APOSTILA DE ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA = PDF DOWNLOAD

 

 

 

 

 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

APOSTILA DE ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA

 

 

 

 

 

 

 

 

SONIA ISOLDI MARTY GAMA MÜLLER

2008

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

APRESENTAÇÃO

 

 

A Estatística é uma ferramenta imprescindível a qualquer pesquisador ou pessoa que necessite tomar decisões. O seu estudo não representa uma tarefa muito fácil, principalmente no início, quando são apresentados muitos conceitos novos que exigem um tipo especial de raciocínio.

 

Uma boa base teórica é importante e necessária para que o estudo da Estatística seja prazeroso e não muito sofrido.

 

Com o intuito de facilitar a apresentação e aprendizado da Estatística desenvolveu-se este material para servir de apoio didático à disciplina de Estatística II, apresentada aos alunos dos cursos de Engenharia.

 

 

Sonia Isoldi Marty Gama Müller

 

 

 

ÍNDICE

• INTRODUÇÃO………………………………………………………………………. 4
• ESTATÍSTICA DESCRITIVA………………………………………………… 5

III – PROBABILIDADE……………………………………………………………. 12

• AMOSTRAGEM………………………………………………………………… 35
• ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS……………………………………….. 39
• TESTES DE HIPÓTESES…………………………………………………….. 42
• TESTES DE HIPÓTESES…………………………………………………….. 42
• ANÁLISE DA VARIÂNCIA (COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS) 51
• REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES……….. 54

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………… 58

TABELAS………………………………………………………………………………… 59

 

• INTRODUÇÃO

 

• DEFINIÇÕES .

 

• ESTATÍSTICA:

 

A Estatística refere-se às técnicas pelas quais os dados são “coletados”, “organizados”, “apresentados” e “analisados”.

Pode-se dividir a ciência Estatística em dois grupos de estudo:

1. Estatística Descritiva: refere-se as técnicas de sintetização, organização e descrição de dados.

• Estatística Inferencial: compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre a população baseadas na observações de amostras.

População é o conjunto “Universo” dos dados sobre os quais se quer estudar.

Amostra   é   um    subconjunto   da   população   que   contenha                             todas     suas propriedades.

 

POPULAÇÃO Û AMOSTRA

 

PROBABILIDADE

 

População                                            Amostra

 

ESTATÍTICA

 

• VARIÁVEL

Variável é uma característica da população à ser estudada.

Tipos de Variáveis: qualitativas e quantitativas

discretas e contínuas

 

• QUALITATIVAS : quando resultar de uma classificação por tipo ou

Ex:      Pop.: canetas fabricadas

Var.: cor (azul, vermelha, preta, etc)

 

• QUANTITATIVAS: quando seus valores forem expressos em

Podem-se dividir em dois tipos variáveis quantitativas discretas e variáveis quantitativas contínuas.

 

• VARIÁVEIS DISCRETAS: quando seus valores forem expressos por números

Ex.:          Pop.: pessoas atendidas em um caixa de banco Var.: número de pessoas por sexo

 

• VARIÁVEIS CONTÍNUAS: quando seus valores forem expressos em intervalos

Ex.:                  Pop.: salários de empregados de uma empresa Var.: valores (US$)

 

 

• ESTATÍSTICA DESCRITIVA

 

A Estatística Descritiva tem como objetivo a organização e descrição de dados experimentais.

 

EXEMPLO: Tempo de atendimento (min.) aos clientes por um vendedor de uma loja de materiais de construção.

 

Dados brutos:      3,5	1,9	2,1	1,6	3,1
1,0	1,4	1,8	1,2	1,3
0,8	1,1	0,5	2,5	1,3
0,7	1,7	1,4	1,3	1,6
Rol:      0,5	0,7	0,8	1,0	1,1
1,2	1,3	1,3	1,3	1,4
1,4	1,6	1,6	1,7	1,8
1,9	2,1	2,5	3,1	3,5

 

• TABELAS:

 

• AMPLITUDE TOTAL:

 

AT = Máx. – Mín.

 

 

No exemplo: AT=3,5 – 0,5 = 3,0

 

• NÚMERO DE CLASSES:

 

Fórmula de Sturges para o cálculo do número de classes:

 

k = 1 + (3,3 x log n)

 

onde:

k = número de classes

n = número de dados disponíveis

 

No exemplo:

k = 1 + 3,3 log 20 = 5,29 ( 5 ou 6 classes)

 

 

• AMPLITUDE DE CLASSE:

 

AC = AT

k

 

 

 

• PONTO MÉDIO DE CLASSE

 

 

 

 

onde:

x = LIi + LSi i                     2

 

xi = ponto médio da classe i

 

LI i

LSi

= limite inferior da classe i

= limite superior da classe i

 

 

 

 

TEMPO DE ATENDIMENTO AOS CLIENTES DE UM VENDEDOR EM UMA LOJA

 

CLASSE (Tempo)	FREQÜÊNCIA ABSOLUTA fi	FREQÜÊNCIA RELATIVA Fr	FREQÜÊNCIA ACUMULADA Fa	PONTO MÉDIO xi
0,5 ├──── 1,1	4	0,20 (20%)	4	0,8
1,1 ├──── 1,7	9	0,45 (45%)	13	1,4
1,7 ├──── 2,3	4	0,20 (20%)	17	2,0
2,3 ├──── 2,9	1	0,05 (5%)	18	2,6
2,9 ├────| 3,5	2	0,10 (20%)	20	3,2
TOTAL	20	1,00 (100%)	–	–

FONTE: Lojas Balasol.

 

 

• GRÁFICOS:
  • HISTOGRAMA:

 

Tempo de Atendimento aos Clientes de um Vendedor em uma Loja

10

 

8

 

6

Freg.

4

 

2

 

 

0

0,8

1,4          2

2,6

3,2

 

Tempo (min.)

 

 

 

• POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA

 

 

 

 

 

 

10

9

8

7

6

Freq.  5

4

3

2

1

0

Tempo de Atendimento aos Clientes de um Vendedor em uma Loja

0      0,2     0,8     1,4      2       2,6     3,2     3,8     4,4

Tempo (min.)

 

 

 

 

 

• MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

 

• MÉDIA ARITMÉTICA:

 

POPULAÇÃO                              AMOSTRA

 

 

 

DADOS ISOLADOS:          m =

å xi

i =1

 

å xi

x = i=1      

 

N                                           n

 

 

k

å f i xi

å fi xi

k

 i=1              

 

 

DADOS AGRUPADOS:

m = i =1                                                                   x =

 

 

 

onde:     x = valores da variável

k

å f i

i = 1

å fi i=1

 

n = número de elementos da amostra

N = número de elementos da população

fi   = freqüência da classe i xi   = ponto médio da classe i k = número de classes

 

EXEMPLO 1:

Para dados isolados: x = 1,59 Para dados agrupados: x = 1,61

 

• MEDIANA ( ~x ):

Divide o conjunto “ordenado” de valores em 2 partes iguais, não considerando o valor numérico, mas somente a posição.

 

EXEMPLO 1:  Seja o conjunto A={7 8 10 5  3 2  6}

 

Rol: 2 3 5 6 7 8 10

então:  ~x = 6

EXEMPLO 2: Seja o conjunto  B = {10  11 12  13  15  9 200  1000 }

 

Rol: 9 10 11 12 13 15 200 1000

 

então:  ~x = 12 + 13 = 12,5

2

• MODA ( x‸):

Moda(s) de um conjunto de valores é o valor(es) de freqüência máxima.

 

EXEMPLO 1: Seja o conjunto  B = {13 10 11  12  13  15  9 200  1000 }

xˆ = 13

Distribuição Normal :  x = ~x = xˆ

 

 

• FRACTIS: Quartis, Decis e

 

• QUARTIS: Q₁ , Q₂ e    Q₃ . Dividem os valores ordenados em quatro subconjuntos com iguais números de elementos.

 

• DECIS: D₁, D₂, …, D₉ . Dividem os valores ordenados e dez subconjuntos com iguais números de elementos.

 

• PERCENTIS: P₁, P₂, …, P₉₉ . Dividem os valores ordenados e cem subconjuntos com iguais números de elementos.

Q₂ = D₅ = P₅₀ = ~x (mediana)

 

• MEDIDAS DE DISPERSÃO:

 

Dados os conjuntos:
A = { 2, 3, 5, 6, 4}	~x A= 4	x	A = 4
B = {1, 4, 0, 5, 10}	~x B = 4	x	B = 4

 

 

 

• AMPLITUDE TOTAL:

 

AT = Máx – Mín AT_A = 6 – 2 = 4

 

• VARIÂNCIA:

 

Média dos quadrados das diferenças dos valores em relação a sua média aritmética.

 

n

POPULAÇÃO                            AMOSTRA

 

N

å(xi

– m )2

å(xi

– x)2

 

DADOS ISOLADOS:

s 2 = i=1                      

N

 

k

2

s ² =

i=1

 

 

 

k

å

n – 1

f .(x

– x)2

 

åfi.(xi  – m)                               i        i

 

DADOS AGRUPADOS:

s2  =  i=1                            

s2 = i=1                             

 

æ ^k     ö

æ k    f ö – 1

 

çåfi ÷

çå i ÷

 

è i=1      ø

è i=1        ø

 

 

• DESVIO PADRÃO:

 

Como a variância envolve o quadrado dos desvios, e é dada em número de unidades elevadas ao quadrado; o desvio padrão torna a unidade da variável igual a da média.

 

POPULAÇÃO                                    AMOSTRA

 

s=                                       s =

 

EXEMPLO 1:

Para dados isolados: s = 0,7553

 

• COEFICIENTE DE VARIAÇÃO:

 

Caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos ao seu valor médio. É uma medida adimensional e é usada na comparação entre distribuições de dados de unidades diferentes.

 

 

 

EXEMPLO 1:

 s

cv

= x ´

100

 

Para dados isolados: cv = 46,30% Para dados agrupados: cv = 40,60%

 

• EXERCÍCIOS:

 

 

• Os dados a seguir referem-se ao diâmetro, em polegadas, de uma amostra de 60 rolamentos de esferas produzidos por uma

 

0,738   0,729   0,743   0,740   0,741   0,735   0,731   0,726   0,737   0,736

0,728   0,737   0,736   0,735   0,724   0,733   0,742   0,736   0,739   0,735

0,745   0,736   0,742   0,740   0,728   0,738   0,725   0,733   0,734   0,732

0,733   0,730   0,732   0,730   0,739   0,734   0,738   0,739   0,727   0,735

0,735   0,732   0,735   0,727   0,734   0,732   0,736   0,741   0,736   0,744

0,732   0,737   0,731   0,746   0,735   0,735   0,729   0,734   0,730   0,740

 

Baseado na distribuição de dados construa:

 

1. Tabela da distribuição de freqüência, utilizando a fórmula de Sturges.
2. Polígono de freqüência
3. Histograma

 

• Utilizando a tabela que você construiu no problema 5.1. determine:

 

1. Média Aritmética para dados isolados
2. Desvio padrão para dados isolados
3. Mediana para dados isolados
4. Moda para dados isolados
5. Coeficiente de Variação

 

 

• Uma amostra dos salários mensais em reais de 50 operários da Construção Civil de uma certa Empresa são apresentados a seguir.

