referˆencia [10].

 

Teorema  2.13  (Fundamental  da  Proporcionalidade)  Se  f  :  R+             R+  ´e  crescente  e  tal

que  f (nx)  =  nf (x)  para  quaisquer  n  ∈ N  e  x  ∈ R+,  ent˜ao  f (rx)  =  rf (x)  para  quaisquer

r, x ∈ R+.

∈                                                                                              ∈

Nas condi¸c˜oes do teorema acima, temos que se y = f (x), sendo x e y grandezas positivas relacionadas (por exemplo:  comprimentos, ´areas, volumes, medidas de ˆangulos, massa, etc), ent˜ao  y  ´e  diretamente  proporcional  a  x.   De  fato,  fazendo  k  =  f (1)  temos  f (r)  =  kr  para qualquer r  R+, ou, em linguagem mais familiar, f (x) = kx para qualquer x  R+, o que significa y = kx.  A constante k ´e chamada de constante  de  proporcionalidade.

 

  • Circunferˆencias e  Discos

Defini¸coes e Primeiros Resultados

 

C

Uma circunferˆencia  de centro  C e raio  r > 0 ´e definida como sendo o conjunto dos pontos do plano `a distˆancia r de C.  Denotemos tal circunferˆencia por                                                                                                                           (C, r).

C

Pontos  do  plano  `a  distˆancia  de  C  menor  do  que  r  s˜ao  os  pontos  interiores  `a  circun- ferˆencia          (C, r).

C

Pontos  do  plano  `a  distˆancia  de  C  maior  do  que  r  s˜ao  os  pontos  exteriores  `a  circun- ferˆencia          (C, r).

C

Um  segmento  com  extremos  na  circunferˆencia           (C, r) ´e  chamado  de  corda  da  mesma.

Observemos que uma corda que passa por C tem sempre comprimento 2r.

C

Chamamos  de  diˆametro  de  uma  circunferˆencia        (C, r)  o  comprimento  2r  de  qualquer corda que passe pelo centro C da mesma.

Duas circunferˆencias s˜ao ditas congruentes  quando possu´ırem o mesmo raio.

A reuni˜ao de uma circunferˆencia C (C, r) com seus pontos interiores ´e chamada de disco

de centro C e raio r e denotado por D (C, r). (11)

B

A

 

 

 

Circunferência   (C, r)

A: ponto interior

B: ponto exterior

Corda AB                 Diâmetro AB

 

 

Figura  82:  Circunferˆencias  e  discos.

Disco

(C, r)

 

 

Observa¸c˜oes.

  • E´ tamb´em  comum  chamar  de  diˆametro  de  C (C, r)  uma  corda  qualquer  que  passe  pelo
C

centro  de      (C, r).   O  contexto  estar´a  sempre  claro  quando  nos  referimos  a  diˆametro  como

nu´mero ou como segmento.

11A`s  vezes  ´e  conveniente  distinguir  entre  disco  aberto  e  disco  fechado.  A  definic˜ao  que  demos  ´e  de  disco fechado  (pois  cont´em  a  circunferˆencia  que  o  originou).  Um  disco  aberto  de  centro  C  e  raio  r ´e  constitu´ıdo apenas pelos pontos interiores a C (C, r).

 

 

C
  • Assim como no  caso  do  diˆametro,  a  palavra  raio  tamb´em  pode  ser  utilizada  com  dois sentidos:   um  deles  como  nu´mero  (conforme  definimos  acima)  e  outro  como  segmento  que liga  o  centro  C  a  um  ponto  qualquer  de     (C, r).   Mais  uma  vez,  o  contexto  sempre  estar´a
  • Alguns textos  trazem  a  palavra  c´ırculo  como  sinˆonimo  de  circunferˆencia  ou  ent˜ao  de  N˜ao h´a consenso a esse respeito.  Quando se fala, por exemplo, em ´area de um c´ırculo, estamos pensando no disco. Quando se fala, por exemplo, em arco de c´ırculo, estamos pensando na circunferˆencia.

Uma reta ´e dita tangente  a uma circunferˆencia (ou disco) quando intersectar a circun- ferˆencia  em  apenas  um  ponto,  chamado  de  ponto  de  tangˆencia.   Nas  condi¸c˜oes  dessa defini¸c˜ao,  tamb´em  dizemos  que  a  circunferˆencia ´e  tangente  `a  reta,  ou  ent˜ao,  que  a  reta  e  a circunferˆencia s˜ao tangentes.

Uma  reta  ´e  dita  secante  a  uma  circunferˆencia  quando  intersect´a-la  em  mais  de  um ponto.

Reta tangente à circunferência                          Reta secante à circunferência

Figura  83:  Duas  posi¸c˜oes  relativas  entre  reta  e  circunferˆencia  no  plano.

Exerc´ıcios.  (1) Mostre que existem retas e circunferˆencias tangentes.

(2) Mostre que existe reta secante `a circunferˆencia.

Teorema  2.14  Sejam  s  uma  reta  e  C (C, r)  circunferˆencia  de  centro  C  e  raio  r,  ambos  em um  mesmo  plano.  Seja  P = projs C.  Nessas  condi¸c˜oes:

  • Se CP > r,  ent˜ao  os  pontos  de  s  s˜ao  exteriores  `a  C (C, r).
  • Se CP = r,  ent˜ao  P  ´e  ponto  de  tangˆencia  entre  s  e  C (C, r).
  • Se CP < r,  ent˜ao  s  intersecta  C (C, r)  em  exatamente  dois  p

Demonstra¸c˜ao.

C
  • Se CP > r ent˜ao P ´e um ponto exterior `a circunferˆencia (C, r) . Consideremos X um ponto qualquer da reta s distinto de P, como na figura abaixo `a

 

C                               C

 

s          P    X

s          P         X

q

Figura 84: Figura auxiliar.

Entao, pelo Teorema de Pit´agoras, CX2 = (CP)2 +(PX)2 . Da´ı, CX =             (CP)2 + (PX)2 > CP > r.

Logo, X tamb´em ´e um ponto exterior `a C (C, r) . Da arbitrariedade de X segue que todos os pontos de s s˜ao exteriores `a C (C, r) .

 

 

  • Se CP = r ent˜ao P ´e um ponto da circunferˆencia C (C, r) .

De  forma  an´aloga  ao  caso  anterior,  consideremos  X  um  ponto  de  s  distinto  de  P,  como na figura a cima `a direita.

Novamente pelo Teorema de Pit´agoras CX > CP > r donde X ´e exterior `a C (C, r) .

Da arbitrariedade de X segue que P ´e o u´nico ponto que pertence `a s e C (C, r) .

Portanto, s ´e tangente `a C (C, r) .

  • Se CP < r ent˜ao P ´e um ponto interior `a circunferˆ
→      →

Consideremos  primeiramente  o  caso  em  que  P  ´e  distinto  de  C,  como  podemos  ver  na figura abaixo `a esquerda.

Seja  O  e  Oj  dois  pontos  distintos  de  s  tais  que  a  uni˜ao  das  semirretas  P−O  e  P−−Oj  seja  a

→                     q

reta s.

Pelo  Axioma  A4  existe  um  u´nico  ponto  Q  em  −PO  tal  que  PQ =            r2 − (CP)2 (ou  seja,

r2 = (PQ)2 + (CP)2).

Por outro lado, como o triˆangulo CPQ ´e retˆangulo em P ent˜ao, pelo Teorema de Pit´agoras,

CQ2 = (CP)2 + (PQ)2 donde CQ = r.

Logo, Q pertence `a C (C, r) .

 

Portanto, Q est´a em C (C, r) e em s.

−−→

 

De modo an´alogo, considerando agora a semirreta POj  existe um ponto S que est´a em s

e em C (C, r) . Pela bijetividade do axioma A4 temos o resultado.

Caso P = C ent˜ao, pelo axioma A4 existe e ´e u´nico Q em −PO tal que PQ = r , mas isso

implica que Q pertence `a C (C, r) .

 

 

C

s

P   Q    O

Figura 85: Figura auxiliar.

 

Analogamente, existe S em P−−O→j  tal que S est´a em C (C, r) e s.                                                                                                                                              Q

Notemos que, devido ao item (3) do teorema acima, uma reta secante a uma circunferˆencia possui extamente dois pontos de intersec¸c˜ao com ela.

 

Exerc´ıcio.   Mostre  que  ´e  consequˆencia  do  teorema  acima  que  uma  reta  ´e  tangente  a  uma circunferˆencia  se,  e  somente  se,  essa  reta ´e  perpendicular  ao  raio  da  circunferˆencia  que  liga seu centro ao ponto de tangˆencia.

 

O  teorema  acima  possui  um  an´alogo  envolvendo  duas  circunferˆencias  com  o  seguinte enunciado:  “Sejam  duas  circunferˆencias  com  raios  a  e  b  e  distˆancia  c  entre  seus  centros. Se  |a − b|  <  c  <  a + b,  ent˜ao  as  duas  circunferˆencias  intersectam-se  em  dois  pontos, um  de  cada  lado  da  reta  que  cont´em  os  centros.”.   O  leitor  interessado  poder´a  consultar  a demonstra¸c˜ao desse teorema na referˆencia [13].

 

 

Figura  86:  Intesec¸c˜ao  de  duas  circunferˆencias.

 

 

Arcos

 

C
C

Consideremos  uma  circunferˆencia     (C, r)  e  uma  reta  r  que  passa  pelo  seu  centro  C.  A intersec¸c˜ao de     (C, r)  com cada  um  dos  dois  semiplanos  determinados  por r ´e chamada de semicircunferˆencia  de  centro  C  e  raio  r.   Definimos  a  medida  de  uma  semicircun- ferˆencia  com sendo a medida de um ˆangulo raso.

C

Consideremos uma circunferˆencia     (C, r) e um setor angular com v´ertice em C:

C
C
  • A intersec¸c˜ao de (C, r) com o setor angular ´e chamado de arco  menor  de  circun- ferˆencia  de centro C e raio r.  Chamando de A e B a intersecc¸˜ao de     (C, r) com os lados do setor angular e sendo X um ponto qualquer do arco menor, distinto de A e B, iremos indicar

o  arco  menor  de  circunferˆencia  por  AXB.  A  medida  do  arco  menor  de  circunferˆencia ´e

a medida do setor angular que o define.

  • A intersec¸c˜ao  de  C (C, r)  com  a  regi˜ao  exterior  ao  setor  angular  que  define  AXB

reunido com os pontos A e B ´e chamado de arco  maior  de  circunferˆencia  de centro C

e raio r. Sendo Y um ponto qualquer do arco maior, distinto de A e B, iremos indicar o arco

maior  de  circunferˆencia  por  AYB.  A  medida  do  arco  maior  de  circunferˆencia ´e  a  soma

das medidas de dois ˆangulos rasos menos a medida do setor angular que define o arco menor

(em graus: 360− medida em graus de AXB).

Semicircunferência            Arco menor                   Arco maior

Figura  87:  Arcos  de  circunferˆencias.

 

C
C
C

Sejam  uma  circunferˆencia     (C, r)  e  um  setor  angular  BAD,  de  v´ertice  A,  tal  que  B,  A e  D  s˜ao  pontos  de     (C, r).  Chamamos  a  intersec¸c˜ao  do  setor  BAD  (sem  o  v´ertice  A)  com a  circunferˆencia     (C, r)  de  arco  de  circunferˆencia  correspondente  ao  setor  angular BAD.  Observemos que os extremos desse arco s˜ao os pontos B e D.  Tamb´em dizemos (com um certo abuso de linguagem) que, na situa¸c˜ao descrita, o setor angular BAD est´a inscrito na circunferˆencia C (C, r).

A  defini¸c˜ao  acima  pode  ser  estendida  de  modo  a  contemplar  o  caso  em  que  a  reta  que

cont´em um dos lados do setor angular ´e tangente `a circunferˆencia.  Tamb´em continuamos a dizer, nessa situa¸c˜ao, que o setor angular est´a inscrito na circunferˆencia.

 

 

 

 

 

A

 

A

Figura  88:  Arcos  de  circunferˆencias.

Observemos  que  um  arco  de  circunferˆencia  correspondente  a  um  setor  angular  pode  ser um arco menor de circunferˆencia, um arco maior de circunferˆencia ou uma semicircunferˆencia.

 

Teorema  2.15  A  medida  de  um  arco  de  circunferˆencia  correspondente  a  um  setor  angular nela  inscrito ´e  igual  ao  dobro  da  medida  do  setor  angular.

Demonstra¸c˜ao.

Seja BAD o setor angular de v´ertice A inscrito na circunferˆencia de tal forma que B e D

sejam pontos da circunferˆencia.  Seja BXD o arco menor de circunferˆencia determinado por

BAD.

^

Queremos mostrar que 2DAB = BXD.

 

B

X

A

D        A                               A

C

 

 

Figura 89: Figura auxiliar.

Suponhamos  que  um  lado  do  ˆangulo  A^  contenha  um  diˆametro  AD  da  circunferˆencia

^                                                 ^         ^

C (C, r) , conforme figura acima `a esquerda.

^         ^         ^
^          ^         ^            ^

Entao,  como  ACD ´e  um  ˆangulo  raso  temos  que  DCB + BCA = 180o.  Al´em  disso,  pelo Teorema 2.3, CAB + ABC + BCA = 180o.

^          ^                  ^            ^          ^is´osceles, donde CAB = ABC. Logo, 2DAB = 2CAB = DCB = BXD.

Da´ı,  DCB  =  CAB + ABC  =  2CAB.  Como  AC  =  BC  =  r  ent˜ao  o  triˆangulo  ABC  ´e

 

Suponhamos agora que B e D estejam em lados distintos do diˆametro AE conforme figura acima ao meio.

Entao  DA^ B  =  BA^ E + EA^ D.       Logo,  pelo  caso  anterior,  2DA^ B  =  2BA^ E + 2EA^ D  =

BXE + EYD = BXD.

Caso B e D estejam do mesmo lado do diˆametro AE, conforme figura acima `a direita ent˜ao

^         ^         ^                                               ^           ^          ^

–             –

DAB = BAE − EAD. Logo, pelo primeiro caso, 2DAB = 2BAE − 2EAD = BXE − EYD =

BXD.                                                                                                                                                   Q

Fixado  um  arco  de  circunferˆencia  (menor,  maior  ou  semicircunferˆencia),  dizemos  que todos  os  setores  angulares  correspondentes  a  esse  arco  est˜ao  inscritos  no  arco  (mais  uma vez estamos abusando da linguagem).

Assim, pelo teorema acima, todos os setores angulares inscritos em um determinado arco de  circunferˆencia  possuem  a  mesma  medida.   Em  particular,  os  setores  angulares  inscritos em uma semicircunferˆencia s˜ao todos retos.

 

 

Teorema 2.16 Sejam uma circunferencia C e um ponto P exterior a C. Seja r reta que passa  por  P  e ´e  secante  a  C em  A  e  B.

  • Seja s reta que passa por P e ´e secante a C nos pontos C e D. Ent˜ao, PB = PC.PD.
  • Seja t  uma  reta  que  passa  por  P  e ´e  tangente  a  C em  T .  Ent˜ao,  PT 2 = PB.

Demonstra¸c˜ao.

^         ^
  • Consideremos os triˆangulos  BPC  e  DAP.  Entao,  o  ˆangulo  P  ´e  comum  aos  dois

triˆangulos  e,  al´em  disso,  CBP  e  ADP  s˜ao  congruentes  pois  correspondem  ao  mesmo  arco

de circunferˆencia AC, conforme figura abaixo `a esquerda.

Logo, pelo caso AA de semelhan¸ca temos que os triˆangulos BPC e DAP s˜ao semelhantes.

Logo, existe k > 0 tal que PA = k.PC e PD = k.PB, donde PA.PB = PC.PD.

 

 

 

P                                           P

 

 

Figura 90: Figura auxiliar.

^        ^
  • Consideremos os triˆangulos PBT e PAT. Observemos na figura acima `a direita que o ˆangulo P  ´e  comum  aos  dois  triˆangulos  e  os  ˆangulos  AT P  e  PBT  correspondem  aos  mesmo arco AT .

Novamente  pelo  caso  AA  de  semelhan¸ca  temos  que  existe  k  >  0  tal  que  PA  =  kPT  e

PT = kPB, donde (PT)2 = PA.PB.                                                                                                                                               Q

No  teorema  acima,  o  nu´mero  p  =  PT 2  =  PA.PB  fica  univocamente  determinado  pelo ponto P  e pela circunferˆencia C, independente dos pontos A e B.  Tal nu´mero ´e chamado de potˆencia  do ponto P  em rela¸c˜ao `a circunferˆencia C.

 

Pontos Not´aveis de um Triˆangulo

 

J´a  mostramos  que  as  medianas  de  um  triˆangulo  se  encontram  em  um  u´nico  ponto

(chamado  de  baricentro  do  triˆangulo).   Vamos  mostrar  que  as  mediatrizes,  as  bissetrizes e as alturas de um triˆangulo tamb´em possuem propriedade an´aloga.

 

 

Teorema  2.17  As  mediatrizes  dos  lados  de  um  triˆangulo  s˜ao  concorrentes  em  um ponto.

 

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos um triˆangulo qualquer ABC.

A

u´nico

 

 

 

 

 

 

B                                            C

 

Figura 91: Figura auxiliar.

 

 

Sejam r, s e t as mediatrizes dos lados BC, AC e AB, respectivamente.  Seja O o (u´nico) ponto de interse¸c˜ao entre as retas r e s.

←→    ←→

O ponto O existe (e ´e u´nico) pois se r e s fossem paralelas ent˜ao tamb´em seriam paralelas as retas AC e BC e, da´ı, ABC n˜ao seria um triˆangulo.