 

415	424	477	454	397	424	549	441	513	425
391	450	524	410	413	543	560	469	585	556
449	442	424	447	527	457	544	420	465	514
473	398	389	340	401	391	382	397	437	383
433	524	497	513	429	389	440	427	491	414

 

Baseado na distribuição de dados construa:

1. Tabela da distribuição de freqüência, utilizando a fórmula de Sturges.
2. Polígono de freqüência
3. Histograma

 

• Utilizando a tabela que você construiu no problema 5.3. determine:

 

1. Média Aritmética para dados isolados
2. Desvio padrão para dados isolados
3. Mediana para dados isolados
4. Moda para dados isolados
5. Coeficiente de Variação

 

• Para uma amostra da vida útil de ferramentas de corte em um processo industrial apresentadas abaixo, determine:

 

 

 

120	88	77	122	89	69	71	99	57	107
100	92	102	77	105	101	66	92	95	127
102	63	81	95	88	64	69	122	97	81
125	53	62	95	53	86	85	89	103	102

 

 

1. Média Aritmética para dados isolados
2. Desvio padrão para dados isolados
3. Mediana para dados isolados
4. Moda para dados isolados
5. Coeficiente de Variação

 

 

III – PROBABILIDADE

 

3.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS: 3.1.1- INTRODUÇÃO:

 

PROBABILIDADE

 

ESTATÍSTICA

 

Universo : W ou U

Vazio: Æ

União: A È B Intersecção: A Ç B

Complemento: A’ ou A ou A^c Diferença: A – B (A mas não B)

 

DIAGRAMA DE VENN:

 

Teorema 1: Lei Comultativa.

A È B = B È A e A Ç B = B Ç A

 

Teorema 2: Lei Associativa.

A È (B È C) = (A È B) È C e A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

 

Teorema 3: Lei Distributiva.

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)                                                  e A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

 

Teorema 4:

(A^c)^c = A

Teorema 5:

A Ç U = A È U =

A Ç Æ = A È Æ =

 

 

Teorema 6:

A Ç A^’ = A È A^’ = A Ç A = A È A =

 

Teorema 7 : Leis de De Morgan (A È B)’ = A’Ç B’                           e

(A Ç B)’ = A’È B’

 

Teorema 8:

A – B = A Ç B’

 

Teorema 9:

A = (A Ç B) È (A Ç B’)

 

Teorema 10:

(A È B) = A È (A^c Ç B)

 

Teorema 11:

Se A Ì B, então  A Ç B = A e A È B = B

 

3.1.2- AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS:

 

• PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM:

Se   um    acontecimento   pode    ocorrer   por   várias   etapas                   sucessivas                  e independentes de tal modo que:

m₁ é o n^º de possibilidades da 1^ª etapa m₂ é o n^º de possibilidades da 2^ª etapa

:

m_k é o n^º de possibilidades da k^ª etapa

 

Então o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é m₁x m₂ x

…x m_k.

 

Exemplo:

Número possíveis de placas de automóveis:

26 letras ® m₁=26³

10 algarísmos ® m₂=10⁴

Total: ® m1x m2 = 175.760.000

 

• AMOSTRAS ORDENADAS:

Suponha ter os conjuntos A e B. Se A tem m elementos distintos (a₁, a₂,…,a_m) e B tem p elementos distintos (b₁, b₂,…,b_p), então o número de pares (a_i,b_j), com i=1,2,…,m e j=1,2,…,p; que podem ser formados, tomando-se um ponto de A e um ponto de B é:  m.p (pelo Princípio Fundamental da Contagem).

 

 

Suponha, ainda que ter n conjuntos A₁, A₂,…,A_n cada um tendo m₁, m₂,…,m_n elementos distintos, respectivamente. Então, o número de n-uplas (x₁, x₂,…,x_n) que podem ser formadas com um elemento x_i de cada A_i é m₁ x m₂ x …x m_n (pelo Princípio Fundamental da Contagem).

Quando cada conjunto A_i é o mesmo conjunto A com N elementos distintos, tem-se Nⁿ n-uplas.

 

-AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO:

 

Exemplo1: Suponha que uma caixa tenha N bolas numeradas de 1 a N. Extrair uma bola e recolocar. Quantas n-uplas podem ser formadas com os n números obtidos nas extrações?

R: Nⁿ

 

Exemplo 2: Suponha que a caixa tenha 3 bolas, represente as possíveis n-uplas resultantes de n=2 extrações com reposição.

R: São 3²=9 possíveis resultados.

 

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)

 

 

–AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO:

 

Exemplo 1: Suponha que uma caixa tenha N bolas numeradas de 1 a N. Extrair uma bola e não recoloca-la de volta na caixa. Quantas n-uplas podem ser formadas ?

 

R: A_N,n =

N!

 

(N – n)!

 

Exemplo 2: No caso da caixa conter 3 bolas, represente as possíveis n-uplas resultantes de n=2 extrações.

R: São A_3,2= 6 possíveis resultados

(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2)

 

 

1.3.3 AMOSTRAS NÃO ORDENADAS:

O número de amostras distintas de tamanho n que podem ser extraídas, sem reposição e sem considerar a ordem que eles aparecem, de um conjunto de N objetos distintos é denominado de Combinação, denotado por C_N,n e dado pela fórmula:

 

æ Nö         N!

 

(      )

CN,n

= ç    ÷ =

n       n! N – n !

 

è    ø

 

 

 

–DIAGRAMA DE ÁRVORE

È a representação esquemática do experimento de se combinar um elemento do conjunto A com um elemento do conjunto B. Também pode-se combinar com elementos de um terceiro conjunto, porém com 4 ou mais conjunto este procedimento não é recomendado.

 

 

Exemplo: Suponha que se queira combinar 2 gravatas (g₁, g₂) com 3 camisas (c₁, c₂, c₃).

RESUMINDO:

 

Permutações:

Sem repetição😮 número de maneiras de dispor N objetos diferente é dado por: P_N = N!

Com repetição: o número de maneiras de dispor de N objetos dos quais N₁ são iguais, N₂ são iguais,…, é dado por:

 

 

PN =

N!

 

N1!xN 2!x…

 

 

Arranjos:

Se tivermos N objetos diferentes e desejamos escolher n desses objetos (

n £ N ) e permutar os n escolhidos é dado por:

 

=

N!

N – n !

AN, n       (      )

 

Combinações:

Se tivermos N objetos diferentes e queremos o número de maneiras de se obter n dentre esses N, sem considerar a ordem teremos:

 

æ Nö         N!

 

(      )

CN,n

= ç    ÷ =

n       n! N – n !

 

è    ø

 

 

 

3.1.3- ESPAÇO AMOSTRAL:

 

Experimento Aleatório:

Quando na vida real se realiza uma experiência (experimento) cujo resultado não pode ser previsto com certeza.

 

Espaço Amostral:

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, denotado por W ou S.

 

Evento Aleatório:

Qualquer subconjunto de interesse do espaço amostral W.

 

Evento Simples ou Elementar: único ponto amostral {a} Evento Certo: W

Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos: A Ç B = Æ

 

 

• DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE:

 

Quando se deseja associar números aos eventos, de tal forma que estes venham traduzir as possibilidade dos eventos ocorrerem, atribui-se à ocorrência dos eventos uma medida denominada de Probabilidade do Evento.

 

• DEFINIÇÃO CLÁSSICA:

Se existem a resultados possíveis favoráveis à ocorrência de um evento A e b resultados possíveis não favoráveis à ocorrência de A, e sendo todos os resultados igualmente prováveis e mutualmente exclusivos, então a probabilidade do evento A ocorrer é:

 

 

P( A) =

a a + b

 

 

ou

P( A) = # A

# W

 

• DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA:

Para todo A Î A que associe um número real P(A), chamado de Probabilidade de A, de modo que os axiomas a seguir sejam satisfeitos:

 

Axioma1: P(A) ³ 0    ” A Î A

 

Axioma 2: P(W) = 1

 

 

Axioma 3: Sejam A₁, A₂, … ; uma sequência (finita ou infinita) de eventos mutuamente exclusivos onde:

A_i Ç A_j = Æ com i¹j  então:

n ( ¥)

 

i      i

P(È A ) =

å P( Ai )

i =1

 

 

 

• PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE:

 

3.3.1- PROPRIEDADE 1:

P(A^c) = 1- P(A)

Demo:       A Ç A^c = Æ     e     W = A È A^c 1 = P(W) = P(A) + P(A^c)

P(A^c) = 1- P(A)                                // c.q.d

 

3.3.2- PROPRIEDADE 2:

P(Æ) = 0

Demo: A = (A È Æ )                        ou                    P(Æ) = 1- P(W)

P(A) = P(A È Æ)                                          P(Æ) = Æ     // c.q.d

P(A) = P(A) + P(Æ)

P(A) – P(A) = P(Æ)

0 = P(Æ)                // c.q.d

 

3.3.3- PROPRIEDADE 3:

Se A e B são dois eventos quaisquer, não necessariamente mutualmente exclusivos, então:

 

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

 

Demo: B = (A Ç B) È (A^c Ç B)         e       (A È B) = A È (A^c Ç B)

P(B) = P(A Ç B) + P(A^c Ç B) e    P(A È B) = P(A) + P(A^c Ç B ) P(A^c Ç B) = P(B) – P(A Ç B)

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)             // c.q.d

 

• CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS: 3.4.1- PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Seja (W, A, P) um espaço amostral. Se A Î A e B Î A e P(B)>0, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é definida por:

 

 

 

P ( A /

B ) =

P ( A Ç B )

P ( B )

A Î A

 

 

Obs: Se P(B) = 0 então P(A/B) = P(A) (Barry James)

não é definido ( Mood, Graybill & Goes)

 

 

3.4.2- INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS:

Seja (W, A, P) um espaço de probabilidade. Os eventos aleatórios A e B são independentes se :

 

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

 

Isto implica que:

P(B/A) = P(B) ou    P(A/B) = P(A)

 

 

Assim:

P(A Ç B Ç C) = P(A) . P(B) .P(C)

 

 

Generalizando temos que:

P(A_i Ç A_j) = P(A_i) . P(A_j)               são independentes 2 a 2, ” i Î I, i ¹j

 

Se os eventos A_i, i Î I, são independentes, então os eventos B_i, i Î I, também

i

são independentes, onde cada B_i, é igual a A_i , ou A^c .

 

n                       n

P( Ç B_i) = Õ P(B_i)

 

i =1

i =1

 

 

 

• PROBABILIDADE TOTAL E FÓRMULA DE BAYES:

 

• PROBABILIDADE TOTAL:

Seja A₁, A₂, … uma sequência de eventos aleatórios que forma uma partição de

W,    ou seja A_i são mutuamente exclusivos e sua união é W e seja B um evento qualquer assim:

 

B = W Ç B = (A₁ È A₂ È … È A_n) Ç B

B = (A₁ Ç B) È (A₂ Ç B) È … È (A_n Ç B)

onde (A_i Ç B) são mut. excl.

P(B) = P(A₁ Ç B) + P(A₂ Ç B) + … + P(A_n Ç B)

P(B) = P(A₁).P(B/A₁) + P(A₂).P(B/A₂) +…+ P(A_n).P(B/A_n)

 

P(B) = å_i P(A_i) P(B/A_i)                               ” B Î A

 

3.5.2- FÓRMULA DE BAYES:

 

 

 

P(Ak

/ B) = P(Ak Ç B) =

P(B)

P(Ak ).P(B / Ak )

åP(Ai ).P(B / Ai )

i=1

 

 

 

3.6-VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS:

 

3.6.1 CONCEITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS:

Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de um experimento aleatório.