Pelo  Teorema  1.12  temos  que,  do  fato  de  r  ser  mediatriz  de  BC,  ent˜ao  OC  =  OB.

Analogamente, OA = OC.

Dessa forma, OA = OB e, novamente pelo Teorema 1.12 o ponto O est´a na mediatriz de

AB, ou seja, O pertence `as trˆes mediatrizes e OA = OB = OC.                                                                                                                                                   Q

O encontro das mediatrizes enunciado no teorema acima recebe o nome de circuncentro

do triˆangulo.

Decorre do teorema acima que existe uma u´nica circunferˆencia com centro no circuncentro do triˆangulo e que passa por todos os trˆes v´ertices do triˆangulo.  Tal circunferˆencia ´e chamada de circunferˆencia circunscrita  ao triˆangulo.

C

 

 

A

 

 

 

Figura 92: Circuncentro.

Exerc´ıcio.  Utilizando a unicidade da circunferˆencia circunscrita a um triˆangulo, mostre que duas circunferˆencias distintas intersectam-se em, no m´aximo, dois pontos.

 

Teorema  2.18  As  alturas  relativas  aos  v´ertices  de  um  triˆangulo  s˜ao  concorrentes  em  um u´nico  ponto.  (12)

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABC um triˆangulo e AH a altura relativa ao lado BC do triˆangulo.

Figura 93: Figura auxiliar.

Tracemos  por  cada  v´ertice  do  triˆangulo  ABC  uma  reta  paralela  ao  lado  oposto.   Estas trˆes retas determinam um triˆangulo DEF como na figura acima.

Dessa constru¸c˜ao AF e BC s˜ao paralelos assim como AB e CF, e da´ı, ABCF ´e um parale- logramo. Logo, AF = BC e AB = FC.

12Neste  enunciado,  estamos  considerando  as  retas  que  cont´em  as  alturas  do  triˆangulo.    Essas  retas  se encontram  em  um  u´nico  ponto  o  qual  pode  n˜ao  estar  sobre  altura  (segmento)  alguma  do  triˆangulo.

 

 

A constru¸c˜ao tamb´em nos permite concluir que AC e BD s˜ao paralelas assim como AD

e BC, donde ACBD ´e um paralelogramo.  Logo, AD = BC e BD = AC.

Assim, DF = DA + AF = 2DA, ou seja, A ´e ponto m´edio de DF.

Al´em  disso,  como  BC  e  DF  s˜ao  paralelos  e  AH  ´e  perpendicular  `a  BC  ent˜ao  AH  ´e  per- pendicular `a DF. Logo, AH ´e a mediatriz do lado DF.

De forma an´aloga podemos concluir que as alturas relativas aos outros lados s˜ao as outras mediatrizes do triˆangulo DEF.

Pelo  teorema  anterior,  essas  mediatrizes  se  encontram  num  u´nico  ponto.   Portanto,  as alturas se encontram num u´nico ponto.                                                                                                                                           Q

O  ponto  de  encontro  das  alturas  de  um  triˆangulo  recebe  o  nome  de  ortocentro  do triˆangulo.

 

 

 

 

 

B

 

A                                          B

 

 

 

Figura 94: Ortocentro

 

Lema  2.2  A bissetriz de um ˆangulo, exceto sua origem, ´e o conjunto dos pontos do interior do  ˆangulo  equidistantes  dos  lados  do  ˆangulo.

 

Demonstra¸c˜ao.

Considere a figura abaixo.

 

 

 

 

 

 

A

 

Figura 95: Figura auxiliar.

 

 

Seja  BA^ C  um  ˆangulo  e  −A−→D  sua  bissetriz.  Mostremos  que  os  pontos  de  A−−→D  equidistam

de −A→B e −A→C.

−−→

 

 

Seja X um ponto de AD. Seja Y = projAB X e Z = projAC X.

^         ^                                                     ^         ^
→                        →     →

Ent˜ao AX = AX, XAZ = XAY  (pelo fato de AD ser bissetriz) e AZX = AYX (pelo fato da proje¸c˜ao ser ortogonal).  Logo, pelo caso de congruˆencia LAA0 os triˆangulos AXZ e AXY s˜ao congruentes.

→                                           →     →                           →

Logo, XY = XZ, ou seja, os pontos de A−−D equidistam de −AB e −AC.

Seja agora a semirreta −A−D cujos pontos equidistam de −AB e A−C. Mostremos que A−−D ´e a bissetriz de BA^ C.

 

 

−→De  fato:  seja  X  um  ponto  de  −A−→D  e  Y  = projA→B X  e  Z = projA→C X.  Como  X  equidista  de

AB e A−→C ent˜ao XY = XZ. Al´em disso, XA = XA.                                                                                                                                                  ^

^                  →                          ^

Logo, os triˆangulos AXZ e AXY s˜ao congruentes pelo caso cateto-hipotenusa.  Da´ı, XAZ =

XAY, ou seja, A−−D ´e a bissetriz de BAC.                                                                                                                                                   Q

Teorema  2.19  As  bissetrizes  relativas  aos  v´ertices  de  um  triˆangulo  s˜ao  concorrentes  em um  u´nico  ponto.  Tal  ponto ´e  equidistante  dos  lados  do  triˆangulo.

 

Demonstra¸c˜ao.

Considere a figura abaixo.

A

 

 

 

 

  • C

Figura 96: Figura auxiliar.

→     →                                          →−    −
^                                  →      →

Seja I a intersec¸˜ao das bissetrizes −A−D e −BE. Pelo Lema anterior, como −A−D ´e bissetriz de

→                        ^                                  →     →                                  →−

BAC entao I equidista de AB e AC.

→                                                                               ^

E, como −BE ´e bissetriz de ABC ent˜ao I equidista de B−A e −BC. Logo,  I equidista de −CA

e CB donde, pelo Lema anterior, I pertence `a bissetriz de ACB.

Logo, o ponto I ´e comum `as trˆes bissetrizes e equidista dos lados do triˆangulo.                                                                                                                                              Q

O ponto de encontro das bissetrizes de um triˆangulo ´e chamado de incentro do triˆangulo.

Decorre  do  teorema  acima  que  existe  uma  u´nica  circunferˆencia  com  centro  no  incentro do  triˆangulo  e  que  tangencia  os  trˆes  lados  do  triˆangulo.   Tal  circunferˆencia  ´e  chamada  de circunferˆencia inscrita  ao triˆangulo.

Figura 97: Incentro.

 

Dado um triˆangulo, seu baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro s˜ao chamados de

pontos  not´aveis  do triˆangulo.

 

A Reta de Euler e a Circunferˆencia dos Nove Pontos

 

H´a um teorema muito interessante, devido a Leonhard Euler (1707 − 1783), envolvendo trˆes dos quatro pontos not´aveis de um triˆagulo com o seguinte enunciado:  “Em um triˆangulo, o  circuncentro,  o  baricentro  e  o  ortocentro  s˜ao  colineares.  Al´em  disso,  o  baricentro  divide  o segmento  que  liga  o  circuncentro  ao  ortocentro  na  raz˜ao  1  para  2.”.  A  reta  que  passa  pelo circuncentro, baricentro e ortocentro de um triˆangulo recebe o nome de reta  de  Euler.

 

A

H
H

Alturas

C

B

Mediatrizes

M
M

Medianas

  • B

Reta de Euler

 

 

H
M

B                                                          C

A              A

Figura 98: Reta de Euler.

 

Outro  teorema  bastante  curioso  envolvendo  o  ortocentro ´e  o  resultado  que  estabelece  a chamada  “circunferˆencia  de  nove  pontos”.   Essa  circunferˆencia  foi  descoberta  por  Charles Brianchon (1783 − 1864) e Jean Poncelet (1788 − 1867), mas foi Karl Feuerbach (1800- 1834) quem fez um estudo bastante completo a seu respeito (e com apenas 22 anos de idade!).  O enunciado ´e o seguinte:  “A circunferˆencia que passa pelos trˆes p´es das alturas de um  triˆangulo,  tamb´em  passa  pelos  trˆes  pontos  m´edios  dos  lados  e  pelos  trˆes  pontos  m´edios

 

dos segmentos que ligam o ortocentro desse triˆangulo aos seus v´ertices.”.

E´  poss´ıvel mostrar

 

que o centro da circunferˆencia de nove pontos est´a sobre a reta de Euler e ´e o ponto m´edio do  segmento  que  liga  o  circuncentro  ao  ortocentro  do  triˆangulo.  Talvez  por  esse  motivo,  a circunferˆencia  de  nove  pontos  seja  conhecida  (indevidamente)  pelo  nome  de  circunferˆencia de Euler-Feuerbach.

A

 

 

 

 

 

 

H
M

B                                                          C

A                 A

Figura  99:  Circunferˆencia  de  nove  pontos.

 

As demonstra¸c˜oes dos dois resultados citados acima podem ser encontradas na referˆencia [13].

 

Ainda sobre o ortocentro, mais um resultado peculiar cuja demonstra¸c˜ao deixamos para o leitor mais persistente:  “O lugar geom´etrico dos ortocentros dos triˆangulos  ABC que possuem o  lado  BC  fixado  e  a  altura  relativa  ao  v´ertice  A  constante ´e  uma  par´abola.”.

(obs.:  n˜ao  vamos  definir  as  curvas  cˆonicas  neste  texto,  portanto,  deixamos  para  o  leitor a pesquisa sobre a defini¸c˜ao e propriedades da par´abola)

 

Inscric¸˜ao e Circunscri¸c˜ao de Pol´ıgonos Regulares em Circunferˆencia

 

Um pol´ıgono regular est´a inscrito  em uma circunferˆencia quando todos os seus v´ertices s˜ao  pontos  da  circunferˆencia.   Tamb´em  dizemos,  nesta  situa¸c˜ao,  que  a  circunferˆencia  est´a circunscrita ao pol´ıgono.

 

 

Um  pol´ıgono  regular  est´a  circunscrito  a  uma  circunferˆencia  quando  todos  os  seus  la- dos  tangenciam  a  circunferˆencia.  Tamb´em  dizemos,  nesta  situa¸c˜ao,  que  circunferˆencia  est´a inscrita ao pol´ıgono.

Figura  100:  Pol´ıgono  inscrito  e  circunscrito  `a  circunferˆencia.

 

Teorema  2.20  Dada uma circunferˆencia, sempre ´e poss´ıvel nela inscrever ou circunscrever um  pol´ıgono  regular  com  qualquer  nu´mero  de  lados.

 

O  teorema  acima,  embora  intuitivamente  bastante  ´obvio,  servir´a  de  fundamento  para estabelecer o comprimento de uma circunferˆencia.  Al´em disso, seguindo a tradi¸c˜ao grega da constru¸c˜ao com  r´egua e compasso,  dependendo  do nu´mero de  lados,  nem sempre ´e poss´ıvel fazer  uma  constru¸c˜ao  exata  de  inscri¸c˜ao  ou  circunscri¸c˜ao  de  pol´ıgonos  regulares  em  uma circunferˆencia.

 

Comprimentos de Circunferˆencias e de Arcos de Circunferˆencias

 

Por  meio  dos  axiomas  que  introduzimos  no  in´ıcio  deste  texto,  estabelecemos  a  no¸c˜ao de comprimento de um segmento de reta e, consequentemente, sabemos como conceituar a distˆancia entre dois objetos no plano.  Entretanto, n˜ao sabemos como calcular comprimentos de curvas quaisquer no plano (13).  De fato, o estabelecimento de tal no¸c˜ao foge aos prop´ositos dessas notas (envolve integrais).  Al´em de retas e segmentos, circunferˆencias e seus arcos s˜ao

as  u´nicas  curvas  que  consideramos  neste  texto,  logo,  ser´a  interessante  que  trabalhemos  a

no¸c˜ao de comprimento de pelo menos esses tipos de curvas.

Intuitivamente, o comprimento de uma circunferˆencia poderia ser estabelecido se pud´esse- mos,  de  alguma  forma,  “retific´a-la”  em  um  segmento.   Na  pr´atica,  seria  como  se  a  circun- ferˆencia  fosse  uma  linha  que  pudesse  ser  cortada  em  um  ponto  e  estendida  sobre  um  seg- mento.  Como sabemos medir comprimento de segmentos, poder´ıamos medir o comprimento da circunferˆencia por esse m´etodo.

A ideia de retifica¸c˜ao de curvas j´a existia na ´epoca da Gr´ecia antiga mas, seguindo a mais pura  tradi¸c˜ao  grega  de  constru¸c˜ao  com  r´egua  e  compasso,  a  retifica¸c˜ao  da  circunferˆencia ´e imposs´ıvel  de  ser  feita  com  exatid˜ao  (devido  ao  fato  de  que  o  nu´mero  π,  raz˜ao  entre  o comprimento da circunferˆencia e seu diˆametro, n˜ao ser construt´ıvel  com r´egua e compasso). O problema pode ser contornado com o teorema de inscric¸˜ao e circunscri¸c˜ao de pol´ıgonos regulares  em  circunferˆencias.          Sabemos  calcular  a  soma  dos  comprimentos  dos  lados  de um  pol´ıgono  regular  (isto  ´e,  seu  per´ımetro).   Logo,  inscrevendo-se  pol´ıgonos  regulares  com nu´mero  de  lados  cada  vez  maior  em  uma  circunferˆencia,  podemos  aproximar  (por  falta) o  comprimento  da  circunferˆencia  pelos  per´ımetros  desses  pol´ıgonos.   A  aproxima¸c˜ao  ser´a tanto melhor quanto maior for o nu´mero de lados desses pol´ıgonos inscritos.  Naturalmente, o  mesmo  racioc´ınio  se  aplica  para  o  caso  dos  pol´ıgonos  circunscritos  a  uma  circunferˆencia

sendo que, neste caso, a aproxima¸c˜ao ´e por excesso.

13Foge aos objetivos desse texto a defini¸c˜ao formal de “curva plana”.  O leitor interessado poder´a consultar um  texto  de  An´alise  ou  Geometria  Diferencial  sobre  esse  assunto.

 

 

 

 

Figura  101:  Aproximando  a  circunferˆencia  por  pol´ıgonos  regulares  inscritos  e circunscritos.

 

Com  as  considera¸c˜oes  acima,  vamos  definir  o  comprimento  de  uma  circunferˆencia  dada como  sendo  o  nu´mero  c  tal  que  para  qualquer  ε  >  0,  existem  um  pol´ıgono  regular  com per´ımetro p1 inscrito na circunferˆencia e um pol´ıgono regular com per´ımetro p2 circunscrito a circunferˆencia, de tal modo que

 

c − ε < p1 < c < p2 < c + ε.

 

Embora seja muito intuitiva, a existˆencia (e unicidade) do nu´mero real c deve ser provada. Isso ´e feito, geralmente, em um curso de An´alise 1.  Prova-se, tamb´em, que c ´e proporcional ao  raio  r  da  circunferˆencia,  ou  seja,  c  =  kr.   Metade  dessa  constante  real  k  ´e  usualmente indicada pela letra grega π. Desta forma,

 

c = 2πr

 

e, sendo 2r o diˆametro da circunferˆencia de raio r, chegamos `a afirma¸c˜ao feita acima, de que

π ´e a raz˜ao entre o comprimento da circunferˆencia e seu diˆametro.

Este resultado merece ser colocado sob forma de teorema.

 

Teorema  2.21  O  comprimento  de  uma  circunferˆencia  de  raio  r ´e  dado  por  2πr.

 

E´  claro  que  a  natureza  do  nu´mero  π  suscita  estudos  mais  avan¸cados.  E´  poss´ıvel  provar

que π ´e um nu´mero irracional, portanto, n˜ao pode ser expresso por meio de uma raz˜ao entre dois  nu´mero  inteiros.   Mais  do  que  isso,  π  ´e  um  nu´mero  transcendente,  ou  seja,  n˜ao  pode ser  solu¸c˜ao  de  equa¸c˜ao  polinomial  com  coeficientes  inteiros  (tais  solu¸c˜oes  s˜ao  chamadas  de nu´meros alg´ebricos).  O leitor interessado neste assunto pode consultar a referˆencia [4].

E´ certo que em diversas situa¸c˜oes pr´aticas precisamos de uma aproxima¸c˜ao para o nu´mero π.    Esta  aproximac¸˜ao  pode  ser  feita  facilmente  por  meio  dos  c´alculos  dos  per´ımetros  de pol´ıgonos regulares com 2n lados inscritos na circunferˆencia de raio r.  Deixamos essas contas como exerc´ıcio.

 

 

Exerc´ıcio.  Mostre que o per´ımetro p2n   de um pol´ıgono regular com 2n em uma circunferˆencia de raio r ´e dado por

p2n   = 2nr.‚,.2 − s2 + r2 + q2 + · · · + √2,

lados, n ≥ 2, inscrito

 

 

sendo  que  a  express˜ao  acima  ´e  formada  por  n − 1  radicais  (ou,  equivalentemente,  n − 1

nu´meros 2).

 

O exerc´ıcio acima permite que construamos a seguinte tabela:

 

n p2n p2n (aprox.)
2 4r√2

√      √

5, 656854248r
3 8r    2 −     2

q

6, 122934920r
4 16r    2 − √2 + √2

r

6, 242890306r
5 32r   2 − q2 + √2 + √2

s     r

6, 273096966r
 

6

64r   2 −     2 + q2 + √2 + √2

‚      s

 

6, 280662426r

 

7

128r.,2 −     2 + r2 + q2 + √2 + √2

‚      ‚

 

6, 282555037r

 

8

256r.,2 − ,.2 + s2 + r2 + q2 + √2 + √2

‚.      ‚.      ‚.      s      r                                  

 

6, 283029650r

 

 

9

 

512r,.2 − .,2 + ,.2 +      2 +     2 + q2 + √2 + √2

 

 

6, 283139169r

que fornece a aproximac¸˜ao de 3, 141565 para o nu´mero π.