Definição: Seja e um experimento e W um espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento w pertencente ao W um número real é denominada de variável aleatória.

 

Ex:     1. Dado o experimento:

e = lançamento de 2 moedas X = número de caras obtidos Então:

W = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)}

X(ca,ca) = 2 X(ca,co) = X(co,ca) = 1   X(co,co) = 0

 

2. Seja uma família com 2 crianças, v.a. número de meninos na família

W = {(F₁,F₂); (F₁,M₂); (M₁,F₂); (M₁,M₂)}

a funçãoX(w) Þ V.A. contradomíno da v.a. {0,1,2}

 

3.6.2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS.

 

Def: Sendo X um v.a.. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominamos X de v.a discreta.

 

3.6.3- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS:

Def: Sendo X uma v.a. Suponha que Â_X , o contradomínio de X seja um intervalo ou uma coleção de intervalos, isto é, a v.a. toma um número infinito não numeráveis de valores.

 

 

3.6.4.- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE.

Seja X uma v.a. que assume os valores x₁, x₂, …, x_n com probabilidade p₁, p₂,

…, p_n associadas a cada elemento de X, sendo p₁ + p₂ + …+ p_n = 1 diz-se que está definida um Distribuição de Probabilidade.

 

• a. discretas Þ Função de Probabilidade

 

• a. contínuas Þ Função Densidade de Probabilidade.

 

 

3.6.4.1- FUNÇÃO DE PROBABILIDADE.

Seja X um v.a. discreta. A cada possível resultado x_i associaremos uma probabilidade p(x_i), então p(x_i) é uma Função de Probabilidade se satisfizer as seguintes condições:

1. åp(xi ) = 1

i=1

1. p(x_i) ³ 0

 

Ex: Ao lançar um dado e seja X os valores observados: Então:

 

X	1	2	3	4	5	6
P(xi)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

1. a) åp(xi ) = 6 ´ 1 / 6 = 1

i=1

1. b) p(x _i ) = 1/6 > 0

 

 

3.6.4.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE.

Se X é uma v.a contínua com Função Densidade de Probabilidade f_X(x) com domínio em  ou no conjunto A Ì Â, tem-se:

 

1. a) f_X (x) ³ 0 ” x Î Â

+¥

1. b) òfX (x) = 1

-¥

1. c) P(X=a) = P(X=b) = 0

b

1. d) P(a £ X £ b) = òfX (x)dx

a

Ex1: Seja uma v.a.contínua definida pela f.d.p:

 

 

ì0     para x < 0

í

f ( x ) = ïkx para 0 £ x £ 2

î

ï0    para x > 2

 

Para que seja satisfeita a propriedade:

+¥

 

 

 

então:

ò fX (x) = 1 Þa área do triângulo compreendido entre 0 e 2 deve ser unitário

-¥

 

 

 

bxh = 1 Þ 2x2k = 1

resulta que k=1/2

 

2                 2

 

 

3.6.5- FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO.

 

DEFINIÇÃO:

Seja X uma v.a. Defini-se a função F_X como a Função Distribuição (Acumulada) da v. a. X como F_X (x) = P(X £ x), xÎÂ.

 

 

 

Ex: Dois dados são lançados. A v. a X é definida como a soma dos pontos obtidos:

 

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

 

 

X=xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(xi)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36
F(xi)	1/36	3/36	6/36	10/36	15/36	21/36	26/36	30/36	33/36	35/36	1

 

3.6.6- ESPERANÇA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA:

 

3.6.6.1- DEFINIÇÃO:

Esperança ou Expectância de uma v. a. é um valor médio dos possíveis valores de X, ponderada conforme sua distribuição, i.e.; é uma média ponderada onde os pesos são as probabilidades p(x_i). É ainda, o centro de gravidade da unidade de massa que é determinada pela função densidade de X. Assim E(X) é

uma medida    de localização ou centro de v.a.

 

 

 

3.6.6.2-CASO DISCRETO:

 

¥

E(X) = å xi p( xi )

i=1

 

 

3.6.6.3- CASO CONTÍNUO:

 

 

 

E( X ) =

+¥

ò xf ( x ) dx

–¥

 

 

3.6.6.4- PROPRIEDADES:

 

1. E(X=c) = c Demo:

+¥                               +¥

E( X ) = ò x. f ( x ) dx = ò c. f ( x ) dx = c.1 = c

–¥                                –¥

 

 

 

• E(cX) = cE(X) Demo:

¥                                              ¥

E( cX ) = ò c.x. f ( x ) dx = c. ò x.f(x) dx = cE(X)

-¥                                            –¥

 

3. E(aX + b) = E(X) + b

Demo : decorrente das demonstrações acima.

 

 

3.6.7- VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA:

 

3.6.7.1-DEFINIÇÃO:

Se X é uma v.a., definimos a variância de X como a dispersão da densidade de X em relação ao seu valor de localização central de densidade(E(X)) e é dada por:

 

V(X) = E[X-E(X)]²

= E(X-m)² = E{X² – 2XE(X) + [E(X)]²} =

= E(X²) – 2E(X)E(X) + [E(X)²] =

(E(X) é um constante)

= E(X²) – [E(X)]² _//

 

 

 

 

Obs:

¥

E(X ) = åx p(x

)

2                         2

_{i        i}    para uma v.a. discreta

 

 

E(X² ) =

i=1

+¥

ò x ²f (x) dx

-¥

 

para uma v.a. contínua

 

 

3.6.7.2- PROPRIEDADES:

 

1.V(X + c) = V(X)

Demo:

V(X + c) = E[(X+c) – E(X+c)]² = E[(X+c) – E(X)-c]²

= E[X – E(X)]² = V(X)

 

2. V(cX) = c².V(X)

Demo:

V(cX) = E(cX)² – [E(cX)]² = c²E(X²) – c²[E(X)]²

= c²{E(X²) – [E(X)]²] = c²V(X)

 

EXEMPLO 1: Seja uma distribuição de probabilidade dada por:

 

X	-1	0	1
P(X)	¼	½	¼

 

Determine a E(X) e V(X). R: E(X) = 0 e V(X)= ½

EXEMPLO 2: Seja a f.d.p dada abaixo, calcule a E(X) e V(X):

 

 

 

f ( x ) =

ìï 2 x

í

0 £ x £ 1

 

ïî 0

c/c

 

 

R: E(X) = 2/3 e V(X) = 1/18

 

 

• PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE

 

• DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS;

 

• UNIFORME DISCRETA

 

Uma v.a. tem distribuição uniforme discreta quando sua função de probabilidade for dada por:

 

 

í

ì 1 p(x) = ïN

x = 1,2,…, Nü

ï

ý

 

ïî0

c/c               ïþ

 

 

 

 

PROPRIEDADES:

E(X) =

1 + N

 

2

 

V(X) =

N ² – 1

 

12

 

 

EXEMPLO:

Seja e lançar um dado, então: X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

p(x_i) = 1/6 E(X) = 3,5

V(X)= 2,92

 

 

• BERNOULLI:

 

Uma v.a. X tem distr. Bernoulli se sua f.p. for dada por:

 

 

ìp^x (1 – p)^1-x

p(x) = í

x = 0,1ü

ý

 

î0                     c/c      þ

 

 

 

PROPRIEDADES:

E(X) = p

V(X) = p.q        onde q = 1-p

 

PROCESSO DE BERNOULLI:

É o processo de amostragem no qual :

1. Em cada tentativa existem 2 resultados possíveis mutuamente exclusivos (sucesso e fracasso).
2. As séries de tentativas são independentes.
3. A probabilidade de sucesso (p) permanece constante de tentativa para tentativa ou seja o processo é estacionário.

 

 

• BINOMIAL:

Uma v.a. possui distribuição binomial se sua f.p. for dada por:

 

 

ìæ n ö _x

p(x) = íç x ÷.p

.q n-x

ü

x = 0,1, …, ný

 

îè ø                                   þ

 

æn ö           n!

C = ç x÷ = x!(n – x)!

n   x     è   ø

x! = x.(x-1).(x-2)…1

 

A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de se obter um dado número de sucessos em um processo de Bernoulli.

 

X = número de sucessos n = número de tentativas

p = probabilidade de sucessos em cada tentativa.

 

PROPRIEDADES:

E(X) = np

V(X) = npq

 

 

EXEMPLO 1: Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas. Calcular a probabilidade de ao retirar com reposição 3 bolas, 2 sejam brancas.

 

EXEMPLO 2: Lançando 8 moedas, qual a chance de obter:

1. 3 caras.
2. Nenhuma
3. Pelo menos 1
4. no mínimo 2
5. no máximo 6

 

EXEMPLO 3: Sabe-se que 5% dos parafusos fabricados por certa indústria são defeituosos. Em um lote de 10 parafusos, calcular a probabilidade de:

1. exatamente 2 serem defeituosos;
2. menos de 2 serem defeituosos;
3. três ou mais serem

 

Qual a média e o desvio padrão do número de parafusos defeituosos?

 

 

• POISSON:

 

Uma v.a. X tem distr. Poisson se sua f.p. for dada por:

 

ìl^x .e^-l                           ü

 

í

p(x) = ï    x!

x = 0,1, 2, …ï

ý

 

ïî0

c/c               ïþ

 

 

A distr. de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um “continuum” de tempo ou espaço.

É similar ao processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um “continuum” ao invés de ocorrerem em tentativas fixadas, tal como o processo de Bernoulli os eventos são independentes e o processo é estacionário.

 

l = número médio de sucessos para uma específica dimensão de tempo e

 

espaço.

X = número de sucessos desejados.

 

 

PROPRIEDADE:

 

E(X) = l

V(X) = l

 

 

Obs: Quando o número de observações ou experimentos em um processo de Bernoulli for muito grande a distr. de Poisson é apropriada como uma aprox. das distr. Binomiais quando:

 

n ³ 30

np < 5

l = np

EXEMPLO 1:Um técnico recebe em média de 5 chamadas por dia. Qual a probabilidade que, em uma dia selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 3 chamadas?

 

EXEMPLO 2: Em média, 12 pessoas por hora são atendidas em um banco. Qual a probabilidade que 3 ou mais pessoas sejam atendidas durante um período de 10 minutos?

 

 

• DISTIBUIÇÕES CONTINUAS DE PROBABILIDADE:

 

• UNIFORME OU RETÂNGULAR:

Uma v.a. X é uniformemente distribuida am 1£ x £ b se sua f.d.p. for:

 

ì    1                a £ x £ b ü

 

f ( x ) = ï b – a

ïî 0

PROPRIEDADES:

ï

í

ý

c/c               ïþ

 

 

 

E ( X ) =

a + b 2

 

 

V(X)

(b – a )2

=

12

 

 

 

• DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS):

 

• DEFINIÇÃO

Uma v.a. X ~ N(m , s² ) se sua f.d.p. for dada por:

 

1 æ x-m ö ²

 

f (x) =      1

e- 2 çè

s ÷ø

– ¥ < x < ¥,

– ¥ < m < ¥ e

s > 0

 

 

 

3.7.2.2.2.PROPRIEDADES:

 

1. f_X(x) > 0 , xÎÂ

 

2. f_X(x) é crescente para x Î (-¥, m) e decrescente para x Î (m, ¥).

 

3. Ponto de máximo da função em x = m. Então m é também a moda da distribuição.

 

4. f_X(x) é simétrica em relação a m.

 

8. Valor esperado : m

 

9.Variância = s²

 

10. A área da curva correspondente entre: (m – s) e (m + s) = 68,27%

(m – 2s) e (m + 2s) = 95,45% (m – 3s) e (m + 3s) = 99,73%

 

 

• IMPORTÂCIA:

 

1. Poder de Medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem a distr. normal.
2. Capacidade de aproximação de outras distr. como Binomial e
3. As de estatísticas da amostra freqüentemente seguem a distr. normal independente da distr. da população.

 

EXEMPLO 1: Construa uma distribuição normal com m = 20 e s = 2 e determine a probabilidade de se encontrar valores entre:

1. a) 18 e 22
2. b) 20 e 24

 

• DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA:

 

Quando m = 0      e     s² = 1 (caso particular) (chamada “standard”, normalizada, padrão)

 

z = xi -m

s

EXEMPLO 1: Determine a área limitada pela curva normal em cada um dos casos:

 

1. 0 £ Z £ 1,2	R: 0,3849
2. -0,68 £ Z £ 0	0,2517
3. -0,46 £ Z £ 2,21	0,6637
4. Z £ -0,6	0,2743
5. Z ³ 0,62	0,2676
6. 0,18 £ Z £ 0,26	0,0312
7. -0,95 £ Z £ -0,41	0,1698
8. Z < -1,51 e Z > 1,51	0,1310
9. Z > -0.5	0,6915

 

EXEMPLO 2: Sendo os QI’s Feminino e Masculino com média igual a 100 e desvio padrão 5 e 10 respectivamente. Calcular as probabilidades de encontrarmos QI’s acima de 110 para ambos os sexos.

 

EXEMPLO 3: Com os dados do exercício anterior calcular as probabilidades de encontrarmos QI’s abaixo de 85.

 

• APROXIMAÇÕES PELA NORMAL:

 

1. BINOMIAL:

quando n ³ 30

np ³ 5 então:          m = np

s² = npq

 

 

2. POISSON:

quando l ³ 10 então: m = l

s² = l

 

EXEMPLO 1: Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:

1. mais de 10
2. mais de 30

 

EXEMPLO 2: Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de aparecer a face 4:

1. 18 vezes ou mais
2. 14 vezes ou menos

 

EXEMPLO 3: Sabe-se que os pedidos de serviços chegam aleatoriamente e como um processo estacionário numa média de 5 por hora. Qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de 50 pedidos em um período de 8 horas?

 

• EXPONENCIAL:

 

Uma v.a. X tem distr. exponencial com parâmetro l > 0, se sua f.d.p. for dada

 

por:

[ 0 ,¥ )

f ( x ) = le ^-lx I      ( x )

, l > 0

 

 

 

 

PROPRIEDADES:

E( X ) = 1

l

V(X) = 1

l2

M X ( t ) =

l

 

l – t

,t < l

 

 

x

F( x ) = P( X £ x ) = ò le^-lt dt = 1 – e^-lx , x £ 0

0

Assim:

P(X>x) = e^–lx

Obs: Se os eventos, ou sucessos, ocorrem em um contexto de um processo de Poisson, então o comprimento do tempo ou espaço entre 2 eventos sucessivos segue uma distribuição de probabilidade exponencial. Uma vez que tempo ou espaço são um “continuum”,a distr. será contínua.

 

 

EXEMPLO 1: Em média, um navio atraca em certo porto a cada 2 dias. Qual a prob. de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio?

 

R: média por 2 dias = 1

l = média por dia = 1/2 P(X>4) = e^–lx = e^-4.1/2 = 13,53%

 

EXEMPLO 2: Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, 5 chamadas por hora. Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a prob de que a primeira chamada chegue dentro de ½ hora ?

 

R: média por hora = 5

l = média por hora = 5

P(X £ 1/2) = 1 – e^–lx = 1 – e^-5.1/2 = 1- 0.08208 = 91,792%

 

• TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

 

Seja X₁, X₂, …, X_n v.a.independente identicamente distribuídas (iid); com a mesma m e s² e seja S_n= X₁ + X₂ + … + X_n a soma de v.a. iid:

 

 

n

® Z

x®¥

 

–

~ N(0,1)

 

Sn – nm

® Z

n

x®¥

~ N(0,1)     ou seja

 

 

 

pois E(S_n) = E(X₁+X₂+…+X_n)= m₁+m₂+…+m_n= nm V(S_n) = s₁²+s₂²+…+s_n² = ns²

Uma dedução feita através do Teorema do Limite Central é que uma distribuição amostral de médias tende uma distr. normal quando n é suficientemente grande (n ³ 30).

 

 

 

 

X  – E( X  )        æ

2         s 2 ö

 

      n                      n       ~

N ç m X

è

= m,s    =      ÷

X

n

ø

 

 

 

onde:

m = E(X) = EéX1 + X2 +…+ Xn ù = 1 [E(X )+ E(X )+…+ E(X )] = 1 nm = m

 

X                               êë          n

ûú   n        1                  2                            n           n

 

 

 

 

 

s² =

=   éX +X +…+X ù = 1 [

(  )+

(   )+

+ (   )] = 1

s² = s2

 

V(X)   V    ^{1      2}

n          V X1

V X2

…

V Xn                 n

 

X                               êë          n

ûú  n2

n²           n

 

 

NOTA HISTÓRICA:

 

A distribuição normal é chamada historicamente de lei dos erros. Foi usada por Gauss para modelar erros em observações astronômicas. Gauss derivou a distribuição normal, não como limite de somas de variáveis aleatórias independentes, mas a partir de certas hipóteses entre elas a de considerar a média aritmética das observações. Hoje em dia o Teorema do Limite Central dá apoio ao uso da normal como distribuição de erros, pois em muitas situações reais é possível interpretar o erro de uma observação como resultante de muitos erros pequenos e independentes. Pode- se interpretar também que uma observação é gerada da soma de muitos efeitos pequenos e independentes.

 

 

• EXERCÍCIOS:

 

• Seja um Conjunto Universo dado por U = {0,1,2,3,4,5} e seja os seguintes subconjuntos de U:

X={1, 2, 4}                 Y={0, 3, 4, 5}                         Z={0, 5}

 

Encontre :

1. a) X Ç Y b) X È Y c) ( X È Y ) Ç Z
2. d) Y’ È Z’ e) X – Y f) ( Y Ç Z )’
3. g) ( X Ç Y ) È ( Y Ç Z ) h) ( X’ È Y’ )’ Ç ( Y’ È Z’ )’

 

• Suponha que se tenha 6 bolas de diferentes De quantas maneiras diferentes elas podem aparecer ao serem colocadas em fila?

 

• De quantas maneiras 8 pessoas podem sentar em 3 lugares diferentes?

 

• Quantas diferentes saladas de frutas podem ser feitas com maças, laranjas, tangerinas e bananas.

 

• De quantas maneiras diferentes podemos dispor as letras a,b,c e

 

• Com as letras da palavra DADDY podemos ter quantas permutações com reposição?

 

• Qual o número de maneiras de dispor 3 objetos diferentes tomados 2 a 2:

1. Considerando a ordem dos objetos?
2. Não considerando a ordem dos objetos?

 

 

• Suponha que você retirou uma bola aleatoriamente de uma urna que contém 7 bolas vermelhas, 6 brancas, 5 azuis e 4 amarelas. Qual é a probabilidade que a bola retirada:

 

1. seja vermelha
2. não seja branca
3. seja branca ou azul
4. não seja vermelha e nem branca
5. seja vermelha ou azul ou amarela

 

• Joga-se um dado duas vezes. Encontre a probabilidade de se obter:

 

1. uma face 5 ou 6 na primeira jogada e uma face 2 ou 3 na segunda
2. um total de 5 ou 6 se somarmos o resultado obtido nas duas fases.

 

• Qual a probabilidade de retirarmos 2 valetes de um baralho de 52 cartas, se:

 

1. a primeira carta é recolocada no baralho após ser retirada.
2. a primeira carta não é recolocada no baralho após ser retirada.

 

• Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 brancas e 8 azuis. Se 3 bolas forem retiradas aleatoriamente da urna sem reposição, determine a probabilidade de que:

1. 2 sejam vermelhas e 1 azul.
2. a última seja azul
3. a primeira seja vermelha, a segunda branca e a última seja azul
4. uma seja vermelha, outra branca e outra seja

 

• Os pneus de certa marca apresentam um certo defeito com probabilidade de 0,2. Se 3 pneus forem escolhidos aleatoriamente, qual a probabilidade de todos os 3 apresentarem esse defeito?

 

• Dados 2 eventos mutualmente exclusivos, A e B, sendo P(A) e P(B) ¹ 0, serão A e B independentes? Porquê?

 

• A probabilidade de um item defeituoso num processo de fabricação é de 10%. Qual a probabilidade de que dois itens aleatoriamente selecionados:

1. os dois apresentem defeitos
2. os dois não apresentem defeitos
3. um dos dois apresente defeito
4. somente o primeiro apresente defeito

 

• Durante um período particular 80% das ações emitidas por uma indústria tiveram elevações no mercado. Se um investigador escolhe aleatoriamente 4 ações determine a probabilidade de que:

1. todas tiveram suas cotações aumentadas.
2. Somente um delas teve sua cotação

 

 

• As probabilidades de um marido, sua esposa e um filho estarem vivos daqui a 30 anos são, respectivamente; 0,3; 0,6; e 0,9. Determine a probabilidade de que, daqui a 30 anos nenhum esteja vivo?

 

• A probabilidade de um componente apresente o defeito tipo 1 é de 3% e do tipo 2 é de 6%, e a probabilidade do componente apresente ambos é de 2%. Encontre:

2. a probabilidade de um componente apresentar o defeito tipo 1 ou o defeito tipo 2.
3. a probabilidade não apresentar nenhum dos dois defeitos.

 

• Uma empresa produz circuitos integrados em três fábricas A, B e C. A fábrica A produz 40% dos circuitos, enquanto que as outras produzem 30% cada uma. As probabilidade de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 1%, 4% e 3%, respectivamente. Responda:

 

1. Escolhido um circuito qual a probabilidade do circuito não funcionar?
2. Escolhido um circuito e verificou-se ser defeituoso, qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica A?

 

• Supondo que 20% dos funcionários de uma empresa são Numa amostra de 100 funcionários, qual a probabilidade de obtermos:

1. exatamente 20 mulheres?
2. no mínimo 5 mulheres?
3. pelo menos 4 mulheres?

 

• Uma partida de certo componente consiste de uma caixa com 50 deles, sendo 4 fora da especificação. Retirando-se ao acaso 5 componente de uma partida, qual a probabilidade de que todas estejam dentro da especificação?

 

 

• A máquina M produz esferas para Se o diâmetro das esferas puder ser considerado um variável aleatória normalmente distribuída, com média 5mm e desvio padrão de 0,05mm, quantas terão diâmetro superior a 5,07 se 200 esferas forem selecionadas? Se o controle de qualidade refutar os itens que se afastarem mais do que 0,1mm da média, quantas esferas serão rejeitadas?