 

O  comprimento  de  um  arco  de  circunferˆencia  pode  ser  calculado  de  modo  diretamente proporcional ao ˆangulo que esse arco determina utilizando o Teorema  Fundamental  da  Pro- porcionalidade, relacionando as grandezas comprimento de arco e medida de ˆangulo.

 

^

Antes,  por´em,  de  desenvolvermos  o  procedimento  para  c´alculo  do  comprimento  de  arco de  circunferˆencia,  vamos  definir  a  medida  de  unidade  radiano,  que  utiliza  o  conceito  de comprimento de arco.

Seja  um  ˆangulo  BAC  de  tal  modo  que  B  e  C  estejam  em  uma  circunferˆencia  de  centro

BXC,  onde  X ´e  um  ponto  da  cirucunferˆencia  no  interior  do  ˆangulo  BA^ C  e  BXC ´e  o

A  e  raio  r  =  AB  =  AC.   A  medida  do  ˆangulo  BA^ C  em  radianos  ´e  definida  como  sendo

comprimento do arco de extremos B e C que cont´em X.  (14)

 

 

BAC = BXC radianos

 

 

 

Figura  102:  Medindo  ˆangulos  em  radianos.

14Como j´a feito v´arias vezes neste texto:  estamos considerando a notac˜ao BXC com dois sentidos, conjunto

de  pontos  (arco)  e  nu´mero  real  (medida  do  arco).

 

 

Veremos abaixo que a defini¸c˜ao de radiano acima independe do raio r da circunferˆencia, o que permite, tamb´em, estendˆe-la para arcos de circunferˆencia (inclusive arcos  maiores  de circunferˆencia).

Podemos estender a defini¸c˜ao de medida de ˆangulo em radianos para ˆangulo de um arco

n˜ao  necessariamente  no  interior  do  ˆangulo  BA^ C,  ou  seja,  a  medida  do  ˆangulo  do  arco  de

de  circunferˆencia  BXC  de  centro  A  e  extremos  B  e  C,  com  X  sobre  a  circunferˆencia,  mas

 

 

circunferˆencia BXC em radianos continua sendo a raz˜ao

B

.

BXC

r

 

r        X

A     r    C

 

Figura 103: Medindo arcos em radianos.

Naturalmente, a medida do ˆangulo do arco de circunferˆencia BXC tamb´em pode ser em

graus.

Consideremos  uma  fun¸c˜ao  f  que  associa  os  ˆangulos  de  medida  θ  dos  arcos  de  circun- ferˆencia de raio r (fixo) aos seus comprimentos, ou seja, cθ = f (θ) ´e o comprimento do arco de circunferˆencia de raio r e ˆangulo de medida θ.

A  fun¸c˜ao  f  ´e,  obviamente  crescente  (decorre  dos  axiomas  de  medidas  de  ˆangulos)  e, al´em  disso,  se  duplicarmos  o  ˆangulo  do  arco,  o  comprimento  duplica.    Se  triplicarmos  o ˆangulo do arco, o comprimento triplica, e assim por diante.  Logo, estamos nas hip´oteses do Teorema  Fundamental  da  Proporcionalidade.   Isso  significa  que  a  medida  do  ˆangulo  de  um arco de circunferˆencia ´e diretamente proporcional ao seu comprimento.  Assim, cθ = f (θ) = kθ,  sendo  k  =  f (1)  o  comprimento  do  arco  de  circunferˆencia  de  ˆangulo  de  medida  1.   Se adotarmos  a  unidade  de  medida  radianos,  o  comprimento  do  arco  de  circunferˆencia  de  raio r de ˆangulo medindo 1 radiano ´e  2πr  = r.

Assim

cθ = rθ

´e o comprimento de um arco de circunferˆencia de raio r e ˆangulo de medida θ radianos.

 

 

c

q

 

 

 

Figura 104: Comprimento de arco.

 

Se utilizarmos a unidade de medida graus temos k = f (1) = 2πr , ou seja, cθ =  2πr θ

 

sendo θ dado em graus.

360

360

 

 

O  racic´ınio  desenvolvido  acima  pode  ser  colocado  em  um  dispositivo  pr´atico  bastante interessante, conhecido como “regra de trˆes”:

 

 

=     2πcθ

= θ2πr

cθ = rθ.

 

  • O Conceito de

A´rea

O Retˆangulo

 

 

Desejamos  fazer  o  estudo  do  conceito  de  ´area  de  um  pol´ıgono  e,  de  modo  mais  geral,  o conceito de ´area de uma “regi˜ao” no plano.

Para  tanto,  vamos  destacar  um  tipo  de  pol´ıgono  especial,  que  ´e  o  retˆangulo.   Um  lado qualquer  do  retˆangulo  pode  ser  escolhido  e  chamado  de  base  e  a  distˆancia  entre  as  retas paralelas que cont´em a base e o lado oposto a ela ´e chamada de altura  do retˆangulo.

Quando os lados de um retˆangulo medem a e b, ele ´e chamado de retˆangulo de dimens˜oes

a e b.

Um segmento que liga dois v´ertices de um retˆangulo e que n˜ao est´a contido em qualquer de seus lados ´e chamado de diagonal desse retˆangulo.  Observemos que um retˆangulo possui exatamente duas diagonais e elas s˜ao congruentes.

Por fim, j´a vimos que um retˆangulo cujos lados s˜ao congruentes ´e chamado de quadrado, portanto, um pol´ıgono regular.

 

Para dar prosseguimento ao nosso estudo, precisamos do conceito de “congruˆencia” entre duas  regi˜oes  no  plano.    Este,  por  sua  vez,  foi  introduzido  em  se¸c˜ao  passada  a  partir  do

 

conceito muito plano.

u´til  em  geometria,  que  ´e  o  conceito  de  semelhan¸ca  entre  duas  regi˜oes  no

 

 

 

A´rea de Retˆangulo

 

Medir  uma  grandeza  significa  compar´a-la  com  uma  outra  de  mesma  natureza  que  cor- responde a uma unidade.

Intuitivamente,  a  ´area  de  um  pol´ıgono,  por  exemplo,  ´e  um  nu´mero  (resultante  da  com- para¸c˜ao acima) associado `a regi˜ao do plano ocupada pelo interior desse pol´ıgono.

Na  Geometria  Euclidiana  Plana,  definimos  que  uma  unidade  de  ´area  corresponde  `a regi˜ao do plano ocupada por um quadrado de lados unit´arios, chamado de quadrado unit´ario.

 

 

1

 

 

1

Figura  105:  Quadrado  unit´ario.

 

 

Sendo assim, medir a ´area de um pol´ıgono significa, de forma intuitiva, “verificar quantas vezes  o  quadrado  unit´ario  cabe  dentro  desse  pol´ıgono”.  De  forma  mais  precisa,  o  conceito de ´area de um pol´ıgono ´e definido de modo a satisfazer:

  • Pol´ıgonos F e G congruentes possuem a mesma ´area, ou seja, A (F) = A (G).
  • Pol´ıgonos F e G cuja intersec¸c˜ao de seus interiores ´e vazia s˜ao tais que A (F ∪ G) =

A (F) + A (G).

Naturalmente,  estabelecer  o  “tamanho”  de  uma  unidade  de  comprimento  ´e  algo  total-

mente  arbitr´ario.    Por  exemplo,  se  o  comprimento  1  dos  lados  do  quadrado  unit´ario  for

 

 

convencionado como sendo 1 metro  (1 m), ent˜ao dizemos que a ´area do quadrado unit´ario ´e

1 metro quadrado (1 m2).

Com  o  estabelecimento  da  unidade  de  ´area  e  das  condi¸c˜oes  acima  podemos  deduzir  a

´area  de  um  retˆangulo.  Esta,  por  sua  vez,  ser´a  u´til  na  conceitua¸c˜ao  precisa  de  ´area  de  uma regi˜ao que faremos adiante.

Teorema  2.22  A  ´area  de  um  retˆangulo  de  dimens˜oes  a  e  b ´e  A = ab,  ou  seja,  produto  do comprimento da base por sua altura.

Demonstra¸c˜ao.

Para  fixar  as  nota¸c˜oes,  tomemos  a  como  sendo  a  vari´avel  positiva  comprimento  (uma grandeza) da base, e b a altura do retˆangulo.

A  vari´avel  positiva  ´area  (outra  grandeza)  do  retˆangulo  depende  de  a  e  b,  ou  seja,  A =

A (a, b).

Observemos que, se fixarmos b, a vari´avel ´area A fica em fun¸c˜ao da vari´avel comprimento

a, ou seja, f (a) = A (a, b), ou, em linguagem mais familiar, f (x) = A (x, b).

Naturalmente,  devido  `a  condi¸c˜ao  (ii)  acima,  f  ´e  crescente,  pois,  com  altura  fixada,  se aumentarmos (ou diminuirmos) o comprimento da base do retˆangulo, entao sua ´area tamb´em aumenta (ou diminui).