 

• Uma certa empresa produz canaletas com comprimento médio de 5,1m e desvio padrão de 8cm a um custo unitário de R$ 6,00. As peças com comprimento entre 4,95m e 5,25m são vendidas a R$ 10,00; as produzidas com menos de 4,95m são refugadas a R$ 2,00; as de mais de 5,25m são encurtadas, a um custo de R$1,00. Qual o lucro médio esperado por unidade produzida?

 

• As vendas de determinado produto têm distribuição normal, com média 500 e desvio padrão de 50 unidades. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada?

 

 

• Suponha que a vida de dois aparelhos elétricos A e B tenham distribuições N(46,9) e N(46,36), respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por um período de no mínimo de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido?

 

 

• Uma máquina produz recipientes cujos diâmetros são nomalmente distribuídos com média 0,498 e desvio padrão de 0,02. Se as especificações exigem recipientes com diâmetro igual a 0,500 polegadas mais ou menos 0,04 polegadas, que fração dessa produção será inaceitável?

 

• Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são chamadas Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de pelo menos 50 serem DDD?

 

 

• Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:

1. 10 ou mais
2. Menos de 9
3. Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas.

 

 

 

• AMOSTRAGEM

 

4.1-TIPOS DE AMOSTRAGEM:

 

4.1.1- AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA: onde todos os elementos tem probabilidade conhecida e diferente, isto somente será possível se a população for finita e totalmente acessível.

 

1. Amostragem Aleatória Simples: todos os elementos tem igual probabilidade de pertencer a (Ex: números aleatórios, sorteio).

 

2. Amostragem Aleatória Sistemática: quando os elementos se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente (Ex: linha de produção).

 

3. Amostragem Aleatória Estratificada: a população se divide em sub- populações ou estratos, e a variável de interesse possui comportamento homogêneo dentro de cada Esta amostragem consiste em especificar quantos elementos serão retirados de cada estrato para constituir a amostra.

 

4. Amostragem Aleatória Agregada: a população é subdividida em pequenos grupos, chamados de conglomerados ou agregados, sorteia-se um número suficiente de agregados, cujos elementos constituirão a amostra (Ex: quarteirões, turmas).

 

4.1.2- AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA: usada quando for impossível se obter amostras probabilísticas, como seria o desejável (Ex: retirar 100 parafusos de uma caixa que contém 10.000 ).

 

 

4.2- DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS:

 

São Aquelas que consideram todas as amostras “possíveis” que possam ser retiradas de uma população.

Para cada amostra pode-se calcular um grandeza estatística, como média aritmética, desvio padrão, proporção, etc.; que varia de amostra para amostra. Assim, calculando-se a média e a variância da grandeza obtêm-se as distribuições amostrais da grandeza, isto é , se a grandeza adotada for a média teremos uma distribuição amostral de médias. De modo análogo teríamos para a variância, proporção , etc.

 

 

4.2.1- DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS:

 

Vimos anteriormente utilizando o T.L.C. que uma distribuição de médias é aproximadamente Normal padronizada

Admita-se todas as amostras possíveis de tamanho n retiradas de uma população de tamanho N, então poderemos determinar a média e a variância.

 

 

 

k ∑(X i

)

k      

m

2

∑X i                                                                                                                        X

m   = i=1                                                        s 2     = i =1                            

^x         k                                       X                                 k

 

Assim:

 

 

m   = E(X ) = Eæ X1 + X 2 + … + X n ö = 1 E(X + X

 

 

+ … + X

) = 1 (m + m + … + m) = 1 nm = m

 

ç

X                              è            n

÷             1           2                     n

ø    n                                   n                          n

 

s 2 =

( )=

 

æ X ₁ + X ₂ + … + X _n ö = 1

 

 

(    +       +    +

) = 1

s 2 = s 2

 

X       Var X

Varç

ø

è

n              ÷    n 2 Var X ₁

X 2       …    X n

n ² n           n

 

 

Amostragem	Média			Desvio Padrão
Com Reposição (pop. Infinita)	m	X	= m	s	X	= s n
Sem Reposição (pop. Finita)	m	X	= m	s	X	= s n	N – n N – 1

 

Obs:

1. Para grandes valores de n (n ³ 30), a distribuição amostral das médias é

 

aproximadamente Normal com média

mX    e Variância

s2 , independentemente

 

X

da população (desde que o tamanho da população seja, no mínimo, o dobro do tamanho da amostra).

2. No caso da população ser normalmente distribuída, a distribuição amostral das médias também será, mesmo para valores pequenos de n.
3. A variável reduzida ou padronizada Z para a distribuição amostral de médias será:

Z = X – mX

sX

 

 

 

 

 

 

4.2.2- DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS DIFERENÇAS E SOMAS:

 

 

A₁₁= x 11

A₁₂= x 12

.

.

.

A₂₁= x 21

A₂₂= x 22

.

.

.

 

 

A Distribuição Amostral de Diferenças de Médias é obtida através das

diferenças entre ( X11   – X 21 ),( X12   – X 22 ), etc.

Analogamente, para a Distr. Amostral de Somas de Médias e  para Distr.

Amostrais de Diferenças ou Somas de Proporções, ou qualquer outra estatística.

 

 

4.2.2.1- DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE DIFERENÇAS (SOMAS) DE MÉDIAS:

 

 

 

 

 

X ± X 2

m

s

2

 

 

X1 ±X 2

= m

X

1

X

= s 2

1

± m

X

2

X

+ s 2

2

 

desde que sejam independentes

 

 

Amostragem

Média

Desvio Padrão

Com

Reposição

m X ± X

= m

X

± m

X

= m1 ± m

s

X1 ± X 2

=

s2 1 n1

+ s2 2 n2

(pop. Infinita)

1           2

1

2

Sem         Reposição (pop. Finita)

m X1 ± X 2

= m

X1

± m

X 2

= m1 ± m

s

X1 ± X 2

=

s2 æ N – n ö + s2 1 ç   1     1 ÷       2 n1 è N1 – 1 ø     n2

æ N – n ö ç   2               2 ÷ è N2 – 1 ø

 

A variável reduzida Z é dada por:

 

1

2

(X – X

Z =          s

)- m

 

 

 

X1 -X2

 

X1 -X2

 

 

 

4.2.3- DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES:

 

Seja p a probabilidade de sucesso de um evento e q o insucesso. Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho n, obtidas com e sem reposição, e para cada um vamos calcular a proporção P de sucessos. Obtemos assim a Distribuição Amostral de Proporções com os parâmetros: m_P e s_P.

 

 

Amostragem	Média	Desvio Padrão
Com Reposição (pop. Infinita)	mP = p	s	P	=	pq n
Sem Reposição (pop. Finita)	mP = p	s	P	=	pq n	N – n N – 1

 

Obs:

1. Para grandes valores de n a É aproximadamente normal.
2. A população é
3. A variável padronizada Z será:

 

Z = P – mP

sP

 

 

• ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

 

5.1. INTRODUÇÃO:

Seja X₁, X₂, …, X_n uma amostra aleatória com função (densidade) de probabilidade conhecida, seja ainda q um vetor dos parâmetros desta variável aleatória. Assim q = {q₁, q₂, …, q_k} os k parâmetros que chamamos de espaço de parâmetros denotado por Q. Então o objetivo da

inferência estatística é encontrar funções das observações X₁, X₂, …, X_n para usar como estimador de q_j onde j=1,2,…,k.

 

ESTIMADOR: é um estatística (função conhecida de v.a. observáveis que também é um v.a.) cujos valores são usados para estimar alguma função do parâmetro q. Ex: para estimar m (média populacional) o estimador mais adequado é X (média aritmética da amostra).

ESTIMATIVA: é o valor numérico obtido para o estimador numa certa amostra.

 

TIPOS :

PONTUAL: a estimativa é representado por um único valor. POR INTERVALO: a estimativa é representada por um intervalo.

 

5.2 . ESTIMAÇÃO PONTUAL:

 

Melhor estimador para a m (média populacional) é x a média aritmética amostral dada por:

 

å xi

mˆ = x =  ⁱ⁼¹    

n

 

Melhor estimador para a s² (variância populacional) e s² a variância amostral dada por:

 

∑(x

n

i

– x)2

1. s)2  = s2   =  i =1                    

n -1

 

 

• ESTIMAÇÃO POR INTERVALO:

 

Estimação por intervalo consiste na construção de um intervalo em torno da estimativa pontual, de modo que esse tenha uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro valor do parâmetro.

 

 

• INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL:

 

1. Quando n ³ 30 ou s for conhecido:

 

X

P(x – za / 2 .s

£ m £

x + Za / 2 .s   )= 1- a

 

 

X

• Quando n < 30, s desconhecido e população normalmente distribuída:

 

 

 

(           ˆP x – t              .s

n-1,a / 2     X

Observação:

£ m £

x + t        .sˆ ) = 1 – a

 

n-1,a / 2     X

Podemos determinar o tamanho de amostra isolando o valor de n na precisão da estimativa (semi-amplitude) que no caso da média populacional é dada por:

 

e0 =

za / 2s x

 

 

• INTERVALO DE         CONFIANÇA          PARA                                 PROPORÇÃO POPULACIONAL:

P(pˆ – za / 2sp  £ p £ pˆ + za / 2sp )= 1 – a

 

onde       ˆp      é      o      estimador      de      p,      que      pode      ser      dado      por:

ˆp = f n

 

sendo:

e0 =

za / 2sˆ p

 

 

• EXERCÍCIOS:

 

• Uma amostra de 100 esferas apresenta diâmetro médio de 2,09cm e desvio padrão de 0,11cm. Estime o diâmetro médio populacional, com 95% de confiança.

 

• De 500 lâmpadas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 40 lâmpadas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 Qual o intervalo de confiança para a média populacional, utilizando um coeficiente de confiança de 99%.

 

• Foram realizadas 16 determinações de densidade (g/cm³) de certo metal, obtendo-se os resultados:

 

19,7	19,8	19,9	19,9	19,7	19,6	19,5	19,6
19,9	19,6	19,9	19,5	19,8	19,6	19,8	19,7

 

Determine o intervalo de confiança de 99% para a média populacional.

 

 

• Sabe-se por pesquisas já realizadas que o desvio padrão das tensões limites de tração de barras de aço é 15 kgf/mm², e que uma amostra de 26 barras foram ensaiadas apresentando tração média igual a 70 kgf/mm². Estimar a verdadeira tensão limite de tração utilizando 99% de confiança.

 

 

• Determine uma estimativa pontual para a média populacional do problema

 

 

• Uma amostra de 625 donas-de-casa revela que 70% delas preferem a marca X de detergente. Construir um intervalo de confiança de 99% para p = proporção das donas-de-casa que preferem o detergente X.

 

 

• Antes de uma eleição em que existiam 2 candidatos A e B, foi feita uma pesquisa com 400 eleitores escolhidos ao acaso, e verificou-se que 208 deles pretendiam votar no candidato A. Construa um intervalo de confiança, com 95% para a porcentagem de eleitores favoráveis ao candidato A na época das eleições.

 

• Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio padrão é 10 para que a diferença da média amostral para a média populacional, em valor absoluto seja menor que 1, com coeficiente de confiança igual a 95%.

 

 

• TESTES DE HIPÓTESES

 

• INTRODUÇÃO:

 

• HIPÓTESES: são suposições que fazemos para testar a fixação de decisões, que poderão ser verdadeiras ou não.

 

 

• HIPÓTESES ESTATÍSTICA:

 

Hipótese Nula (H₀ ): a ser validada pelo teste. Hipótese Alternativa ( H₁ ou H_a ): complementar a H₀.