Al´em disso, devido `a condi¸c˜ao (i) acima, com altura fixada, se duplicarmos o comprimento da base, a ´area duplica.  Se triplicarmos o comprimento da base, a ´area triplica, e assim, por diante.

 

b

a           a           a

Figura 106: Aplicando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Desta forma, temos A (nx, b) = nA (x, b) para qualquer n                N, ou seja, f (nx) = nf (x)

para qualquer n        N.

Pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que f (rx) = rf (x) para qual- quer r ∈ R+, ou seja,

A (rx, b) = rA (x, b) para qualquer r ∈ R+.

Naturamente, racioc´ınio an´alogo pode ser desenvolvido para a vari´avel altura, ou seja,

A (a, ry) = rA (a, y) para qualquer r ∈ R+.

Com as considera¸c˜oes acima:

A = A (a, b) = A (a, b.1) = bA (a, 1) = bA (a.1, 1) = abA (1, 1) .

Mas A (1, 1) ´e a ´area do retˆangulo unit´ario que, por defini¸c˜ao, ´e 1.

Conclus˜ao:

A = ab,

como quer´ıamos.                                                                                                                                               Q

E´   importante  observar  que,  se  as  dimens˜oes  de  um  retˆangulo  a  e  b  forem  nu´meros

naturais  ou  mesmo  racionais  positivos,  n˜ao  ´e  necess´ario  o  uso  do  Teorema  Fundamental da Proporcionalidade para demonstrar que A = ab.

 

 

Exerc´ıcio.   Demonstre  que  a  ´area  do  retˆangulo  de  dimens˜oes  racionais  positivas  a  e  b  ´e A = ab sem usar o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

 

2

Como um retˆangulo de dimens˜oes a e b pode ser dividido em dois triˆangulos retˆangulos congruentes  com  catetos  medindo  a  e  b,  temos  como  consequˆencia  imediata  do  teorema acima  que  a  ´area  Atr  de  um  tal  triˆangulo ´e  dada  pela  metade  do  produto  do  comprimento de sua base por sua altura, ou seja, Atr = ab.

 

O Conceito Geral de A´rea

 

Vamos definir um pol´ıgono especial, chamado de pol´ıgono  retangular , que nada mais

´e do que o pol´ıgono proveniente de uma reuni˜ao finita de retangulos justapostos pelos lados. Essa justaposic˜ao de retˆangulos ´e feita de tal modo que existem duas retas perpendiculares tais que qualquer lado do pol´ıgono retangular ´e paralelo a uma dessas duas retas (15).

Figura 107: Aproximando figuras por pol´ıgonos retangulares.

 

A  ´area  de  um  pol´ıgono  retangular   ´e,  devido  `a  condi¸c˜ao  (ii),  a  soma  das  ´areas  dos retˆangulos que o constituem.

Como  pretendemos  conceituar  ´area  para  objetos  mais  gerais  do  que  pol´ıgonos,  vamos utilizar  a  palavra  “regi˜ao”  para  objetos  no  plano  que  sejam  pass´ıveis  de  terem  a  ´area  n˜ao nula univocamente estabelecida conforme defini¸c˜ao abaixo.

 

Sejam R conjunto limitado de pontos no plano (16) e A (R) nu´mero real tal que:

Dados  r1, r2 ∈ R  quaisquer  com  r1 <  A (R)  <  r2,  existem  pol´ıgonos  retangulares  P1 ⊂ R ⊂ P2 cujas ´areas A (P1) e A (P2) satisfazem r1 < A (P1) ≤ A (R) ≤ A (P2) < r2.

O nu´mero real A (R) ´e definido como o ´area  de R.

R

Conjuntos         que  possuem  ´areas  n˜ao  nulas  definidas  conforme  acima  s˜ao  chamados  de

regi˜oes.

 

 

R                              R

Em  palavras  mais  simples,  a  ´area  de  uma  regi˜ao       ´e  o  nu´mero  real  A (    )  cujas  apro- xima¸c˜oes  por  falta  s˜ao  ´areas  de  pol´ıgonos  retangulares  contidos  na  regi˜ao  e  cujas  aprox- ima¸c˜oes por excesso s˜ao as ´areas de pol´ıgonos retangulares que contˆem a regi˜ao.

Em  cursos  mais  avancados  (de  An´alise  Real  ou  Teoria  da  Medida)  ´e  poss´ıvel  mostrar que  existem  conjuntos  limitados  de  pontos  no  plano  que  n˜ao  possuem  a  ´area  estabelecida

15Para que respeitemos a defini¸c˜ao de pol´ıgono as intersecc¸˜oes dos lados dos retˆangulos que comp˜oem um pol´ıgono  retangular  n˜ao  s˜ao  considerados  como  lados  do  mesmo.

16Conjunto  limitado  de  pontos  no  plano  significa  que  o  existe  um  retˆangulo  que  o  cont´em.

 

 

conforme  a  defini¸c˜ao  que  demos  acima.   Al´em  disso,  ´e  poss´ıvel  mostrar  que  a  ´area  de  um conjunto limitado de pontos no plano (quando existe) ´e u´nica.

Os leitores que possuem familiaridade com integrais de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real (integrais  simples)  devem  se  recordar  que  a  ´area  da  regi˜ao  plana  delimitada  pelo  eixo  das abscissas,  pelo  gr´afico  de  uma  fun¸c˜ao  positiva  e  limitada  e  por  duas  retas  paralelas  ao  eixo das ordenadas ´e feita  via  o limite  de  uma  Soma  de  Riemann,  que  est´a relacionada  com  um pol´ıgono retangular especial, obtido pela justaposi¸c˜ao de v´arios retˆangulos todos com bases sobre o eixo das abscissas.

 

A conceitua¸c˜ao de ´area que demos acima est´a bem definida do ponto de vista matem´atico, mas  ´e  bastante  inconveniente  para  usos  pr´aticos.   Precisamos  de  teoremas  que  facilitem  os c´alculos de ´areas para as principais regi˜oes do plano.

 

 

A´reas de Figuras Poligonais

 

Lema  2.3  Num  triˆangulo,  o  produto  de  cada  um  de  seus  lados  pela  altura  relativa  a  esse lado ´e  constante.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABC um triˆangulo com alturas AHA e BHB relativas aos lados BC e AC, respecti- vamente.  Suponhamos que o ortocentro do triˆangulo esteja em seu interior conforme figura abaixo.

 

 

 

 

 

 

 

H

B                                      C

A

Figura 108: Figura auxiliar.

 

Os  triˆangulos  AHAC  e  BHBC  s˜ao  semelhantes  pelo  caso  AA  pois  os  ˆangulos  HA  e  HB

s˜ao retˆangulos e o ˆangulo C ´e comum aos dois triˆangulos.

Logo,  existe  um  nu´mero  real  k  >  0  tal  que  AHA  =  k.BHB  e  AC  =  k.BC.  Portanto,

AHA.BC = BHB.AC.

De maneira an´aloga, mostramos que AHA.BC = CHC.AB.

O caso em que o ortocentro do triˆangulo est´a no exterior do triˆangulo ser´a deixado como exerc´ıcio.                                                                                                                                           Q

 

Teorema  2.23  A  ´area  de  um  triˆangulo ´e  dada  pela  metade  do  produto  do  comprimento  de um de seus lados pela altura relativa a este lado.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABC um triˆangulo e AHA a altura relativa ao lado BC.

 

A

A

 

h                                                                 h

b
b
b

B       1                   2               C     B            b                 2

H
A

C           H

b
b

A

 

1

Figura 109: Figura auxiliar.

 

2

Denotemos por b e h as medidas do lado BC e da altura AHA, respectivamente. Pelo lema anterior, basta mostrar que a ´area do triˆangulo ABC ´e  1bh.

Suponhamos, primeiramente, que HA est´a entre B e C, como na figura acima `a esquerda. Da´ı os triˆangulos ABHA e ACHA s˜ao retˆangulos e comp˜oem o triˆangulo ABC.

Por  2.5  a  ´area  de  ABHA ´e  1hb1  e  a  ´area  de  ACHA ´e  1hb2.  Logo,  a  ´area  do  triˆangulo

2                                                                            2

ABC ´e  1hb1 + 1hb2.

2                    2

2

Observando que b1 + b2 = b temos que a ´area do triˆangulo ABC ´e  1bh.

Caso HA coincida com B ou C o triˆangulo ABC ´e retˆangulo e o resultado decorre direta- mente de 2.5.

Se  C  estiver entre B  e  HA,  como  na  figura  acima `a direita,  ent˜ao os  triˆangulos  ACHA e

ABHA s˜ao retˆangulos e a ´area do triˆangulo ABC ´e a ´area do triˆangulo ABHA subtra´ıda da

´area do triˆangulo ACHA.

Logo, a ´area do triˆangulo ABC ´e  1hb11hb2 =  1bh pois, b1 = b + b2.                                                                                                                                              Q

2                    2                     2

 

Como  consequˆencia  do  teorema  acima,  temos  o  seguinte  resultado:   sejam  ABC  um triˆangulo  e  r  reta  passando  por  A  e  paralela  ao  lado  BC.  Ent˜ao,  qualquer  triˆangulo  AjBC com Aj ∈ r possui a mesma ´area do triˆangulo ABC.

A                            A‛     r

 

 

 

B                     C

Figura  110:  Uma  propriedade  relativa  `a  ´area  de  triˆangulos.

 

Tamb´em  ´e  consequˆencia  imediata  do  teorema  acima  que  a  ´area  de  um  losango  ´e  dada pela metade do produto do comprimento de suas diagonais.

A

A

 

d

B                                               D

B                                               D                                 2

d

B                         2                                   D

C

Figura  111:  Calculando  a  ´area  de  um  losango.

 

 

Embora a palavra base  seja utilizada em v´arios contextos na Matem´atica (e em especial na Geometria), ´e comum dizer que a ´area de um triˆangulo ´e metade do produto da base pela altura,  significando,  com  isto,  que  estamos  escolhendo  um  lado  do  triˆangulo  como  base,  e  a altura  em  quest˜ao ´e  a  altura  relativa  a  este  lado.  Naturalmente,  quando  dizemos  “produto da base pela altura”, estamos cometendo um abuso de linguagem, confundindo base (que

´e  um  segmento)  com  o  comprimento  da  base.   Este  tipo  de  abuso  n˜ao  causa  transtornos pois  o  contexto  sempre  estar´a  claro.  Continuaremos  a  fazˆe-lo  abaixo  com  paralelogramos  e trap´ezios.

A  distˆancia  entre  lados  opostos,   que  chamaremos  de  bases,   de  um  paralelogramo  ´e chamada  de  altura  do  paralelogramo  relativa  a  este  par  de  lados.   Naturalmente,  h´a  duas alturas em um paralelogramo.

base

base

 

Figura 112: Estabelecendo bases e altura em paralelogramo.

Teorema  2.24  A  ´area  de  um  paralelogramo  ´e  dada  pelo  produto  do  comprimento  de  uma base pela altura correspondente.

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABCD um paralelogramo e escolhamos a base b = BC e altura h = AH.

D

 

 

 

B

Figura 113: Figura auxiliar.

A  diagonal  AC  divide  o  paralelogramo  em  dois  triˆangulos  congruentes  pelo  caso  LLL,

2

logo,  os  triˆangulos  possuem  a  mesma  ´area  que  ´e  1bh.  Assim,  a  ´area  do  paralelogramo  ´e

1bh + 1bh = bh.                                                                                                                                              Q

2                 2

Observemos  que  a  f´ormula  da  ´area  de  um  retˆangulo  ´e  um  caso  particular  do  teorema

acima.

A  distˆancia  entre  lados  opostos  e  paralelos  de  um  trap´ezio,  que  chamaremos  de  bases menor  e  maior, ´e chamado de altura do trap´ezio.

base menor

base maior

Figura  114:  Estabelecendo  bases  e  altura  em  trap´ezios.

 

 

Teorema  2.25  A  ´area  de  um  trap´ezio  ´e  dada  pela  metade  do  produto  de  sua  altura  pela soma dos comprimentos de suas bases.

 

Demonstra¸c˜ao.

Seja ABCD um trap´ezio.

 

 

 

 

 

 

b

C                     2                                   D

Figura 115: Figura auxiliar.

 

Denotemos AB = b1, CD = b2 as bases do trap´ezio e h sua altura.

Consideremos os triˆangulos ACD e ADB. Ent˜ao, pelo Teorema 2.23 a ´area do triˆangulo

ACD ´e  1hb2 e a ´area do triˆangulo ABD ´e  1hb1.

2                                                                                                  2

Logo,  utilizando  a  defini¸c˜ao  de  pol´ıgono,  temos  que  a  ´area  do  trap´ezio  ´e  1hb2 +  1hb1,

2                    2

2

ou seja, 1h (b1 + b2) .                                                                                                                                                Q

Observemos  que  as  demonstra¸c˜oes  que  fizemos  nos  dois  teoremas  acima  consistem  em dividir figuras em triˆangulos.  Essa ideia pode ser generalizada para pol´ıgonos quaisquer.  A

´area de um pol´ıgono pode ser obtida particionando-se o pol´ıgono em triˆangulos e calculando a soma das ´areas desses triˆangulos.

Neste  ponto,  uma  quest˜ao  se  coloca  de  modo  natural:  sempre ´e  poss´ıvel  particionar  um pol´ıgono  em  triˆangulos?   A resposta ´e ´obvia quando o pol´ıgono ´e convexo, pois ele pode ser particionado  em  triˆangulos  a  partir  de  um  u´nico  v´ertice.  Neste  caso,  um  pol´ıgono  convexo de n lados pode ser particionado em n − 2 triˆangulos.

Figura  116:  Dividindo  um  pol´ıgono  em  triˆangulos.

 

O curioso ´e que a divis˜ao de um pol´ıgono de n lados em n− 2 triˆangulos tamb´em ´e v´alida para pol´ıgonos n˜ao convexos.

Como consequˆencia, este resultado leva-nos imediatamente ao teorema:

Um  pol´ıgono  de  n  lados  possui  ˆangulos  internos  cuja  soma ´e  dada  por  (n − 2) .180.

 

 

A´rea de Disco e Setor Circular

 

A ´area de um disco pode ser obtida de forma an´aloga `aquela que fizemos para calcular o comprimento de uma circunferˆencia.  Por meio de pol´ıgonos regulares inscritos e circunscritos

 

 

ao disco.  Para tanto, precisamos das rela¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas do triˆangulo retˆangulo

ABC com ˆangulo reto em B:

AC

sen  A^   =  BC ;

AC

cos  A^   =  AB ;

 

 

 

C

 

 

 

 

A                                       B

Figura  117:  Estabelecendo  raz˜oes  entre  os  comprimentos  dos  lados  de  um  triˆangulo retˆangulo.

 

2
n

Exerc´ıcios.  (i) Mostre que a ´area de um pol´ıgono regular de n lados inscrito em um disco de raio r ´e dada por  1r2n sen     .

    raio r ´e dada por r  n tg           .
  • Mostre que a  ´area  de  um  pol´ıgono  regular  de  n  lados  circunscrito  em  um  disco  de

2                π

n

    ferˆencia de raio r ´e dado por 2rn sen            .
  • Mostre que o per´ımetro de um pol´ıgono regular de n lados inscrito em uma circun-

π n

    circunferˆencia de raio r ´e dado por 2rn tg            .
  • Mostre que o  per´ımetro  de  um  pol´ıgono  regular  de  n  lados  circunscrito  em  uma

π n

 

Para o pr´oximo teorema, que usa os dois primeitos itens do exerc´ıcio acima, o leitor notar´a que utilizamos de forma expl´ıcita alguns limites. Optamos por essa abordagem devido ao fato de que tal conceito geralmente j´a ´e de dom´ınio do leitor a esta altura dos estudos.  Al´em disso, a no¸c˜ao de limite j´a apareceu de forma velada em alguns resultados deste pr´oprio texto como, por exemplo, na dedu¸c˜ao da f´ormula do comprimento de circunferˆencia e no Teorema de Tales.

Teorema  2.26  A  ´area  de  um  disco  de  raio  r ´e  πr2.

Demonstra¸c˜ao.

Denotemos por A a ´area do disco.  Conforme o Teorema 2.20 podemos inscrever e circun- screver  pol´ıgonos  regulares  de  qualquer  nu´mero  de  lados  na  circunferˆencia  delimitada  pelo disco.

Consideremos  um  pol´ıgono  P1  de  n  lados  inscrito  no  disco.   Pelo  exerc´ıcio  anterior  sua

2
n

´area ´e  1r2n sen      .

    exerc´ıcio anterior, sua ´area ´e r  n tg            .

Consideremos  agora  um  pol´ıgono  P2  de  n  lados  circunscrito  no  disco.  Novamente,  pelo

2                π

n

Agora,  pela  defini¸c˜ao de  ´area,  a  ´area  do  disco ´e  maior  do  que  a  do  pol´ıgono  P1 e  menor

do que a do pol´ıgono P2, ou seja,

2
n
n

1 r2n sen      < A < r2n tg   π  .

 

 

Aumentando indefinidamente o nu´mero de lados dos pol´ıgonos P1 e P2 a rela¸c˜ao permanece.

sen(x)

     sen

Da´ı, utilizando o limite fundamental limx  0             x      = 1 e propriedades de limites, temos que

 

 

lim

n→+∞

1 r2n sen 2

 

 

= r2 lim

              n

n→+∞

π         n   = πr2.

              n                                          

n

 

π

sen  π

sen  π                        1

 

 

lim

n→+∞

r n tg    n

= r     lim

n→+∞

ncos  π  = r

lim  π      π

n→+∞              n

lim

n→+∞

cos  π  = πr .