 

Assim, o teste poderá aceitar ou rejeitar a hipótese nula, sendo que no último caso implicaria na aceitação da hipótese alternativa.

 

• RISCOS DE TOMADAS DE DECISÕES:

 

DECISÃO	REALIDADE
	H0 Verdadeira	H0 Falsa
Aceita H0	Decisão Correta (1- a)	Erro Tipo II b
Rejeita H0	Erro Tipo I a	Decisão Correta (1 – b)

 

Ex1:Decisão de um professor:

 

DECISÃO	REALIDADE
	H0 Verdadeira Estudou	H0 Falsa Não Estudou
Aceita H0 Aprova Aluno	Decisão Correta (1- a)	Erro Tipo II b
Rejeita H0 Reprova Aluno	Erro Tipo I a	Decisão Correta (1 – b)

 

Ex 2: Decisão de um médico:

 

DECISÃO	REALIDADE
	H0 Verdadeira Precisa Operar	H0 Falsa Não Precisa Operar
Aceita H0 Opera	Decisão Correta (1- a)	Erro Tipo II b
Rejeita H0 Não Opera	Erro Tipo I a	Decisão Correta (1 – b)

 

 

Ex 3: Decisão do julgamento de um réu:

 

DECISÃO	REALIDADE
	H0 Verdadeira Inocente	H0 Falsa Culpado
Aceita H0 Não Prende o Réu	Decisão Correta (1- a)	Erro Tipo II b
Rejeita H0 Prende o Réu	Erro Tipo I a	Decisão Correta (1 – b)

 

Ex4: Decisão em Controle de Qualidade:

 

DECISÃO	REALIDADE
	H0 Verdadeira Lote Bom	H0 Falsa Lote Ruim
Aceita H0 Aceita o Lote	Decisão Correta (1- a)	Erro Tipo II b (Risco do Consumidor)
Rejeita H0 Rejeita o Lote	Erro Tipo I a (Risco do Produtor)	Decisão Correta (1 – b)

 

• ERRO TIPO I (a )-

 

a = P(rejeitar H₀ / H₀ verdadeira) chamado de nível de significância

 

• ERRO TIPO II (b)-

 

b = P(aceitar H₀ / H₀ falsa)

 

• REGIÕES DE DECISÃO:

 

Região de Aceitação (R.A.): é a região da curva, delimitada por valores tabelados a um determinado nível de significância (a), que contém os valores para os quais aceitamos a hipótese nula.

 

Região Crítica ou de Rejeição (RC ou RR): é a região da curva, delimitada por valores tabelados a um determinado nível de significância (a), que contém os valores para os quais rejeitamos a hipótese nula.

 

 

• CLASSES DE TESTES:

 

• UNILATERAIS:

 

• UNILATERAL À DIREITA

H₀: q = q_o (q £ q_o) H₁: q > q_o

 

• UNILATERAL À ESQUERDA:

 

H₀: q = q_o (q ³ q_o) H₁: q < q_o

 

• BILATERAIS:

 

H₀: q = q_o

H₁: q ¹ q_o

 

• TESTES PARAMÉTRICOS:

 

• TESTES DA MÉDIA POPULACIONAL:

 

• TESTE PARA UMA MÉDIA POPULACIONAL

Estatística do Teste:

 

• Quando n ³ 30 ou s conhecido

 

 

Zc =

X – m₀

 

s

 

 

x

onde: m0 = valor de m proposto pelo teste

sx  = desvio padrão da distribuição amostral de médias Obs: Caso o desvio padrão seja desconhecido usar Sx como estimador

pontual de sx .

• Quando n < 30, s desconhecido e a população normal:

 

t   = X

– m₀

 

S

c

x

CONCLUSÃO: quando o valor calculado ( Z_c ou t_c ) cair na região de aceitação, deve-se aceitar H₀, caso contrário deve-se rejeitar H₀ e toma-se H₁ como verdadeira.

 

 

• TESTE PARA DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS:

 

As hipóteses serão enunciadas da seguinte maneira:

 

H0 = m1 – m2 = D	Þ	quando D = 0 Þ	m1 = m2
H1 = m1 – m2 ¹ D	Þ	quando D = 0 Þ	m1 ¹ m2
ou m1 – m2 > D	Þ	quando D = 0 Þ	m1 > m2
ou m1 – m2 < D	Þ	quando D = 0 Þ	m1 < m2

 

 

• DADOS EMPARELHADOS:

Quando duas amostras estão correlacionadas segundo algum critério (por exemplo o caso antes e depois).

 

Estatística do Teste:

 

t = d – D

sd /

 

 

c

onde:

d = média da amostra da diferenças

D = valor testado da média das diferenças nas populações s_d = desvio padrão da amostra das diferenças

n = tamanho da amostra das diferenças (iguais para as 2 amostras)

 

 

 

• DADOS NÃO EMPARELHADOS:

Neste caso as amostras podem ter tamanhos diferentes (n₁ e n₂). PRIMEIRO CASO: As duas variâncias são conhecidas.

Estatística do Teste:

 

c

Z   = (x1  – x2 ) – D

 

 

SEGUNDO CASO: As duas variâncias não são conhecidas, mas podemos admitir que as variâncias sejam iguais ( s2 = s2 = s² ).

1             2

 

Estatística do Teste:

 

 

tn1 + n2 – 2   =

(x1  – x2 ) – D

 

 

 

n=gl=n₁+n₂-2

 

 

 

onde:

(n – 1)s ² + (n – 1)s ²

 

p

s 2   =    1              1             2               2  

n1 + n2 – 2

 

 

TERCEIRO CASO: As duas variâncias não são conhecidas e diferentes (s2 ¹ s2 ).

1             2

 

Estatística do Teste:

 

 

tn =

(x1  – x2 )- D

 

 

 

onde os graus de liberdade são dados por:

 

n  =                  (w1

+ w  )2

2

–

2

 

[ w² /( n + 1 )] + [ w² /( n

+ 1 )]

 

1           1                             2           2

 

w₁ e w₂ são calculados por:

 

 

s 2

1

w = 1  

n1

e         w2

s 2

=   2  

n2

 

 

 

• TESTES DA VARIÂNCIA POPULACIONAL:

 

• TESTE DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL:

 

As hipóteses a serem testados serão: H₀ : s² = s₀²

H₁ : s² ¹ s₀²

s² > s₀²

s² < s₀²

 

 

Estatística do Teste:

 

 

 

 

c

2

n–1

= (n – 1)S ²

s 2

 

 

• TESTE DE COMPARAÇÃO DE DUAS VARIANCIAS:

 

As hipóteses a serem testadas serão: H0 : s12 = s22

H1 : s12 ¹ s22

s₁² > s₂²

s₁² < s₂²

Estatística do Teste:

max (s ² , s² )

Fn   ,n      =          (     )

N

D

min

s 2 , s2

1       2

 

 

• TESTES NÃO PARAMÉTRICOS:

 

• TESTE DE ADERÊNCIA:

Objetivo: Verificar a boa ou má aderência dos dados de uma amostra a um modelo proposto.

Utiliza-se o teste c² de Karl Pearson:

 

Evento   Modelo	Freqüencia Observada na Amostra	Freqüência Esperada por	Algum
A1 A2 .	O1 O2 .		E1 E2 .
.	.		.
.	.		.
An	On		En

 

As hipóteses a serem testadas serão:

H₀: Não há diferença entre as freqüências observadas e as esperadas. H₁: Há diferença entre as freqüências observadas e as esperadas.

 

 

Estatística do Teste:

c

å

n    (O  – E  )2

2 =             i            i      

n                            E

i =1                 i

 

 

 

Obs:

1. n = n-1 Þse as esperadas foram calculadas sem recorrer a estimação de algum parâmetro

populacional

 

 

n = n-1-mÞ            se as freq. esperadas foram calculadas a partir

de m parâmetros populacionais.

 

2. Se E_i < 5 deve-se agrupar as classes adjacentes.

 

• TABELAS DE CONTINGÊNCIA – TESTE DE INDEPENDÊNCIA:

 

Utilizamos este teste quando existem duas ou mais variáveis de interesse e desejamos verificar se existe associação entre elas.

 

As hipóteses a serem testadas serão:

 

H₀: As variáveis são independentes..

H₁: As variáveis não são independentes ou seja elas apresentam algum grau de associação entre si.

 

Estatística do Teste:

r      s    (O       E  )2

c 2 = ∑∑ ij                ij                                                o

 

n

j =1 i=1

Eij

onde: r = n

de linhas

 

 

e

n = (r – 1).(s – 1)

s = n^o de colunas

 

E = Total coluna x Total

linha

 

^ij                 Total

Geral

 

 

 

 

• EXERCÍCIO:

 

• Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão de 2kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado com 25 indivíduos dados a seguir:

 

9.8 8.5 7.0 10.4 8.9 7.9 5.9 7.7 8.8 7.7 7.9 5.1 9.9 7.6 8.4

3.7 6.8 7.5 8.5 5.1 7.6 5.0 6.1 6.1 10.2

 

Verificar, ao nível de 5% de significância, que posição deve tomar a diretoria.

 

 

• Uma amostra de 5 cabos de aço foi ensaiada, antes e após sofrer um tratamento para aumentar a sua resistência. Os resultados são apresentados a seguir:

 

Cabos	1	2	3	4	5
Antes	50	54	51	50	55
Depois	60	61	57	54	59

 

Verifique se o tratamento foi eficiênte, utilizando um nível de 5% de significância.

 

 

• Dois candidatos a um emprego, A e B, foram submetidos a um conjunto de oito questões, sendo anotados os tempos que cada um gastou na solução.Podemos, ao nível de 5% de significância, concluir que B seja mais rápido que A, em termos do tempo médio gasto para resolver questões do tipo das formuladas?

 

Questão	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª
Tempo de A	11	8	15	2	7	18	9	10
Tempo de B	5	7	13	6	4	10	3	12

 

 

• Foram ensaiadas lâmpadas das marcas A e B. Verificou-se que os tempos de vida (em horas) foram:

 

A	1500 1450    1480 1520    1510
B	1000	1300	1180	1250

 

Podemos concluir, ao nível de significância de 1%, que o tempo médio de vida da marca A supera o de B em mais de 300h?

 

 

• A fim de comparar duas marcas de cimento, A e B, fizemos experiência com quatro corpos de prova da marca A e cinco da marca B, obtendo-se as seguintes resistências à ruptura:

 

Marca A	184	190	185	186
Marca B	189	188	183	186	184

 

Verifique se as resistências médias das duas marcas diferem si ao nível de 5%.

 

• Dois fertilizantes A e B, para a produção de certa variedade de tomate vão ser comparados, em termos do peso médio de produção. As produções, em kg, de 10 pés de tomate sob o fertilizante A e 12 sob o B foram:

 

A	1,6 1,7 1,8 1,4 1,5 1,9 2,3 2,1 1,9 1,7
B	2,0	2,1	1,5	1,9	1,9	2,3	1,8	1,9	2,1	2,4	2,5	2,7

 

Qual a conclusão ao nível de 1% de significância

 

 

 

• As observadas de 120 jogadas de um dado apresentam-se na tabela abaixo. Teste a hipótese de que o dado é honesto, utilizando um nível de significância de 5%.