 

Portanto, pelo Teorema do Sandu´ıche (ou do Confronto) temos que A = πr2.                                                                                                                                                   Q

Seja BXC um arco de circunferˆencia de centro A e extremos B e C.  O conjunto de todos

os segmentos com extremos em A e em um ponto do arco BXC ´e chamado de setor circular

de centro A e raio r = AB = AC.

C

 

X

A

 

B

Figura 118: Setor circular.

O  procedimento  para  o  c´alculo  da  ´area  de  um  setor  circular  ´e  an´alogo  ao  que  fizemos para o c´alculo do comprimento de um arco de circunferˆencia.  Vamos repeti-lo abaixo.

Consideremos uma fun¸c˜ao f que associa os ˆangulos de medida θ dos setores circulares de raio  r  (fixo)  `as  suas  ´areas,  ou  seja,  Aθ = f (θ) ´e  a  ´area  do  setor  circular  de  raio  r  e  ˆangulo de medida θ.

A  fun¸c˜ao  f  ´e,  obviamente  crescente  (decorre  das  propriedades  de  ´area)  e,  al´em  disso, se  duplicarmos  o  ˆangulo  do  setor,  a  ´area  duplica.    Se  triplicarmos  o  ˆangulo  do  setor,  a

´area  triplica,  e  assim  por  diante.  Logo,  estamos  nas  hip´oteses  do  Teorema  Fundamental  da Proporcionalidade.  Isso significa que a medida do ˆangulo de um setor circular ´e diretamente proporcional  a  sua  ´area.  Assim,  Aθ =  f (θ)  =  kθ,  sendo  k  =  f (1)  a  ´area  do  setor  circular de  ˆangulo  1.   Se  adotarmos  a  unidade  de  medida  radianos,  a  ´area  de  um  setor  circular  de

2

ˆangulo medindo 1 radiano ´e  πr2    =  r2 .

 

Assim

r2 Aθ = 2 θ

 

´e a ´area de um setor circular de raio r e ˆangulo de medida θ radianos.

Figura  119:  Estabelecendo  a  ´area  de  um  setor  circular  em  fun¸c˜ao  de  seu  ˆangulo.

 

 

 

Se utilizarmos a unidade de medida graus temos k = f (1) =  πr2  , ou seja, A

= πr2 θ

 

sendo θ dado em graus.

360

θ          360

 

 

O  racic´ınio  desenvolvido  acima  pode  ser  colocado  em  um  dispositivo  pr´atico  bastante interessante, conhecido como “regra de trˆes”:

 

 

 

=     2πAθ

= θπr2

r2 Aθ = 2 θ.

 

 

O mesmo desenvolvimento acima pode ser feito relacionando as grandezas comprimento de arco l do setor circular de raio r e sua ´area Al, chegando a

r Al = 2 l.

O dispositivo pr´atico, neste caso fica do seguinte modo:

 

 

 

=     2πrAl

= lπr2

Al =

r 2 l.

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

Figura  120:  Estabelecendo  a  ´area  de  um  setor  circular  em  fun¸c˜ao  de  seu  arco.

 

 

 

2

Essa  mesma  f´ormula  pode  ser  obtida  de  Aθ

=  r2 θ  apenas  lembrando  da  defini¸c˜ao  de

 

r

radiano: θ = l.

 

 

Semelhan¸ca e A´reas

 

 

Definimos figuras semelhantes em se¸c˜ao anterior. entre semelhan¸ca e ´area dada pelo seguinte teorema.

E´  poss´ıvel mostrar uma curiosa rela¸c˜ao

 

 

Teorema  2.27  Sejam F e G figuras planas semelhantes cuja raz˜ao de semelhan¸ca de F para

G seja k.  Ent˜ao, A (F) = k2A (G), sendo A (F) e A (G) as ´areas de F e G, respectivamente.

A demonstra¸c˜ao deste teorema faz uso de homotetia e ´e deixada como desafio para o leitor.

Casos especiais em que F e G s˜ao pol´ıgonos s˜ao bastante f´aceis de serem demonstrados.

Uma  considera¸c˜ao  final  interessante  sobre  ´areas.

 

 

Todas as f´ormulas de ´areas de Geometria Euclidiana Plana que estudamos s˜ao concebidas tomando-se  o  quadrado  unit´ario  como  unidade  de  ´area.   Uma  pergunta  bastante  natural que  pode  ser  feita  ´e  a  seguinte:   como  ficam  essas  f´ormulas  se  a  unidade  de  ´area  fosse convencionada  como  sendo  uma  figura  diferente  do  quadrado  unit´ario?    A  resposta  n˜ao  ´e dif´ıcil de ser concebida.  As f´ormulas mudam, mas n˜ao muito.  Na verdade, as novas f´ormulas diferir˜ao  das  “originais”  apenas  por  um  fator  constante  (que  depender´a  apenas  da  figura tomada como unidade de ´area).  Neste sentido, o conceito de ´area ´e universal.

 

 

 

 

 

 

 

Apˆendice

 

Equivalentes ao Quinto Postulado de Euclides

 

Conforme comentamos na parte hist´orica do in´ıcio do cap´ıtulo sobre Geometria Euclidi- ana, v´arias tentativas de demonstra¸c˜ao do Quinto Postulado de Euclides fracassaram devido ao uso de proposi¸c˜oes equivalentes ao pr´oprio postulado que se pretendia demonstrar.  Essas proposi¸c˜oes s˜ao bastante curiosas devido ao fato de que s´o valem na Geometria Euclidiana. O  leitor  n˜ao  ter´a  dificuldades  em  reconhecer  v´arias  dessas  proposi¸c˜oes,  algumas  das  quais est˜ao demonstradas nesse texto.

 

Quinto Postulado de   Euclides – Se uma reta corta duas outras retas formando um par de  ˆangulos  colaterais  internos  cuja  soma ´e  menor  do  que  dois  retos,  ent˜ao  as  duas  retas,  se continuadas  infinitamente,  encontram-se  no  lado  onde  est˜ao  os  ˆangulos  cuja  soma ´e  menor do que dois retos.

 

 

Figura 121: α + β < 180 =

r  n˜ao ´e  paralela  a  s.

 

 

 

  • (John Playfair, 1748 − 1819) – Por um ponto fora de uma reta pode-se tra¸car uma u´nica reta paralela `a reta

Observa¸c˜ao:  esse ´e o enunciado que adotamos como “Axioma das Paralelas” desse texto.

 

  • A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e sempre igual a dois ˆangulos Observa¸c˜ao:  na  Geometria  Hiperb´olica,  essa  soma  ´e  menor  do  que  dois  ˆangulos  retos,  en- quanto, na Geometria El´ıptica, ´e maior.

 

  • Existe um par de triˆangulos semelhantes e n˜ao congruen

Observa¸c˜ao:  semelhan¸ca ´e conceito exclusivo da Geometria Euclidiana!

 

  • Existe um par de retas

 

  • Se r //s e s // t, ent˜ao r // t.

 

  • Considere a figura abaixo:

 

s      t                           n

 

b d                        m

a      g

r

Figura 122

Se α + β = γ + δ = 180, ent˜ao m = n.

 

  • A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e sempre a

 

  • Dados quaisquer trˆes pontos n˜ao colineares, existe um c´ırculo passando por estes trˆes

 

  • Se trˆes dos ˆangulos de um quadril´atero s˜ao retos, ent˜ao o u´ltimo tamb´em ´e

 

  • Uma reta que corta uma de duas paralelas, corta tamb´em a

 

  • Uma reta perpendicular a uma de duas paralelas ´e, tamb´em, perpendicular a

 

  • Retas paralelas s˜ao equidistan

 

  • Existem retˆ

Observa¸c˜ao:  isso significa que n˜ao existem retˆangulos em geometrias n˜ao euclidianas!

 

  • Considere a figura abaixo:
    • D

 

 

 

  • C

Figura 123

 

Se AB ≡ CD, ent˜ao α = β = 90.

  • Um ˆangulo inscrito em um semic´ırculo ´e sempre

 

  • Lados opostos de um paralelogramo s˜ao congruentes. (paralelogramo:  quadril´atero com lados opostos paralelos)

 

  • Considere a figura abaixo:

Figura 124

 

 

Se r ´e paralela a s, ent˜ao α + β = γ + δ.

 

∈          ∈                      ⊥
  • Sejam m e n duas retas, A m e B     n tais que AB      n e forma um ˆangulo agudo com  m.   Ent˜ao,  as  perpendiculares  baixadas  de  m  `a  reta  n,  do  lado  do  ˆangulo  agudo  s˜ao menores do que AB e as que ficam do outro lado s˜ao maiores do que AB.

 

 

 

 

 

D                     B                       F            n

Figura 125 CD > AB > EF.

 

  • Dado um  triˆangulo,  ´e  poss´ıvel  construir  outro  semelhante  com  lados  arbitrariamente

 

  • Por um ponto dentro de um ˆangulo menor que dois retos pode-se tra¸car uma reta que intesecta os dois lados desse ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Referˆencias  Bibliogr´aficas

 

 

 

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