 

Face	1	2	3	4	5	6
Freq.Observada	25	17	15	23	24	16

 

• A indústria K.B.S. usa oito máquinas para a produção de 9 mil unidades/dia. Uma amostra retirada em determinado tempo apresentada abaixo permite supor que as máquinas são igualmente produtivas?

 

Máquina	1	2	3	4	5	6	7	8
Produção	6	9	8	5	4	6	10	7

 

• Verificar se existe associação entre gênero (masculino e feminino) e tabagismo (fumante e não-fumante) utilizando um nível de significância de 1%, numa certa população, onde se observou uma amostra aleatória de 300 pessoas adultas. Os dados são apresentados a seguir.

 

	Masculino	Feminino	Total
Fumante	92	38	130
Não Fumante	108	62	170
Total	200	100	300

 

 

• ANÁLISE DA VARIÂNCIA (COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS)

 

A Análise da Variância é um método suficientemente poderoso para identificar diferenças entre as médias populacionais devidas a várias causa, atuando simultaneamente sobre os elementos da população.

 

7.1. HIPÓTESES.

 

H₀: m₁ = m₂ = … = m _k

H₁: pelo menos uma das médias é diferente Ainda se impusermos algumas condições:

• as k populações tem a mesma variância (Homoscedasticidade)
• as k populações sejam normalmente distribuídas.

 

teremos ainda um modelo robusto (mesmo quando as hipóteses básicas não forem válidas, o modelo ainda leva a resultado com razoável aproximação)

 

• ANÁLISE DA VARIÂNCIA COM UM CRITÉRIO DE CLASSIFICAÇÃO.

 

• AMOSTRAS DE TAMANHOS

 

Fonte de Variação	Soma dos Quadrados		Graus de Liberdade	Quadrados Médios	Fc	Fa
Entre as Amostras	k   T2 SQE = å i    – i=1   n	T2	k-1	s2   = SQE E     k – 1	s2 Fc =   e   s2 R	Fk -1,k(n -1)
		nk
Residual	k   T2 SQR = Q – å i i=1    n		k(n-1)	s2   =   SQR R     k(n – 1)
Total	T2 SQT = Q – n.k		nk-1

 

 

Onde:

T_i =  åxij  = soma dos valores da i-ésima amostra

j=1

n

ij

Q_i = åx² soma dos quadrados dos valores da i-ésima amostra

j=1

k                    k      n

 

T =  åTi

i=1

=  ååxij  = soma de todos os valores

i=1 j=1

 

k                      k      n

Q = åQ = ååx² = soma dos quadrados de todos os valores

 

i

i=1

ij

i=1 j=1

 

n = tamanho da amostra k = número de critérios

 

 

 

• AMOSTRAS DE TAMANHOS

 

Fonte de Variação	Soma dos Quadrados		Graus de Liberdade	Quadrados Médios	Fc	Fa
Entre as Amostras	k   T2 SQE = å i    – i=1 ni	T2	k-1	s2   = SQE E     k – 1	s2 Fc =   e   s2 R	F     k k -1,å n i -k i =1
		k åni i=1
Residual	k   T2 SQR = Q – å i i=1   ni		k åni  – k i=1	s2   =    SQR R           k åni  – k i-1
Total	T2 SQT = Q – k åni i=1		k åni  – 1 i=1

 

Onde:

T_i =  åxij  = soma dos valores da i-ésima amostra

j=1

n

ij

Q_i = åx² soma dos quadrados dos valores da i-ésima amostra

j=1

k                    k      n

 

T =  åTi

i=1

=  ååxij  = soma de todos os valores

i=1 j=1

 

k                      k      n

Q = åQ = ååx² = soma dos quadrados de todos os valores

 

i

i=1

ij

i=1 j=1

 

n = tamanho da amostra e     k = número de critérios

 

 

 

• EXERCÍCIOS:

 

• Quatro pneus de cada uma das marcas A, B e C foram testados quanto a O resultados obtidos foram:

 

Marca	Durabilidade (meses)
A	34	38	31	35
B	32	34	31	29
C	30	25	28	23

 

Ao nível de significância de 1%, há evidência de que os pneus tenham diferentes durabilidades médias?

 

 

• Foram testados três tipos de lâmpadas elétricas e o tempo de vida (em horas) são dados a seguir.

 

Lâmpada A	1245	1354	1367	1289
Lâmpada B	1235	1300	1230	1189	1250
Lâmpada C	1345	1450	1320

 

Podemos identificar, ao nível de 5% de significância, a existência de diferença entre as médias das populações das quais provieram essas amostras?

 

 

 

• REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES

 

• INTRODUÇÃO:

 

1. Relacionamento entre variáveis :

– requer conhecimento

 

Y = f ( X ) + e

 

Ex: 1.

Y = Produção agrícola X = Fertilizante

 

Y(v.aleatória) em função de X(v.determinística), onde Y é a variável explicada por X .

 

Y – variável explicada ou dependente de X X – variável explicativa ou independente

 

• DIAGRAMA DE DISPERSÃO:

 

X (lb/acre)	Y (bushel/acre)
100	40
200	45
300	50
400	65
500	70
600	70
700	80

 

 

• CORRELAÇÃO LINEAR:

 

 

 

n

n å XY

– æ ån

öæ ⁿ      ö

å

Y

X i ÷ç        _i ÷

 

ç

rXY

=                   i = 1                  è i = 1          øè i = 1        ø              

 

 

 

 

 

 

 

DIAGRAMA DE DISPERSÃO

 

100

80

60

40

20

0

0            200          400           600

X

 

 

 

No caso do exemplo 1:

 

 

rXY =

(19.000 )

= 0,977

 

 

 

Estudaremos o relacionamento linear entre as variáveis, assim:

 

Y   = a + b X   + e

 

Suposições:

1. A relação de X e Y é linear e há efeito causal entre elas.
2. X é uma variável não estocástica e conhecida
3. Considerações a cerca do erro:

3.1. ei ~ N (0,s ² )

donde vemos que:

E (e_i ) = 0     “i

i

Var( e ) = s² (constante, por isto não é indexada) Modelo Homoscedático

3.2. Não há correlação serial entre o erro aleatório, isto é, Os erros são independentes.

E[ei e j ] = 0      ” i ¹  j

 

 

• LEAST SQUARE SOLUTION (SOLUÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS) OU ORDINARY LEAST SQUARE (OLS) (MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS):

 

Seja a equação da reta:

 

Y = a + bX

 

(e ) = å

i

(

A idéia é estimar os parâmetros a e b de tal maneira que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é;

 

n

minimizar å

i =1

n

Y

2

i

i

i =1

– Yˆ )2

 

substituindo Y‸i   = a + bX

igualando as expressões a zero, temos:

 

ï

ìåYi   = na + bå Xi

í

e derivando em relação a a e b , e

 

ïå X Y = aå X + bå X ²

î        i   i                         i                        i

 

 

Resolvendo o sistema temos:

 

 

a = Da =

D

 

 

 

 

b = Db =

D

 

 

 

No caso do exemplo teremos:

a = 32,857143       e        b = 0,0678571

 

 

Assim:

Yˆ  = 32,857143 + 0,06785571 X

 

 

• EXERCÍCIO:

 

• A tabela abaixo apresenta os dados relacionados com o número de semanas de experiência de colocar fios em pequenos componentes eletrônicos bem como o número de tais componentes que foram rejeitados durante uma determinada semana, dados estes referentes a 12 trabalhadores aleatoriamente

 

Trabalhador amostrado	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Semanas de experiência	7	9	6	14	8	12	10	4	2	11	1	8
Quantidade de rejeitados	26	20	28	16	23	18	24	26	38	22	32	25

 

1. Verifique se há correlação entre os
2. Determine a equação de regressão
3. Estimar o número de componentes rejeitados para um empregado com 3 semanas de experiência.

 

 

BIBLIOGRAFIA

 

1. BUSSAB, O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica. Atual Editora,1987.

 

2. COSTA NETO, L. de O. Estatística. Editora Edgard Blücher, 2002.

 

3. CHAVES NETO, A. Notas de aulas da disciplina Probabilidade e Estatística Aplicada. DEST/UFPR,

 

4. DEVORE, Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Editora Thomson, 2006

 

5. LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidade. Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill,

 

6. MARQUES, Jair M. Notas de aula da disciplina Probabilidade e Estatística Aplicada. DEST/UFPR,

 

7. MEYER, Paul L. Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1976

 

8. MENDENHALL, W. Probabilidade e Estatística. Editora Campus, Vol.1 e 2, 1985.

 

9. MOOD M, GRAYBILL F., BOES, D. C. Itroduction to the Theory of Statistics. Editora McGraw-Hill, 1974.

 

7. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica : Inferência. Makron Books, Vol. 2,

 

8. SPIEGEL, L. Estatística. Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill,1972.

 

9. SPIEGEL, M. L.Probabilidade e Estatística. Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill,

 

 

TABELAS

 

TABELA 1- Distribuição Normal – valores de P(-¥ £ Z £ z₀)

 

Z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4   -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9   -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4   -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9   -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4   -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9   -3,0 -3,1 -3,2 -3,3 -3,4   -3,5 -3,6 -3,7 -3,8 -3,9	0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446   0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841   0,1587 0,1357 0,1151 0,0968 0,0808   0,0668 0,0548 0,0446 0,0359 0,0287   0,0228 0,0179 0,0139 0,0107 0,0082   0,0062 0,0047 0,0035 0,0026 0,0019   0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003   0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000	0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409   0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814   0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793   0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281   0,0222 0,0174 0,0136 0,0104 0,0080   0,0060 0,0045 0,0034 0,0025 0,0018   0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003   0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000	0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3372   0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788   0,1539 0,1314 0,1112 0,0934 0,0778   0,0643 0,0526 0,0427 0,0344 0,0274   0,0217 0,0170 0,0132 0,0102 0,0078   0,0059 0,0044 0,0033 0,0024 0,0018   0,0013 0,0009 0,0006 0,0005 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336   0,2981 0,2643 0,2327 0,2033 0,1762   0,1515 0,1292 0,1093 0,0918 0,0764   0,0630 0,0516 0,0418 0,0336 0,0268   0,0212 0,0166 0,0129 0,0099 0,0075   0,0057 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017   0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300   0,2946 0,2611 0,2296 0,2005 0,1736   0,1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749   0,0618 0,0505 0,0409 0,0329 0,0262   0,0207 0,0162 0,0125 0,0096 0,0073   0,0055 0,0041 0,0031 0,0023 0,0016   0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264   0,2912 0,2578 0,2266 0,1977 0,1711   0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735   0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256   0,0202 0,0158 0,0122 0,0094 0,0071   0,0054 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016   0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228   0,2877 0,2546 0,2236 0,1949 0,1685   0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721   0,0594 0,0485 0,0392 0,0314 0,0250   0,0197 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069   0,0052 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015   0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192   0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660   0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708   0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244   0,0192 0,0150 0,0116 0,0089 0,0068   0,0051 0,0038 0,0028 0,0021 0,0015   0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156   0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635   0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694   0,0571 0,0465 0,0375 0,0301 0,0239   0,0188 0,0146 0,0113 0,0087 0,0066   0,0049 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014   0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000	0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121   0,2776 0,2451 0,2148 0,1867 0,1611   0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681   0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233   0,0183 0,0143 0,0110 0,0084 0,0064   0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014   0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002   0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000

 

 

 

TABELA 1- Distribuição Normal – valores de P(-¥ £ Z £ z₀) (continuação)

 

Z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4   0,5 0,6 0,7 0,8 0,9   1,0 1,1 1,2 1,3 1,4   1,5 1,6 1,7 1,8 1,9   2,0 2,1 2,2 2,3 2,4   2,5 2,6 2,7 2,8 2,9   3,0 3,1 3,2 3,3 3,4   3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554   0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159   0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192   0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713   0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918   0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981   0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997   0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000	0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591   0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186   0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207   0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719   0,9778 0,9826 0,9865 0,9896 0,9920   0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982   0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997   0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000	0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628   0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212   0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222   0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726   0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922   0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982   0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664   0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238   0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236   0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732   0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925   0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983   0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700   0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264   0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251   0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738   0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927   0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984   0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736   0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289   0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265   0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744   0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929   0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984   0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772   0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315   0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279   0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750   0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931   0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985   0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808   0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340   0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292   0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756   0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932   0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985   0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844   0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365   0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306   0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761   0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934   0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986   0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000	0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879   0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389   0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319   0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767   0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936   0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986   0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998   0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

 

 

TABELA 2- Distribuição t de Student

 

	a (nível de significância)
n Graus de Liberdade	0,005 (unilateral) 0,01 (bilateral)	0,01 (unilateral) 0,02 (bilateral)	0,025 (unilateral) 0,05 (bilateral)	0,05 (unilateral) 0,10 (bilateral)
1	63,657	31,821	12,706	6,314
2	9,925	6,965	4,303	2,920
3	5,841	4,541	3,182	2,353
4	4,604	3,747	2,776	2,132
5	4,032	3,365	2,571	2,015
6	3,707	3,143	2,447	1,943
7	3,500	2,998	2,365	1,895
8	3,355	2,896	2,306	1,860
9	3,250	2,821	2,262	1,833
10	3,169	2,764	2,228	1,812
11	3,106	2,718	2,201	1,796
12	3,054	2,681	2,179	1,782
13	3,012	2,650	2,160	1,771
14	2,977	2,625	2,145	1,761
15	2,947	2,602	2,132	1,753
16	2,921	2,584	2,120	1,746
17	2,898	2,567	2,110	1,740
18	2,878	2,552	2,101	1,734
19	2,861	2,540	2,093	1,729
20	2,845	2,528	2,086	1,725
21	2,831	2,518	2,080	1,721
22	2,819	2,508	2,074	1,717
23	2,807	2,500	2,069	1,714
24	2,797	2,492	2,064	1,711
25	2,787	2,485	2,060	1,708
26	2,779	2,479	2,056	1,706
27	2,771	2,473	2,052	1,703
28	2,763	2,.467	2,048	1,701
29	2,756	2,462	2,045	1,699
¥ (z)	2,575	2,327	1,960	1,645

 

 

TABELA 3- Distribuição c 2

 

n (gl)			a
1	3,9 E-5 0,010 0,072 0,207 0,412   0,676 0,989 1,344 1,735 2,156   2,603 3,074 3,565 4,075 4,601   5,142 5,697 6,265 6,844 7,434   8,034 8,643 9,260 9,886 10,520   11,160 11,808 12,461 13,121 13,787	1E-4 0,051 0,216 0,484 0,831   1,237 1,690 2,180 2,700 3,247   3,816 4,404 5,009 5,629 6,262   6,908 7,564 8,231 8,907 9,591   10,283 10,982 11,689 12,401 13,120   13,844 14,573 15,308 16,047 16,791	3,841 5,991 7,815 9,488 11,070   12,592 14,067 15,507 16,919 18,307   19,675 21,026 22,362 23,685 24,996   26,296 27,587 28,869 30,144 31,410   32,671 33,924 35,172 36,415 37,652   38,885 40,113 41,337 42,557 43,773	5,024 7,378 9,348 11,143 12,833   14,450 16,013 17,535 19,023 20,483   21,920 23,337 24,736 26,119 27,488   28,845 30,191 31,526 32,852 34,170   35,479 36,781 38,076 39,364 40,647   41,923 43,195 44,461 45,722 46,979	6,635 9,210 11,345 13,277 15,086   16,812 18,475 20,090 21,666 23,209   24,725 26,217 27,688 29,141 30,578   32,000 33,409 34,805 36,191 37,566   38,932 40,289 41,638 42,980 44,314   45,642 46,963 48,278 49,588 50,892	7,879 10,597 12,838 14,860 16,750   18,548 20,278 21,955 23,589 25,188   26,757 28,300 29,819 31,319 32,802   34,267 35,718 37,156 38,582 39,997   41,401 42,796 44,181 45,558 46,928   48,290 49,645 50,994 52,336 53,672
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

 

 

 

 

 

TABELA 4- Distribuição F (Snedecor) a = 0,01

	nn
nD	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	¥
1 2 3 4 5   6 7 8 9 10   12 15 20 24 30   40 60 ¥	4052 98,50 34,12 21,20 16,20   13,75 12,25 11,26 10,56 10,04   9,33 8,68 8,10 7,82 7,56   7,31 7,08 6,63	4999 99,00 30,82 18,00 13,27   10,92 9,55 8,65 8,02 7,56   6,93 6,36 5,85 5,61 5,39   5,18 4,98 4,61	5403 99,17 29,46 16,69 12,06   9,78 8,45 7,59 6,99 6,55   5,95 5,42 4,94 4,72 4,51   4,31 4,13 3,78	5625 99,25 28,17 15,98 11,39   9,15 7,85 7,01 6,42 5,99   5,41 4,89 4,43 4,22 4,02   3,83 3,65 3,32	5764 99,30 28,24 15,52 10,97   8,75 7,46 6,63 6,06 5,64   5,06 4,56 4,10 3,90 3,70   3,51 3,34 3,02	5859 99,33 27,91 15,21 10,67   8,47 7,19 6,37 5,80 5,39   4,82 4,32 3,87 3,67 3,47   3,29 3,12 2,80	5928 99,36 27,67 14,98 10,46   8,26 6,99 6,18 5,61 5,20   4,64 4,14 3,70 3,50 3,30   3,12 2,95 2,64	5982 99,37 27,49 14,80 10,29   8,10 6,84 6,03 5,47 5,06   4,50 4,00 3,56 3,36 3,17   2,99 2,82 2,51	6022 99,39 27,35 14,66 10,16   7,98 6,72 5,91 5,35 4,94   4,39 3,89 3,46 3,26 3,07   2,89 2,72 2,41	6056 99,40 27,23 14,55 10,05   7,87 6,62 5,81 5,26 4,85   4,30 3,80 3,37 3,17 2,98   2,80 2,63 2,32	6106 99,42 27,05 14,37 9,89   7,72 6,47 5,67 5,11 4,71   4,16 3,67 3,23 3,03 2,84   2,66 2,50 2,18	6157 99,43 26,87 14,20 9,72   7,56 6,31 5,52 4,96 4,56   4,01 3,52 3,09 2,89 2,70   2,52 2,35 2,04	6209 99,45 26,69 14,02 9,55   7,40 6,16 5,36 4,81 4,41   3,86 3,37 2,94 2,74 2,55   2,37 2,20 1,88	6235 99,46 26,60 13,93 9,47   7,31 6,07 5,28 4,73 4,33   3,78 3,29 2,86 2,66 2,47   2,29 2,12 1,79	6261 99,47 26,50 13,84 9,38   7,23 5,99 5,20 4,65 4,25   3,70 3,21 2,78 2,58 2,39   2,20 2,03 1,70	6287 99,47 26,41 13,75 9,29   7,14 5,91 5,12 4,57 4,17   3,62 3,13 2,69 2,49 2,30   2,11 1,94 1,59	6313 99,48 26,32 13,65 9,20   7,06 5,82 5,03 4,48 4,08   3,54 3,05 2,61 2,40 2,21   2,02 1,84 1,47	6366 99,50 26,13 13,46 9,02   6,88 5,65 4,86 4,31 3,91   3,36 2,87 2,42 2,21 2,01   1,80 1,60 1,00

 

64

 

 

 

 

 

 

 

TABELA 5- Distribuição F (Snedecor) a = 0,05

 

	nn
nD	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	¥
1 2 3 4 5   6 7 8 9 10   12 15 20 24 30   40 60 ¥	161,4 18,51 10,13 7,71 6,61   5,99 5,59 5,32 5,12 4,96   4,75 4,54 4,35 4,26 4,17   4,08 4,00 3,84	199,5 19,00 9,55 6,94 5,79   5,14 4,74 4,46 4,26 4,10   3,89 3,68 3,49 3,40 3,32   3,23 3,15 3,00	215,7 19,16 9,28 6,59 5,41   4,76 4,35 4,07 3,86 3,71   3,49 3,29 3,10 3,01 2,92   2,84 2,76 2,60	224,6 19,25 9,12 6,39 5,19   4,53 4,12 3,84 3,63 3,48   3,26 3,06 2,87 2,78 2,69   2,61 2,53 2,37	230,2 19,30 9,01 6,26 5,05   4,39 3,97 3,69 3,48 3,33   3,11 2,90 2,71 2,62 2,53   2,45 2,37 2,21	234,0 19,33 8,94 6,16 4,95   4,28 3,87 3,58 3,37 3,22   3,00 2,79 2,60 2,51 2,42   2,34 2,25 2,10	236,8 19,35 8,89 6,09 4,88   4,21 3,79 3,50 3,29 3,14   2,91 2,71 2,51 2,42 2,33   2,25 2,17 2,01	238,9 19,37 8,85 6,04 4,82   4,15 3,73 3,44 3,23 3,07   2,85 2,64 2,45 2,36 2,27   2,18 2,10 1,94	240,5 19,38 8,81 6,00 4,77   4,10 3,68 3,39 3,18 3,02   2,80 2,59 2,39 2,30 2,21   2,12 2,04 1,88	241,9 19,40 8,79 5,96 4,74   4,06 3,64 3,35 3,14 2,98   2,75 2,54 2,35 2,25 2,16   2,08 1,99 1,83	243,9 19,41 8,74 5,91 4,68   4,00 3,57 3,28 3,07 2,91   2,69 2,48 2,28 2,18 2,00   2,00 1,92 1,75	245,9 19,43 8,70 5,86 4,62   3,94 3,51 3,22 3,01 2,85   2,62 2,40 2,20 2,11 2,04   1,92 1,81 1,67	248,0 19,45 8,66 5,80 4,56   3,87 3,44 3,15 2,94 2,77   2,54 2,33 2,12 2,03 1,93   1,84 1,75 1,57	249,1 19,45 8,64 5,77 4,53   3,84 3,41 3,12 2,90 2,74   2,51 2,29 2,08 1,98 1,89   1,79 1,70 1,52	250,1 19,46 8,62 5,75 4,50   3,81 3,38 3,08 2,86 2,70   2,47 2,25 2,04 1,94 1,84   1,74 1,65 1,45	251,1 19,47 8,59 5,72 4,46   3,77 3,34 3,04 2,83 2,66   2,43 2,20 1,99 1,89 1,79   1,69 1,59 1,39	252,2 19,48 8,57 5,69 4,43   3,74 3,30 3,01 2,79 2,62   2,38 2,16 1,95 1,84 1,74   1,64 1,53 1,32	254,3 19,50 8,53 5,63 4,36   3,67 3,23 2,93 2,71 2,54   2,30 2,07 1,84 1,73 1,62   1,51 1,29 1,00